中考数学二轮精品专题复习 图形的对称

这是一份中考数学二轮精品专题复习 图形的对称，共73页。
2023年中考数学真题知识点汇编之《图形的对称》
一．选择题（共20小题）
1．（2023•赤峰）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合，DE交BC于点F，交AB延长线于点E，DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，AM＝4，则下列结论：①DQ＝EQ，②BQ＝3，③BP=158，④BD∥FQ．正确的是（　　）

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
2．（2023•湘潭）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻．观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（　　）
A．爱 B．我 C．中 D．华
3．（2023•深圳）下列图形中，为轴对称的图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023•长沙）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD＝5．OA：OD＝1：4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是（　　）

A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（5−1，2） D．（1−5，2）
7．（2023•广东）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2023•聊城）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为（　　）

A．（1，5） B．（1，3） C．（5，3） D．（5，5）
9．（2023•山西）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2023•衡阳）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2023•天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称（　　）
A． B． C． D．
12．（2023•安徽）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（　　）

A．PA+PB的最小值为33
B．PE+PF的最小值为23
C．△CDE周长的最小值为6
D．四边形ABCD面积的最小值为33
13．（2023•临沂）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（　　）

A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6）
14．（2023•连云港）在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形．下列汉字中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
15．（2023•金昌）如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH．若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6
16．（2023•新疆）下列交通标志中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
17．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3）
18．（2023•浙江）美术老师写的下列四个字中，为轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
19．（2023•云南）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　）
A． B． C． D．
20．（2023•浙江）如图，已知矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④．则DH的长为（　　）

A．32 B．85 C．53 D．95
二．填空题（共19小题）
21．（2023•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为 　 　．

22．（2023•通辽）点Q的横坐标为一元一次方程3x+7＝32﹣2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a，b满足二元一次方程组2a−b=4−a+2b=−8，则点Q关于y轴对称点Q'的坐标为 　 　．
23．（2023•辽宁）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠B＝20°，点D是边BC上的动点，将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B′处，当B′D⊥BC时，∠BAD的度数为 　 　．

24．（2023•深圳）如图，在△ABC中，AB＝AC，tanB=34，点D为BC上一动点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于点G，GE＜DG，且AG：CG＝3：1，则S三角形AGES三角形ADG=　 　．

25．（2023•齐齐哈尔）矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M在AD边所在的直线上，且DM＝1，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，则线段EF的长度为 　 　．
26．（2023•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，则BC的长为 　 　．
​

27．（2023•黑龙江）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若△ADE是直角三角形，则点E到直线BC的距离是 　 　．
28．（2023•随州）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点（不含端点），将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM．当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为 　 　；DP的最大值为 　 　．

29．（2023•邵阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD=7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB'，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为 　 　．
​

30．（2023•十堰）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC（∠A＝90°）硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点），小明将这四块纸，重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 　 　，最大值为 　 　．

31．（2023•宜昌）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四边形A'EBC的周长为 　 　．

32．（2023•临沂）如图，三角形纸片ABC中，AC＝6，BC＝9，分别沿与BC，AC平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 　 　．

33．（2023•新疆）如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，DE的长为 　 　．

34．（2023•成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是 　 　．
35．（2023•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G．若AGGE=73，则tanA＝　 　．

36．（2023•凉山州）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB，若BC＝2，则CA′＝　 　．

37．（2023•南充）如图，在等边△ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，已知AB＝2．给出下列四个结论：①CN+NB′为定值；②当BN＝2NC时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M＝18°；④当AB′最短时，MN=72120．其中正确的结论是 　 　.（填写序号）

38．（2023•泸州）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是 　 　．

39．（2023•自贡）如图，直线y=−13x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线y=−43x+2上的一动点，动点E（m，0），F（m+3，0），连接BE，DF，HD．当BE+DF取最小值时，3BH+5DH的最小值是 　 　．

三．解答题（共5小题）
40．（2023•通辽）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ．
（1）如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝　 　度；
（2）改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
​
41．（2023•湖北）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM．
（1）求证：∠AMB＝∠BMP；
（2）若DP＝1，求MD的长．

42．（2023•无锡）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A＝60°，点Q为CD的中点，P为线段A上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB'C'Q．
（1）当∠QPB＝45°时，求四边形BB'C'C的面积；
（2）当点P在线段AB上移动时，设BP＝x，四边形BB'C'C的面积为S，求S关于x的函数表达式．

43．（2023•广西）【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF：折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B'E展平纸片，连接AB'，BB'，BE′．请完成：
（1）观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；
（2）证明（1）中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B′，P′，展平纸片，连接BB′，P′B′．请完成：
（3）证明BB′是∠NBC的一条三等分线．

44．（2023•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）．
（1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；
（2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；
（3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB．


2023年中考数学真题知识点汇编之《图形的对称》
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．（2023•赤峰）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合，DE交BC于点F，交AB延长线于点E，DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，AM＝4，则下列结论：①DQ＝EQ，②BQ＝3，③BP=158，④BD∥FQ．正确的是（　　）

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；展开与折叠；推理能力．
【分析】由折叠性质和平行线的性质可得∠QDF＝∠CDF＝∠QEF，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出MQ＝AM＝4，再求出BQ即可判断②正确；由△CDP∽△BQP 得 CPBP=CDBQ=53，求出BP即可判断③正确；根据 EFDE≠QEBE 即可判断④错误．
【解答】解：由折叠性质可知：∠CDF＝∠QDF，CD＝DQ＝5，
∵CD∥AB，
∴∠CDF＝∠QEF．
∴∠QDF＝∠QEF．
∴DQ＝EQ＝5．故①正确；
∵DQ＝CD＝AD＝5，DM⊥AB，
∴MQ＝AM＝4．
∵MB＝AB﹣AM＝5﹣4＝1，
∴BQ＝MQ﹣MB＝4﹣1＝3．故②正确；
∵CD∥AB，
∴△CDP∽△BQP．
∴CPBP=CDBQ=53．
∵CP+BP＝BC＝5，
∴BP=38BC=158，故③正确；
∵CD∥AB，
∴△CDF∽△BEF．
∴DFEF=CDBE=CDBQQE=53+5=58．
∴EFDE=813，
∵QEBE=58，
∴EFDE≠QEBE，
∴△EFQ与△EDB不相似．
∴∠EQF≠∠EBD．
∴BD与FQ不平行．故④错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．
2．（2023•湘潭）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻．观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（　　）
A．爱 B．我 C．中 D．华
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形的概念判断．
【解答】解：A、汉字“爱”不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、汉字“我”不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、汉字“中”是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、汉字“华”不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3．（2023•深圳）下列图形中，为轴对称的图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．（2023•长沙）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形）对四个选项进行分析．
【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：A、B、C都不是轴对称图形，只有D是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义，难度不大，掌握定义是解答的关键．
5．（2023•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．
【解答】解：A、B、D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
C选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
6．（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD＝5．OA：OD＝1：4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是（　　）

A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（5−1，2） D．（1−5，2）
【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；坐标与图形变化﹣对称．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ABC∽△D1C1O，求出AB＝CD＝2，连接OC，设BC与OC1交于F，然后求出OC＝OC1＝25，得到C1F＝25−2，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵矩形ABCD的边AD＝5．OA：OD＝1：4，
∴OA＝1，OD＝4，BC＝5，
∵AB∥OC1，
∴∠ABO＝∠D1OC1，
∵∠BAO＝∠OD1C1＝90°，
∴△AOB∽△D1C1O，
∴OAAB=D1C1OD1，
∵将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，
∴OD1＝OD＝4，D1C1＝DC＝AB，
∴1AB=AB4，
∴AB＝2（负值舍去），
∴CD＝2，
连接OC，设BC与OC′交于F，
∴OC=OD2+CD2=42+22=25，
∵∠FOA＝∠OAB＝∠ABF＝90°，
∴四边形OABF是矩形，
∴AB＝OF＝2，∠BFO＝90°＝∠EFC1，OA＝BF＝1，
∴CF＝5﹣1＝4，
由折叠知，OC1＝OC＝25，EC1＝EC＝CF＝EF＝4，
∴C1＝OC1＝25−2，
∵EF2+C′F2＝EC′2，
∴EF2+(25−2)2=(4−EF)2，
解得EF=5−1，
∴E（1−5，2），
故选：D．

【点评】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，利用相似三角形的性质求出AB的长是解题的关键．
7．（2023•广东）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】利用轴对称图形的定义进行分析即可．
【解答】解：选项B，C，D中的图形都不能确定一条直线，使图形沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，选项A中的图形沿某条直线对折后两部分能完全重合，是轴对称图形，
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
8．（2023•聊城）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为（　　）

A．（1，5） B．（1，3） C．（5，3） D．（5，5）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【分析】先根据轴对称的性质求出A1，B1，C1的坐标，根据平移的性质即可求出A2的坐标．
【解答】解：∵A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）关于x轴对称的点的坐标为A1（﹣2，﹣1），B1（﹣1，﹣3），C1（﹣4，﹣4），
又∵B2（2，1），
∴平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，
∴点A2坐标为（﹣2+3，﹣1+4），即（1，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和平移的性质．
9．（2023•山西）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、B，D选项中的图书馆标志都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图书馆标志能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
10．（2023•衡阳）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
11．（2023•天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B、C，D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
12．（2023•安徽）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（　　）

A．PA+PB的最小值为33
B．PE+PF的最小值为23
C．△CDE周长的最小值为6
D．四边形ABCD面积的最小值为33
【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】数形结合；等腰三角形与直角三角形；梯形；运算能力；推理能力．
【分析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，由△ADE和△BCE是等边三角形，可得四边形DECM是平行四边形，而P为CD中点，知P为EM中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB＝PA'+PB最小，即可得PA+PB最小值A'B=AA′2+AB2=27，判断选项A错误；由PM＝PE，即可得当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，此时PE+PF的最小值为23，判断选项B正确；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等边三角形，得KT＝KE+TE=12AB＝2，有CD≥2，故△CDE周长的最小值为6，判断选项C正确；设AE＝2m，可得S四边形ABCD=3（m﹣1）2+33，即知四边形ABCD面积的最小值为33，判断选项D正确．
【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，如图：

∵△ADE和△BCE是等边三角形，
∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°，
∴DE∥BM，CE∥AM，
∴四边形DECM是平行四边形，
∵P为CD中点，
∴P为EM中点，
∵E在线段AB上运动，
∴P在直线l上运动，
由AB＝4知等边三角形ABM的高为23，
∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为3，
作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB＝PA'+PB最小，
此时PA+PB最小值A'B=AA′2+AB2=(23)2+42=27，故选项A错误，符合题意；
∵PM＝PE，
∴PE+PF＝PM+PF，
∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，
∵F为AB的中点，
∴MF⊥AB，
∴MF为等边三角形ABM的高，
∴PE+PF的最小值为23，故选项B正确，不符合题意；
过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图，

∵△ADE和△BCE是等边三角形，
∴KE=12AE，TE=12BE，
∴KT＝KE+TE=12AB＝2，
∴CD≥2，
∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，
∴DE+CE+CD≥6，
∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；
设AE＝2m，则BE＝4﹣2m，
∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DK=3AK=3m，CT=3BT＝23−3m，
∴S△ADK=12m•3m=32m2，S△BCT=12（2﹣m）（23−3m）=32m2﹣23m+23，S梯形DKTC=12（3m+23−3m）•2＝23，
∴S四边形ABCD=32m2+32m2﹣23m+23+23=3m2﹣23m+43=3（m﹣1）2+33，
∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为33，故选项D正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题，涉及等边三角形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是求出P的运动轨迹是直线l．
13．（2023•临沂）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（　　）

A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标确定位置．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得答案．
【解答】解：若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（6，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
14．（2023•连云港）在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形．下列汉字中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：中沿中间的竖线折叠，直线两旁的部分能完全重合，“中”是轴对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
15．（2023•金昌）如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH．若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】由折叠可知∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF＝DF，由同旁内角互补，两直线平行得AD∥GE⊥BC，AB∥FH∥CD，由平行线的性质可得FH⊥GE，GE＝BC＝4，FH＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE，再根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形可知四边形EFGH为菱形，最后利用菱形的面积公式计算即可求解．
【解答】解：如图，设EG与FH交于点O，

∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
根据折叠的性质可得，∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF＝DF，
∴AD∥GE⊥BC，AB∥FH∥CD，
∴FH⊥GE，GE＝BC＝4，FH＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE，
∴四边形EFGH为菱形，
∴S菱形EFGH=12GE⋅FH=12×2×4=4．
故选：B．
【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、菱形的面积公式，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解题关键．
16．（2023•新疆）下列交通标志中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
【解答】解：A．原图不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．原图是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．原图不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．原图不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．
17．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：点P（2，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标是（2，3）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握关于x轴对称点的坐标特点是解题关键．
18．（2023•浙江）美术老师写的下列四个字中，为轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
19．（2023•云南）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的概念，熟知：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．
20．（2023•浙江）如图，已知矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④．则DH的长为（　　）

A．32 B．85 C．53 D．95
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【分析】过点M作MG⊥BD于点G，根据勾股定理求得BD＝5，由折叠可知BE＝CE＝EH=12BC＝2，∠C＝∠EHM＝90°，CM＝HM，进而得出BE＝EH，∠EBH＝∠EHB，利用等角的余角相等可得∠HDM＝∠DHM，则DM＝HM，于是可得DM＝HM＝CM=12CD=32，由等腰三角形的性质可得DH＝2DG，易证明△MGD∽△BCD，利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图，过点M作MG⊥BD于点G，

∵四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，
∴AB＝CD＝3，∠C＝90°，
在Rt△BCD中，BD=BC2+CD2=42+32=5，
根据折叠的性质可得，BE＝CE=12BC＝2，∠C＝∠EHM＝90°，CE＝EH＝2，CM＝HM，
∴BE＝EH＝2，
∴△BEH为等腰三角形，∠EBH＝∠EHB，
∵∠EBH+∠HDM＝90°，
∠EHB+∠DHM＝90°，
∴∠HDM＝∠DHM，
∴△DHM为等腰三角形，DM＝HM，
∴DM＝HM＝CM=12CD=32，
∵MG⊥BD，
∴DH＝2DG，∠MGD＝∠BCD＝90°，
∵∠MDG＝∠BDC，
∴△MGD∽△BCD，
∴DGCD=DMBD，即DG3=325，
∴DG=910，
∴DH＝2DG=95．
故选：D．
【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，根据矩形和折叠的性质推理论证出DM＝HM，以此得出点M为CD的中点是解题关键．
二．填空题（共19小题）
21．（2023•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为 　32−3　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；展开与折叠；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】由折叠性质可知AC＝AC'＝3，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3，
∴AB=AC2+BC2=32，
由折叠的性质可知AC＝AC'＝3，
∵BC'≥AB﹣AC'，
∴当A、C′、B三点在同一条直线时，BC'取最小值，最小值即为BC′=AB−AC′=32−3，
故答案为 32−3．
【点评】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系是解题的关键．
22．（2023•通辽）点Q的横坐标为一元一次方程3x+7＝32﹣2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a，b满足二元一次方程组2a−b=4−a+2b=−8，则点Q关于y轴对称点Q'的坐标为 　（﹣5，﹣4）　．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；一元一次方程的解；二元一次方程组的解；解二元一次方程组．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；平面直角坐标系；运算能力．
【分析】结合已知条件分别求得x，a+b的值，然后根据关于y轴对称的点的坐标性质即可求得答案．
【解答】解：3x+7＝32﹣2x，
移项，合并同类项得：5x＝25，
系数化为1得：x＝5；
2a−b=4①−a+2b=−8②
①+②得：a+b＝﹣4；
则Q（5，﹣4），
那么点Q关于y轴对称点Q'的坐标为（﹣5，﹣4），
故答案为：（﹣5，﹣4）．
【点评】本题考查解一元一次方程及二元一次方程组和关于y轴对称的点的坐标性质，结合已知条件求得x，a+b的值是解题的关键．
23．（2023•辽宁）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠B＝20°，点D是边BC上的动点，将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B′处，当B′D⊥BC时，∠BAD的度数为 　35°　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】分两种情况，一是点B′在直线BC的下方，则∠BDB′＝90°，所以∠ADB′＝∠ADB＝135°，则∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝25°；二是点B′在直线BC的上方，则∠ADB′＝∠ADB＝45°，所以∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝115°，于是得到问题的答案．
【解答】解：当点B′在直线BC的下方，如图1，
∵B′D⊥BC，
∴∠BDB′＝90°，
∴∠ADB′+∠ADB＝360°﹣90°＝270°，
∵将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B′处，
∴∠ADB′＝∠ADB=12×270°＝135°，
∵∠B＝20°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣20°﹣135°＝25°；
当点B′在直线BC的上方时，如图2，
∵B′D⊥BC，
∴∠BDB′＝90°，
∵将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B′处，
∴∠ADB′＝∠ADB=12×90°＝45°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣20°﹣45°＝115°，
故答案为：25°或115°．


【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，正确地求出∠BAB′的度数是解题的关键．
24．（2023•深圳）如图，在△ABC中，AB＝AC，tanB=34，点D为BC上一动点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于点G，GE＜DG，且AG：CG＝3：1，则S三角形AGES三角形ADG=　4975　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AH⊥DE于点H，由折叠易得AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，CG＝a，则AG＝3a，于是AB＝AC＝AE＝4a，在Rt△ABF中，利用tanB=34可求出AH＝AF=125a，BF＝EH=165a，在Rt△AGH中，利用勾股定理求出GH=95a，以此求出EG=75a，由△AEG∽△DCG得AGDG=EGCG，求得DG=157a，则S三角形AGES三角形ADG=EGDG．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点A作AH⊥DE于点H，

∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
根据折叠的性质可知，∠B＝∠E，AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，
∴∠E＝∠C，
设CG＝a，则AG＝3a，
∴AB＝AC＝AE＝4a，
在Rt△ABF中，tanB=AFBF=34，
∴BF=43AF，
∴(43AF)2+AF2=(4a)2，
解得：AF=125a或AF=−125a（舍去），
∴AH＝AF=125a，BF＝EH=165a，
在Rt△AGH中，GH=AG2−AH2=(3a)2−(125)a2=95a，
∴EG＝EH﹣GH=165a−95a=75a，
∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，
∴△AEG∽△DCG，
∴AGDG=EGCG，即3aDG=75aa，
∴DG=157a，
∴EGDG=75a157a=4975，
∴S三角形AGES三角形ADG=EGDG=4975．
故答案为：4975．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、折叠的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是将两三角形的面积比转化为两条线段的比，再利用相似三角形解决问题．
25．（2023•齐齐哈尔）矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M在AD边所在的直线上，且DM＝1，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，则线段EF的长度为 　352或154　．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】分点M在D点右边与左边两种情况，分别画出图形，根据勾股定理，锐角三角函数即可求解．
【解答】解：设BM，EF交于点O，
∵将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，
∴OM＝OB，EF⊥BM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠M＝∠OBF，∠MEO＝∠BFO，
又OM＝OB，
∴△OEM≌△OFB（AAS），
∴OE＝OF，
①当M点在D点的右侧时，如图所示，

∵BC＝5，DM＝1，
∴AM＝AD+DM＝BC+DM＝6，
Rt△ABM中，
BM=AM2+AB2=62+32=35，
∴OM=12BM=352，
∵tanM=EOOM=ABAM，
∴EO352=36，
∴EO=354，
∴EF＝2EO=352；
当M点在D点的左侧时，如图所示，

∵AB＝3，BC＝5，DM＝1，
∴BM=AM2+AB2=(5−1)2+32=5，
∴OM=12BM=52，
∵tan∠EMO=EOOM=ABAM，
∴EO52=34，
∴EO=158，
∴EF＝2EO=154，
综上所述，EF的长为352或154．
故答案为：352或154．
【点评】本题考查矩形中的折叠问题，涉及勾股定理，锐角三角函数等知识，分类讨论是解题的关键．
26．（2023•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，则BC的长为 　9　．
​

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【专题】展开与折叠；推理能力．
【分析】根据折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质得出B'E＝BE，＝2CE＝6即可求解．
【解答】解：∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC，∠CB'E＝30°，CE＝3，
∴B'E＝BE＝2CE＝6，
∴BC＝CE+BE＝3+6＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质熟练掌握以上性质是解题关键．
27．（2023•黑龙江）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若△ADE是直角三角形，则点E到直线BC的距离是 　6或3+22或3﹣22　．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】由折叠的性质可得点E在以点A为圆心，AB长为半径的圆上运动，延长BA交圆A的另一侧于点E，则此时△ADE是直角三角形，易得点E到直线BC的距离；当过点D的直线与圆相切于点E时，△ADE是直角三角形，分两种情况讨论即可求解．
【解答】解：由题意矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，

可知点E在以点A为圆心，AB长为半径的圆上运动，
如图1，延长BA交OA的另一侧于点E，则此时△ADE是直角三角形，
点E到直线BC的距离为BE的长度，即BE＝2AB＝6；
当过点D的直线与圆相切于点E时，△ADE是直角三角形，分两种情况：
①如图2，过点E作EH⊥BC交BC于点H，交AD于点G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴EG⊥AD，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH＝AB＝3，
∵AE＝AB＝3，AE⊥DE，AD＝9，
由勾股定理可得DE=92−32=62，
∵S△AED=12AE•DE=12AD•EG，
∴EG＝22，
∴E到直线BC的距离EH＝EG+GH＝3+22；
②如图3，过点E作EN⊥BC交BC于点N，交AD于点M，

∵四边形ABCD是矩形，
∴NM⊥AD，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN＝AB＝3，
∵AE＝AB＝3，AE⊥DE，AD＝9，
由勾股定理可得DE=92−32=62，
∵S△AED=12AE•DE=12AD•EM，
∴EM＝22，
∴E到直线BC的距离EN＝MN﹣GN＝3﹣22；
综上，点E到直线BC的距离是6或3+22或3﹣22，
故答案为：6或3+22或3﹣22．
【点评】本题考查了矩形的折叠问题，切线的应用，以及勾股定理，找到点E的运动轨迹是解题的关键．
28．（2023•随州）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点（不含端点），将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM．当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为 　10　；DP的最大值为 　25　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的面积；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】△CDP的面积直接以CD为底，AD为高即可求；当点P和M重合时，DP的值最大，画出图形，利用勾股定理构造方程即可解答．
【解答】解：△CDP的面积为 12×5×4=10；
当点P和M重合时，DP的值最大，如图；

设AP＝x，则PB＝5﹣x，DN＝4，
∴CN＝3，
在Rt△PBC中，根据勾股定理有：（5﹣x）2+42＝（x+3）2，
解得x＝2，
∴DP＝25，
故答案为：10，25，
【点评】本题考查矩形的性质和翻折的性质及勾股定理，熟悉性质是解题关键．
29．（2023•邵阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD=7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB'，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为 　11−2　．
​

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据折叠的性质得出B'在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在BC上时，当点P在DC．上时，当P在AD．上时，即可求解．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝2，AD=7，
∴BC＝AD=7，AC=BC2+AB2=7+4=11，
如图所示，当点P在BC上时，

∵AB'＝AB＝2，
.∴B'在A为圆心，2为半径的弧上运动，
当A，B'，C三点共线时，CB最短，
此时CB'＝AC﹣AB'=11−2，
当点P在DC上时，如图所示，

此时CB'＞11−2，
当P在AD上时，如图所示，此时CB'＞11−2，

综上所述，CB'的最小值为11−2，
故答案为：11−2．
【点评】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
30．（2023•十堰）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC（∠A＝90°）硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点），小明将这四块纸，重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为 　8　，最大值为 　8+22　．

【考点】图形的剪拼；等腰直角三角形；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据题意，可固定四边形GFCE，平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周长，判断最小值，最大值．
【解答】解：如图，

BC＝4，AC＝4×22=22，CI＝BD＝CE=12AC=2，DI＝BC＝4，
∴四边形BCID周长＝4+4+22=8+22；
如图，

AF＝AI＝IC＝FC＝2，
∴四边形AFCI周长为2x4＝8；
故答案为：8，8+22．
【点评】本题考查图形变换及勾股定理，通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的关键．
31．（2023•宜昌）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四边形A'EBC的周长为 　16　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；展开与折叠；推理能力．
【分析】可证∠ADE＝∠AED，得到AD＝AE，再证四边形A′EBC是平行四边形，可得四边形A'EBC的周长＝2（A′C+A′E），即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠AED＝∠A′DE，
由折叠得∠ADE＝∠A′ED，AD＝A′D，AE＝A′E，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴AD＝AE＝A′D＝A′E，
∴AB﹣BE＝CD﹣A′D，
∴A′C＝BE，
∴四边形A′EBC是平行四边形，
∴四边形A'EBC的周长＝2（A′C+A′E）＝2（A′C+A′D）＝2CD＝16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解决问题的关键．
32．（2023•临沂）如图，三角形纸片ABC中，AC＝6，BC＝9，分别沿与BC，AC平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 　14　．

【考点】剪纸问题；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力．
【分析】根据DE∥BC，DF∥AC，可得四边形DECF为平行四边形，△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，所以DEBC=ADAB=13，DFAC=BDBA=23，因为AC＝6，BC＝9，所以DE＝3，DF＝4，即可得出答案．
【解答】解：如图，

∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF为平行四边形，△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，
∴DEBC=ADAB=13，DFAC=BDBA=23，
∵AC＝6，BC＝9，
∴DE＝3，DF＝4，
∴平行四边形纸片的周长是2×（3+4）＝14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，掌握相似三角形的判定和性质．
33．（2023•新疆）如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，DE的长为 　37−3　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【分析】过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥BE于点G，由题意易得∠A＝60°，在Rt△ABF中，AF＝AB•cosA＝3，BF＝AB•sinA=33，由折叠可知∠AEB＝∠A′EB，由平行线的性质可得∠AEB＝∠CBE，进而得到∠CBE＝∠A′EB，于是△CBE为等腰直角三角形，BC＝CE＝8，EG＝BG=12BE，易证△BEF∽△CEG，由相似三角形的性质得到BE2＝2EF•CE，设EF＝x（0＜x＜8），则BE2＝2x•8＝16x，在Rt△BEF中，利用勾股定理建立方程，求解即可．
【解答】解：当点A′恰好落在EC上时，如图，过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥BE于点G，

∵四边形ABCD为平行四边形，BC＝8，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8，
∵∠ABC＝120°，
∴∠A＝60°，
在Rt△ABF中，AF＝AB•cosA＝6×12=3，BF＝AB•sinA＝6×32=33，
根据折叠的性质可得，∠AEB＝∠A′EB，
∵AE∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠A′EB，即∠CBE＝∠CEB，
∴△CBE为等腰直角三角形，BC＝CE＝8，
∵CG⊥BE，
∴EG＝BG=12BE，
∵∠BEF＝∠CEG，∠BFE＝∠CGE＝90°，
∴△BEF∽△CEG，
∴EFEG=BECE，即EF12BE=BECE，
∴BE2＝2EF•CE，
设EF＝x（0＜x＜8），
∴BE2＝2x•8＝16x，
在Rt△BEF中，EF2+BF2＝BE2，
∴x2+(33)2=16x，
整理得：x2﹣16x+27＝0，
解得：x1=8+37（舍去），x2=8−37，
∴EF=8−37，
∴DE＝AD﹣AF﹣EF＝8﹣3−(8−37）=37−3．
故答案为：37−3．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质、解直角三角形、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是根据题意正确画出图形，再添加合适的辅助线，构造直角三角形和相似三角形解决问题．
34．（2023•成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是 　（﹣5，﹣1）　．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出答案．
【解答】解：∵关于y轴对称，
∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣5，﹣1）．
故答案为：（﹣5，﹣1）．
【点评】本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
35．（2023•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G．若AGGE=73，则tanA＝　377　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；平行线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】过点G作GM⊥DE于M，证明△DGE∽△CGD，得出DG2＝GE×GC，根据AD∥GM，得AGEG=DMEM=73，设GE＝3k，AG＝7k，EM＝3n，DM＝7n，则EC＝DE＝10n，在Rt△DGM 中，GM2＝DG2﹣DM2，在Rt△GME中 GM2＝GE2﹣EM2，则 DG2﹣DM2＝GE2﹣EM2，解方程求得 n=34k，则 EM=94k，GE＝3k，用勾股定理求得GM，根据正切的定义，即可求解．
【解答】解：过点G作 GM⊥DE于M，如图，

∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴ED＝EC，
∵将△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠4，
又∵∠DGE＝∠CGD，
∴△DGE∽△CGD，
∴DGCG=GEDG，
∴DG2＝GE×GC，
∵∠ABC＝90°，DE∥BC，
∴AD⊥DE，
∴AD∥GM，
∴AGGE=DMEM，∠MGE＝∠A，
∵AGGE=73，
∴DMEM=73，
设GE＝3k，EM＝3n，则AG＝7k，DM＝7n，
∴EC＝DE＝10n，
∴DG2＝GE×GC＝3k×（3k+10n）＝9k2+30kn，
在Rt△DGM中，GM2＝DG2﹣DM2，
在Rt△GME中，GM2＝GE2﹣EM2，
∴DG2﹣DM2＝GE2﹣EM2，
即9k2+30kn﹣（7n）2＝（3k）2﹣（3n）2，
解得：n=34k，
∴EM=94k，
∵GE＝3k，
∴GM=GE2−EM2=(3k)2−(94k)2=374k，
∴tanA＝tan∠EGM=EMGM=94k374k=377．
故答案为：377．
【点评】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
36．（2023•凉山州）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB，若BC＝2，则CA′＝　23　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】由∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，可得∠A＝∠ACD，由翻折的性质可知∠ACD＝∠A'CD，AC＝CA'，故∠A＝∠ACD＝∠A'CD，而A'C⊥AB，即得∠A＝∠ACD＝∠A'CD＝30°，在Rt△ABC中，tan30°=2AC，可解得AC，从而可得答案．
【解答】解：设CA'交AB于O，如图：

∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠ACD，
由翻折的性质可知∠ACD＝∠A'CD，AC＝CA'，
∴∠A＝∠ACD＝∠A'CD，
∵A'C⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠A'CD+∠ACD+∠A＝90°，
∴∠A＝∠ACD＝∠A'CD＝30°，
在Rt△ABC中，tanA=BCAC，
∴tan30°=2AC，
∴AC＝23，
∴CA'＝23，
故答案为：23．
【点评】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形三边的关系．
37．（2023•南充）如图，在等边△ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，已知AB＝2．给出下列四个结论：①CN+NB′为定值；②当BN＝2NC时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M＝18°；④当AB′最短时，MN=72120．其中正确的结论是 　①②④　.（填写序号）

【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；菱形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】根据将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，得NB＝NB'，故CN+NB'＝CN+NB＝BC，判断①正确；由cos∠B'NC=NCB′N=12，得∠B'NC＝60°，可得△BMN是等边三角形，即可得B'M＝BM＝BN＝B'N，判断②正确；当点N与C重合时，可得∠B'AC＝∠AB'C＝75°，∠AB'M＝∠AB'C﹣∠MB'C＝15°，判断③错误；当AB′最短时，∠AB'C＝90°，过M作KT⊥BC于T，交B'A延长线于K，设BN＝B'N＝x，有x2＝（2﹣x）2+（3）2，可求得BN=74，设AM＝y，则BM＝2﹣y＝B'M，AK=12y，KM=32y，有（1+12y）2+（32y）2＝（2﹣y）2，可求出AM=35，BM=75，在Rt△BMT中，BT=12BM=710，MT=3BT=7310，故NT＝BN﹣BT=2120，在Rt△MNT中，MN=NT2+MT2=72120，判断④正确．
【解答】解：∵将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，
∴NB＝NB'，
∴CN+NB'＝CN+NB＝BC，
∵△ABC是等边三角形，AB＝2，
∴BC＝2，
∴CN+NB'＝BC＝2，故①正确；
∵BN＝2NC，
∴B'N＝2NC，
∵CD⊥BC，
∴∠B'CN＝90°，
∴cos∠B'NC=NCB′N=12，
∴∠B'NC＝60°，
∴∠BNB'＝120°，
∵将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，
∴∠BNM＝∠MNB'＝60°，BM＝B'M，BN＝B'N，
∵∠B＝60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM＝BN，
∴B'M＝BM＝BN＝B'N，
∴四边形BMB′N为菱形；故②正确；
当点N与C重合时，如图：

∵∠ACB＝60°，∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∵将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，
∴AC＝BC＝B'C，∠MB'C＝∠B＝60°，
∴∠B'AC＝∠AB'C＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠AB'M＝∠AB'C﹣∠MB'C＝75°﹣60°＝15°，故③错误；
当AB′最短时，∠AB'C＝90°，过M作KT⊥BC于T，交B'A延长线于K，如图：

∵∠ACB'＝∠BCB'﹣∠BCA＝30°，
∴AB'=12AC＝1，B'C=3AB'=3，∠B'AC＝60°，
设BN＝B'N＝x，则CN＝2﹣x，
在Rt△B'CN中，B'N2＝CN2+B'C2，
∴x2＝（2﹣x）2+（3）2，
解得x=74，
∴BN=74，
∵∠AB'C＝90°＝∠BCB'，
∴AB'∥BC，
∴KT⊥AB'，
∴∠K＝90°，
∵∠KAM＝180°﹣∠BAC﹣∠B'AC＝60°，
∴∠KMA＝30°，
∴AK=12AM，KM=32AM，
设AM＝y，则BM＝2﹣y＝B'M，AK=12y，KM=32y，
∴B'K＝AB'+AK＝1+12y，
在Rt△B'KM中，B'K2+KM2＝B'M2，
∴（1+12y）2+（32y）2＝（2﹣y）2，
解得y=35，
∴AM=35，BM=75，
在Rt△BMT中，∠B＝60°，
∴BT=12BM=710，MT=3BT=7310，
∴NT＝BN﹣BT=74−710=2120，
在Rt△MNT中，
MN=NT2+MT2=(2120)2+(7310)2=72120，故④正确，
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查等边三角形中的翻折问题，涉及含30°角的直角三角形三边的关系，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
38．（2023•泸州）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是 　27　．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；数学建模思想；几何变换；几何直观；模型思想．
【分析】找出点E关于AC的对称点E'，连接FE'与AC的交点P'即为PE+PF取得最小值时，点P的位置，再设法求出AP′P′C的值即可．
【解答】解：作点E关于AC的对称点E'，连接FE'交AC于点P'，连接PE'，

∴PE＝PE'，
∴PE+PF＝PE'+PF≥E'F，
故当PE+PF取得最小值时，点P位于点P'处，
∴当PE+PF取得最小值时，求APPC的值，只要求出AP′P′C的值即可．
∵正方形ABCD是关于AC所在直线轴对称，
∴点E关于AC所在直线对称的对称点E'在AD上，且AE'＝AE，
过点F作FG⊥AB交AC于点G，
则∠GFA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，
∴FG∥BC∥AD，∠AGF＝∠ACB＝45°，
∴GF＝AF，
∵E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，
∴AE'＝AE＝EF＝FB，
∴GC=13AC，AE′GF=AEAF=12，
∴AG=23AC，AP′P′G=AE′GF=12，
∴AP'=13AG=13×23AC=29AC，
∴P'C＝AC﹣AP'＝AC−29AC=79AC，
∴AP′P′C=29AC79AC=27，
故答案为：27．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，熟悉运用将军饮马模型，以及转化思想是解题的关键．
39．（2023•自贡）如图，直线y=−13x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线y=−43x+2上的一动点，动点E（m，0），F（m+3，0），连接BE，DF，HD．当BE+DF取最小值时，3BH+5DH的最小值是 　392　．

【考点】胡不归问题；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】作出点C（3，﹣2），作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，此时BE+DF的最小值为CD的长，利用解直角三角形求得F(113，0)，利用待定系数法求得直线CD的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作DG⊥y轴于点G，此时3BH+5DH的最小值是5DG的长，据此求解即可．
【解答】解：∵直线 y=−13x+2 与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴B（0，2），A（6，0），
作点B关于x轴的对称点B'（0，﹣2），把点B'向右平移3个单位得到C（3，﹣2），
作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，过点B'作B'E∥CD交x轴于点E，则四边形EFCB'是平行四边形，

此时，B'E＝BE＝CF，
∴BE+DF＝CF+DF＝CD有最小值，
作CP⊥x轴于点P，则CP＝2，OP＝3，
∵∠CFP＝∠AFD，
∴∠FCP＝∠FAD，
∴tan∠FCP＝tan∠FAD，
∴PFPC=OBOA，
即 PE2=26PF=23，
则 F(113，0)，
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
则，3k+b=−2113k+b=0，
解得k=3b=−11，
∴直线CD的解析式为y＝3x﹣11，
联立y=3x−11y=−13x+2，
解得x=3910y=710，
即D（3910，710），
过点D作DG⊥y轴于点G，

直线y=−43x+2 与x轴的交点为Q(32，0)，则BQ=OQ2+OB2=52，
∴sin∠OBQ=OQBQ=3252=35，
∴HG=BHsin∠GBH=35BH，
∴3BH+5DH＝5（35BH+DH）＝5（HG+DH）＝5DG，
即3BH+5DH的最小值是5DG＝5×3910=392，
故答案为：392．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共5小题）
40．（2023•通辽）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ．
（1）如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝　30　度；
（2）改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
​
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】（1）由折叠可得AE＝BE=12AB，∠AEM＝∠BEM＝90°，AB＝BM，故BE=12BM，从而可得∠EMB＝30°；
（2）证明Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL），可得∠MBQ＝∠CBQ．
【解答】解：（1）由折叠可得：AE＝BE=12AB，∠AEM＝∠BEM＝90°，AB＝BM，
∴BE=12BM，
∴∠EMB＝30°；
故答案为：30；
（2）∠MBQ＝∠CBQ，理由如下：
∵在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，
∴AB＝BM，∠A＝∠BMP＝90°，
∴BC＝AB＝BM，∠BMQ＝∠C＝90°，
∵BM＝BM，
∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL）；
∴∠MBQ＝∠CBQ．
【点评】本题考查正方形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质和正方形性质．
41．（2023•湖北）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM．
（1）求证：∠AMB＝∠BMP；
（2）若DP＝1，求MD的长．

【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】证明题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）利用平行线内错角相等和翻折前后对应角相等，等量代换即可证明；
（2）利用相似列出关系式DPAM=MDAE，利用边的关系代入到关系式可求出．
【解答】（1）证明：点B、M关于线段EF对称，由翻折的性质可知：∠MBC＝∠BMP，
∵ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠MBC＝∠AMB，
∴∠AMB＝∠BMP（等量代换）．
（2）解：设MD＝x，则AM＝3﹣x，设AE＝y，则EM＝EB＝3﹣y．
在Rt△AEM中，AE2+AM2＝EM2，
∴y2+（3﹣x）2＝（3﹣y）2，
∴y=−16x2+x．即AE=−16x2+x．
∵∠ABC＝∠EMN＝90°，
∴∠AME+∠DMP＝90°，
又∵∠AEM+∠AME＝90°，
∴∠AEM＝∠DMP，∠A＝∠D，
∴△AEM∽△DMP．
∴DPAM=MDAE，13−x=x−16x2+x，
整理得：56x2=2x，
∴x=125．
∴MD=125．

【点评】本题考查了翻折的性质以及相似三角的判定，勾股定理的应用，掌握一线三垂直的相似是本题突破的关键．
42．（2023•无锡）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A＝60°，点Q为CD的中点，P为线段A上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB'C'Q．
（1）当∠QPB＝45°时，求四边形BB'C'C的面积；
（2）当点P在线段AB上移动时，设BP＝x，四边形BB'C'C的面积为S，求S关于x的函数表达式．

【考点】翻折变换（折叠问题）；函数关系式；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；展开与折叠；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据菱形的性质，证明△BDC为等边三角形，求出PB，PQ，由折叠的性质得∠BPB′＝90°，PB＝PB′，求出BB′，PE，同理求出CQ，CC′，QF，根据S四边形BB′C′C＝2S四边形PBCQ﹣S△PBB′+S△CQC即可求解．
（2）作辅助线，根据题意表示出三角形QEB的面积，证明△BEQ∽△QFC，表示出三角形QFC的面积，即可求解．
【解答】解：（1）连接BD、BQ，

∵菱形ABCD，
∴CB＝CD＝4，∠A＝∠C＝60°，
∴△BDC为等边三角形，
∵Q为CD中点，
∴PB＝23，PQ＝26，
由翻折的性质可得，∠BPB′＝90°，PB＝PB′，
∴BB′=26，PE=6，
同理CQ＝2，
∴CC′=22，QF=2，
∴S四边形BB′C′C＝2S四边形PBCQ﹣S△PBB′+S△CQC′=2×12×(2+23)×23−12×(23)2+12×22=43+8，
答：四边形BB'C'C的面积为43+8．
（2）如图，连接BQ、B′Q，延长PQ交CC′于点F，

∵PB＝x，BQ＝23，∠PBQ＝90°，
∴BE=23xx2+12，
∴QE=12x2+12，
∴S△QEB=12×23xx2+12×12x2+12=123xx2+12，
∵∠BEQ＝BQC＝∠QFC＝90°，
∴△BEQ∽△QFC，
∴S△QFCS△BEQ=(CQQB)2=(223)2=13，
∴S△QFC=43xx2+12，
∴S＝2（S△QEB+S△BQC+S△QFC）＝2（123xx2+12+23+43x2+12）=323xx2+12+43．
答：S关于x的函数表达式为323xx2+12+43．
【点评】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，菱形的性质及函数关系式的应用，解题关键是掌握折叠的性质，等边三角形的性质，菱形的性质及函数关系式的应用．
43．（2023•广西）【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF：折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B'E展平纸片，连接AB'，BB'，BE′．请完成：
（1）观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；
（2）证明（1）中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B′，P′，展平纸片，连接BB′，P′B′．请完成：
（3）证明BB′是∠NBC的一条三等分线．

【考点】翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】（1）猜想∠1＝∠2＝∠3；
（2）可推出点O是等边三角形ABB′的外心，从而得出∠1＝∠2＝30°，进一步得出结论；
（3）同理（2）可得OB＝OB′＝OP＝OP′，BP′＝PB′＝BB′，从而∠P′BO＝∠B′BO，∠OBB′＝∠BB′O，根据EF∥BC得出∠OB′B＝∠B′BC，进一步得出结论．
【解答】（1）解：∠1＝∠2＝∠3；
（2）证明：如图1，

设AM，EF交于点O，
由题意得：EF是AB的垂直平分线，AM是BB′的垂直平分线，AB＝AB′，
∴AB′＝BB′，OA＝OB＝OB′，
∴AB′＝BB′＝AB，O为外心，
∴∠ABB′＝60°，
∴∠1＝∠2＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠3＝90°﹣60°＝30°，
∴∠1＝∠2＝∠3；
（3）证明：如图2，

同理（2）得：OB＝OB′＝OP＝OP′，BP′＝PB′＝BB′，
∴∠P′BO＝∠B′BO，∠OBB′＝∠BB′O，
∵EF∥BC，
∴∠OB′B＝∠B′BC，
∴∠P′BO＝∠B′BO＝∠B′BC，
∴BB′是∠NBC的一条三等分线．
【点评】本题考查了轴对称的性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
44．（2023•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）．
（1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；
（2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；
（3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB．

【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣平移变换；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；
（2）根据平移的性质画出图形即可；
（3）根据线段垂直平分线的作法画出图形即可．
【解答】解：（1）线段A1B1如图所示；
（2）线段A2B2如图所示；
（3）直线MN即为所求．

【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了线段垂直平分线的性质．

考点卡片
1．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
2．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
3．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用x=ay=b的形式表示．
4．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
5．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
6．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
7．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
8．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
9．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
10．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
11．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
12．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
13．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
14．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
15．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
16．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
17．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
18．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
19．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
20．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
21．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
22．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．


23．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
24．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
25．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
26．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）
27．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
28．剪纸问题
一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
29．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
30．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
31．图形的剪拼
图形的剪拼．
32．胡不归问题
著名的几何最值问题
33．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
34．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
35．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
36．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
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