中考数学二轮精品专题复习 三角形(填空题)

这是一份中考数学二轮精品专题复习 三角形(填空题)，共51页。试卷主要包含了《九章算术》中提出了如下问题等内容，欢迎下载使用。

2023年中考数学真题知识点汇编之《三角形(填空题)》
一．填空题（共35小题）
1．（2023•徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 　 　（写出一个即可）．
2．（2023•徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝　 　°．

3．（2023•辽宁）如图，线段AB＝8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，连接CD，在AB的上方作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，∠E＝30°，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，△BCD的面积为 　 　．

4．（2023•通辽）如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动 　 　s．

5．（2023•湖北）如图，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，点E在△ABC内，BE＞AE，连接DF交AE于点G，DE交AB于点H，连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA＝∠EBC；②∠BHE＝∠EGF；③AB＝DF；④AD＝CF．其中所有正确结论的序号是 　 　．

6．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 　 　km．
7．（2023•菏泽）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为 　 　．

8．（2023•武汉）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是 　 　．
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9．（2023•无锡）《九章算术》中提出了如下问题：今有产不加高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 　 　．
10．（2023•济宁）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，tan∠EAC=13，则BD＝　 　．
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11．（2023•吉林）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 　 　．
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12．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为 　 　度．

13．（2023•荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝　 　．

14．（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝　 　．

15．（2023•十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝　 　．

16．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝　 　．

17．（2023•株洲）如图所示，点A、B、C是O上不同的三点，点O在△ABC的内部，连接BO、CO，并延长线段BO交线段AC于点D．若∠A＝60°，∠OCD＝40°，则∠ODC＝　 　度．

18．（2023•安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD=12（BC+AB2−AC2BC）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝　 　．

19．（2023•江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 　 　cm．

20．（2023•株洲）《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣=12矩，1欘＝112宣（其中，1矩＝90°）．
问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝　 　度．
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21．（2023•金华）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为 　 　cm．

22．（2023•湖北）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则b2a2+a2b2=　 　．

23．（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 　 　．

24．（2023•山西）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为 　 　．

25．（2023•台州）如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b，CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c．
（1）若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为 　 　；
（2）若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 　 　．

26．（2023•苏州）如图，∠BAC＝90°，AB＝AC＝32，过点C作CD⊥BC，延长CB到E，使BE=13CD，连接AE，ED．若ED＝2AE，则BE＝　 　．（结果保留根号）

27．（2023•新疆）如图，在△ABC 中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，则∠C＝　 　°．

28．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 　 　．

29．（2023•遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是 　 　三角形．
30．（2023•遂宁）如图，以△ABC的边AB、AC为腰分别向外作等腰直角△ABE、△ACD，连结ED、BD、EC，过点A的直线l分别交线段DE、BC于点M、N．以下说法：①当AB＝AC＝BC时，∠AED＝30°；②EC＝BD；③若AB＝3，AC＝4，BC＝6，则DE＝23；④当直线l⊥BC时，点M为线段DE的中点．正确的有 　 　．（填序号）

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31．（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 　 　cm．（杯壁厚度不计）

32．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是 　 　．

33．（2023•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为 　 　．

34．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是 　 　．

35．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 　 　．


2023年中考数学真题知识点汇编之《三角形(填空题)》
参考答案与试题解析
一．填空题（共35小题）
1．（2023•徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 　3或4或5或6或7（答案不唯一）　（写出一个即可）．
【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形两边之和大于第三边确定第三边的范围，根据题意计算即可．
【解答】解：设三角形的第三边长为x，
则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，
∵第三边的长为整数，
∴x＝3或4或5或6或7．
故答案为：3或4或5或6或7（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
2．（2023•徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝　55　°．

【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【分析】根据平行线的性质以及平行四边形的判定和性质进行计算即可．
【解答】解：如图，过点F作FH∥BC交AC于点H，
∵DE∥BC，
∴DE∥FH，
∴∠FDE+∠DFH＝180°，
∵∠FDE＝120°，
∴∠DFH＝180°﹣120°＝60°，
∵∠DFG＝115°，
∴∠GFH＝115°﹣60°＝55°，
∵FG∥HC，FH∥CG，
∴四边形CGFH是平行四边形，
∴∠C＝∠GFH＝55°，
故答案为：55．

【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理以及平行四边形的判定和性质，掌握平行线的性质，平行四边形的性质和判定是正确解答的前提．
3．（2023•辽宁）如图，线段AB＝8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到线段BD，连接CD，在AB的上方作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，∠E＝30°，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，△BCD的面积为 　3　．

【考点】三角形的面积；含30度角的直角三角形；旋转的性质；二次函数的最值．菁优网版权所有
【专题】动点型；转化思想；推理能力；应用意识．
【分析】连接CF，证明ACF为直角三角形，根据勾股定理列出AF2＝CF2+AC2，设BC＝x，则AC＝8﹣x，建立关于x的二次函数关系式，求出x＝2时，AF最小，再求出顶角是120°的三角形BCD的面积即可．
【解答】解：连接CF，则CF＝DF＝EF，
∵∠EDC＝90°﹣∠E＝60°，
∴∠FCD＝60°．
∵∠DCB=12（180°﹣120°）＝30°，
∴∠FCB＝∠FCD+∠DCB＝60°+30°＝90°，
∴△ACF是直角三角形．
设BC＝x，则AC＝8﹣x，BC＝BD＝x，CD＝CF=3x，由勾股定理得：
AF=AC2+FC2=(8−x)2+(3x)2=2(x−2)2+12．
当x＝2时，AF有最小值．
∴BC＝BD＝2，∠CBD＝120°，
∴S△BCD=12×2×2×32=3．
故答案为：3．

【点评】本题考查了旋转背景下的二次函数最值问题，顶角为120°的等腰三角形面积的计算，建立二次函数关系式是本题的突破口．
4．（2023•通辽）如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动 　1　s．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据等边三角形的性质得到角与边的等量关系，从而证明△BDP≌APQ，由此得到边之间的关系，进而求解．
【解答】解：设点P需移动t秒，点D落在BC边上，如图所示．
∵三角形PQD是等边三角形，
∴∠DPQ＝60°，
∴∠BPD＝180°﹣∠APQ﹣∠DPQ＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠BDP＝180°﹣∠B﹣∠BPD＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
∠AQP＝180°﹣∠APQ﹣∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
∵∠BDP＝∠APQ＝90°，DP＝PQ，∠BPD＝∠AQP＝30°，
∴△BDP≌△APQ（ASA）．
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，BD＝AP＝2t，
∵∠BPD＝30°，
∴BD=12BP，即2t=12（6﹣2t），
∴t＝1．
故答案为：1．

【点评】本题通过动点问题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质的运用．
5．（2023•湖北）如图，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，点E在△ABC内，BE＞AE，连接DF交AE于点G，DE交AB于点H，连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA＝∠EBC；②∠BHE＝∠EGF；③AB＝DF；④AD＝CF．其中所有正确结论的序号是 　①③④　．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由等腰直角三角形的性质可得出∠ABC＝∠DBE＝45°，可得出①正确；证明△BEA≌△DEF（SAS），由全等三角形的性质得出AB＝DF，可得出③正确；由直角三角形的性质可判断②不正确；证明四边形DFCA为平行四边形，由平行四边形的性质可得出DA＝CF，则可得出答案．
【解答】解：∵△BAC，△DEB都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠DBE＝45°，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，
∴∠EBC＝∠DBA，
故①正确；
∵△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，
∴BE＝DE，AE＝EF，∠BED＝∠AEF＝90°，
∴∠BEA＝∠DEF，
∴△BEA≌△DEF（SAS），
∴AB＝DF，∠ABE＝∠EDF，∠BAE＝∠DFE．
故③正确；
∵∠BEH＝∠GEF＝90°，
∴∠ABE+∠BHE＝90°，∠EGF+∠DFE＝90°，
∵BE＞AE，
∴∠ABE≠∠AEB，
∴∠ABE≠∠DFE，
∴∠BHE≠∠EGF；
∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAC＝45°，
又∵∠AFD+∠EFG＝45°，∠BAE＝∠DFE，
∴∠DFA＝∠FAC，
∴DF∥AC，
∵AB＝DF，AB＝AC，
∴DF＝AC，
∴四边形DFCA为平行四边形，
∴DA＝CF．
故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△BEA≌△DEF．
6．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 　50　km．
【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据题意可得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，从而可得∠DAB＝∠ABE＝60°，然后利用平角定义可得∠ABC＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：如图：

由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，
∴∠DAB＝∠ABE＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，
AC=AB2+BC2=302+402=50（km），
∴A，C两港之间的距离为50km，
故答案为：50．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键．
7．（2023•菏泽）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为 　29−2　．

【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，证得∠DFA＝90°，于是得到点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，据此解答即可．
【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，
∵∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠ADF＝∠BAE，
∴∠DFA＝∠ABE＝90°，
∴点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，
∵AD＝4，
∴AO=OF′=12AD=2，
∴BO=52+22=29，
∴线段BF的最小值为29−2，
故答案为：29−2．

【点评】本题考查了勾股定理，平行线的性质，圆周角定理，根据题意得到点F的运动轨迹是解题的关键．
8．（2023•武汉）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是 　m2+n2　．
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【考点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；列代数式．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，根据折叠的性质得到△BDE≌△FDE，根据已知条件得到图形ACED的面积＝S△BDE＝S△FDE，求得S△FHG＝S△ADG+S△CHE，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵折叠△BDE得到△FDE，
∴△BDE≌△FDE，
∴S△BDE＝S△FDE，∠F＝∠B＝60°＝∠A＝∠C，
∵DE平分等边△ABC的面积，
∴图形ACED的面积＝S△BDE＝S△FDE，
∴S△FHG＝S△ADG+S△CHE，
∵∠AGD＝∠FGH，∠CHE＝∠FHG，
∴△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，
∴S△ADGS△FHG=(DGGH)2=m2GH2，S△CHES△FHG=(EHGH)2=n2GH2，
∴S△ADGS△FHG+S△CHES△FHG=m2+n2GH2=S△ADG+S△CHES△FHG=1，
∴GH2＝m2+n2，
解得GH=m2+n2或GH=−m2+n2（不合题意舍去），
故答案为：m2+n2．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9．（2023•无锡）《九章算术》中提出了如下问题：今有产不加高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 　8尺　．
【考点】勾股定理的应用；数学常识．菁优网版权所有
【专题】应用题；运算能力．
【分析】利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可．
【解答】解：设竿长为x尺，则门宽为（x﹣4）尺，门高（x﹣2）尺，门对角线是x尺，根据勾股定理可得：
x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，
整理得：x2﹣12x+20＝0，
解得x＝2（舍去）或x＝10．
则门高：10﹣2＝8．
故答案为：8尺．
【点评】本题考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键．
10．（2023•济宁）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，tan∠EAC=13，则BD＝　3−3　．
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【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】三角形；几何直观．
【分析】过点A作AH⊥BC于H，根据等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，再由AH⊥BC，可得∠BAD+∠DAH＝30°，再 根据∠BAD+∠EAC＝30°，可得∠DAH＝∠EAC，从而可得tan∠DAH＝tan∠EAC=13，利用锐角三角函数求得AH＝ABsin60°＝33，再由DHAH=DH33=13，求得DH＝3−3，即可求得结果．
【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°，
∴AH⊥BC，
∴∠BAH=12∠BAC=30°，
∴∠BAD+∠DAH＝30°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠BAD+∠EAC＝30°，
∴∠DAH＝∠EAC，
∴tan∠DAH＝tan∠EAC=13，
∵BH=12AB＝3，
∵AH＝ABsin60°＝6×32=33，
∴DHAH=DH33=13，
∴DH=3，
∴BD＝BH﹣DH＝3−3，
故答案为：3−3．

【点评】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明∠DAH＝∠EAC是解题的关键．
11．（2023•吉林）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 　三角形具有稳定性　．
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【考点】三角形的稳定性．菁优网版权所有
【专题】三角形；应用意识．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：这样做的数学依据是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
12．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为 　55　度．

【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；尺规作图；推理能力．
【分析】根据尺规作图可得AE是BC的垂直平分线，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AE是∠BAC的角平分线，从而可求∠BAE得大小．
【解答】解：∵AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形，
∵分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．
∴AE垂直平分BC，
∴AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=12∠BAC＝55°．
故答案为：55°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和尺规作图，熟练掌握垂直平分线的作法是解题关键．
13．（2023•荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝　3　．

【考点】直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AB＝2CD＝10，根据勾股定理得到BC=AB2−AC2=6，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，
∴BC=AB2−AC2=6，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
14．（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝　5　．

【考点】直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由勾股定理可求解AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线可求解．
【解答】解：连接CM，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=AC2+BC2=10，
∵点M是AB的中点，
∴CM=12AB＝5．
故答案为：5．

【点评】本题主要考查由勾股定理，直角三角形斜边上的中线，求解AB的长是解题的关键．
15．（2023•十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝　100°　．

【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】由题意可得∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，由平角的定义可求得∠CAD＝85°，再由三角形的内角和可求得∠AGD＝50°，利用对顶角相等得∠CGF＝50°，再利用三角形的内角和即可求∠DFC．
【解答】解：如图，

由题意得：∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，
∵∠EAB＝35°，
∴∠CAD＝180°﹣∠EAB﹣∠BAC＝85°，
∴∠AGD＝180°﹣∠D﹣∠CAD＝50°，
∴∠CGF＝∠AGD＝50°，
∴∠DFC＝180°﹣∠C﹣∠CGF＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为180°．
16．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝　5　．

【考点】勾股定理；角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到CD＝DE，再通过HL证明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根据勾股定理可求出AB＝10，进而求出AE＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵∠C＝90°，
∴CD⊥BC，
∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
CD=DEBD=BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC＝BE＝6，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=82+62=10，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴AD＝8﹣x＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解二元一次方程，解题关键是正确作出辅助线，利用角平分线的性质和勾股定理解决问题．
17．（2023•株洲）如图所示，点A、B、C是O上不同的三点，点O在△ABC的内部，连接BO、CO，并延长线段BO交线段AC于点D．若∠A＝60°，∠OCD＝40°，则∠ODC＝　80　度．

【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【分析】根据圆周角定理求出∠BOC的读书，再根据三角形外角定理即可得出结论．
【解答】解：在⊙O中，∠BOC＝2∠A＝2×60°＝120°，
∴∠ODC＝∠BOC﹣∠OCD＝120°﹣40°＝80°．
故答案为：80．
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形外角定理，熟练掌握圆周角定理是本题的关键．
18．（2023•安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD=12（BC+AB2−AC2BC）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝　1　．

【考点】勾股定理的逆定理；三角形的面积．菁优网版权所有
【专题】新定义；运算能力．
【分析】根据BD=12（BC+AB2−AC2BC）和AB＝7，BC＝6，AC＝5，可以计算出BD的长，再根据BC的长，即可计算出CD的长．
【解答】解：∵BD=12（BC+AB2−AC2BC），AB＝7，BC＝6，AC＝5，
∴BD=12（6+72−526）＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查新定义、直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
19．（2023•江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 　2　cm．

【考点】含30度角的直角三角形；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】先由平行线的性质可得∠ACB的度数，根据等边三角形的判定和性质定理可得AB＝BC，则可得出AB的长．
【解答】解：∵直尺的两对边相互平行，
∴∠ACB＝∠α＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）．
故答案为：2．
【点评】此题主要是考查了等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形，平行线的性质，能够得出AB＝BC是解答此题的关键．
20．（2023•株洲）《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣=12矩，1欘＝112宣（其中，1矩＝90°）．
问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝　22.5　度．
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【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有
【专题】新定义；解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】根据题意可知：∠A＝90°，∠B＝67.5°，然后根据三角形内角和即可求得∠C的度数．
【解答】解：∵1宣=12矩，1欘＝112宣，1矩＝90°，∠A＝1矩，∠B＝1欘，
∴∠A＝90°，∠B＝112×12×90°＝67.5°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣∠B＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°，
故答案为：22.5．
【点评】本题考查勾股定理的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
21．（2023•金华）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为 　8　cm．

【考点】三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴CD是△AOB的中位线，
∴AB＝2CD，
∵CD＝4cm，
∴AB＝2CD＝8（cm），
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
22．（2023•湖北）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则b2a2+a2b2=　3　．

【考点】勾股定理的证明；三角形的面积．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】根据题意得出a2＝b2﹣ab，即b2a2−ba−1=0，解方程得到ba=5+12（负值舍去）代入进行计算即可得到结论．
【解答】解：∵图中AF＝a，DF＝b，
∴ED＝AF＝a，EH＝EF＝DF﹣DE＝b﹣a，
∵△ADE与△BEH的面积相等，
∴12DE⋅AF=12EH⋅BH，
∴12a2=12(b−a)⋅b，
∴a2＝b2﹣ab，
∴1＝（ba）2−ba，
∴b2a2−ba−1=0，
解得ba=5+12（负值舍去），
∴b2a2+a2b2=(5+12)2+(25+1)2=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的解法，根据题意得出关于ba的方程是解题的关键．
23．（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 　96　．

【考点】勾股定理的证明．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据勾股定理可知a2+b2＝c2，再根据b﹣a＝4，c＝20，即可得到a、b的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积．
【解答】解：由图可得，
a2+b2＝c2，
∴a2+b2=202b−a=4且a、b均大于0，
解得a=12b=16，
∴每个直角三角形的面积为12ab=12×12×16＝96，
故答案为：96．
【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值．
24．（2023•山西）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为 　973　．

【考点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，根据等腰三角形的性质得出BH＝HC=12BC＝3，根据勾股定理求出AH=AC2−CH2=4，证明∠CBD＝∠CED，得到DB＝DE，根据等腰三角形的性质得出CE＝BC＝6，证明CD∥AH，得到CDAH=CEHE，求出CD=83，根据勾股定理求出DE=CE2+CD2=62+(83)2=2973，根据CD∥AH，得到DEAD=CECH，即2973AD=63，求出结果即可．
【解答】解：过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，如图所示：
则∠AHC＝∠AHB＝90°，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BH＝HC=12BC＝3，
∴AH=AC2−CH2=4，
∵∠ADB＝∠CBD+∠CEH，∠ADB＝2∠CBD，
∴∠CBD＝∠CED，
∴DB＝DE，
∵∠BCD＝90°，
∴DC⊥BE，
∴CE＝BC＝6，
∴EH＝CE+CH＝9，
∵DC⊥BE，AH⊥BC，
∴CD∥AH，
∴△ECD∽△EHA，
∴CDAH=CEHE，
即CD4=69，
∴CD=83，
∴DE=CE2+CD2=62+(83)2=2973，
∵CD∥AH，
∴DEAD=CECH，
即2973AD=63，
解得AD=973．
故答案为：973．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．（2023•台州）如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b，CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c．
（1）若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为 　5a+5b＝7c　；
（2）若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 　a2+b2＝c2　．

【考点】三角形的面积．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【分析】（1）由△ADE和△CBF是等边三角形，可得△CDH和△ABG是等边三角形，DE∥BG，CF∥AG，即知EG＝AG﹣AE＝c﹣a，GF＝BG﹣BF＝c﹣b，根据四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，有2[（c﹣a）+（c﹣b）]＝3（a+b﹣c），故5a+5b＝7c；
（2）由S四边形EHFG＝S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH，四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，可得S△ABG＝S△BCF+S△ADE，即34c2=34a2+34b2，从而可得a2+b2＝c2．
【解答】解：（1）∵△ADE和△CBF是等边三角形，
∴∠A＝∠ADE＝∠B＝∠BCF＝60°，
∴△CDH和△ABG是等边三角形，DE∥BG，CF∥AG，
∴四边形EHFG是平行四边形，AB＝AG＝BG＝c，CH＝DH＝CD＝AD+BC﹣AB＝a+b﹣c，
∴EG＝AG﹣AE＝c﹣a，GF＝BG﹣BF＝c﹣b，
∵四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，
∴2[（c﹣a）+（c﹣b）]＝3（a+b﹣c），
整理得：5a+5b＝7c，
故答案为：5a+5b＝7c；
（2）∵S四边形EHFG＝S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH，四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，
∴S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH＝S△CDH，
∴S△ABG＝S△BCF+S△ADE，
∵△ABG，△ADE和△CBF是等边三角形，
∴34c2=34a2+34b2，
∴c2＝a2+b2，
故答案为：a2+b2＝c2．
【点评】本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是用含a，b，c的代数式表示相关线段的长度．
26．（2023•苏州）如图，∠BAC＝90°，AB＝AC＝32，过点C作CD⊥BC，延长CB到E，使BE=13CD，连接AE，ED．若ED＝2AE，则BE＝　1+7　．（结果保留根号）

【考点】等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】如图，过E作EQ⊥CA于点Q，设BE＝x，AE＝y，可得CD＝3x，DE＝2y，证明BC=2AB＝6，CE＝6+x，△CQE为等
腰直角三角形，QE＝CQ=22CE=22（6+x）＝32+22x，AQ=22x，由勾股定理可得：(2y)2=(6+x)2+(3x)2y2=(22x)2+(32+22x)2，再解方程组可得答案．
【解答】解：如图，过E作EQ⊥CA于点Q，

设BE＝x，AE＝y，
∵BE=13CD，ED＝2AE，
∴CD＝3x，DE＝2y，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝32，
∴BC=2AB＝6，CE＝6+x，△CQE为等腰直角三角形，
∴QE＝CQ=22CE=22（6+x）＝32+22x，
∴AQ=22x，
由勾股定理可得：(2y)2=(6+x)2+(3x)2y2=(22x)2+(32+22x)2，
整理得：x2﹣2x﹣6＝0，
解得：x＝1±7，
经检验x＝1−7不符合题意；
∴BE＝x＝1+7；
故答案为：1+7．
【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
27．（2023•新疆）如图，在△ABC 中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，则∠C＝　52　°．

【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】由等腰三角形的性质可知∠C＝∠B＝∠BAD，利用三角形内角和定理得出180°﹣2∠C＝24°+∠C，解得∠C＝52°．
【解答】解：∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝∠CAD+∠BAD，
∴180°﹣2∠C＝24°+∠C，
∴∠C＝52°，
故答案为：52．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
28．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 　3　．

【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝8，计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
又BC＝8，
∴EF＝8，
∵EC＝5，
∵CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
29．（2023•遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是 　直角　三角形．
【考点】三角形内角和定理；解一元一次方程．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；三角形；运算能力．
【分析】设这个三角形最小的内角是x°，则另外两内角的度数分别为2x°，3x°，利用三角形内角和是180°，可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，再将其代入3x°中即可得出结论．
【解答】解：设这个三角形最小的内角是x°，则另外两内角的度数分别为2x°，3x°，
根据题意得：x+2x+3x＝180，
解得：x＝30，
∴3x°＝3×30°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及解一元一次方程，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
30．（2023•遂宁）如图，以△ABC的边AB、AC为腰分别向外作等腰直角△ABE、△ACD，连结ED、BD、EC，过点A的直线l分别交线段DE、BC于点M、N．以下说法：①当AB＝AC＝BC时，∠AED＝30°；②EC＝BD；③若AB＝3，AC＝4，BC＝6，则DE＝23；④当直线l⊥BC时，点M为线段DE的中点．正确的有 　①②④　．（填序号）

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【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】由AB＝AC＝BC，得∠BAC＝60°，因为AE＝AB，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，所以AE＝AD，∠EAD＝120°，则∠AED＝∠ADE＝30°，可判断①正确；由∠CAD＝∠BAE＝90°，推导出∠CAE＝∠DAB，可证明△CAE≌△DAB，得EC＝BD，可判断②正确；设BD交AE于点G，交CE于点O，可证明∠EOB＝90°，则∠COD＝∠BOC＝∠DOE＝90°，可根据勾股定理推导出DE2+BC2＝BE2+CD2，可求得BE2＝AB2+AE2＝18，CD2＝AD2+AC2＝32，BC2＝36，则DE=14≠23，可判断③错误；当直线l⊥BC时，作EF∥AD交直线l于点F，连接DF，可证明△EAF≌△ABC，则EF＝AC＝AD，所以四边形ADFE是平行四边形，则M为线段DE的中点，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB＝AC＝BC，
∴∠BAC＝60°，
∵AE＝AB，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴AE＝AD，∠EAD＝360﹣60°﹣90°﹣90°＝120°，
∴∠AED＝∠ADE=12×（180°﹣120°）＝30°，
故①正确；
∵∠CAD＝∠BAE＝90°，
∴∠CAE＝∠DAB＝90°+∠DAE，
∴△CAE≌△DAB（SAS），
∴EC＝BD，
故②正确；
如图1，设BD交AE于点G，交CE于点O，
∵∠AEC＝∠ABD，∠OGE＝∠AGB，
∴∠AEC+∠OGE＝∠ABD+∠AGB＝90°，
∴∠EOB＝90°，
∴∠COD＝∠BOC＝∠DOE＝90°，
∴DE2+BC2＝OD2+OE2+OB2+OC2＝BE2+CD2，
∵AE＝AB＝3，AD＝AC＝4，BC＝6，
∴BE2＝AB2+AE2＝32+32＝18，CD2＝AD2+AC2＝42+42＝32，BC2＝62＝36，
∴DE=BE2+CD2−BC2=18+32−36=14≠23，
故③错误；
当直线l⊥BC时，如图2，作EF∥AD交直线l于点F，连接DF，
∵∠AEF+∠DAE＝180°，∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠AEF＝∠BAC，
∵∠ANB＝∠BAE＝90°，
∴∠EAF＝∠ABC＝90°﹣∠BAN，
∵EA＝AB，
∴△EAF≌△ABC（ASA），
∴EF＝AC＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴M为线段DE的中点，
故④正确，
故答案为：①②④．


【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等角的补角相等、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
31．（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 　10　cm．（杯壁厚度不计）

【考点】平面展开﹣最短路径问题．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【分析】将杯子侧面展开，建立B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知B′A的长度即为所求．
【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′，
连接B′A，则B′A即为最短距离，
B′A=B′D2+AD2=82+62=10（cm）．
故答案为：10．

【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
32．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是 　4　．

【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据等腰三角形的判定定理求出AD，再根据线段垂直平分线的性质求出DC．
【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，
∴AD＝AB＝4，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DC＝AD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
33．（2023•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为 　4　．

【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，在Rt△ABD中，根据勾股定理即可求出AD的长．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝5，BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD=AB2−BD2=52−32=4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，涉及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
34．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是 　1+3　．

【考点】等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】取AB的中点D，连接OD及DC，根据三角形的三边关系得到OC小于等于OD+DC，只有当O、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD，由等边三角形的边长为2，根据D为AB中点，得到BD为1，根据三线合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD，即为OC的最大值．
【解答】解：取AB中点D，连OD，DC，

∴OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，
∵△ABC为等边三角形，D为AB中点，
∴BD＝1，BC＝2，
∴CD=BC2−BD2=3，
∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD=12AB＝1，
∴OD+CD＝1+3，即OC的最大值为1+3．
故答案为：1+3．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，其中找出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键．
35．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 　3　．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】先证明△ABE≌△CAF（AAS），根据全等三角形的性质可得AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，进一步可得EF的长．
【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∴∠FAC＝∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
∠BEA=∠AFC∠ABE=∠FACAB=AC，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AF＝BE，AE＝CF，
∵BE＝4，CF＝1，
∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，
∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

考点卡片
1．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
2．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
3．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
4．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=−b2a时，y=4ac−b24a．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
5．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
6．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
7．三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
8．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
9．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
10．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
11．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
12．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

13．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
14．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
15．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
16．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
17．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
18．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
19．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
20．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
21．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
22．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
23．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
24．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
25．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE=12BC．

26．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
27．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
28．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
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