中考数学二轮精品专题复习 三角形(选择题)

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2023年中考数学真题知识点汇编之《三角形(选择题)》
一．选择题（共33小题）
1．（2023•北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：
①a+b＜c；
②a+b＞a2+b2；
③2（a+b）＞c．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（　　）

A．4m B．6m C．10m D．12m
3．（2023•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是（　　）

A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16
4．（2023•无锡）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝30°，∠ADC＝60°，BC＝CD＝2，若线段MN在边AD上运动，且MN＝1，则BM2+2BN2的最小值是（　　）

A．132 B．293 C．394 D．10
5．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则BD的长是（　　）

A．5 B．6 C．655 D．364
6．（2023•内蒙古）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（　　）

A．32° B．58° C．74° D．75°
7．（2023•长春）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　）

A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
8．（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
9．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2+2a−b−3+|c﹣32|＝0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
10．（2023•济宁）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　）

A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α
11．（2023•福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　）
A．1 B．5 C．7 D．9
12．（2023•聊城）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为（　　）

A．65° B．75° C．85° D．95°
13．（2023•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸．则BC的长是（　　）

A．674寸 B．25寸 C．24寸 D．7寸
14．（2023•河北）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝（　　）
A．30° B．n°
C．n°或180°﹣n° D．30°或150°
15．（2023•陕西）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（　　）

A．132 B．7 C．152 D．8
16．（2023•滨州）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（　　）
A．14° B．16° C．24° D．26°
17．（2023•河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
18．（2023•金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（　　）
A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm
19．（2023•衡阳）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cm
C．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm
20．（2023•乐山）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sinθ＝​（　　）

A．45 B．35 C．4 D．15
21．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　）
​

A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
22．（2023•扬州）在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是锐角三角形，则满足条件的BC长可以是（　　）
A．1 B．2 C．6 D．8
23．（2023•天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6
24．（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
25．（2023•怀化）下列说法错误的是（　　）
A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件
B．一元二次方程x2+x+3＝0有两个相等的实数根
C．任意多边形的外角和等于360°
D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心
26．（2023•巴中）如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC＝1：2，则四边形DFEG的面积为（　　）

A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
27．如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F．若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（　　）

A．12 B．14 C．18 D．24
28．（2023•云南）如图，A、B两点被池塘隔开，A、B、C三点不共线．设AC、BC的中点分别为M、N．若MN＝3米，则AB＝（　　）

A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
29．（2023•眉山）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（　　）

A．70° B．100° C．110° D．140°
30．（2023•丽水）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝1，则CE的长是（　　）

A．2 B．22 C．2 D．1
31．（2023•凉山州）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　　）

A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
32．（2023•泸州）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a=12（m2﹣n2），b＝mn，c=12（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
33．（2023•台湾）如图，△ABC中，D点在BC上，且BD的中垂线与AB相交于E点，CD的中垂线与AC相交于F点，已知△ABC的三个内角皆不相等，根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确（　　）

A．∠1＝∠3，∠2＝∠4 B．∠1＝∠3，∠2≠∠4
C．∠1≠∠3，∠2＝∠4 D．∠1≠∠3，∠2≠∠4

2023年中考数学真题知识点汇编之《三角形(选择题)》
参考答案与试题解析
一．选择题（共33小题）
1．（2023•北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：
①a+b＜c；
②a+b＞a2+b2；
③2（a+b）＞c．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【分析】①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；
②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；
③将c用a和b表示出来，再进行比较．
【解答】解：①过点D作DF∥AC，交AE于点F；过点B作BG⊥FD，交FD于点G．
∵DF∥AC，AC⊥AE，
∴DF⊥AE．
又∵BG⊥FD，
∴BG∥AE，
∴四边形ABGF为矩形．
同理可得，四边形BCDG也为矩形．
∴FD＝FG+GD＝a+b．
∴在Rt△EFD中，斜边c＞直角边a+b．
故①正确．
②∵△EAB≌△BCD，
∴AE＝BC＝b，
∴在Rt△EAB中，BE=AB2+AE2=a2+b2．
∵AB+AE＞BE，
∴a+b＞a2+b2．
故②正确．
③∵△EAB≌△BCD，
∴∠AEB＝∠CBD，
又∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CBD+∠ABE＝90°，
∴∠EBD＝90°．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE＝45°，
∴BE=a2+b2=c•sin45°=22c．
∴c=2a2+b2．
∵[2(a+b)]2=2（a2+2ab+b2）＝2（a2+b2）+4ab＞2（a2+b2），
∴2(a+b)＞2(a2+b2)，
∴2(a+b)＞c．
故③正确．
故选：D．

【点评】本题考查全等三角形的性质．虽然是选择题，但计算量不小，比较繁琐，需要细心、耐心．
2．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（　　）

A．4m B．6m C．10m D．12m
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】作AD⊥BC于点 D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B＝∠C=12（180°﹣∠BAC）＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，

在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C=12（180°﹣∠BAC）＝30°，
又∵AD⊥BC，
∴AD=12AB=12×12＝6（m），
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题关键是掌握30度角所对的直角边是斜边的一半．
3．（2023•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是（　　）

A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16
【考点】直角三角形斜边上的中线；平移的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．
【分析】先论证四边形CFDE是平行四边形，再分别求出CF，CD，DF，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求出即可．
【解答】解：由平移的性质可知DF∥CE，DF＝CE，
∴四边形CFDE是平行四边形，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC=AB2−BC2=102−62=8，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，点F是AB的中点，
∴CF=12AB＝5，
∵DF∥CE，点F是AB的中点，
∴ADAC=AFAB=12，∠CDF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴点D是AC的中点，
∴CD=12AC＝4，
∵点F是AB的中点，点D是AC的中点，
∴DF是Rt△ABC的中位线，
∴DF=12BC＝3，
∴四边形CFDE的周长为2（DF+CF）＝2×（5+3）＝16，
四边形CFDE的面积为DF•CD＝3×4＝12．
故选：C．

【点评】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理等知识，推到四边形FDE是平行四边形和DF是Rt△ABC的中位线是解决问题的关键．
4．（2023•无锡）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝30°，∠ADC＝60°，BC＝CD＝2，若线段MN在边AD上运动，且MN＝1，则BM2+2BN2的最小值是（　　）

A．132 B．293 C．394 D．10
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】过B作BF⊥AD于F，过C作CE⊥AD于E，根据直角三角形的性质得到CE=32CD=3，求得BF=CE=3，要使BM2+2BN2的值最小，则BM和BN越小越好，MN显然在点B的上方（中间位置时），设MF＝x，FN＝1﹣x，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：过B作BF⊥AD于F，过C作CE⊥AD于E，
∵∠D＝60°，CD＝2，
∴CE=32CD=3，
∵AD∥BC，
∴BF=CE=3，
要使BM2+2BN2的值最小，则BM和BN越小越好，
∴MN显然在点B的上方（中间位置时），
设MF＝x，FN＝1﹣x，
∴BM2+2BN2＝BF2+FM2+2（BF2+FN2）＝x2+3+2[（1﹣x）2+3]＝3x2﹣4x+11＝3（x−23）2+293，
∴当x=23时，BM2+2BN2的最小值是293．
故选：B．

【点评】本题考查了搞定了，矩形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
5．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则BD的长是（　　）

A．5 B．6 C．655 D．364
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【分析】根据勾股定理得到AC=AB2+BC2=5，求得△ABC的周长＝3+4+5＝12，得到AD＝3，CD＝2，过D作DE⊥BC于E，根据相似三角形的性质得到DE=65，CE=85，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC=AB2+BC2=5，
∴△ABC的周长＝3+4+5＝12，
∵BD平分△ABC的周长，
∴AB+AD＝BC+CD＝6，
∴AD＝3，CD＝2，
过D作DE⊥BC于E，
∴AB∥DE，
∴△CDE∽△CAB，
∴DEAB=CDAC=CECB，
∴DE3=25=CE4，
∴DE=65，CE=85，
∴BE=125，
∴BD=BE2+DE2=(125)2+(65)2=655，
故选：C．

【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
6．（2023•内蒙古）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（　　）

A．32° B．58° C．74° D．75°
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】由CA＝CB可得△ABC是等腰三角形，从而可求∠CBA的大小，再结合平行线的性质即可解答．
【解答】解：∵CA＝CB，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠CBA＝∠CAB＝（180°﹣32°）÷2＝74°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠CBA＝74°．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握性质是解题关键．
7．（2023•长春）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　）

A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据点O为AA'、BB'的中点得出OA＝OA'，OB＝OB'，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠A'OB'，从而证得△AOB和△A'OB'全等，于是有AB＝A'B'，问题得证．
【解答】解：∵点O为AA'、BB'的中点，
∴OA＝OA'，OB＝OB'，
由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，
在△AOB和△A'OB'中，
OA=OA′∠AOB=∠A′OB′OB=OB′，
∴△AOB≌△A'OB'（SAS），
∴AB＝A'B'，
即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
8．（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】根据三角形的三边关系分别判断即可．
【解答】解：∵1+3＝4，
∴1，3，4不能组成三角形，
故A选项不符合题意；
∵2+2＜7，
∴2，2，7不能组成三角形，
故B不符合题意；
∵4+5＞7，
∴4，5，7能组成三角形，
故C符合题意；
∵3+3＝6，
∴3，3，6不能组成三角形，
故D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
9．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2+2a−b−3+|c﹣32|＝0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【考点】等腰三角形的判定；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由 a2+b2＝c2 的关系，可推导得到△ABC为直角三角形．
【解答】解：由题意得a−b=02a−b−3=0c−32=0，

解得a=3b=3c=32，
∵a2+b2＝c2，且a＝b，
∴△ABC为等腰直角三角形，
故选：D．
【点评】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负 数均为0，和勾股定理逆定理．
10．（2023•济宁）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　）

A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】过B点作BG∥CD，连接EG，根据平行线的性质得出∠ABG＝∠CFB＝α．根据勾股定理求出BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，那么BG2+BE2＝EG2，根据勾股定理的逆定理得出∠GBE＝90°，进而求出∠ABE的度数．
【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG，
∵BG∥CD，
∴∠ABG＝∠CFB＝α．
∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，
∴BG2+BE2＝EG2，
∴△BEG是直角三角形，
∴∠GBE＝90°，
∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．
故选：C．

【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，平行线的性质，准确作出辅助线是解题的关键．
11．（2023•福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　）
A．1 B．5 C．7 D．9
【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形的三边关系定理得出4﹣3＜m＜4+3，求出即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系定理得：4﹣3＜m＜4+3，
解得：1＜m＜7，
即符合的只有5，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形的三边关系定理的内容是解此题的关键．
12．（2023•聊城）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为（　　）

A．65° B．75° C．85° D．95°
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【分析】由平行线的性质可求∠ADC得度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
【解答】解：∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠EBC＝80°，
∵∠CAD+∠ADC+∠ACB＝180°，∠CAD＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣25°﹣80°＝75°，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质及三角形内角和定理是解题的关键．
13．（2023•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸．则BC的长是（　　）

A．674寸 B．25寸 C．24寸 D．7寸
【考点】勾股定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】首先根据直径所对的圆周角是直角得∠BCD＝90°，然后再Rt△BCD中利用勾股定理即可求出BC的长．
【解答】解：依题意得：BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
在Rt△BCD中，BD＝25寸，CD＝7寸，
由勾股定理得：BC=BD2−CD2=252−72=24．
∴BC的长为24寸．
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理的应用，解答此题的关键是理解直径所对的圆周角是直角．
14．（2023•河北）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝（　　）
A．30° B．n°
C．n°或180°﹣n° D．30°或150°
【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】分两种情况讨论，当BC＝B′C′时，则△ABC≌△A′B′C′，得出∠C′＝∠C＝n°，当BC≠B′C′时，如图，利用等腰三角形的性质求得∠A′C″C′＝∠C′＝n°，从而求得∠A′C″B′＝180°﹣n°．
【解答】解：当BC＝B′C′时，△ABC≌△A′B′C′（SSS），
∴∠C′＝∠C＝n°，
当BC≠B′C′时，如图，
∵A′C′＝A′C″，
∴∠A′C″C′＝∠C′＝n°，
∴∠A′C″B′＝180°﹣n°，
∴∠C′＝n°或180°﹣n°，
故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键．
15．（2023•陕西）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（　　）

A．132 B．7 C．152 D．8
【考点】三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；图形的相似；推理能力．
【分析】根据三角形中中位线定理证得DE∥BC，求出DE，进而证得△DEF∽BMF，根据相似三角形的性质求出BM，即可求出结论．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC=12×6＝3，
∴△DEF∽BMF，
∴DEBM=DFBF=2BFBF=2，
∴BM=32，
CM＝BC+BM=152．
故选：C．

【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
16．（2023•滨州）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（　　）
A．14° B．16° C．24° D．26°
【考点】等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【分析】过点P作PD∥AB交AC于点D，过点PE∥AC交AB于点E，四边形AEPD为平行四边形，根据平行线的性质易得△CDP为等边三角形，△BEP为等边三角形，则CP＝DP＝AE，BP＝EP，因此△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形，求出△AEP的三个内角即可求解．
【解答】解：如图，过点P作PD∥AB交AC于点D，过点PE∥AC交AB于点E，

则四边形AEPD为平行四边形，
∴DP＝AE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵PD∥AB，
∴∠CPD＝∠B＝60°，∠CDP＝∠BAC＝60°，
∴△CDP为等边三角形，
∴CP＝DP＝CD，
∴CP＝DP＝AE，
∵PE∥AC，
∴∠BEP＝∠BAC＝60°，∠BPE＝∠C＝60°，
∴△BEP为等边三角形，
∴BP＝EP＝BE，
∴△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形，
∵∠APC＝104°，
∴∠APB＝180°﹣∠APC＝76°，
∴∠APE＝∠APB﹣∠BPE＝16°，
∠PAE＝∠APC﹣∠B＝44°，
∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，
∴以线段AP，BP，CP为边的三角形的三个内角分别为16°、44°、120°，
∴最小内角的大小为16°．
故选：B．
【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、三角形外角性质，根据题意正确画出图形，推理论证得到△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形是解题关键．
17．（2023•河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】分两种情况，由三角形的三边关系定理：三角形两边的和大于第三边，即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，
∴AB＝AC或AC＝BC，
当AC＝BC＝4时，AD+CD＝AC＝4，此时不满足三角形三边关系定理，
当AC＝AB＝3时．满足三角形三边关系定理，
∴AC＝3．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，关键是掌握三角形的三边关系定理．
18．（2023•金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（　　）
A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm
【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】首先设第三条线段长为xcm，再利用三角形的三边关系可得x的范围，然后可得答案．
【解答】解：设第三条线段长为xcm，由题意得：
8﹣6＜x＜8+6，
解得：2＜x＜14，
只有13cm适合，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
19．（2023•衡阳）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cm
C．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm
【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据两边之和大于第三边判断即可．
【解答】解：A、∵1+2＝3，
∴长度为1cm，2cm，3cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵3+5＝8，
∴长度为3cm，8cm，5cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵4+5＜10，
∴长度为4cm，5cm，10cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
D、∵4+5＞6，
∴长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
20．（2023•乐山）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sinθ＝​（　　）

A．45 B．35 C．4 D．15
【考点】勾股定理的证明；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以求出斜边各边的长，然后即可计算出sinθ的值．
【解答】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，
由题意可得：c2＝25，b﹣a=1=1，a2+b2＝c2，
解得a＝3，b＝4，c＝5，
∴sinθ=bc=45，
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出各边的长．
21．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　）
​

A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
【考点】直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；应用意识．
【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．
【解答】解：由图可得，
∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，
∴CD=12AB＝3cm，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（2023•扬州）在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是锐角三角形，则满足条件的BC长可以是（　　）
A．1 B．2 C．6 D．8
【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】三角形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】作△ABC的高AD、CE．根据锐角三角形的三条高均在三角形的内部得出BC＞BD，AB＞BE．解直角三角形求出2＜BC＜8，即可求解．
【解答】解：如图，作△ABC的高AD、CE．

∵△ABC是锐角三角形，
∴AD、CE在△ABC的内部，即BC＞BD，AB＞BE．
∵在直角△ABD中，∠B＝60°，AB＝4，
∴BD＝AB•cosB＝4×12=2，
∴BC＞2；
又∵BC=BEcosB＜ABcosB=412=8，
∴2＜BC＜8，
∴综观各选项，BC可以为6．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的高，三角形的三边关系，得出BC的范围是解题的关键．
23．（2023•天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6
【考点】勾股定理；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AC＝2AE＝8，DA＝DC，从而可得∠DAC＝∠C，再结合已知易得BD＝AD，从而可得∠B＝∠BAD，然后利用三角形内角和定理可得∠BAC＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：MN是AC的垂直平分线，
∴AC＝2AE＝8，DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵BD＝CD，
∴BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°，
∴2∠BAD+2∠DAC＝180°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10，
∴AB=BC2−AC2=102−82=6，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
24．（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【考点】等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，根据等边三角形三线合一可得∠CBD＝30°，再根据作图可知BD＝ED，进一步可得∠DEC的度数．
【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD=12∠ABC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠DEC＝∠CBD＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
25．（2023•怀化）下列说法错误的是（　　）
A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件
B．一元二次方程x2+x+3＝0有两个相等的实数根
C．任意多边形的外角和等于360°
D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心
【考点】三角形的重心；随机事件；根的判别式；三角形的角平分线、中线和高．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；概率及其应用；三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】根据随机事件的定义可以判断A；根据根的判别式可以判断B；根据任意多边形的外角和都是360°可以判断C；根据三角形重心的定义可以判断D．
【解答】解：成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，故选项A正确，不符合题意；
∵一元二次方程x2+x+3＝0，
∴Δ＝12﹣4×1×3＝﹣11＜0，
∴一元二次方程x2+x+3＝0无实数根，故选项B错误，符合题意；
任意多边形的外角和等于360°，故选项C正确，不符合题意；
三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查三角形的重心、根的判别式、多边形的外角和、随机事件，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．
26．（2023•巴中）如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC＝1：2，则四边形DFEG的面积为（　　）

A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
【考点】三角形的重心；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力．
【分析】连接DE，由D、E分别为AC、BC中点，可得DE=12AB＝3cm，DE∥AB，即得△DEF∽△BAF，故S△DEFS△ABF=（DEAB）2=14，EFAF=DEAB=12，可得S△ABF=23S△ABE=23×12AB•BE＝8（cm2），故S△DEF=14S△ABF＝2（cm2），又S△DEC=12DE•CE＝6（cm2），DG：GC＝1：2，可得S△DEG=13S△DEC＝2（cm2），从而S四边形DFGE＝S△DEF+S△DEG＝4（cm2），
【解答】解：连接DE，如图：

∵D、E分别为AC、BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB＝3cm，DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴S△DEFS△ABF=（DEAB）2=14，EFAF=DEAB=12，
∴S△BEFS△ABF=EFAF=12，
∴S△ABF=23S△ABE=23×12AB•BE=23×12×6×12×8＝8（cm2），
∴S△DEF=14S△ABF＝2（cm2），
∵S△DEC=12DE•CE=12×3×4＝6（cm2），DG：GC＝1：2，
∴S△DEG=13S△DEC＝2（cm2），
∴S四边形DFGE＝S△DEF+S△DEG＝4（cm2），
∴四边形DFEG的面积为4cm2，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形判定与性质，三角形中位线及应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质及应用．
27．如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F．若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（　　）

A．12 B．14 C．18 D．24
【考点】三角形的重心；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【分析】连接BD，根据三角形重心的性质可知：P在BD上，由三角形中线平分三角形的面积可知：S△ABC＝2S△BDC，证明△DFP∽△BEP和△BEP∽△BCD，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．
【解答】解：如图，连接BD．
∵点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，
∴P在BD上，S△ABC＝2S△BDC，
∴BP：PD＝2：1，
∵DF∥BC，
∴△DFP∽△BEP，
∴S△DFPS△BEP=14，
∵EF∥AC，
∴△BEP∽△BCD，
∴S△BEPS△BCD=（BPBD）2＝（23）2=49，
设△DFP的面积为m，则△BEP的面积为4m，△BCD的面积为9m，
∵四边形CDFE的面积为6，
∴m+9m﹣4m＝6，
∴m＝1，
∴△BCD的面积为9，
∴△ABC的面积是18．
故选：C．

【点评】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
28．（2023•云南）如图，A、B两点被池塘隔开，A、B、C三点不共线．设AC、BC的中点分别为M、N．若MN＝3米，则AB＝（　　）

A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
【考点】三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵点M，N分别是AC和BC的中点，
∴AB＝2MN＝6（m），
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
29．（2023•眉山）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（　　）

A．70° B．100° C．110° D．140°
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据等边对等角得到∠B＝∠ACB，利用三角形内角和定理求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝∠ACB=180°−∠A2=180°−40°2=70°，
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质：等边对等角．
30．（2023•丽水）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝1，则CE的长是（　　）

A．2 B．22 C．2 D．1
【考点】等腰直角三角形；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作GH⊥BC于H，交AD的延长线于G，则∠AFB＝∠CHE＝90°，证明四边形AFHG是正方形，则AG＝GH，再证明△CHE和△DGE是等腰直角三角形，则DG＝EG，CH＝EH，最后根据勾股定理可得结论．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作GH⊥BC于H，交AD的延长线于G，则∠AFB＝∠CHE＝90°，
∴AF∥GH，
∵AD∥BC，∠AFH＝90°，
∴四边形AFHG是矩形，
∴∠G＝∠AFH＝∠FHG＝∠FAG＝90°，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°，
∵∠FAG＝∠BAE，
∴∠BAF＝∠EAG，
∵∠AFB＝∠G＝90°，
∴△AFB≌△AGE（AAS），
∴AF＝AG，
∴矩形AFHG是正方形，
∴AG＝GH，
∵AG∥BC，
∴∠C＝∠EDG＝45°，
∴△CHE和△DGE是等腰直角三角形，
∴DG＝EG，CH＝EH，
∴AD＝EH＝1，
∴CH＝1，
由勾股定理得：CE=12+12=2．
解法二：如图2，过点E作EF⊥CD，交BC于F，

∵∠C＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF＝CE，∠CFE＝45°，
∴∠BFE＝180°﹣45°＝135°，
∵∠CFE＝∠FBE+∠BEF＝45°，∠AED+∠BEF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠AED＝∠FBE，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AEBE=12，
∵AD∥BC，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣45°＝135°，
∴∠D＝∠BFE，
∴△ADE∽△EFB，
∴ADEF=AEBE=12，
∵AD＝1，
∴EF=2，
∴CE＝EF=2．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，矩形和正方形的性质和判定等知识，正确作辅助线构建△AFB和△AGE全等是解本题的关键．
31．（2023•凉山州）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　　）

A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
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【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】根据BE＝CF求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；
当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；
当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；
当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
32．（2023•泸州）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a=12（m2﹣n2），b＝mn，c=12（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
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【专题】整式；三角形；运算能力．
【分析】根据题目要求逐一代入符合条件的m，n进行验证、辨别．
【解答】解：∵当m＝3，n＝1时，
a=12（m2﹣n2）=12（32﹣12）＝4，b＝mn＝3×1＝3，c=12（m2+n2）=12×（32+12）＝5，
∴选项A不符合题意；
∵当m＝5，n＝1时，
a=12（m2﹣n2）=12（52﹣12）＝12，b＝mn＝5×1＝5，c=12（m2+n2）=12×（52+12）＝13，
∴选项B不符合题意；
∵当m＝7，n＝1时，
a=12（m2﹣n2）=12（72﹣12）＝24，b＝mn＝7×1＝7，c=12（m2+n2）=12×（72+12）＝25，
∴选项D不符合题意；
∵没有符合条件的m，n使a，b，c各为6，8，10，
∴选项C符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了整式乘法运算和勾股数的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
33．（2023•台湾）如图，△ABC中，D点在BC上，且BD的中垂线与AB相交于E点，CD的中垂线与AC相交于F点，已知△ABC的三个内角皆不相等，根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确（　　）

A．∠1＝∠3，∠2＝∠4 B．∠1＝∠3，∠2≠∠4
C．∠1≠∠3，∠2＝∠4 D．∠1≠∠3，∠2≠∠4
【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝ED，FD＝FC，得到∠B＝∠EDB，∠FDC＝∠C，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵BD的中垂线与AB相交于E点，CD的中垂线与AC相交于F点，
∴EB＝ED，FD＝FC，
∴∠B＝∠EDB，∠FDC＝∠C，
∵∠1＝∠B+∠EDB，∠3＝∠FDC+∠C，∠B≠∠C，
∴∠1≠∠3，
∵∠4＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠EDB+∠FDC，
∴∠2＝∠4，
综上所述：∠1≠∠3，∠2＝∠4，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

考点卡片
1．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
2．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
3．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
4．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用x=ay=b的形式表示．
5．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
6．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
7．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
8．三角形的重心
（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．
（2）重心的性质：
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）
9．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
10．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
11．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
12．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
13．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
14．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
15．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
16．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
17．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
18．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
19．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
20．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
21．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
22．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
23．勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
24．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
25．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE=12BC．

26．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
27．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．　　②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
28．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
29．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
30．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
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