中考数学二轮精品专题复习 四边形(选择题)

这是一份中考数学二轮精品专题复习 四边形(选择题)，共54页。
2023年中考数学真题知识点汇编之《四边形(选择题)》
一．选择题（共35小题）
1．（2023•湘潭）如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）

A．20° B．60° C．70° D．80°
2．（2023•北京）正十二边形的外角和为（　　）
A．30° B．150° C．360° D．1800°
3．（2023•通辽）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．12
4．（2023•常德）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE．若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为（　　）

A．80° B．90° C．105° D．115°
5．（2023•深圳）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023•东营）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为26，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC＝60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′（点A′与点C重合），则点B′的坐标是（　　）

A．（36，32） B．（32，36） C．（32，62） D．（62，36）
7．（2023•兰州）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
8．（2023•兰州）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（　　）

A．45° B．60° C．110° D．135°
9．（2023•永州）下列多边形中，内角和等于360°的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2023•河北）如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF．若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（　　）

A．43 B．83 C．12 D．16
11．（2023•河北）如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2 上，点B，D、E、G在同一直线上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝（　　）

A．42° B．43° C．44° D．45°
12．（2023•温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H．当AB＝BC，∠BOC＝30°，DE＝2时，EH的长为（　　）

A．3 B．32 C．2 D．43
13．（2023•十堰）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（　　）

A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．对角线BD的长度减小
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
14．（2023•邵阳）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　）

A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C
15．（2023•绍兴）如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF．点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是（　　）

A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
16．（2023•金华）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH上，CG与EF交于点P，CM与BE交于点Q，若HF＝FG，则S四边形PCQES正方形ABEF的值是（　　）

A．14 B．15 C．312 D．625
17．（2023•杭州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则ABBC=（　　）

A．12 B．3−12 C．32 D．33
18．（2023•衡阳）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C
19．（2023•乐山）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（　　）

A．2 B．52 C．3 D．4
20．（2023•安徽）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF＝2，FB＝1，则MG＝（　　）

A．23 B．352 C．5+1 D．10
21．（2023•上海）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D
22．（2023•上海）已知在梯形ABCD中，联结AC，BD，且AC⊥BD，设AB＝a，CD＝b．下列两个说法：①AC=22（a+b）；②AD=22a2+b2，则下列说法正确的是（　　）
A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误
23．（2023•台州）如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（　　）

A．2 B．2 C．4+22 D．4−22
24．（2023•苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动．当移动时间为4秒时，AC•EF的值为（　　）

A．10 B．910 C．15 D．30
25．（2023•宜宾）如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为（　　）

A．3（3−1） B．3（33−2） C．6（3−1） D．6（33−2）
26．如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（　　）

A．△ABE的面积 B．△ACD的面积
C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积
27．（2023•成都）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD
28．（2023•眉山）如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使BF＝DE，连结AE，AF，EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结HD，HC．
下列四个结论：
①AH＝HC；
②HD＝CD；
③∠FAB＝∠DHE；
④AK•HD=2HE2．
其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
29．（2023•丽水）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（　　）

A．12 B．1 C．32 D．3
30．（2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE＝BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB＝2，则OF的长度为（　　）

A．2 B．3 C．1 D．2
31．（2023•自贡）如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是（　　）

A．（3，﹣3） B．（﹣3，3） C．（3，3） D．（﹣3，﹣3）
32．（2023•泸州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
33．（2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（　　）

A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α
34．（2023•台湾）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（　　）

A．145 B．245 C．5 D．7
35．（2023•台湾）如图，梯形ABCD中，AD∥BC．若∠ADC＝140°，且BD⊥CD，则∠DBC的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

2023年中考数学真题知识点汇编之《四边形(选择题)》
参考答案与试题解析
一．选择题（共35小题）
1．（2023•湘潭）如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）

A．20° B．60° C．70° D．80°
【考点】菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据菱形的性质和平行线的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠DCA＝∠1＝20°，
∴∠2＝90°﹣∠DCA＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．
2．（2023•北京）正十二边形的外角和为（　　）
A．30° B．150° C．360° D．1800°
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；符号意识．
【分析】本题考查多边形的外角和问题，多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于360°．
【解答】解：因为多边形的外角和为360°，所以正十二边形的外角和为：360°．故选：C．
【点评】本题考查多边形的外角和定理，解题的关键是指出定理即可求出正十二边行的外角和度数．
3．（2023•通辽）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．12
【考点】平行四边形的性质；平移的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据平移的性质结合矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥EF，BC＝AD＝a，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD是矩形，
由平移的性质得BE＝CF，
∴EF＝BC＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝矩形AEFD的面积＝ah＝12，
∴△ABE的平移距离为4．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平移的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4．（2023•常德）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE．若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为（　　）

A．80° B．90° C．105° D．115°
【考点】正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】先根据正方形的性质及EF∥BC得∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°，进而得∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF，然后证△AEF和△DFE全等得∠CAE＝∠FDE＝15°，从而得∠ADE＝30°，最后利用三角形的内角和定理可求出∠AED的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OD，∠OBC＝∠OCB＝∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵EF∥BC，
∴∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF，
∵OA＝OD，
∴AE＝DF，
在△AEF和△DFE中，
AE＝DF，∠AEF＝∠DFE＝135°，EF＝FE，
∴△AEF≌△DFE（SAS），
∴∠CAF＝∠FDE＝15°，
∴∠ADE＝∠ODA﹣∠FDE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠AED＝180°﹣∠OAD﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，解答此题的关键是依据正方形的性质得出判定△AEF和△DFE全等的条件．
5．（2023•深圳）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】菱形的判定；平移的性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】证得四边形ECDF为平行四边形，当CD＝CD＝4时，▱ECDF为为菱形，此时a＝BE＝BC﹣CE＝6﹣4＝2．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝4，
∵将线段AB水平向右平得到线段EF，
∴AB∥EF∥CD，
∴四边形ECDF为平行四边形，
当CD＝CE＝4时，▱ECDF为为菱形，
此时a＝BE＝BC﹣CE＝6﹣4＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定，平移的性质，证得证得四边形ECDF为平行四边形，熟练掌握菱形的判定方法是解决问题的关键．
6．（2023•东营）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为26，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC＝60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′（点A′与点C重合），则点B′的坐标是（　　）

A．（36，32） B．（32，36） C．（32，62） D．（62，36）
【考点】菱形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】如图，过B′作B′D⊥y轴于D，连接OB′，根据旋转的性质得到OC′＝C′B′＝26，∠C′OB′＝∠COA＝60°，B′C′∥OC，根据平行线的性质得到∠DC′B′＝∠C′OC＝60°，求得∠DB′C′＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，过B′作B′D⊥y轴于D，连接OB′，
∵将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′，∠AOC＝60°，菱形OABC的边长为26，
∴OC′＝C′B′＝26，∠C′OB′＝∠COA＝60°，B′C′∥OC，
∴∠DC′B′＝∠C′OC＝60°，
∴∠DB′C′＝30°，
∴CD=12C′B′=6，DB′=32B′C′＝32，
∴OD=OC′+C′D=36，
∴B′的坐标是（32，36），
故选：B．

【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
7．（2023•兰州）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB＝4，CE＝10，则AG＝（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得BF＝AG＝5，然后在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
在Rt△BCE中，点F为斜边CE的中点，
∴BF=12CE=5，
∴BG＝BF＝5，
在Rt△ABG中，AB＝4，BG＝5，
由勾股定理得：AG=BG2−AB2=3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，圆的概念，勾股定理等，解答此题的关键是理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；同圆的半径相等．
8．（2023•兰州）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（　　）

A．45° B．60° C．110° D．135°
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】由多边形的外角和定理直接可求出结论．
【解答】解：∵正八边形的外角和为360°，
∴每一个外角为360°÷8＝45°．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形外角和定理，掌握外角和定理是解题的关键．
9．（2023•永州）下列多边形中，内角和等于360°的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；几何直观；运算能力．
【分析】根据三角形内角和，四边形的内角和与多边形内角和将各图形的内角和计算后进行判断即可．
【解答】解：A．三角形的内角和为180°，
则A不符合题意；
B．四边形的内角和为360°，
则B符合题意；
C．五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
则C不符合题意；
D．六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的内角和公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10．（2023•河北）如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF．若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（　　）

A．43 B．83 C．12 D．16
【考点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】先根据正方形AMEF的面积求出AM的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC的长，最后根据勾股定理求出AC的长，然后即可求出直角三角形ABC的面积．
【解答】解：∵四边形AMEF是正方形，
又∵S正方形AMEF＝16，
∴AM2＝16，
∴AM＝4，
在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，
∴AM=12BC，
即BC＝2AM＝8，
在Rt△ABC中，AB＝4，
∴AC=BC2−AB2=82−42=43，
∴S△ABC=12AB⋅AC=12×4×43=83，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的面积计算公式，直角三角形面积的计算公式，勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
11．（2023•河北）如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2 上，点B，D、E、G在同一直线上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝（　　）

A．42° B．43° C．44° D．45°
【考点】菱形的性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由平角的定义求得∠ADB＝180°﹣∠ADE＝34°，由外角定理求得∠AHD＝∠α﹣∠ADB＝16°，根据平行线的性质得∠GIF＝∠AHD＝16°，进而求得∠β＝∠EGF﹣∠GIF＝44°．
【解答】解：如图，延长BG，

∵∠ADE＝146°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝34°，
∵∠α＝∠ADB+∠AHD，
∴∠AHD＝∠α﹣∠ADB＝50°﹣34°，＝16°，
∵l1∥l2，
∴∠GIF＝∠AHD＝16°，
∵∠EGF＝∠β+∠GIF，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠EGF＝60°，
∴∠β＝∠EGF﹣∠GIF＝60°﹣16°＝44°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角度之间的数量关系是解题关键．
12．（2023•温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H．当AB＝BC，∠BOC＝30°，DE＝2时，EH的长为（　　）

A．3 B．32 C．2 D．43
【考点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【分析】根据菱形的性质得到CD＝DE＝CF＝EF＝2，CF∥DE，CD∥EF，根据直角三角形的性质得到OD＝2DE＝4，OE=3DE＝23，求得CO＝CD+DO＝6，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形CDEF是菱形，DE＝2，
∴CD＝DE＝CF＝EF＝2，CF∥DE，CD∥EF，
∵∠CBO＝90°，∠BOC＝30°，
∴OD＝2DE＝4，OE=3DE＝23，
∴CO＝CD+DO＝6，
∴BC＝AB=12CD＝3，OB=3BC＝33，
∵∠A＝90°，
∴AO=OB2−AB2=27−9=32，
∵EF∥CD，
∴∠BEF＝∠BOC＝30°，
∴BE=32EF=3，
∵EH⊥AB，
∴EH∥OA，
∴△BHE∽△BAO，
∴EHOA=BEOB，
∴EH32=333，
∴EH=2，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
13．（2023•十堰）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（　　）

A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．对角线BD的长度减小
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
【考点】矩形的性质；平行四边形的判定．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由题意可知左扭动矩形框架ABCD，四边形变成平行四边形，四边形的四条边不变，故周长不变，对角线BD减小，但是BC边上的高减小，故面积变小，故选C．
【解答】解：向左扭动矩形框架ABCD，只改变四边形的形状，四边形变成平行四边形，A不符合题意；
此时对角线BD减小，对角线AC增大，B不合题意．
BC边上的高减小，故面积变小，C符合题意，
四边形的四条边不变，故周长不变，D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质和平行四边形的性质，熟悉性质是解题关键．
14．（2023•邵阳）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　）

A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C
【考点】平行四边形的判定．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AB∥CD，AB＝AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠ABC+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
15．（2023•绍兴）如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF．点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是（　　）

A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
【考点】正方形的性质；轴对称的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据题意，分别证明四边形 E1E2F1F2 是菱形，平行四边形，矩形，即可求解．
【解答】解：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴∠BDC＝∠ABD＝60°，∠ADB＝∠CBD＝90°﹣60°＝30°，
∵OE＝OF、OB＝OD，
∴DF＝EB，
∵对称，
∴DF＝DF2，BF＝BF1，BE＝BE2，DE＝DE1，E1F2＝E2F1．
∵对称
∴∠F2DC＝∠CDF＝60°，
∴∠EDA＝∠E1DA＝30°，
∴∠E1DB＝60°，
同理∠F1BD＝60°，
∴DE1∥BF1，
∵E1F2＝E2F1，
∴四边形 E1E2F1F2 是平行四边形，
如图2所示，当E，F，O三点重合时，DO＝OB，

∴DE1＝DF2＝AE1＝AE2，即E1E2＝E1F2，
∴四边形E1E2F1F2 是菱形．
如图3所示，当E，F分别为OD，OB的中点时，设DB＝4，则 DF2＝DF＝1，DE1＝DE＝3，

在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝23，连接AE，AO，
∵∠ABO＝60°，BO＝2＝AB，
∴△ABO是等边三角形，
∵E为OB中点，
∴AE⊥OB，BE＝1，
∴AE=22−12=3．
根据对称性可得 AE1=AE=3．
∴AD2＝12，DE12=9，AE12=3，
∴AD2=AE12+DE12，
∴ΔDE1A 是直角三角形，且∠E1＝90°，
四边形E1E2F1F2是矩形．
当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1 都是等边三角形，则四边形 E1E2F2F2 是菱形，

∴在整个过程中，四边形 E1E2F1F2 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性 质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16．（2023•金华）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH上，CG与EF交于点P，CM与BE交于点Q，若HF＝FG，则S四边形PCQES正方形ABEF的值是（　　）

A．14 B．15 C．312 D．625
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由正方形的性质得AB＝AF，AC＝AH，∠BAF＝∠CAH＝90°，则∠BAC＝∠FAH＝90°﹣∠CAF，可证明△ABC≌△AFH，得BC＝HF，而HF＝FG，所以BC＝FG，再证明△BCQ≌△FGP，得CQ＝GP，设AC＝AH＝GH＝2m，则HF＝FG＝BC＝m，可求得BE＝AF=5m，由CQBC=GPFG=tan∠GFP＝tan∠HAF=HFAH=12，得CQ=12BC=12m，由PEBE=CPBC=12=tan∠PBE，得PE=12BE=52m，即可求得S四边形PCQE＝m2，S正方形ABEF＝5m2，则S四边形PCQES正方形ABEF=m25m2=15，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABEF、四边形ADGH、四边形BDMN都是正方形，
∴AB＝AF，AC＝AH，∠BAF＝∠CAH＝90°，
∴∠BAC＝∠FAH＝90°﹣∠CAF，
∴△ABC≌△AFH（SAS），
∴BC＝HF，
∵HF＝FG，
∴BC＝FG，
∵∠ACG＝∠ACB＝∠BCM＝90°，
∴∠ADB+∠ACB＝180°，∠ACB+∠BCM＝180°，
∴B、C、G三点在同一条直线上，A、C、M三点在同一条直线上，
∵∠BCQ＝∠G＝∠E＝90°，∠BPE＝∠FPG，
∴∠CBQ＝90°﹣∠BPE＝90°﹣∠FPG＝∠GFP，
∴△BCQ≌△FGP（ASA），
∴CQ＝GP，
设AC＝AH＝GH＝2m，则HF＝FG＝BC＝m，
∴BE＝AF=(2m)2+m2=5m，
∵∠G＝∠H＝∠AFE＝90°，
∴∠GFP＝∠HAF＝90°﹣∠AFH，
∴CQBC=GPFG=tan∠GFP＝tan∠HAF=HFAH=12，
∴CQ=12BC=12m，
∵∠E＝∠BCQ＝90°，
∴PEBE=CPBC=12=tan∠PBE，
∴PE=12BE=12×5m=52m，
∴S四边形PCQE=12×5m×52m−12m×12m＝m2，
∵S正方形ABEF＝（5m）2＝5m2，
∴S四边形PCQES正方形ABEF=m25m2=15，
故选：B．
【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明△ABC≌△AFH及△BCQ≌△FGP是解题的关键．
17．（2023•杭州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则ABBC=（　　）

A．12 B．3−12 C．32 D．33
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】先证△ABO是等边三角形，可得∠BAO＝60°，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴BC=3AB，
∴ABBC=33，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
18．（2023•衡阳）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C
【考点】平行四边形的判定．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】由平行四边形的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、因为AD∥BC，AD＝BC，因此由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故A不符合题意；
B、因为AD∥BC，AB∥DC，因此由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C、AB＝DC，但AB和CD不一定平行，因此不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意；
D、因为AD∥BC得到∠ADB＝∠CBD，又∠A＝∠C，BD＝DB，因此△ABD≌△CDB（AAS），得到AD＝CB，能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法．
19．（2023•乐山）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（　　）

A．2 B．52 C．3 D．4
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由菱形的性质得到OC=12AC＝3，OB=12BD＝4，AC⊥BD，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出OE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=12AC，OB=12BD，AC⊥BD，
∵AC＝6，BD＝8，
∴OC＝3，OB＝4，
∴CB=OB2+OC2=5，
∵E为边BC的中点，
∴OE=12BC=52．
故选：B．
【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由菱形的性质求出OC，OB的长，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边的中线的性质即可求出OE的长．
20．（2023•安徽）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF＝2，FB＝1，则MG＝（　　）

A．23 B．352 C．5+1 D．10
【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据相似三角形的判定结合正方形的性质证得△AEF∽△ACB，求得AC＝32，根据相似三角形的性质求得AE＝22，CE=2，证得△ADE∽△CFE，根据相似三角形的性质得到CM=32=BM，证得△CDM≌△BGM，求出BG，根据勾股定理即可求出MG．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AF＝2，FB＝1，
∴CD＝AD＝AB＝BC＝3，∠ADC＝∠DAB＝∠ABC＝90°，DC∥AB，AD∥BC，
∴AC=AD2+CD2=32，
∵EF⊥AB，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ACB，
∴EFCB=AFAB，
∴EF3=23，
∴EF＝2，
∴AE=AF2+EF2=22，
∴CE＝AC﹣AE=2，
∵AD∥CM，
∴△ADE∽△CFE，
∴ADCM=AECE，
∴3CM=222=2，
∴CM=32=BM，
在△CDM和△BGM中，
∠DCM=∠GBM=90°，CM=BM∠CMD=∠BMG，
∴△CDM≌△BGM（SAS），
∴CD＝BG＝3，
∴MG=BG2+BM2=32+(32)2=325．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
21．（2023•上海）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D
【考点】矩形的判定；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；梯形；推理能力．
【分析】由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴AB的长为AD与BC间的距离，
∵AB＝CD，
∴CD⊥AD，CD⊥BC，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°，
∵∠A＝∠D，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
22．（2023•上海）已知在梯形ABCD中，联结AC，BD，且AC⊥BD，设AB＝a，CD＝b．下列两个说法：①AC=22（a+b）；②AD=22a2+b2，则下列说法正确的是（　　）
A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误
【考点】梯形．菁优网版权所有
【专题】梯形；推理能力．
【分析】根据题意，作出图形，若梯形ABCD为等腰梯形，可得①AC=22(a+b)；②AD=22a2+b2，其余情况得不出这样的结论，从而得到答案．
【解答】解：过B作BE∥CA，交BC延长线于E，如图所示：

若AD＝BC，AB∥CD，则四边形ACEB是平行四边形，
∴CE＝AB，AC＝BE，
∴AB∥DC，
∴∠DAB＝∠CBA，
∵AB＝AB，
∴△DAB≌△CBA（SAS），
∴AC＝BD，即BD＝BE，
∵AC⊥BD，
∴BE⊥BD，
在Rt△BDE 中，BD＝BE，AB＝a，CD＝b，
∴DE＝DC+CE＝b+a，
∴AC=BE=DE2=22DE=22(a+b)，此时①正确；
过B作BF⊥DE于F，如图所示：

在Rt△BFC中，BD＝BE，AB＝a，CD＝b，DE＝b+a，
∴BF=FE=12DE=12(a+b)，FC=FE−CE=12(a+b)−a=12(b−a)，
∴BC=BF2+FC2=22a2+b2，此时②正确；
但已知中，梯形ABCD是否为等腰梯形，并未确定；梯形ABCD是AB∥CD还是AD∥BC，并未确定，
∴无法保证①②正确，
故选：D．
【点评】本题考查梯形中求线段长，涉及梯形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，孰练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键．
23．（2023•台州）如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（　　）

A．2 B．2 C．4+22 D．4−22
【考点】正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】如图，由三角形三边关系分析可得当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB﹣AB，以此即可求解．
【解答】解：如图，点B为⊙O上一点，点D为正方形上一点，连接BD，OC，OA，AB，

由三角形三边关系可得，OB﹣OD＜BD，
OB是圆的半径，为定值，当点D在A时，取得最大值，
∴当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB﹣AB，
由题意可得，AC＝4，OB＝4，
∵点O为正方形的中心，
∴OA⊥OC，OA＝OC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴OA=AC2=42=22，
∴圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为OB﹣AB＝4−22．
故选：D．
【点评】本题主要考查正方形的性质、利用三角形三边关系求最值问题，利用三角形三边关系分析得出当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值是解题关键．
24．（2023•苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动．当移动时间为4秒时，AC•EF的值为（　　）

A．10 B．910 C．15 D．30
【考点】矩形的性质；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【分析】利用点的坐标，分别计算AC和EF，再相乘即可．
【解答】解：连接AC、EF．
∵四边形OABC为矩形，
∴B（9，3）．
又∵OE＝BF＝4，
∴E（4，0），F（5，3）．
∴AC=OC2+OA2=32+92=310，
EF=(5−4)2+32=10，
∴AC•EF＝310×10=30．
故选：D．

【点评】本题主要考查矩形的性质及坐标，较为简单，直接计算即可．
25．（2023•宜宾）如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM＝PC，则AM的长为（　　）

A．3（3−1） B．3（33−2） C．6（3−1） D．6（33−2）
【考点】正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【分析】以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，由正方形ABCD边长为6，可知A（0，6），D（6，6），C（6，0），直线BD解析式为y＝x，设M（m，m），可得直线AM解析式为y=m−6mx+6，即得P（6，12m−36m），由PM＝PC，有（m﹣6）2+（m−12m−36m）2＝（12m−36m）2，解得m＝9+33（不符合题意，舍去）或m＝9﹣33，故M（9﹣33，9﹣33），从而求出AM＝6（3−1）．
【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：

∵正方形ABCD边长为6，
∴A（0，6），D（6，6），C（6，0），
由B（0，0），D（6，6）可得直线BD解析式为y＝x，
设M（m，m），
由A（0，6），M（m，m）得直线AM解析式为y=m−6mx+6，
在y=m−6mx+6中，令x＝6得y=12m−36m，
∴P（6，12m−36m），
∵PM＝PC，
∴（m﹣6）2+（m−12m−36m）2＝（12m−36m）2，
∴m2﹣12m+36+m2﹣2（12m﹣36）+（12m−36m）2＝（12m−36m）2，
整理得m2﹣18m+54＝0，
解得m＝9+33（不符合题意，舍去）或m＝9﹣33，
∴M（9﹣33，9﹣33），
∴AM=(9−33)2+(9−33−6)2=6（3−1），
故选：C．
方法2：
∵PM＝PC，
∴∠PMC＝∠PCM，
∴∠DPA＝∠PMC+∠PCM＝2∠PCM＝2∠PAD，
∵∠DPA+∠PAD＝90°，
∴∠APD＝60°，∠PAD＝30°，
∴PD=AD3=23，∠CPM＝120°，
∴CP＝CD﹣PD＝6﹣23，
在△PCM中，∠CPM＝120°，PM＝PC，
∴CM=3CP＝63−6，
由正方形对称性知AM＝CM＝6（3−1），
故选：C．
【点评】本题考查正方形性质及应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出M的坐标．
26．如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（　　）

A．△ABE的面积 B．△ACD的面积
C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积
【考点】矩形的性质；三角形的面积；三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】作AG⊥ED于点G，交BC于点F，可证明四边形BFGE是矩形，AF⊥BC，可推导出S﹣S1﹣S2=12ED•AG−12BE•EG−12CD•DG=12ED•AG−12FG•ED=12BC•AF＝S△ABC，所以只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，于是得到问题的答案．
【解答】解：作AG⊥ED于点G，交BC于点F，
∵四边形BCDE是矩形，
∴∠FBE＝∠BEG＝∠FGE＝90°，BC∥ED，BC＝ED，BE＝CD，
∴四边形BFGE是矩形，∠AFB＝∠FGE＝90°，
∴FG＝BE＝CD，AF⊥BC，
∴S﹣S1﹣S2=12ED•AG−12BE•EG−12CD•DG=12ED•AG−12FG•ED=12BC•AF＝S△ABC，
∴只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，
故选：C．

【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、三角形的面积公式、矩形的面积公式、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
27．（2023•成都）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD
【考点】平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】利用平行四边形的性质一一判断即可解决问题．
【解答】解：A、错误．平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，不合题意；
B、正确．因为平行四边形的对角线互相平分，符合题意；
C、错误．平行四边形的对角线不一定垂直，不合题意；
D、错误．平行四边形的对角相等，但邻角不一定相等，不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
28．（2023•眉山）如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使BF＝DE，连结AE，AF，EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结HD，HC．
下列四个结论：
①AH＝HC；
②HD＝CD；
③∠FAB＝∠DHE；
④AK•HD=2HE2．
其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】①证明△EAF是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得AH=12EF＝CH，可得①正确；
②证明∠DAH与∠AHD不一定相等，则AD与DH不一定相等，可知②不正确；
③证明△ADH≌△CDH（SSS），则∠ADH＝∠CDH＝45°，再由等腰直角三角形的性质可得结论正确；
④证明△AKF∽△HED，列比例式可得结论正确．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴∠ADE＝∠ABF＝90°，
∵DE＝BF，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，
∵∠DAE+∠EAB＝90°，
∴∠BAF+∠EAB＝90°，即∠EAF＝90°，
∵AG⊥EF，
∴EH＝FH，
∴AH=12EF，
Rt△ECF中，∵EH＝FH，
∴CH=12EF，
∴AH＝CH；
故①正确；
③∵AH＝CH，AD＝CD，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SSS），
∴∠ADH＝∠CDH＝45°，
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFK＝∠EDH＝45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，
∴∠BKF＝∠CEH，
∴∠AKF＝∠DEH，
∴∠FAB＝∠DHE，
故③正确；
②∵∠ADH＝∠AEF，
∴∠DAE＝∠DHE，
∵∠BAD＝∠AHE＝90°，
∴∠BAE＝∠AHD，
∵∠DAE与∠BAG不一定相等，
∴∠DAH与∠AHD不一定相等，
则AD与DH不一定相等，即DH与CD不一定相等，
故②不正确；
④∵∠FAB＝∠DHE，∠AFK＝∠EDH，
∴△AKF∽△HED，
∴AKEH=AFDH，
∴AK•DH＝AF•EH，
在等腰直角三角形AFH中，AF=2FH=2EH，
∴AK•HD=2HE2．
故④正确；
∴本题正确的结论有①③④，共3个．
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一“的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一“的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．
29．（2023•丽水）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（　　）

A．12 B．1 C．32 D．3
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】连接BD交AC于点O，由菱形的性质得OA＝OC，∠BAO＝30°，AC⊥BD，再由含30°角的直角三角形的性质得OB=12，然后由勾股定理得OA=32，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，

∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴OA＝OC，∠BAO=12∠DAB＝30°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OB=12AB=12，
∴OA=AB2−OB2=12−(12)2=32，
∴AC＝2OA=3，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
30．（2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE＝BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB＝2，则OF的长度为（　　）

A．2 B．3 C．1 D．2
【考点】正方形的性质；角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】连接AF，根据正方形ABCD得到AB＝BC＝BE，∠ABC＝90°，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得∠BFE＝45°，再证明△ABF≌△EBF，求得∠AFC＝90°，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出OF的长度．
【解答】解：如图，连接AF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BE＝BC，∠ABC＝90°，AC=2AB＝22，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴∠EBC＝180°﹣2∠BEC，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝2∠BEC﹣90°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABF＝∠EBF=12∠ABE＝∠BEC﹣45°，
∴∠BFE＝∠BEC﹣∠EBF＝45°，
在△BAF与△BEF中，
AB=EB∠ABF=∠EBFBF=BF，
∴△BAF≌△BEF（SAS），
∴∠BFE＝∠BFA＝45°，
∴∠AFC＝∠BAF+∠BFE＝90°，
∵O为对角线AC的中点，
∴OF=12AC=2，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作出正确的辅助线，求得∠BFE＝45°是解题的关键．
31．（2023•自贡）如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是（　　）

A．（3，﹣3） B．（﹣3，3） C．（3，3） D．（﹣3，﹣3）
【考点】正方形的性质；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【专题】数形结合；推理能力．
【分析】由正方形的性质可得DC＝BC＝3，DC与BC分别垂直于y轴和x轴，而点C在第一象限，所以C的坐标为（3，3）．
【解答】解：∵正方形的边长为3，
∴DC＝BC＝3，DC与BC分别垂直于y轴和x轴．
∵点C在第一象限，
∴C的坐标为（3，3）．
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质和坐标与图形的性质，求出DC、BC的长即可解答．
32．（2023•泸州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，可得∠CDP＝∠APD，根据DP平分∠ADC，可得∠CDP＝∠ADP，从而可得∠ADP＝∠APD，可得AP＝AD＝4，进一步可得PB的长，再根据三角形中位线定理可得EO=12PB，即可求出EO的长．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，
∴∠CDP＝∠APD，
∵DP平分∠ADC，
∴∠CDP＝∠ADP，
∴∠ADP＝∠APD，
∴AP＝AD＝4，
∵CD＝6，
∴AB＝6，
∴PB＝AB﹣AP＝6﹣4＝2，
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴EO是△DPB的中位线，
∴EO=12PB＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．
33．（2023•重庆）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（　　）

A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】根据正方形的性质可得AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，易证△GAE≌△FAE（SAS），根据全等三角形的性质可得∠AEF＝∠AEG，进一步根据∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB求解即可．
【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，如图所示：
则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠GAE＝∠FAE＝45°，
在△GAE和△FAE中，
AF=AG∠FAE=∠GAEAE=AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴∠AEF＝∠AEG，
∵∠BAE＝α，
∴∠AEB＝90°﹣α，
∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α，
∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB＝180°﹣2×（90°﹣α）＝2α，
故选：A．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．
34．（2023•台湾）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（　　）

A．145 B．245 C．5 D．7
【考点】矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】连接AP、EF，依据PE⊥AB，PF⊥AD，∠A＝90°，可得四边形AEPF为矩形，借助矩形的对角线相等，将求EF的最小值转化成AP的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求Rt△BAD斜边上的高，利用面积法即可得解．
【解答】解：如图，连接AP、EF，

∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°．
∴四边形AEPF为矩形．
∴AP＝EF．
∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值．
∵点P从B点沿着BD往D点移动，
∴当AP⊥BD时，AP取最小值．
下面求此时AP的值，
在Rt△BAD中，
∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8，
∴BD=AB2+AD2=62+82=100=10．
∵S△ABD=12AB⋅AD=12AP⋅BD，
∴AP=AB⋅ADBD=6×810=245．
∴EF的长度最小为：245．
故本题选B．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．
35．（2023•台湾）如图，梯形ABCD中，AD∥BC．若∠ADC＝140°，且BD⊥CD，则∠DBC的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】梯形．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】先根据垂直的定义可得：∠BDC＝90°，则∠C+∠CBD＝90°，由平行线的性质可得：∠C＝180°﹣140°＝40°，从而得结论．
【解答】解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠C＝180°，
∵∠ADC＝140°，
∴∠C＝180°﹣140°＝40°，
∴∠DBC＝90°﹣40°＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂线的性质，三角形的内角和定理，掌握这些性质是解本题的关键．

考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
3．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
4．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
5．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

6．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
7．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
8．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
9．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
10．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE=12BC．

11．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
12．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
13．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
14．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
15．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
16．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

17．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
18．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
19．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
20．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
21．梯形
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

22．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
23．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．　　②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
24．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
25．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．