中考数学二轮精品专题复习 三角形(解答题)

这是一份中考数学二轮精品专题复习 三角形(解答题)，共55页。试卷主要包含了综合与实践等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学真题知识点汇编之《三角形(解答题)》
一．解答题（共25小题）
1．（2023•大连）如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F．BC＝DE，AC＝AE，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．

2．（2023•常德）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB．EC．
（1）求证：△BAE≌△CAE；
（2）在如图1中，若AE＝AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M．
求证：①AF•MH＝AM•AE；
②GF＝GD．

3．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．

4．（2023•兰州）综合与实践：
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所着的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的依据：　 　；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

5．（2023•吉林）如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：AC＝DC．
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6．（2023•福建）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．

7．（2023•聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．
（1）求证：∠EAD＝∠EDA；
（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．

8．（2023•广西）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满足AD＝BE＝CF．
（1）求证：△ADF≌△BED；
（2）设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）结合（2）所得的函数，描述△DEF的面积随AD的增大如何变化．

9．（2023•荆州）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD＝CE．

10．（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．

11．（2023•乐山）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．
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12．（2023•江西）（1）计算：38+tan45°﹣30．
（2）如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．求证：△ABC≌△ADC．

13．（2023•金华）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格，在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数，阅读以下作图过程，并回答下列问题：

作法（如图）
结论
①在CB上取点P1，使CP1＝4．
∠P1OA＝45°，点P1表示45°．
②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P2．
∠P2OA＝30°，点P2表示30°．
③分别以O，P2为圆心，大于OP2长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，连接EF与BC相交于点P3．
…
④以P2为圆心，OP2的长为半径作弧，与射线CB交于点D，连结OD交AB于点P4．
…
（1）分别求点P3，P4表示的度数．
（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．

14．（2023•金华）问题：如何设计“倍力桥”的结构？
图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁b，使得横梁不能移动，结构稳固．
图2是长为l（cm），宽为3cm的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为1cm的半圆，圆心分别为O1，O2，O3，O1M＝O1N，O2Q＝O3P＝2cm，纵梁是底面半径为1cm的圆柱体，用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计．
探究1：图3是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，D，H1，H2是横梁侧面两边的交点，测得AB＝32cm，点C到AB的距离为12cm，试判断四边形CDEH1的形状，并求l的值．
探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．
①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形H1H2H3…H12，求l的值；
②若有n根横梁绕成的环（n为偶数，且n≥6），试用关于n的代数式表示内部形成的多边形H1H2H3…Hn的周长．

15．（2023•扬州）【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A′D′C，∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠B＝∠C＝30°，设AB＝2．
【操作探究】
如图1，先将△ADB和△A′D′C的边AD、A′D′重合，再将△A′D′C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．
（1）当α＝60°时，BC＝　 　；当BC＝22时，α＝　 　°；
（2）当α＝90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取BC的中点F，将△A′D′C′绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 　 　．

16．（2023•临沂）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．
（1）写出AB与BD的数量关系．
（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．
（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．

17．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．
（1）如图1，求证：DE＝BF；
（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．

18．（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．

19．（2023•宜宾）已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：∠B＝∠E．

20．（2023•云南）如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．

21．（2023•遂宁）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点O为对角线BD的中点，过点O的直线l分别与AD、BC所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当直线l⊥BD时，连结BE、DF，试判断四边形EBFD的形状，并说明理由．

22．（2023•成都）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且ADBD=1n（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．
【初步感知】
（1）如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=22AB，请写出证明过程．
【深入探究】
（2）①如图2，当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．
【拓展运用】
（3）如图3，连接EF，设EF的中点为M，若AB＝22，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．

23．（2023•重庆）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，E沿折线A→B→C方向运动，F沿折线A→C→B方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为t秒，点E，F的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出点E，F相距3个单位长度时t的值．

24．（2023•泸州）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．

25．（2023•重庆）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．


2023年中考数学真题知识点汇编之《三角形(解答题)》
参考答案与试题解析
一．解答题（共25小题）
1．（2023•大连）如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F．BC＝DE，AC＝AE，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得结论．
【解答】证明：∵∠ACB+∠ACF＝∠ACF+∠AED＝180°，
∴∠ACB＝∠AED，
在△ABC和△ADE中，
BC=DE∠ACB=∠AEDAC=AE，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴AB＝AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
2．（2023•常德）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB．EC．
（1）求证：△BAE≌△CAE；
（2）在如图1中，若AE＝AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M．
求证：①AF•MH＝AM•AE；
②GF＝GD．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，利用SSS公理证明△BAE≌△CAE；
（2）①连接AH，证明△AFD∽△MAH，根据相似三角形的性质证明；
②证明△AMH∽△DAC，再根据三角形中位线定理证明即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
又∵E在AD上，
∴EB＝EC，
在△BAE和△CAE中，
AB=ACEB=ECAE=AE，
∴△BAE≌△CAE（SSS）；
（2）①连接AH，
∵A，H分别是ED和EC的中点，
∴AH为△EDC的中位线，
∴AH∥DC，
∴∠EAH＝∠EDC＝90°，
又∵DF⊥AB，
∴∠AFD＝90°，
又∵HG∥AB，
∴∠FAD＝∠AMH，
∴△AFD∽△MAH，
∴AFAM=ADMH，
∴AF⋅MH＝AM⋅AD，
∵AE＝AD，
∴AF⋅MH＝AM⋅AE；
②∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠ADF＝∠AHM，
∴∠AHM＝∠ACB，
∴△AMH∽△DAC，
∵A、H分别为ED和EC中点，
∴AH为△EDC的中位线，
∴AMAD=AHDC=12，
∴AM=12AD，即M为AD中点，
∵AF∥GH，
∴G为FD中点，
∴GF＝GD．

【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
3．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】（1）利用“AAS”可证明△ABE≌△ACD；
（2）先利用全等三角形的性质得到AD＝AE＝6，再利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长，然后计算AB﹣AD即可．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△ACD中，
∠AEB=∠ADC∠BAE=∠CADAB=AC，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ACD，
∴AD＝AE＝6，
在Rt△ACD中，AC=AD2+CD2=62+82=10，
∵AB＝AC＝10，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
4．（2023•兰州）综合与实践：
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所着的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角，”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的依据：　SSS　；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可，他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；线段、角、相交线与平行线；图形的全等；尺规作图；推理能力．
【分析】（1）由等边三角形的性质得CE＝DE，再证△OCE≌△ODE（SSS），得∠COE＝∠DOE，即可得出结论；
（2）证△OCM≌△OCN（SSS），得∠AOC＝∠BOC，即可得出结论；
（3）先作∠BAC的平分线AK，再在AK上截取AE＝AD即可．
【解答】解：（1）∵△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
又∵OC＝OD，OE＝OE，
∴△OCE≌△ODE（SSS），
∴∠COE＝∠DOE，
∴OE是∠AOB的平分线，
故答案为：SSS；
（2）∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
∴射线OC是∠AOB的平分线；
（3）如图，

点E即为所求的点．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平分线定义以及尺规作图等知识，熟练掌握角平分线定义和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
5．（2023•吉林）如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：AC＝DC．
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【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】由两个三角形的全等判定ASA直接可判断两个三角形全等，得出结论．
【解答】解：在△ABC和△DEC中，
∠A=∠DAB=DE∠B=∠E，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AC＝DC．
【点评】本题考查了三角形全等的判定ASA，掌握ASA判定两个三角形全等的方法是解题的关键．
6．（2023•福建）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】根据角的和差求得∠AOB＝∠COD，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠AOD＝∠COB，
∴∠AOD﹣∠BOD＝∠COB﹣∠BOD，
即∠AOB＝∠COD．
在△AOB 和△COD中，
OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了等式的基本性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
7．（2023•聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．
（1）求证：∠EAD＝∠EDA；
（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）利用AAS证明∴△ABE≌△ECD，即可证明结论；
（2）先证明△AED为等边三角形，可得AE＝AD＝ED＝4，过A点作AF⊥ED于F，利用等边三角形的性质可得EF＝2，再根据勾股定理求得AF的长，利用三角形的面积公式可求解．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AED+∠CED，
∴∠BAE＝∠CED，
在△ABE和△ECD中，
∠BAE=∠CED∠B=∠CBE=CD，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴AE＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）解：∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED，
∴△AED为等边三角形，
∴AE＝AD＝ED＝4，
过A点作AF⊥ED于F，
∴EF=12ED＝2，
∴AF=AE2−EF2=42−22=23，
∴S△AED=12ED•AF=12×4×23=43．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识的综合运用，证明△ABE≌△ECD是解题的关键．
8．（2023•广西）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满足AD＝BE＝CF．
（1）求证：△ADF≌△BED；
（2）设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）结合（2）所得的函数，描述△DEF的面积随AD的增大如何变化．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）由题意易得AF＝BD，∠A＝∠B＝60°，然后根据SAS可进行求证；
（2）分别过点C，F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为点H、G，根据题意可得S△ABC＝43，AF＝4﹣x，然后可得FG=32（4﹣x），由（1）易得△ADF≌△BED≌△CFE，则有S△ADF＝S△BED＝S△CFE=34x（4﹣x），进而问题可求解；
（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，AB＝AC，
∵AD＝CF，
∴AF＝BD，
在△ADF和△BED中，
AD=BE∠A=∠BAF=BD，
∴△ADF≌△BED（SAS）；

（2）解：分别过点C、F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为点H、G，

在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝4，
∴CH＝AC•sin60°＝23，S△ABC=12AB•CH＝43．
∵AD的长为x，则AD＝BE＝CF＝x，AF＝4﹣x，
∴FG＝AF•sin60°=32（4﹣x），
∴S△ADF=12AD•FG=34x（4﹣x），
由（1）可知△ADF≌△△BED，
同理可证，△BED≌△CFE，
∴S△ADF＝S△BDE＝S△CFE=34x（4﹣x），
∵△DEF的面积为y，
∴y＝S△ABC﹣3S△ADF＝43−334x（4﹣x）=334x2﹣33x+43；

（3）由（2）可知：y=334x2﹣33x+43，
∵a=334＞0，对称轴为直线x=−−332×334=2，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，
即当2＜x＜4时，△DEF的面积随AD的增大而增大，当0＜x＜2时，△DEF的面积随AD的增大而减小．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，学会利用二次函数的性质解决问题．
9．（2023•荆州）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE．求证：CD＝CE．

【考点】等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据等边三角形的性质得到BD⊥AC，∠ACB＝60°，求得∠DBC＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠DBC＝30°，求得∠E＝∠2＝30°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，∠ACB＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∵BD＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∵∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠2＝30°，
∴CD＝CE．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
10．（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】利用三角形内角和定理得∠CAB的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【解答】证明：在△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝20°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°．
∵AE⊥BC．
∴∠AEC＝90°．
∴∠DAF＝∠AEC+∠C＝110°，
∴∠DAF＝∠CAB．
在△DAF和△CAB中，
AD=BC∠DAF=∠CABAF=AB，
∴△DAF≌△CAB（SAS）．
∴DF＝CB．
【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
11．（2023•乐山）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．
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【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】由平行线的性质可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，利用AAS即可判定△AOC≌△BOD，从而得AC＝BD．
【解答】证明：∵AC∥BD，
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，
在△AOC和△BOD中，
∠C=∠D∠A=∠BAO=BO，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴AC＝BD．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．
12．（2023•江西）（1）计算：38+tan45°﹣30．
（2）如图，AB＝AD，AC平分∠BAD．求证：△ABC≌△ADC．

【考点】全等三角形的判定；特殊角的三角函数值；实数的运算；零指数幂．菁优网版权所有
【专题】实数；图形的全等；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由零指数幂：a0＝1（a≠0），立方根的定义，特殊角的正切值，即可计算；
（2）由角平分线定义得到∠BAC＝∠DAC，由SAS即可证明△ABC≌△ADC．
【解答】（1）解：38+tan45°﹣30
＝2+1﹣1
＝2；
（2）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABC和△ADC中，
AB=AD∠BAC=∠DACAC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．

【点评】本题考查全等三角形的判定，实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，关键是掌握全等三角形的判定方法，零指数幂：a0＝1（a≠0），立方根的定义，特殊角的正切值．
13．（2023•金华）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格，在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数，阅读以下作图过程，并回答下列问题：

作法（如图）
结论
①在CB上取点P1，使CP1＝4．
∠P1OA＝45°，点P1表示45°．
②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P2．
∠P2OA＝30°，点P2表示30°．
③分别以O，P2为圆心，大于OP2长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，连接EF与BC相交于点P3．
…
④以P2为圆心，OP2的长为半径作弧，与射线CB交于点D，连结OD交AB于点P4．
…
（1）分别求点P3，P4表示的度数．
（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；矩形 菱形 正方形；几何直观．
【分析】（1）根据矩形的性质可求出∠OP2C 度数，根据线段垂直平分线的性质∠P2OP3度数，即可求出∠P3OA的度数，从而知道P3点表示度数；利用半径相等即可求出∠P2OD＝∠P2DO，再根据平行线的性质即可求出∠P2OD＝∠DOA，从而得P3表示度数；
（2）利用角平分线的性质作图即可求出答案．
【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠OP2C＝∠P2OA＝30°，
由作图可知，EF是 OP2 的中垂线，
∴OP3＝P3P2；
∴∠P3OP2＝∠P3P2O＝30°，
∴∠P3OA＝∠P3OP2+∠P2OA＝60°，
∴点 P3 表示 60°；
②作图可知，P2D＝P2O，
∴∠P2OD＝∠P2DO，
∵CB∥OA，
∴∠P2DO＝∠DOA；
∴∠P2OD=∠DOA=12∠P2OA=15°，
∴点P4表示 15°；
答：点P3表示60°，点P4表示15°；
（2）作∠P3OP4 的角平分线交BC于P5，点P5即为所求作的点，如图：

∵点P3表示 60°，点P4表示 15°，
∴∠P3OP4＝60°﹣15°＝45°，
∴12∠P3OP4+∠P4OA＝22.5°+15°＝37.5°，
∴P5 表示 37.5°．
【点评】本题考查的是尺规作图的应用，涉及到的知识点有线段垂直平分线、角平分线性质、圆的相关性质，解题的关键需要正确理解题意，掌握用到的相关知识点．
14．（2023•金华）问题：如何设计“倍力桥”的结构？
图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁b，使得横梁不能移动，结构稳固．
图2是长为l（cm），宽为3cm的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为1cm的半圆，圆心分别为O1，O2，O3，O1M＝O1N，O2Q＝O3P＝2cm，纵梁是底面半径为1cm的圆柱体，用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计．
探究1：图3是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，D，H1，H2是横梁侧面两边的交点，测得AB＝32cm，点C到AB的距离为12cm，试判断四边形CDEH1的形状，并求l的值．
探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．
①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形H1H2H3…H12，求l的值；
②若有n根横梁绕成的环（n为偶数，且n≥6），试用关于n的代数式表示内部形成的多边形H1H2H3…Hn的周长．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【分析】探究1：根据图形即可判断出CDEH1形状；根据等腰三角形性质可求出AM长度，利用勾股定理即可求出CA长度，从而求出l值．
探究2：①根据十二边形的特性可知∠CH1N＝30°，利用特殊角正切值求出CH1长度，最后利用菱形的性质求出EH1的长度，从而求得l值．
②根据正多边形的特性可知∠CH1N的度数，利用特殊角正切值求出CH1和H1N长度，最后利用菱形的性质求出EH1的长度，从而求得l值．
【解答】解：探究1：①四边形CDEH1是菱形，理由如下：
由图1可知，CD∥EH1，ED∥CH1，
∴CDEH1为平行四边形，
∵桥梁的规格是相同的，
∴桥梁的宽度相同，即四边形CDEH1每条边上的高相等，
∵平行四边形CDEH1的面积等于边长乘这条边上的高，
∴CDEH1每条边相等，
∴CDEH1为菱形．
②如图1，过点C作CM⊥AB于点M．

由题意，得CA＝CB，CM＝12cm，AB＝32cm，
∴AM=12AB＝16cm，
在Rt△CAM中，CA2＝AM2+CM2，
∴CA162+122=400=20（cm），
∴l＝CA+2＝22（cm），
故答案为：l＝22cm．
探究2：①如图2，过点C作CN⊥H1H2于点N，

由题意，得∠H1CH2＝120°，CH1＝CH2，CN＝3cm，
∴∠CH1N＝30°，
∴CH1＝2CN＝6cm，H1N=CNtan30°=333=33cm，
又∵四边形CDEH1是菱形，
∴EH1＝CH1＝6cm，
∴l＝2（2+6+33）＝（16+63）cm，
故答案为：l＝（16+63）cm．
②如图3，过点C作CN⊥H1H2于点N．

由题意，形成的多边形为正n边形，
∴外角∠CH1H2=360°n，
在Rt△CNH1中，H1N=CNtan∠CH1H2=3tan360°n（cm），
又∵CH1＝CH2，CN⊥H1H2，
∴H1H2＝2H1N=6tan360°ncm，
∴形成的多边形的周长为（6ntan360°n）cm．
故答案为：（6ntan360°n）cm．
【点评】实际应用题，考查的是菱形的性质和判定、锐角三角函数、勾股定理，解题的关键在于将生活实际和有关数学知识有效结合以及熟练掌握相关性质．
15．（2023•扬州）【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A′D′C，∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠B＝∠C＝30°，设AB＝2．
【操作探究】
如图1，先将△ADB和△A′D′C的边AD、A′D′重合，再将△A′D′C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．
（1）当α＝60°时，BC＝　2　；当BC＝22时，α＝　30或210　°；
（2）当α＝90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取BC的中点F，将△A′D′C′绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 　2π　．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；与圆有关的计算；推理能力；应用意识．
【分析】（1）当α＝60°时，A，D'，B共线，A，D，C共线，可得△ABC是等边三角形，故BC＝AB＝2；当BC＝22时，过A作AH⊥BC于H，分两种情况画出图形，可得答案；
（2）画出图形，可得S△ADQ=12×1×33=36，S△APD=12×1×1=12，故S△APQ=12−36，同理S△AD'R=12−36，从而两块三角板重叠部分图形的面积为1−33；
（3）连接AF，由AB＝AC，F为BC中点，知∠AFB＝90°，故F的运动轨迹是以AB为直径的圆，用圆周长公式可得答案．
【解答】解：（1）如图：

∵∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠ABD＝∠A'CD'＝30°，
∴∠BAD＝∠D'AC＝60°，
∴当α＝60°时，A，D'，B共线，A，D，C共线，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝2；
当BC＝22时，过A作AH⊥BC于H，
如图：

∵AB＝AC，
∴BH＝CH=12BC=2，
∴sin∠BAH=BHAB=22，
∴∠BAH＝45°，
∴∠BAC＝2∠BAH＝90°，
∴α＝120°﹣90°＝30°；
如图：

同理可得∠BAC＝90°，
∴α＝60°+90°+60°＝210°，
∴当BC＝22时，α＝30°或210°；
故答案为：2，30或210；
（2）如图：

∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，
∴AD＝1，
∵α＝90°，
∴∠BAC＝60°+60°﹣90°＝30°，
∴∠QAD＝∠BAD﹣∠BAC＝30°，
∴DQ=AD3=33，
∴S△ADQ=12×1×33=36，
∵∠D'＝∠D'AD＝∠D＝90°，AD＝AD'，
∴四边形ADPD'是正方形，
∴DP＝AD＝1，
∴S△APD=12×1×1=12，
∴S△APQ=12−36，
同理S△AD'R=12−36，
∴两块三角板重叠部分图形的面积为1−33；
（3）连接AF，如图：

∵AB＝AC，F为BC中点，
∴∠AFB＝90°，
∴F的运动轨迹是以AB为直径的圆，
∴点F的运动路径长为2π×AB2=2π．
故答案为：2π．
【点评】本题考查三角形综合应用，涉及旋转变换，与圆有关的计算问题，解题的关键是读懂题意，画出图形，灵活运用旋转的性质．
16．（2023•临沂）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．
（1）写出AB与BD的数量关系．
（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．
（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）结论：AB＝（2+1）BD．在BC上取一点T，使得BT＝BD，连接DT，AT．设AB＝AC＝a，则BC=2a．证明CA＝CT，可得结论；
（2）证明△BCD≌△ECF（SAS），推出∠CBD＝∠E＝45°，BD＝EF，可得BD∥EF，可得结论；
（3）延长CH交EF的延长线于点J．证明△ACH≌△FJH（AAS），可得结论．
【解答】（1）解：结论：AB＝（2+1）BD．

理由：在BC上取一点T，使得BT＝BD，连接DT，AT．设AB＝AC＝a，则BC=2a．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DBT＝45°，
∵BD＝BT，
∴∠BDT＝∠BTD＝67.5°，
∵BC＝AB+BD＝AC+BD＝BT+AC，
∴CT＝CA＝a，
∴BD＝BT＝BC﹣CT=2a﹣a，
∴ABBD=a2a−a=2+1，
∴AB＝（2+1）BD；

（2）证明：如图2中，

在△BCD和△ECF中，
BC=EC∠BCD=∠ECFCD=CF，
∴△BCD≌△ECF（SAS），
∴∠CBD＝∠E＝45°，BD＝EF，
∴BD∥EF，
∵BD⊥AB，
∴EF⊥AB；

（3）证明：延长CH交EF的延长线于点J．

∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝135°，CH平分∠ACE，
∴∠ACH＝∠ECH＝67.5°，
∵∠ACB＝∠E＝45°，
∴AC∥EJ，
∴∠J＝∠ACH＝∠ECJ＝67.5°，
∴CE＝EJ＝CB，
∵BC＝BD+AB，EJ＝EF+FJ，
∴FJ＝AB＝AC，
∵∠AHC＝∠FHJ，∠ACH＝∠J，
∴△ACH≌△FJH（AAS），
∴AH＝FH．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
17．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．
（1）如图1，求证：DE＝BF；
（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．

【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，进而得出AD∥CE，得出∠ADC＝∠DCE，即可证得△DCE≌△FEB（SAS），得出DE＝BF；
（2）作GH∥CD，交CE于H，即可证得DG＝EG，GH∥BE，根据三角形中位线定理求得GH＝1，设CE＝BE＝m，则EH=12m，FH=12m−2，根据三角形相似的性质得到1m=12m−22，解得m＝2+22．
【解答】（1）证明：∵△ACD、△BCE分别是以AC，BC为底边的等腰三角形，
∴∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，
∵∠A＝∠CBE，
∴∠A＝∠ECB，∠ADC＝∠CEB，
∴AD∥CE，
∴∠ADC＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CEB，
∵EF＝AD，CE＝BE，
∴△DCE≌△FEB（SAS），
∴DE＝BF；
（2）解：∵∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，
∵∠DCA＝∠CBE，
∴∠A＝∠ECB，
∴DC∥BE，
作GH∥CD，交CE于H，
∵DG＝EG，GH∥BE，
∴CH＝EH，
∵AD＝2，AD＝CD，
∴CD＝2，
∴GH=12CD=1，
设CE＝BE＝m，
∴EH=12m，
∵EF＝AD＝2，
∴FH=12m−2，
∵GH∥BE，
∴△GHF∽△BEF，
∴GHBE=FHEF，即1m=12m−22，
解得m＝2+22或m＝2﹣22（舍去），
∴BE的长为2+22．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，作出辅助线构建向上三角形是解题的关键．
18．（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】（1）由角平分线定义得出∠BAD＝∠CAD．由作图知：AE＝AF．由SAS可证明△ADE≌△ADF；
（2）由作图知：AE＝AD．得出∠AED＝∠ADE，由等腰三角形的性质求出∠ADE＝70°，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
由作图知：AE＝AF．
在△ADE和△ADF中，
AE=AF∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
（2）解：∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD=12∠BAC＝40°，
由作图知：AE＝AD．
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠ADE=12×（180°﹣40°）＝70°，
∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC．
∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝20°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
19．（2023•宜宾）已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：∠B＝∠E．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【分析】由AF＝DC，得AC＝DF，由AB∥DE，得∠A＝∠D，即可证△ABC≌△DEF（SAS），故∠B＝∠E．
【解答】证明：∵AF＝DC，
∴AF+CF＝DC+CF，即AC＝DF，
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠A=∠DAC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B＝∠E．
【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．
20．（2023•云南）如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．

【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】求出BC＝DC，根据全等三角形的判定定理证明即可．
【解答】证明：∵C是BD的中点，
∴BC＝DC，
在△ABC和△EDC中，
AB=EDAC=ECBC=DC，
∴△ABC≌△EDC（SSS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
21．（2023•遂宁）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点O为对角线BD的中点，过点O的直线l分别与AD、BC所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当直线l⊥BD时，连结BE、DF，试判断四边形EBFD的形状，并说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】（1）由AD∥BC，得∠ODE＝∠OBF，而OD＝OB，∠DOE＝∠BOF，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△DOE≌△BOF；
（2）由OD＝OB，直线l经过点O且l⊥BD，得DE＝BE，DF＝BF，由△DOE≌△BOF，得DE＝BF，则DE＝BE＝DF＝BF，所以四边形EBFD是菱形．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
∵点O为对角线BD的中点，
∴OD＝OB，
在△DOE和△BOF中，
∠ODE=∠OBFOD=OB∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF（ASA）．
（2）解：四边形EBFD是菱形，理由如下：
∵OD＝OB，直线l经过点O且l⊥BD，
∴直线l是线段BD的垂直平分线，
∴DE＝BE，DF＝BF，
∵△DOE≌△BOF，
∴DE＝BF，
∵DE＝BE＝DF＝BF，
∴四边形EBFD是菱形．

【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定等知识，证明∠ODE＝∠OBF及直线l垂直平分线段BD是解题的关键．
22．（2023•成都）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且ADBD=1n（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．
【初步感知】
（1）如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=22AB，请写出证明过程．
【深入探究】
（2）①如图2，当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．
【拓展运用】
（3）如图3，连接EF，设EF的中点为M，若AB＝22，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）由“ASA”可证△CDE≌△BDF，可得CE＝BF，即可求解；
（2）①先证△ADN和△BDH是等腰直角三角形，可得AN＝DN，DH＝BH，AD=2AN，BD=2BH，可求AD=2x，BD＝22x，通过证明△EDN∽△FDH，可求FH＝2NE，即可求解；
②分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；
（3）由题意可得点M在线段CD的垂直平分线上运动，由相似三角形的性质可求M'R＝1，由勾股定理和相似三角形的性质可求RM″＝n，由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：连接CD，

∵∠C＝90°，AC＝BC，AD＝DB，
∴AB=2AC，∠A＝∠B＝∠ACD＝45°，AD＝CD＝BD，CD⊥AB，
∵ED⊥FD，
∴∠EDF＝∠CDB＝90°，
∴∠CDE＝∠BDF，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE＝BF，
∴AE+BF＝AE+CE＝AC=22AB；
（2）①AE+12BF=23AB，理由如下：
过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，

∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，
∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，
∴AN＝DN，DH＝BH，AD=2AN，BD=2BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，
∴△ADN∽△BDH，
∴ADDB=ANDH=12，
设AN＝DN＝x，BH＝DH＝2x，
∴AD=2x，BD＝22x，
∴AB＝32x，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DHCN是矩形，
∴∠NDH＝90°＝∠EDF，
∴∠EDN＝∠FDH，
又∵∠END＝∠FHD，
∴△EDN∽△FDH，
∴ENFH=DNDH=12，
∴FH＝2NE，
∴AE+12BF＝x+NE+12（2x﹣FH）＝2x=23AB；
②如图4，当点F在射线BC上时，过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，

∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，
∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，
∴AN＝DN，DH＝BH，AD=2AN，BD=2BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，
∴△ADN∽△BDH，
∴ADDB=ANDH=1n，
设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，
∴AD=2x，BD=2nx，
∴AB=2（n+1）x，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DHCN是矩形，
∴∠NDH＝90°＝∠EDF，
∴∠EDN＝∠FDH，
又∵∠END＝∠FHD，
∴△EDN∽△FDH，
∴ENFH=DNDH=1n，
∴FH＝nNE，
∴AE+1nBF＝x﹣NE+1n（nx+FH）＝2x=2n+1AB；
当点F在CB的延长线上时，如图5，

∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，
∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，
∴AN＝DN，DH＝BH，AD=2AN，BD=2BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，
∴△ADN∽△BDH，
∴ADDB=ANDH=1n，
设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，
∴AD=2x，BD=2nx，
∴AB=2（n+1）x，
∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DHCN是矩形，
∴∠NDH＝90°＝∠EDF，
∴∠EDN＝∠FDH，
又∵∠END＝∠FHD，
∴△EDN∽△FDH，
∴ENFH=DNDH=1n，
∴FH＝nNE，
∴AE−1nBF＝x+NE−1n（FH﹣nx）＝2x=2n+1AB；
综上所述：当点F在射线BC上时，AE+1nBF=2n+1AB，当点F在CB延长线上时，AE−1nBF=2n+1AB；
（3）如图，连接CD，CM，DM，

∵EF的中点为M，∠ACB＝∠EDF＝90°，
∴CM＝DM=12EF，
∴点M在线段CD的垂直平分线上运动，
如图，当点E'与点A重合时，点F'在BC的延长线上，
当点E'与点C重合时，点F″在CB的延长线上，
过点M'作M'R⊥F'C于R，

∴M'R∥AC，
∴M′RAC=M′F′AF′=12=F′RF′C，
∴M'R＝1，F'R＝CR，
设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，
∴AD=2x，BD=2nx，
∴AB=2（n+1）x＝22，
∴x=21+n，
∵F'D＝BD=2nx，
∴F'B＝2nx，
∴CF'＝2nx﹣2，
∴CR＝nx﹣1=2n1+n−1=n−11+n，
由（2）可得：CD=DN2+CN2=x•1+n2，DF″＝nDE″＝nx•1+n2，
∴CF″＝（1+n2）x，
∴CM″=(1+n2)x2=(1+n2)⋅21+n2=1+n21+n，
∴RM″＝n，
∴M″M'=1+n2，
∴点M运动的路径长为1+n2．
【点评】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
23．（2023•重庆）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，E沿折线A→B→C方向运动，F沿折线A→C→B方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为t秒，点E，F的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出点E，F相距3个单位长度时t的值．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；应用意识．
【分析】（1）根据动点E、F运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可；
（2）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，然后写出这个函数的其中一条性质即可；
（3）根据两个函数关系式分别求出当y＝3时的t值即可解决问题．
【解答】解：（1）当点E、F分别在AB、AC上运动时，△AEF为边长等于t的等边三角形，
∴点E，F的距离等于AE、AF的长，
∴当0＜t≤4时，y关于t的函数表达式为y＝t，
当点E、F都在BC上运动时，点E，F的距离等于4﹣2（t﹣4），
∴当4＜t≤6时，y关于t的函数表达式为y＝4﹣2（t﹣4）＝12﹣2t，
∴y关于t的函数表达式为y=t(0＜t≤4)y=−2t+12(4＜t≤6)；
（2）由（1）中得到的函数表达式可知：当t＝0时，y＝0；当t＝4时，y＝4；当t＝6时，y＝0，
分别描出三个点（0，0），（4，4）（6，0），然后顺次连线，如图：

根据函数图象可知这个函数的其中一条性质：当0＜t≤4时，y随t的增大而增大．（答案不唯一，正确即可）
（3）把y＝3分别代入y＝t和y＝12﹣2t中，得：
3＝t，3＝12﹣2t，
解得：t＝3或t＝4.5，
∴点E，F相距3个单位长度时t的值为3或4.5．
【点评】本题是一道三角形综合题，主要考查等边三角形的性质、一次函数的图象和性质，以及一次函数的应用，深入理解题意是解决问题的关键．
24．（2023•泸州）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】由平行线的性质可得∠A＝∠EBC，由“AAS”可证△ABD≌△BEC，可得BD＝EC．
【解答】证明：∵BD∥CE，
∴∠ABD＝∠C，
在△ABD和△ECB中，
AB=EC，∠ABD=∠C，DB=BC，
∴△ABD≌△ECB（SAS），
∴AD＝EB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到平行线的性质，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键．
25．（2023•重庆）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．

【考点】三角形综合题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）根据动点E、F运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可；
（2）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，再根据图象写出函数的一个性质即可；
（3）根据两个函数关系式分别求出当y＝3时的t值即可解决问题．
【解答】解：（1）当点E、F分别在AB、AC上运动时，△AEF为边长等于t的等边三角形，
∴点E，F的距离等于AE、AF的长，
∴当0≤t≤4时，y关于t的函数表达式为y＝t，
当点E、F都在BC上运动时，点E，F的距离等于4﹣2（t﹣4），
∴当4＜t≤6时，y关于t的函数表达式为y＝4﹣2（t﹣4）＝12﹣2t，
∴y关于t的函数表达式为y=t(0≤t≤4)y=−2t+12(4＜t≤6)；
（2）由（1）中得到的函数表达式可知：当t＝0时，y＝0；当t＝4时，y＝4；当t＝6时，y＝0，
分别描出三个点（0，0），（4，4），（6，0），然后顺次连线，如图：

该函数的其中一个性质：当0≤t≤4时，y随t的增大而增大．（答案不唯一，正确即可）
（3）把y＝3分别代入y＝t和y＝12﹣2t中，得：
3＝t，3＝12﹣2t，
解得：t＝3或t＝4.5，
∴点E，F相距3个单位长度时t的值为3或4.5．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查等边三角形的性质、一次函数的图象和性质，以及一次函数的应用，深入理解题意是解决问题的关键．

考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
3．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
4．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
5．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
6．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
7．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
8．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
9．三角形综合题
三角形综合题．
10．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

11．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=12； cos30°=32；tan30°=33；
sin45°=22；cos45°=22；tan45°＝1；
sin60°=32；cos60°=12； tan60°=3；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
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