中考数学二轮精品专题复习 圆(解答题二)

这是一份中考数学二轮精品专题复习 圆(解答题二)，共118页。
2023年中考数学真题知识点汇编之《圆(解答题二)》
一．解答题（共42小题）
1．（2023•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F．
（1）求证：BD＝BC；
（2）若⊙O的半径r＝3，BE＝6，求线段BF的长．

2．（2023•滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC的外接圆
交于点D．
（1）求证：S△ABF：S△ACF＝AB：AC；
（2）求证：AB：AC＝BF：CF；
（3）求证：AF2＝AB•AC﹣BF•CF；
（4）猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）

3．（2023•绍兴）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；
（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．

4．（2023•十堰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CE=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

5．（2023•广元）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F．
​（1）求证：∠BCD＝∠BOE；
（2）若sin∠CAB=35，AB＝10，求BD的长．

6．（2023•随州）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是BE的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，sin∠AFD=13，
①求⊙O的半径；
②求线段DE的长．

7．（2023•永州）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若AC=6，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；
（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．

8．（2023•安徽）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；
（2）如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB．若BD＝33，AE＝3，求弦BC的长．

9．（2023•扬州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD=12∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinB=35，⊙O的半径为3，求AC的长．

10．（2023•金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．
（1）求证：四边形ABOH为矩形．
（2）已知⊙A的半径为4，OB=7，求弦CD的长．

11．（2023•湖北）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AE＝3，DE＝6，求AF的长．

12．（2023•乐山）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连结AD，AE，且AD＝AE，CA＝CE．
​（1）求证：直线AE是⊙O是的切线；
（2）若sinE=23，⊙O的半径为3，求AD的长．

13．（2023•内江）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接BD并延长交AC的延长线于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）当∠F＝30°时，判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，ME＝1，连接BC交AD于点P，求AP的长．

14．（2023•株洲）如图所示，四边形ABCD是半径为R的⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠ABD＝45°，直线l与三条线段CD、CA、DA的延长线分别交于点E、F、G，且满足∠CFE＝45°．
（1）求证：直线l⊥直线CE；
（2）若AB＝DG．
①求证：△ABC≌△GDE；
②若R=1，CE=32，求四边形ABCD的周长．

15．（2023•江西）如图，在△ABC中，AB＝4，∠C＝64°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为ABD上一点，且∠ADE＝40°．
（1）求BE的长；
（2）若∠EAD＝76°，求证：CB为⊙O的切线．

16．（2023•天津）在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC＝60°，E为弦AB所对的优弧上一点．
（1）如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；
（2）如图②，CE与AB相交于点F，EF＝EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA＝3，求EG的长．

17．（2023•上海）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO延长线上，且cos∠ABC=45，OC=12OB．
（1）求⊙O的半径；
（2）求∠BAC的正切值．

18．（2023•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G．
（1）求证：AF＝DF．
（2）若AF=52，sin∠ABD=55，求⊙O的半径．

19．（2023•宜昌）如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3．

（1）填空：∠PBA的度数是 　 　，PA的长为 　 　；
（2）求△ABC的面积；
（3）如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是AC上一点，AE＝5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于点F，G，求EFFG的值．
20．（2023•枣庄）如图，AB为⊙O的直径，点C是AD的中点，过点C做射线BD的垂线，垂足为E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BE＝3，AB＝4，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．

21．（2023•杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG•BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．

22．（2023•上海）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F边OB中点，为以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，联结EF交OD于点G．

（1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；
（2）如图（2）所示，联结OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长；
（3）联结BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求OGOD的值．
23．（2023•乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△A′B′C′的位置，那么可以得到：
AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；
∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：　 　；
（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．
①请在图中作出点O；
②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为 　 　；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．
​
24．（2023•临沂）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝75°，BC＝2，求CD的长．

25．我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
（1）如图1，当AB＝6，BP长为π时，求BC的长；
（2）如图2，当AQAB=34，BP=PQ时，求BCCD的值；
（3）如图3，当sin∠BAQ=64，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出PQBP的值．

26．（2023•烟台）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，求tan∠ADB的值．

27．（2023•金昌）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）当⊙O的半径为5，sinB=35时，求CE的长．

28．（2023•新疆）如图，AB是⊙O的直径，点C，F是⊙O上的点，且∠CBF＝∠BAC，连接AF，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点E，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若tanE=34，BE＝4，求FH的长．

29．（2023•怀化）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC＝PA．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD•OC＝PA•OD；
（3）若∠CAB＝30°，OD＝8，求阴影部分的面积．

30．（2023•宜宾）如图，以AB为直径的⊙O上有两点E、F，BE=EF，过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，过C作CM平分∠ACD交AE于点M，交BE于点N．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：EM＝EN；
（3）如果N是CM的中点，且AB＝95，求EN的长．

31．（2023•巴中）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过D作DF⊥AC于点E，交BA延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若CE=3，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．

32．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC．

（1）求∠BGC的度数．
（2）①求证：AF＝BC．
②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．
（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．
33．（2023•成都）如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE．
（1）求证：AC＝BC；
（2）若tanB＝2，CD＝3，求AB和DE的长．

34．（2023•浙江）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．

（1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出AD的长度；
（3）如图2，延长AH至点F，使得HF＝AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM．若PD=12AD，求证：MH⊥CP．
35．（2023•遂宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M．交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AD2＝AB•CN；
（3）当AB＝6，sin∠DCA=33时，求AM的长．

​

36．（2023•眉山）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若sin∠P=13，BP＝4，求CD的长．

37．（2023•广安）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若sinC=45，DE＝5，求AD的长；
（3）求证：2DE2＝CD•OE．

38．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是AB的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．
（1）求证：AD∥HC；
（2）若OGGC=2，求tan∠FAG的值；
（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．
下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．
①若OF=52，求BC的长；
②若AH=10，求△ANB的周长；
③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．

39．（2023•凉山州）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，点P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为点E，∠EAD＝∠FAD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若PA＝4，PD＝2，求⊙O的半径和DE的长．

40．（2023•达州）如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB＝BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB＝∠ACB，AC、BD相交于点E．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，DE＝4，∠P＝30°，求AP的长．
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41．（2023•南充）如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD．
（1）求证：∠OCA＝∠ADC；
（2）若AD＝2，tanB=13，求OC的长．

42．（2023•泸州）如图，AB是⊙O的直径，AB＝210，⊙O的弦CD⊥AB于点E，CD＝6．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接BC．
（1）求证：BC平分∠DCF；
（2）G为AD上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝3GH，求BH的长．


2023年中考数学真题知识点汇编之《圆(解答题二)》
参考答案与试题解析
一．解答题（共42小题）
1．（2023•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F．
（1）求证：BD＝BC；
（2）若⊙O的半径r＝3，BE＝6，求线段BF的长．

【考点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】（1）如图，连接DC，根据圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC＝45°，求得∠BCD＝90°﹣∠BDC＝45°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，根据圆周角定理得到CD为⊙O的直径，求得CD＝2r＝6．根据勾股定理得到EC=BE2+BC2=62+(32)2=36，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连接DC，
则∠BDC＝∠BAC＝45°，
∵BD⊥BC，
∴∠BCD＝90°﹣∠BDC＝45°，
∴∠BCD＝∠BDC．
∴BD＝BC；
（2）解：如图，∵∠DBC＝90°，
∴CD为⊙O的直径，
∴CD＝2r＝6．
∴BC＝CD•sin∠BDC=6×22=32，
∴EC=BE2+BC2=62+(32)2=36，
∵BF⊥AC，
∴∠BMC＝∠EBC＝90°，∠BCM＝∠BCM，
∴△BCM∽△ECB．
∴BCEC=BMEB=CMCB，
∴BM=BC⋅EBEC=32×636=23，CM=BC2EC=(32)236=6，
连接CF，则∠F＝∠BDC＝45°，∠MCF＝45°，
∴MF＝MC=6，
∴BF＝BM+MF＝23+6．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
2．（2023•滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC的外接圆
交于点D．
（1）求证：S△ABF：S△ACF＝AB：AC；
（2）求证：AB：AC＝BF：CF；
（3）求证：AF2＝AB•AC﹣BF•CF；
（4）猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）

【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【分析】（1）过点D作FH⊥AC，FG⊥AB，垂足分别为H、G，则DG＝DH，进而表示出两个三角形的面积即可求解．
（2）过点A作AM⊥BC于点M，表示出两个三角形的面积即可，
（3）连接DB、DC，证明△BFD∽△AFC得出BF•CF＝AF•DF，证明△ABF∽△ADC，得出AB•AC＝AD•AF，即AB•AC＝（AF+DF）•AF，恒等变形即可求解．
（4）连接BE，证明△ABD∽△BFD，得出DB2＝DA•DF，证明∠BED＝∠DBE，得出DB＝DE即可．
【解答】（1）解：过点D作FH⊥AC，FG⊥AB，垂足分别为H、G，如图：

∵点E是△ABC的内心，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵FH⊥AC，FG⊥AB，
∴FG＝FH，
∵S△ABF12⋅AB⋅FG，S△ACF12⋅AC⋅FH，
∴S△ABF：S△ACF＝AB：AC．
（2）证明：过点A作AM⊥BC于点M，如图，

∵S△ABF=12BF×AM，S△ACF=12FC×AM，
∴S△ABF：S△ACF＝BF：FC，
由（1）可得S△ABF：S△ACF＝AB：AC．
∴AB：AC＝BF：FC，
（3）证明：连接DB、DC，如图，

∵AB=AB，DC=DC，
∴∠ACF＝∠BDF，∠FAC＝∠FBD，
∴△BFD∽△AFC，
∴BF•CF＝AF•DF，
∵AC=AC，
∴∠FBA＝∠ADC，
又∠BAD＝∠DAC，
∴△ABF∽△ADC，
∴ABAD=AFAC，
∴AB•AC＝AD•AF，
∴AB•AC＝（AF+DF）•AF＝AF2+AF•DF，
∴AF2＝AB•AC﹣BF•CF．
（4）连接BE，如图，

∵点E是△ABC的内心，
∴BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵∠CAB＝∠CAD＝∠BAD，∠ADB＝∠BDF，
∴△ABD∽△BFD，
∴DBDF=DADB，
∴DB2＝DA•DF，
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE=12∠BAC+12∠ABC，
∠DBE＝∠DBC+∠FBE＝∠DAC+∠FBE=12∠BAC+12∠ABC，
∴∠BED＝∠DBE，
∴DB＝DE，
∴DE2＝DA•DF，
【点评】本题考查三角形内心的定义，圆周角定理，角平分线的定义与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握性质是解题关键．
3．（2023•绍兴）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．
（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；
（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．

【考点】切线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由垂直的定义得到∠AEC＝90°，由三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数；
（2）由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理得到CDCE=ODOA，代入有关数据，即可求出CE的长．
【解答】解：（1）∵AE⊥CD于点E，
∴∠AEC＝90°
∴∠ACD＝∠AEC+∠EAC＝90°+25°＝115°；
（2）∵CD是⊙O的切线，
∴半径OC⊥DE，
∴∠OCD＝90°，
∵OC＝OB＝2，BD＝1，
∴OD＝OB+BD＝3，
∴CD=OD2−OC2=5．
∵∠OCD＝∠AEC＝90°，
∴OC∥AE，
∴CDCE=ODOA，
∴5CE=32，
∴CE=253．

【点评】本题考查切线的性质，垂线，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出∠ACD的度数，由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理即可求出CE的长．
4．（2023•十堰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CE=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；勾股定理；等腰直角三角形；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OE、OD，证出OE⊥BC，即可得出结论，
（2）根据S阴影＝S△OEB﹣S扇形OEF，分别求出△OEB和扇形OEF的面积即可．
【解答】（1）证明：连接OE、OD，如图：

∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠OAD＝∠B＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∵点E是弧DF的中点．
∴∠DOE＝∠EDF=12∠DOF＝45°，
∴∠OEB＝180°﹣∠EOF﹣∠B＝90°
∴OE⊥BC，
∵OE是半径，
∴BC是⊙O的切线，
（2）解：∵OE⊥BC，∠B＝45°，
∴△OEB是等腰三角形，
设BE＝OE＝x，则OB=2x，
∴AB＝x+2x，
∵AB=2BC，
∴x+2x=2（2+x），
解得x＝2，
∴S阴影＝S△OEB﹣S扇形OEF=12×2×2−45×π×22360=2−π2．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理，扇形的面积，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题关键．
5．（2023•广元）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F．
​（1）求证：∠BCD＝∠BOE；
（2）若sin∠CAB=35，AB＝10，求BD的长．

【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠OCB+∠BCD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，等量代换得到∠BCD＝∠BOE；
（2）过B作BH⊥CD于H，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角函数的定义得到BC＝6，根据平行线的性质得到∠BOE＝∠CAB，根据三角函数的定义得到BH=185，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∵OF⊥BC，
∴∠BEO＝90°，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCD＝∠BOE；
（2）解：过B作BH⊥CD于H，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵sin∠CAB=BCAB=35，AB＝10，
∴BC＝6，
∵OF⊥BC，
∴AC∥OF，
∴∠BOE＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠BOE，
∴∠BAC＝∠BCD，
∴sin∠CAB＝sin∠DCB=BHBC=35，
∴BH=185，
∵OC⊥CD，BH⊥CD，
∴BH∥OC，
∴△BDH∽△ODC，
∴BHOC=BDOD，
∴1855=BDBD+5，
解得BD=907，
故BD的长为907．

【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
6．（2023•随州）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是BE的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝2，sin∠AFD=13，
①求⊙O的半径；
②求线段DE的长．

【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OC，根据垂直定义可得∠D＝90°，根据已知易得CE=CB，从而利用等弧所对的圆周角相等可得∠DAC＝∠CAB，然后利用等腰三角形的性质可得∠CAB＝∠OCA，从而可得∠DAC＝∠OCA，进而可得AD∥OC，最后利用平行线的性质可得∠OCF＝∠D＝90°，即可解答；
（2）①过点O作OG⊥AE，垂足为G，根据垂径定理可得AG＝EG＝1，再根据垂直定义可得∠AGO＝∠DGO＝90°，从而可得∠D＝∠AGO＝90°，进而可得OG∥DF，然后利用平行线的性质可得∠AFD＝∠AOG，从而可得sin∠AOG＝sin∠AFD=13，最后在Rt△AGO中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
②根据平角定义可得∠OCD＝90°，从而可得四边形OGDC是矩形，然后利用矩形的性质可得OC＝DG＝3，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵AD⊥DF，
∴∠D＝90°，
∵点C是BE的中点，
∴CE=CB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠OCF＝∠D＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：①过点O作OG⊥AE，垂足为G，

∴AG＝EG=12AE＝1，
∵OG⊥AD，
∴∠AGO＝∠DGO＝90°，
∵∠D＝∠AGO＝90°，
∴OG∥DF，
∴∠AFD＝∠AOG，
∵sin∠AFD=13，
∴sin∠AOG＝sin∠AFD=13，
在Rt△AGO中，AO=AGsin∠AOG=113=3，
∴⊙O的半径为3；
②∵∠OCF＝90°，
∴∠OCD＝180°﹣∠OCF＝90°，
∵∠OGE＝∠D＝90°，
∴四边形OGDC是矩形，
∴OC＝DG＝3，
∵GE＝1，
∴DE＝DG﹣GE＝3﹣1＝2，
∴线段DE的长为2．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．（2023•永州）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若AC=6，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；
（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．

【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力；应用意识．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，故∠BAC+∠ABC＝90°，由∠BAC＝∠BDA得∠BDA+∠ABC＝90°，有∠BAD＝90°，即可得证；
（2）证明△ACB∽△DCA，则 BCAC=ACDC=ACBD−BC，可得 BC6=65−BC，解得BC＝2 或BC＝3，由AC＞CD即可得到BC的长；
（3）先证明△ABC∽△DAC，则 ACDC=ABAD，得到AC•AD＝CD•AB，由 DE•AM＝AC•AD得到DE•AM＝CD•AB，故 AMDC=ABDE，由同角的余角相等得∠BAM＝∠CDE，有△AMBB∽△DCE，得∠E＝∠ABM，进一步得到∠EGA+∠E＝∠ABM+∠BGN＝90°，则∠BNG＝90°，即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝∠BDA，
∴∠BDA+∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC＝∠BDA，∠ACB＝∠DCA＝90°，
∴△ACB∽△DCA，
∴BCAC=ACDC=ACBD−BC，
∴BC6=65−BC，
解得BC＝2或BC＝3，
当BC＝2时，CD＝BD﹣BC＝3，
当BC＝3时，CD＝BD﹣BC＝2，
∵AC＞CD，即6＞CD，
∴BC＝3；
（3）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠DCA＝90°，
∵∠BAC＝∠BDA，
∴△ABC∽△DAC，
∴ACDC=ABAD，
∴AC•AD＝CD•AB，
∵DE•AM＝AC•AD，
∴DE．AM＝CD•AB，
∴AMDC=ABDE，
∵∠BAM+∠CAD＝∠CDE+∠CAD＝90°，
∴∠BAM＝∠CDE，
∴△AMB∽△DCE，
∴∠E＝∠ABM，
∵∠EGA＝∠BGN，
∴∠EGA+∠E＝∠ABM+∠BGN＝90°，
∴∠BNG＝90°，
∴BM⊥CE．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
8．（2023•安徽）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；
（2）如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB．若BD＝33，AE＝3，求弦BC的长．

【考点】点与圆的位置关系；角平分线的性质；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】（1）由垂径定理证出∠ACB＝∠ACD，则可得出结论；
（2）延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，证明四边形AECD是平行四边形，则AE＝CD＝3，根据勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵OA⊥BD，
∴AB=AD，
∴∠ACB＝∠ACD，
即CA平分∠BCD；
（2）延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，

∵AE⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AMB＝∠CNB＝90°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB，
∴AD∥NC，CD∥AM，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE＝CD＝3，
∴BC=BD2−CD2=(33)2−32=32．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．（2023•扬州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD=12∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinB=35，⊙O的半径为3，求AC的长．

【考点】直线与圆的位置关系；解直角三角形；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD＝∠ODC，求得∠DOB＝∠OCD+∠ODC＝2∠BCD，等量代换得到∠BCD＝∠A，求得∠BDO＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到OB＝5，求得BC＝OB+OC＝8，设AC＝3x，AB＝5x，根据勾股定理得到BC=AB2−AC2=4x＝8，于是得到结论．
【解答】解：（1）直线AB与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠DOB＝∠OCD+∠ODC＝2∠BCD，
∴∠BCD=12∠BOD，
∵∠BCD=12∠A，
∴∠BCD＝∠A，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠BDO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切；
（2）∵sinB=ODOB=35，OD＝3，
∴OB＝5，
∴BC＝OB+OC＝8，
在Rt△ACB中，sinB=ACAB=35，
∴设AC＝3x，AB＝5x，
∴BC=AB2−AC2=4x＝8，
∴x＝2，
∴AC＝3x＝6．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
10．（2023•金华）如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，过点A作AH⊥CD于点H．
（1）求证：四边形ABOH为矩形．
（2）已知⊙A的半径为4，OB=7，求弦CD的长．

【考点】切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】（1）根据切线的性质得到AB⊥x轴根据垂直的定义得到∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，根据矩形的判定定理得到四边形AHOB是矩形；
（2）连接AD，根据矩形的性质得到AH＝OB=7，根据勾股定理得到DH=AD2−AH2=42−(7)2=3，根据垂径定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵⊙A与x轴相切于点B，
∴AB⊥x轴
又∵AH⊥CD，HO⊥OB，
∴∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，
∴四边形AHOB是矩形；
（2）解：连接AD，
∵四边形AHOB是矩形，
∴AH＝OB=7，
∵AD＝AB＝4，
∴DH=AD2−AH2=42−(7)2=3，
∵AH⊥CD，
∴CD＝2DH＝6．

【点评】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正确都作出辅助线是解题的关键．
11．（2023•湖北）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AE＝3，DE＝6，求AF的长．

【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）连接OD，由切线的性质得到半径OD⊥DE，又DE⊥AC，因此OD∥AC，推出∠C＝∠ODB，由等腰三角形的性质得到∠B＝∠ODB，故∠B＝∠C，即可证明AB＝AC；
（2）连接DF，DA，由圆周角定理得到∠F＝∠B，而∠B＝∠C，得到∠F＝∠C，推出DF＝DC，因此CE＝FE，由△DAE∽△CDE，得到DE：CE＝AE：DE，即可求出CE＝12，于是得到AF＝EF﹣AE＝12﹣3＝9．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴半径OD⊥DE，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴∠C＝∠ODB，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）解：连接DF，DA，
∵∠F＝∠B，∠B＝∠C，
∴∠F＝∠C，
∴DF＝DC，
∵DE⊥CF，
∴FE＝EC，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∠ADE+∠CDE＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠C+∠CDE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∵∠AED＝∠CDE＝90°，
∴△DAE∽△CDE，
∴DE：CE＝AE：DE，
∵AE＝3，DE＝6，
∴6：CE＝3：6，
∴CE＝12，
∴EF＝EC＝12，
∴AF＝EF﹣AE＝12﹣3＝9．

【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由切线的性质推出OD∥AC；由等腰三角形的性质得到EF＝CE，由△DAE∽△CDE，求出CE的长．
12．（2023•乐山）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连结AD，AE，且AD＝AE，CA＝CE．
​（1）求证：直线AE是⊙O是的切线；
（2）若sinE=23，⊙O的半径为3，求AD的长．

【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）先由∠ACB＝90°，证明AB是⊙O的直径，再证明∠CAE＝∠B，则∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，即可证明直线AE是⊙O是的切线；
（2）由∠E＝∠CAE＝∠B，得CAAB=sinB＝sinE=CFCE=23，则CE＝CA=23AB=23×6＝4，CF=23CE=23×4=83，所以AF＝BF=CE2−CF2=453，则AD＝AE＝2AF=853．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∵AD＝AE，
∴∠E＝∠D，
∵∠B＝∠D，
∴∠E＝∠B，
∵CA＝CE，
∴∠E＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠B，
∴∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴直线AE是⊙O是的切线．
（2）解：作CF⊥AE于点F，则∠CFE＝90°，
∵∠E＝∠CAE＝∠B，
∴CAAB=sinB＝sinE=CFCE=23，
∵OA＝OB＝3，
∴AB＝6，
∴CE＝CA=23AB=23×6＝4，
∴CF=23CE=23×4=83，
∴AF＝BF=CE2−CF2=42−(83)2=453，
∴AD＝AE＝2AF＝2×453=853，
∴AD的长是853．

【点评】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
13．（2023•内江）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接BD并延长交AC的延长线于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）当∠F＝30°时，判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，ME＝1，连接BC交AD于点P，求AP的长．

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【专题】几何综合题；与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】（1）由角平分线的定义及等腰三角形的性质证明OD∥AC，可推出OD⊥DE，即可证明直线DE是⊙O的切线；
（2）证出∠CAD＝∠DAF＝30°，∠CBD＝∠CAD＝30°，得到∠ABC＝30°，由此计算即可证明结论成立；
（3）利用含30度的直角三角形的性质求得MD＝2，得到等边△ABM的边长，在Rt△ACP中，利用余弦函数的定义即可求解．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）解：△ABM是等边三角形，理由如下：
∵DE⊥AC，∠F＝30°，
∴∠EAF＝60°，
∴∠EAD＝∠DAF＝30°，
∴∠CBD＝∠CAD＝30°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠EAF＝30°，
∴∠ABM＝∠ABC+∠CBD＝60°，
∴△ABM是等边三角形；
（3）解：∵△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∴∠MDE＝30°，
∵ME＝1，
∴MD＝2ME＝2，
∴AB＝MB＝4，
∵AB为⊙O的直径，∠ABC＝30°，
∴AC=12AB=2，
∵∠CAD＝30°，cos∠CAD=ACAP，
即cos30°=2AP=32，
∴AP=433．
【点评】此题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
14．（2023•株洲）如图所示，四边形ABCD是半径为R的⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠ABD＝45°，直线l与三条线段CD、CA、DA的延长线分别交于点E、F、G，且满足∠CFE＝45°．
（1）求证：直线l⊥直线CE；
（2）若AB＝DG．
①求证：△ABC≌△GDE；
②若R=1，CE=32，求四边形ABCD的周长．

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【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出∠ACD＝∠ABD＝45°，结合已知∠CFE＝45°，利用三角形内角和定理求出∠CEF＝90°，即可得到直线l⊥直线CE；
（2）①根据圆内接四边形对角互补得到∠ABC+∠ADC＝180°，再根据邻补角的定义得出∠GDE+∠ADC＝180°，从而得到∠ABC＝∠GDE，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB＝90°，结合（1）中∠CEF＝90°，可以得到∠ACB＝∠GED，最后利用AAS证得△ABC≌△GDE；
②由①已证△ACB≌△GED可以得出BC＝DE，于是有BC+CD＝DE+CD＝CE，再根据圆的半径求出直径AB的长，再证△ABD为等腰直角三角形，从而求出AD的长，即可求出四边形ABCD的周长．
【解答】（1）证明：在⊙O中，AD=AD，
∴∠ACD＝∠ABD＝45°，
即∠FCE＝45°
∵∠CFE＝45°，
∴∠CEF＝180°﹣∠CFE﹣∠FCE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
即直线l⊥直线CE；
（2）①证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠GDE+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠GDE，
∵AB为σO的直径，
∴∠ACB＝90°，
由（1）知∠CEF＝90°，即∠GED＝90°，
∴∠ACB＝∠GED，
在△ACB和△GED中，
∠ABC=∠GDE∠ACB=∠GEDAB=GD，
∴△ACB≌△GED（AAS）；
②解：已证△ACB≌△GED，
∴BC＝DE，
∴BC+CD＝DE+CD＝CE=32，
∵R＝1，
∴AB＝2R＝2，
∵AB为σO的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴AD＝BD，
由勾股定理得AD2+BD2＝AB2，
即2AD2＝AB2＝22＝4，
∴AD=2，
∴四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝2+32+2=72+2．
【点评】本题考查了同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，三角形全等的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理以及四边形的周长的计算，涉及的知识点较多，需熟练掌握．
15．（2023•江西）如图，在△ABC中，AB＝4，∠C＝64°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为ABD上一点，且∠ADE＝40°．
（1）求BE的长；
（2）若∠EAD＝76°，求证：CB为⊙O的切线．

【考点】切线的判定；弧长的计算；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；推理能力．
【分析】（1）由圆周角定理求出∠AOE＝2∠ADE＝80°，由邻补角的性质的∠EOB＝180°﹣∠AOE＝100°，由弧长公式即可求出BE的长．
（2）由圆周角定理得到∠EAB=12∠EOB＝50°，因此∠BAC＝∠EAD﹣∠EAB＝26°，得到∠C+∠BAC＝90°，因此∠ABC＝90°，得到直径AB⊥BC，即可证明CB为⊙O的切线．
【解答】（1）解：∵∠ADE＝40°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝80°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝100°，
∵AB＝4，
∴⊙O半径长是2，
∴BE的长=100π×2180=10π9；
（2）证明：∵∠EAB=12∠EOB＝50°，
∴∠BAC＝∠EAD﹣∠EAB＝76°﹣50°＝26°，
∵∠C＝64°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣（∠C+∠BAC）＝90°，
∴直径AB⊥BC，
∴CB为⊙O的切线．

【点评】本题考查弧长的计算，切线的判定，圆周角定理，关键是由圆周角定理求出∠AOE＝80°，得到∠EOB的度数，即可求出BE的长，求出∠EAB的度数，得到∠BAC的度数，即可求出∠ABC＝90°，从而证明CB为⊙O的切线．
16．（2023•天津）在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC＝60°，E为弦AB所对的优弧上一点．
（1）如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；
（2）如图②，CE与AB相交于点F，EF＝EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA＝3，求EG的长．

【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；推理能力．
【分析】（1）由垂径定理得到AC=BC，因此∠BOC＝∠AOC＝60°，得到∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，由圆周角定理即可求出∠CEB的度数；
（2）由垂径定理，圆周角定理求出∠CEB的度数，得到∠C的度数，由三角形外角的性质求出∠EOG的度数，由锐角的正切定义即可求出EG的长．
【解答】解：（1）∵半径OC垂直于弦AB，
∴AC=BC，
∴∠BOC＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，
∵∠CEB=12∠BOC，
∴∠CEB＝30°；
（2）如图，连接OE，
∵半径OC⊥AB，
∵AC=BC，
∴∠CEB=12∠AOC＝30°，
∵EF＝EB，
∴∠EFB＝∠B＝75°，
∴∠DFC＝∠EFB＝75°，
∴̂∠DCF＝90°﹣∠DFC＝15°，
∵OE＝OC，
∴∠C＝∠OEC＝15°，
∴∠EOG＝∠C+∠OEC＝30°，
∵GE切圆于E，
∴∠OEG＝90°，
∴tan∠EOG=EGOE=33，
∵OE＝OA＝3，
∴EG=3．

【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，三角形外角的性质，关键是由圆周角定理，等腰三角形的性质求出∠C＝15°，由三角形外的性质求出∠EOG的度数，由锐角的正切定义即可求出EG的长．
17．（2023•上海）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO延长线上，且cos∠ABC=45，OC=12OB．
（1）求⊙O的半径；
（2）求∠BAC的正切值．

【考点】垂径定理；平行线分线段成比例；解直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，根据垂径定理可得AD＝BD＝4，然后在Rt△OBD中，利用锐角三角函数的定义求出OB的长，即可解答；
（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据已知可得BC=32OB＝7.5，再利用平行线分线段成比例可得OBBC=BDBE，从而求出BE的长，进而求出AE的长，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理求出CE的长，再在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，

∵AB＝8，
∴AD＝BD=12AB＝4，
在Rt△OBD中，cos∠ABC=45，
∴OB=BDcos∠ABC=445=5，
∴⊙O的半径为5；
（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，

∵OC=12OB，OB＝5，
∴BC=32OB＝7.5，
∵OD⊥AB，
∴OD∥CE，
∴OBBC=BDBE，
∴23=4BE，
∴BE＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣6＝2，
在Rt△BCE中，CE=BC2−BE2=7．52−62=4.5，
在Rt△ACE中，tan∠BAC=CEAE=4.52=94，
∴∠BAC的正切值为94．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18．（2023•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G．
（1）求证：AF＝DF．
（2）若AF=52，sin∠ABD=55，求⊙O的半径．

【考点】圆周角定理；解直角三角形；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】三角形；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由D是弧AC的中点，得出AD=CD，再由垂径定理得出AD=AH，根据等弧所对圆周角相等得出∠ADH＝∠CAD，即可证明出结论．
（2）证明出∠ADE＝∠B，得出tan∠ADE=12，设AE＝x，根据勾股定理求出x，再求出直径即可．
【解答】（1）证明：∵D是弧AC的中点，
∴AD=CD，
∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径，
∴AD=AH，
∴CD=AH，
∴∠ADH＝∠CAD，
∴AF＝DF．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠B＝90°，
∵∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠B，
∴sin∠ADE=55，
∴tan∠ADE=12，
设AE＝x，则DE＝2x，
∵DF＝AF=52，
∴EF＝2x−52，
∵AE2+EF2＝AF2，
∴x＝2，
∴AD=AEsin∠ADE=25，
∴AB=ADsin∠B，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了圆的相关性质的应用，解直角三角形、勾股定理的计算是解题关键．
19．（2023•宜昌）如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3．

（1）填空：∠PBA的度数是 　90°　，PA的长为 　5　；
（2）求△ABC的面积；
（3）如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是AC上一点，AE＝5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于点F，G，求EFFG的值．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）由切线的性质可求∠PBA的度数，由勾股定理可求PA的长；
（2）由面积法可求BC的长，由勾股定理可求AC的长，即可求解；
（3）通过证明△EAC∽△CAF，由相似三角形的性质可求AC=165，CF=1625，通过证明△ADC∽△ACB，可求AD的长，通过等腰直角三角形的性质可求EF的长，即可求解．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，
∴∠PBA的度数为90°，
∵AB＝4，PB＝3，
∴PA=AB2+PB2=9+16=5，
故答案为：90°，5；
（2）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵S△ABP=12×AP•BC=12AB•BP，
∴BC=125，
∴AC=AB2−BC2=16−14425=165，
∴S△ABC=12×AC•BC=12×165×125=9625；
（3）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°＝∠ABC+∠BCD，
∴∠ACD＝∠ABC，
∵四边形ABCE是圆的内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∵∠ACD+∠ACF＝180°，
∴∠AEC＝∠ACF，
又∵∠EAC＝∠FAC，
∴△EAC∽△CAF，
∴ACAF=AEAC=ECCF，
∵AE＝5EC，AC=165，
∴CF=1625，
∵∠ADC＝90°＝∠ACB，∠BAC＝∠DAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴ADAC=ACAB=CDBC，
∴AD=165×1654=6425，
∴CD=4825，DB=3625，
∴DF＝CD+CF=6425=AD，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF=64225，
∴16564225=AE165，
∴AE＝22，
∴EF＝AF﹣AE=14225，
∵DF∥BG，
∴AFFG=ADBD，
∴64225FG=64253625，
∴FG=36225，
∴EFFG=1422536225=718．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
20．（2023•枣庄）如图，AB为⊙O的直径，点C是AD的中点，过点C做射线BD的垂线，垂足为E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BE＝3，AB＝4，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．

【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OC，证明OC∥BE，即可得到结论．
（2）连接AC，证明△ACB∽△CEB，从而可得ABBC=BCBE，再代入求值即可．
（3）连接OD，CD，证明CD∥AB，从而可得S△COD＝S△CBD，求出扇形COD的面积即可得到阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，

∵点C是AD的中点，
∴AC=DC，
∴∠ABC＝∠EBC，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠EBC＝∠OCB，
∴OC∥BE，
∵BE⊥CE，
∴半径OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：如图，连接AC，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CEB＝90°，
∵∠ABC＝∠EBC，
∴△ACB∽△CEB，
∴ABBC=BCBE，
∴4BC=BC3，
∴BC=23．
答：BC的长为23．
（3）解：如图，连接OD、CD，

∵AB＝4，
∴OC＝OB＝2，
在Rt△BCE中，BC=23，BE=2，
∴cos∠CBE=BEBC=323=32，
∴∠CBE＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠CDO＝60°，
∴∠CDO＝∠AOC，
∴CD∥AB，
∴S△COD＝S△CBD，
∴S阴影=S扇形COD=60π×22360=23π．
答：阴影部分的面积为23π．
【点评】本题考查了圆的综合应用，熟练掌握切线的判断定理以及扇形面积的求法是解题的关键．
21．（2023•杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG•BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．

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【专题】几何综合题；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】（1）由垂径定理可得∠AED＝90°，结合CF⊥AD可得∠DAE＝∠FCD，根据圆周角定理可得∠DAE＝∠BCD，进而可得∠BCD＝∠FCD，通过证明△BCE≌△GCE，可得GE＝BE＝1；
（2）证明△ACB∽△CEB，根据对应边成比例可得BC2＝BA•BE，再根据AB＝2BO，BE=12BG，可证BC2＝BG•BO；
（3）设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，可证a＝90°﹣β，∠OCF＝90﹣3α，通过SAS证明△COF≌△AOF，进而可得∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3a＝a，则∠CAD＝2a＝45°．
【解答】（1）解：直径AB垂直弦CD，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE+∠D＝90°，
∵CF⊥AD，
∴∠FCD+∠D＝90°，
∴∠DAE＝∠FCD，
由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠FCD，
在△BCE和△GCE中，
∠BCE=∠GCECE=CE∠BEC=∠GEC，
∴△BCE≌△GCE（ASA），
∴GE＝BE＝1；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CEB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBE，
∴△ACB∽△CEB，
∴BCBE=BABC，
∴BC2＝BA•BE，
由（1）知GE＝BE，
∴BE=12BG，
∵AB＝2BO，
∴BC2＝BA•BE＝2BO•12BG＝BG•BO；
（3）解：∠CAD＝45°，证明如下：
如图，连接OC，
∵FO＝FG，
∴∠FOG＝∠FGO，
∵直径AB垂直弦CD，
∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ACE≌△ADE（SAS），
∴∠DAE＝∠CAE，
设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，
则∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，
∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，
∴β+α＝90°，
∴α＝90°﹣β，
∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，
∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，
∴∠COF＝∠AOF，
在△COF和△AOF中，
CO=AO∠COF=∠AOFOF=OF，
∴△COF≌△AOF（SAS），
∴∠OCF＝∠OAF，
即90°﹣3α＝α，
∴α＝22.5°，
∴∠CAD＝2a＝45°．

【点评】本题是圆的综合题，考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证．
22．（2023•上海）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F边OB中点，为以O为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，联结EF交OD于点G．

（1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；
（2）如图（2）所示，联结OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长；
（3）联结BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求OGOD的值．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力；应用意识．
【分析】（1）由∠ABC＝∠C，∠ODB＝∠ABC，即得∠C＝∠ODB，OD∥AC，根据F是OB的中点，OG＝DG，知FG是△OBD的中位线，故FG∥BC，即可得证；
（2）设∠OFE＝∠DOE＝α，OF＝FB＝a，有OE＝OB＝2a，由（1）可得OD∥AC，故∠AEO＝∠DOE＝α，得出∠OFE＝∠AEO＝α，进而证明△AEO∽△AFE，AE2＝AO﹣AF，由AE2＝EO2﹣AO2，有EO2﹣AO2＝AO×AF，解方程即可答案；
（3）△OBG是以OB为腰的等腰三角形，①当OG＝OB时，②当BG＝OB时，证明△BGOCD△BPA，得出 OGAP=23，设 OG＝2k，AP＝3k，根据OG∥AE，得出△FOG∽△FEE，即得AE＝2OG＝4k，PE＝AE﹣AP＝k，连接OE交PG于点Q，证明△QPE∽△QGO，在△PQE与△BQO 中，PQ=13a，BQ=BG+QG=2a+23a=83a，得出PQOQ=QEBQ=14，可得△POE∽△OQB，根据相似三角形的性质得出a＝2k，进而即可求得答案．
【解答】（1）证明：如图：

∵AC＝AB，
∴∠ABC＝∠C，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵F是OB的中点，OG＝DG，
∴FG是△OBD的中位线，
∴FG∥BC，即GE∥CD，
∴四边形CEDG是平行四边形；
（2）解：如图：

由∠OFE＝∠DOE，AO＝4，点F边OB中点，设∠OFE＝∠DOE＝α，OF＝FB＝a，则OE＝OB＝2a，
由（1）可得OD∥AC，
∴∠AEO＝∠DOE＝α，
∴∠OFE＝∠AEO＝α，
∵∠A＝∠A，
∴△AEO∽△AFE，
∴AEAF=AOAE，即 AE2＝AO•AF，
在Rt△AEO 中，AE2＝EO2﹣AO2，
∴EO2﹣AO2＝AO×AF，
∴（2a）2﹣42＝4×（4+a），
解得：a=1+332 或 a=1−332 （舍去），
∴OB＝2a＝1+33；
（3）解：①当OG＝OB时，点G与点D重合，不符合题意，舍去；
②当BG＝OB 时，延长BG交AC于点P，如图所示，

∵点F是OB的中点，AO＝OF，
∴AO＝OF＝FB，
设AO＝OF＝FB＝a，
∵OG∥AC，
∴△BGO∽△BPA，
∴OGAP=OBAB=2a3a=23，
设OG＝2k，AP＝3k，
∵OG∥AE，
∴△FOG∽△FAE，
∴OGAE=OFAF=a2a=12，
∴AE＝2OG＝4k，
∴PE＝AE﹣AP＝k，
设OE交PG于点Q，

∵OG∥PE，
∴△QPE∽△QGO，
∴GOPE=QGPQ=OQEQ=2kk=2，
∴PQ=13a，QG=23a，EQ=23a，OQ=43a，
在△PQE 与△BQO 中，
PQ=13a，BQ=BG+QG=2a+23a=83a，
∴PQOQ=QEBQ=14，
又∠PQE＝∠BQO，
∴△PQE∽△OQB，
∴PEOB=14，
∴k2a=14，
∴a＝2k，
∵OD＝OB＝2a，OG＝2k，
∴OGOD=2k2a=ka=12，
∴OGOD的值为12．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
23．（2023•乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△A′B′C′的位置，那么可以得到：
AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；
∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：　旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等　；
（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．
①请在图中作出点O；
②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为 　32π2cm　；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．
​
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【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；几何直观；推理能力；应用意识．
【分析】【问题解决】
（1）由旋转的性质即可知答案为旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
（2）①作线段BB'，AA'的垂直平分线，两垂直平分线交于O，点O为所求；
②由∠BOB'＝90°，OB＝OB'，可得OB=62=32，再用弧长公式可得答案；
【问题拓展】
连接PA'，交AC于M，连接PA，PD，AA'，PB'，PC，求出A'D=A′Mcos∠PA′B′=2cos30°=433，DM=12A'D=233，可得S△A'DP=12×233×4=433；S扇形PA'B'=30π×42360=4π3，证明△PB′D≌△PCD（SSS）可知阴影部分关于PD对称，故重叠部分面积为2（4π3−433）=8π−833（cm2）．
【解答】解：【问题解决】
（1）根据题意，AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′的理由是：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等，
故答案为：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
（2）①如图：

作线段BB'，AA'的垂直平分线，两垂直平分线交于O，点O为所求；
②∵∠BOB'＝90°，OB＝OB'，
∴△BOB'是等腰直角三角形，
∵BB'＝6，
∴OB=62=32，
∵90π×32180=32π2（cm），
∴点B经过的路径长为32π2cm，
故答案为：32π2cm；
【问题拓展】
连接PA'，交AC于M，连接PA，PD，AA'，PB'，PC，如图：

∵点P为BC中点，
∴∠PAB=∠PAC=12∠BAC=30°，
由旋转得∠PA'B'＝30°，PA＝PA′＝4，
在Rt△PAM中，PM＝PA•sin∠PAM＝4×sin30°＝2，
∴A'M＝PA'﹣PM＝4﹣2＝2，
在Rt△A′DM中，
A'D=A′Mcos∠PA′B′=2cos30°=433，DM=12A'D=233，
∴S△A'DP=12×233×4=433；
S扇形PA'B'=30π×42360=4π3，
下面证明阴影部分关于PD对称：
∵∠PAC＝∠PA'B'＝30°，∠ADN＝∠A'DM，
∴∠AND＝∠A'MD＝90°，
∴∠PNA'＝90°，
∴PN=12PA'＝2，
∴AN＝PA﹣PN＝2，
∴AN＝A′M，
∴△AND≌△A'MD（AAS），
∴AD＝A′D，
∴CD＝B'D，
∵PD＝PD，PB'＝PC，
∴△PB′D≌△PCD（SSS），
∴阴影部分面积被PD等分，
∴S阴影＝2（S△A'DP﹣S扇形PA'B'）＝2（4π3−433）=8π−833（cm2）．
∴两个纸板重叠部分的面积是8π−833cm2．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及扇形的旋转问题，三角形全等的判定与旋转，三角形，扇形的面积等，证明阴影部分关于AD对称是解题的关键．
24．（2023•临沂）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝75°，BC＝2，求CD的长．

【考点】切线的判定与性质；弧长的计算；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则∠OAB=180°−∠AOB2，∠OAC=180°−∠AOC2，由AB＝AC得∠ACB＝∠ABC，则∠AOB＝∠AOC，即可证明∠OAB＝∠OAC，所以AF⊥BC，由AE∥BC，得∠OAE＝∠AFB＝90°，即可证明AE是⊙O的切线；
（2）由∠ACB＝∠ABC＝75°，得∠BAC＝30°，则∠BOC＝2∠BAC＝60°，所以△BOC是等边三角形，∠COD＝180°﹣∠BOC＝120°，则OC＝BC＝2，即可根据弧长公式求得CD的长是4π3．
【解答】（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA=180°−∠AOB2，∠OAC＝∠OCA=180°−∠AOC2，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOC＝2∠ABC，
∴∠AOB＝∠AOC，
∴180°−∠AOB2=180°−∠AOC2，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴AF⊥BC，
∵AE∥BC，
∴∠OAE＝∠AFB＝90°，
∴OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ACB＝∠ABC＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
∴△BOC是等边三角形，∠COD＝180°﹣∠BOC＝120°，
∴OC＝BC＝2，
∴lCD=120π×2180=4π3，
∴CD的长是4π3．

【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质、切线的判定定理、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、弧长公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
25．我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
（1）如图1，当AB＝6，BP长为π时，求BC的长；
（2）如图2，当AQAB=34，BP=PQ时，求BCCD的值；
（3）如图3，当sin∠BAQ=64，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出PQBP的值．

【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力；应用意识．
【分析】（1）连接OP，设∠BOP的度数为n，可得nπ×3180=π，n＝60，即∠BOP＝60°，故∠BAP＝30°，而直线l是⊙O的切线，有∠ABC＝90°，从而BC=AB3=23；
（2）连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，求出cos∠BAQ=AQAB=34，由BP=PQ，得∠BAC＝∠DAC，有CF＝BC，证明∠FCD＝∠BAQ，即得CFCD=34，故BCCD=34；
（3）连接BQ，证明△APQ∽△ADC，得PQCD=APAD①，证明△APB∽△ABC，得 BPBC=APAB②，由BC＝CD，将①②两式相除得：PQBP=ABAD，故PQBP=64．
【解答】解：（1）如图，连接OP，

设∠BOP的度数为n°，
∵AB＝6，BP长为π，
∴nπ×3180=π，
∴n＝60，即∠BOP＝60°，
∴∠BAP＝30°，
∵直线l是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴BC=AB3=23；
（2）如图，连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，

∵AB为⊙O直径，
∴∠BQA＝90°，
∴cos∠BAQ=AQAB=34，
∵BP=PQ，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵CF⊥AD，AB⊥BC，
∴CF＝BC，
∵∠BAQ+∠ADB＝90°，∠FCD+∠ADB＝90°，
∴∠FCD＝∠BAQ，
∴cos∠FCD＝cos∠BAQ=34，
∴CFCD=34，
∴BCCD=34；
（3）如图，连接BQ，

∵AB⊥BC，BQ⊥AD，
∴∠ABQ＝90°﹣∠QBD＝∠ADC，
∵∠ABQ＝∠APQ，
∴∠APQ＝∠ADC，
∵∠PAQ＝∠DAC，
∴△APQ∽△ADC，
∴PQCD=APAD①，
∵∠ABC＝90°＝∠APB，∠BAC＝∠PAB，
∴△APB∽△ABC，
∴BPBC=APAB②，
由BC＝CD，将①②两式相除得：
PQBP=ABAD，
∵cos∠BAQ=ABAD=104，
∴PQBP=104．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质及应用．
26．（2023•烟台）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，求tan∠ADB的值．

【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；菱形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OA，则∠OAF＝∠OFA，由垂径定理得OF⊥AD，则∠AGF＝90°，由菱形的性质得AB＝AD，AC⊥BD，则∠BAE＝∠DAE，所以∠OAB＝∠OAF+∠BAE＝∠OFA+∠DAE＝90°，即可证明AB是⊙O的切线；
（2）由OAAD=58，AD＝2AG，得OAAG=54，设AG＝4m，则OF＝OA＝5m，由勾股定理得OG=OA2−AG2=3m，则FG＝2m，再证明∠ADB＝∠AFG，则tan∠ADB＝tan∠AFG=AGFG=2．
【解答】（1）证明：连接OA，则OF＝OA，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵AG＝GD，
∴OF⊥AD，
∴∠AGF＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠OAB＝∠OAF+∠BAE＝∠OFA+∠DAE＝90°，
∴OA是⊙O半径，且AB⊥OA，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：∵OAAD=58，AD＝2AG，
∴OA2AG=58，
∴OAAG=54，
设AG＝4m，则OA＝5m，
∴OF＝OA＝5m，
∵∠AGO＝90°，
∴OG=OA2−AG2=(5m)2−(4m)2=3m，
∴FG＝OF﹣OG＝5m﹣3m＝2m，
∵∠AED＝∠AGF＝90°，
∴∠ADB＝∠AFG＝90°﹣∠DAE，
∴tan∠ADB＝tan∠AFG=AGFG=4m2m=2，
∴tan∠ADB的值是2．

【点评】此题重点考查菱形的性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
27．（2023•金昌）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）当⊙O的半径为5，sinB=35时，求CE的长．

【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【分析】（1）根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明；
（2）根据三角函数的意义及勾股定理求解．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，
∴∠E＝90°，
∵CO平分∠BCD，
∴∠OCB＝∠OCD，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO＝∠D，
∴∠D＝∠OCD，
∴OC∥DE，
∴∠OCE＝∠E＝90°，
∵OC是圆的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵sinB=ACAB=35，
∴AC＝6，
∵∠OCE＝∠ACO+∠OCB＝∠ACO+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠OCB＝∠B，
∴sin∠ACE＝sinB=AEAC=35，
解得：AE＝3.6，
∴CE=AC2−AE2=4.8．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，掌握三角函数的意义及勾股定理是解题的关键．
28．（2023•新疆）如图，AB是⊙O的直径，点C，F是⊙O上的点，且∠CBF＝∠BAC，连接AF，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点E，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若tanE=34，BE＝4，求FH的长．

【考点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OC交BF于点I，可证明∠BAC＝∠CAF，则BC=FC，所以OC垂直平分BF，由∠D＝∠AFB＝90°，得DE∥FB，则∠OCE＝∠OIB＝90°，即可证明CE是⊙O的切线；
（2）作BL⊥CE于点L，则四边形BICL是矩形，由BLEL=tanE=34，得BL=34EL，由BE=BL2+EL2=54EL＝4，得EL=165，IC＝BL=125，则OCOE=BLBE=sinE=35，于是得OC=35OE=35（OC+4），则OB＝OC＝6，OE＝10，由勾股定理得CE=OE2−OC2=8，而OI＝OC﹣IC=185，则AF＝2OI=365，再证明△AFH∽△CEB，得FHBE=AFCE=910，所以FH=910BE=185．
【解答】（1）证明：连接OC交BF于点I，则OC＝OA，
∵∠CBF＝∠BAC，∠CBF＝∠CAF，
∴∠BAC＝∠CAF，
∴BC=FC，
∴OC垂直平分BF，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AF交AF的延长线于点D，
∴∠D＝∠AFB＝90°，
∴DE∥FB，
∴∠OCE＝∠OIB＝90°，
∵OC是⊙O的半径，DE经过点C且DE⊥OC，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：作BL⊥CE于点L，则∠BLE＝∠BLC＝90°，
∵∠BIC＝∠ICL＝90°，
∴四边形BICL是矩形，
∵BLEL=tanE=34，
∴BL=34EL，
∵BE＝4，OB＝OC，
∴BE=BL2+EL2=(34EL)2+EL2=54EL＝4，
∴EL=165，
∴IC＝BL=34×165=125，
∴OCOE=BLBE=sinE=1254=35，
∴OC=35OE=35（OC+4），
∴OB＝OC＝6，
∴OE＝OB+BE＝6+4＝10，
∴CE=OE2−OC2=102−62=8，
∵OI＝OC﹣IC＝6−125=185，
∴AF＝2OI＝2×185=365，
∵FG⊥AB于点G，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFH＝∠E＝90°﹣∠DAE，
∵∠FAH＝∠ECB＝90°﹣∠ACD，
∴△AFH∽△CEB，
∴FHBE=AFCE=3658=910，
∴FH=910BE=910×4=185，
∴FH的长是185．

【点评】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
29．（2023•怀化）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC＝PA．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD•OC＝PA•OD；
（3）若∠CAB＝30°，OD＝8，求阴影部分的面积．

【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【分析】（1）先由切线的性质得∠PAO＝90°，然后依据“SSS”判定△POC和△POA全等，从而得∠PCO＝∠PAO＝90°，据此即可得出结论；
（2）由∠DCO＝∠DAP＝90°，∠ODC＝∠PDA可判定△ODC和△PDA相似，进而根据相似三角形的性质可得出结论；
（3）连接BC，过点C作CE⊥OB于点E，先证△OCB为等边三角形，再设OE＝a，则OA＝OB＝OC＝2a，CE=3a，在Rt△CDE和在Rt△DOC中，由勾股定理得CD2＝CE2+DE2＝OD2﹣OC2，由此可求出a的值，进而得⊙O的半径为4，然后根据S阴影＝S△DOC﹣S扇形BOC即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，
∴PA⊥OA，
即：∠PAO＝90°，
∵点C在⊙O上，
∴OC＝OA，
在△POC和△POA中，
OC=OAPC=PAPO=PO，
∴△POC≌△POA（SSS），
∴∠PCO＝∠PAO＝90°，
即：PC⊥OC，
又OC为⊙O的半径，
∴PC为⊙O的切线．
（2）证明：由（1）可知：OC⊥PD，
∴∠DCO＝∠DAP＝90°，
又∠ODC＝∠PDA，
∴△ODC∽△PDA，
∴OCPA=ODPD，
即：PD•OC＝PA•OD．
（3）解：连接BC，过点C作CE⊥OB于点E，

∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝60°，
又OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形，
∵CE⊥OB，
∴OE＝BE，
设OE＝a，显然a≠0，
则OA＝OB＝OC＝2a，
在Rt△OCE中，OE＝a，OC＝2a，
由勾股定理得：CE=OC2−OE2=3a，
∵OD＝8，
∴DE＝OD﹣OE＝8﹣a，
在Rt△CDE中，CE=3a，DE＝8﹣a，
由勾股定理得：CD2=CE2+DE2=(3a)2+(8−a)2，
在Rt△DOC中，OC＝2a，OD＝8，
由勾股定理得：CD2＝OD2﹣OC2＝82﹣（2a）2，
(3a)2+(8−a)2=82−(2a)2，
整理得：a2﹣2a＝0，
∵a≠0，
∴a＝2，
∴OC＝2a＝4，CE=3a=23，
∴S△DOC=12OD⋅CE=12×8×23=83，
又∵S扇形BOC=60π×42360=8π3，
∴S阴影=S△DOC−S扇形BOC=83−8π3．
【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，理解切线垂直于过且点的半径；过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线；难点是在解答（3）时，设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出圆的半径．
30．（2023•宜宾）如图，以AB为直径的⊙O上有两点E、F，BE=EF，过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，过C作CM平分∠ACD交AE于点M，交BE于点N．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：EM＝EN；
（3）如果N是CM的中点，且AB＝95，求EN的长．

【考点】切线的判定与性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）连接OE，由BE=EF，得∠FAE＝∠EAB，可得∠FAE＝∠AEO，AF∥OE，又CD⊥AF，故OE⊥CD，CD是⊙O的切线；
（2）由∠CEB＝∠EAC（弦切角定理），∠ECM＝∠ACM，可得∠ENM＝∠EMN，EM＝EN；
（3）证明△EMC∽△BNC，可得EMBN=CEBC=CMCN=2，又△BEC∽△EAC，可得AE＝2BE，在Rt△ABE中，（2BE）2+BE2＝（95）2，求出BE＝9，故EN=23BE＝6．
【解答】（1）证明：连接OE，如图：

∵BE=EF，
∴∠FAE＝∠EAB，
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠EAB，
∴∠FAE＝∠AEO，
∴AF∥OE，
∵CD⊥AF，
∴OE⊥CD，
∵OE是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：如图：

由（1）知CD是⊙O的切线，
∴∠CEB＝∠EAC（弦切角定理），
∵CM平分∠ACD，
∴∠ECM＝∠ACM，
∴∠CEB+∠ECM＝∠EAC+∠ACM，
∴∠ENM＝∠EMN，
∴EM＝EN；
（3）解：如图：

由（2）知EM＝EN，∠EMN＝∠ENM，
∴∠EMN＝∠BNC，
∵∠ECM＝∠BCN，
∴△EMC∽△BNC，
∴EMBN=CEBC=CMCN，
∵N是CM的中点，
∴EMBN=CEBC=CMCN=2，
∴EM＝2BN，CE＝2BC，
∵∠BEC＝∠EAB，∠BCE＝∠ECA，
∴△BEC∽△EAC，
∴BEAE=CEAC=BCCE=12，
∴AE＝2BE，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
∴（2BE）2+BE2＝（95）2，
∴BE＝9，
∵EN＝EM＝2BN，
∴EN=23BE＝6．
∴EN的长为6．
【点评】本题考查切线的判定与性质，圆的性质及应用，涉及三角形相似的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
31．（2023•巴中）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过D作DF⊥AC于点E，交BA延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若CE=3，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．

【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】证明题；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质证明AC∥OD，进而可以得到结论；
（2）连接AD，根据勾股定理求出ED＝1，根据锐角三角函数可得∠AOD＝60°，然后证明OD是△ABC的中位线，求出r=233，根据阴影部分的面积＝四边形AODE的面积﹣扇形AOD的面积，代入值即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴AC∥OD，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AD，
设⊙O的半径为r，
在Rt△CED中，CE=3，CD＝2，
∴ED2＝CD2﹣CE2＝4﹣3＝1，
∴ED＝1，
∵cos∠C=CECD=32，
∴∠C＝30°，
∴∠B＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵AC∥OD，O为AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴D是BC中点，
∴CD＝BD＝2，
∵AB是⊙O的的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD=12AB＝r，
∴BD=3AD=3r＝2，
∴r=233，
∴AB＝2r=433，
∴AE＝AC﹣CE＝AB−3=433−3=33，
∴阴影部分的面积＝四边形AODE的面积﹣扇形AOD的面积
=12（33+233）×1−60360π×（233）2
=32−2π9．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理，扇形面积计算等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
32．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC．

（1）求∠BGC的度数．
（2）①求证：AF＝BC．
②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．
（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】（1）根据同弧圆周角相等得∠EBC＝∠EAC，然后利用直角三角形两个锐角互余即可解决问题；
（2）①证明△ACF≌△BGC（ASA），即可解决问题；
②过点C作CH⊥EG于点H，设AG＝DF＝2x，根据勾股定理和锐角三角函数即可解决问题；
（3）过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N，分别证明△EBD≌△NCD（ASA），△COG≌△OBM（AAS），得BM＝OG＝1，设OB＝OC＝r，然后由△GON∽△GBE，对应边成比例，求出r的值，进而可求AC的长．
【解答】（1）解：∵BC平分∠EBG，
∴∠EBC＝∠CBG，
∵∠EBC＝∠EAC，
∴∠CBG＝∠EAC，
∵AC⊥FC，
∴∠AFC+∠EAC＝90°，
∵∠BCG＝∠AFC，
∴∠BCG+∠CBG＝90°，
∴∠BGC＝90°；
（2）①证明：∵∠BGC＝90°，D为BC中点，
∴GD＝CD，
∴∠DGC＝∠DCG，
∵∠BCG＝∠AFC，
∴∠DGC＝∠AFC，
∴CF＝CG，
∵∠ACF＝∠BGC＝90°，
∴△ACF≌△BGC（ASA），
∴AF＝BC；
②解：如图1，过点C作CH⊥EG于点H，

设AG＝DF＝2x，
∵△ACF≌△BGC，
∴AF＝BC＝2DG，
∴CD＝DG＝AG+DF＝4x，
∵CF＝CG，
∴HG＝HF＝3x，
∴DH＝x，AH＝5x，
∴CH=CD2−DH2=(4x)2−x2=15x，
∴tan∠GBC＝tan∠CAF=CHAH=155，
∴tan∠GBC的值为155；
（3）解：如图2，过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N，

∵OB＝OC，
∴∠CBE＝∠OBC＝∠OCB，
∴OC∥BE，
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDN，
∴△EBD≌△NCD（ASA），
∴BE＝CN，
∵OC∥BE，
∴∠GOC＝∠MBO，
∵∠CGO＝∠OMB＝90°，OC＝OB，
∴△COG≌△OBM（AAS），
∴BM＝OG＝1，
∵OM⊥BE，
∴CN＝BE＝2BM＝2，
设OB＝OC＝r，
∵OC∥BE，
∴△GON∽△GBE，
∴GOGB=ONBE，
∴1r+1=r−22，
解得r=1+172或r=1−172（舍去），
由（2）知：△ACF≌△BGC，
∴AC＝BG＝BO+OG＝r+1=17+32．
∴AC的长为17+32．
【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题．
33．（2023•成都）如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE．
（1）求证：AC＝BC；
（2）若tanB＝2，CD＝3，求AB和DE的长．

【考点】圆周角定理；解直角三角形；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；推理能力．
【分析】（1）结合已知条件，根据同弧所对的圆周角相等易证得∠ADE＝∠ACE＝∠BAC＝∠B，再由等边对等角即可证得结论；
（2）连接AE，易证得△ABC∽△ADE，根据已知条件，利用直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝∠ADC＝90°，根据三角函数值可得AD＝2BD，再结合，CD＝3，AC＝3+BD，利用勾股定理列得方程，求得CD的长度，从而得出AD，BC，AB的长度，再利用相似三角形的对应边成比例即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACE，∠ADE＝∠B，
∴∠B＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠B＝∠BAC，
∴AC＝BC；

（2）解：如图，连接AE，

∵∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴tanB=ADBD=2，
∴AD＝2BD，
∵CD＝3，
∴AC＝BC＝BD+CD＝BD+3，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴（2BD）2+32＝（BD+3）2，
解得：BD＝2或BD＝0（舍去），
∴AD＝2BD＝4，AB=AD2+BD2=42+22=25，BC＝2+3＝5，
∵ADAB=DEBC，
∴425=DE5，
∴DE＝25．
【点评】本题主要考查圆与相似三角形的综合应用，（2）中利用三角函数值可得AD＝2BD，再根据勾股定理列得方程是解题的关键．
34．（2023•浙江）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）．

（1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出AD的长度；
（3）如图2，延长AH至点F，使得HF＝AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM．若PD=12AD，求证：MH⊥CP．
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【分析】（1）以A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，交点为G，连接OG，与⊙O交点为E，F，与AB交点为M，则OG⊥AB，分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧，交点为N，连接ON，则ON∥AB，以O为圆心，OM长为半径画弧与ON交点为P，则OP＝OM，以P为圆心，OP长为半径，交直线ON于Q，以O，Q为圆心，大于12OQ长为半径画弧，交点为R，连接PR，则PR⊥AB，PR与⊙O交点为C，D，与AB交点为H，即CD、点H即为所求；
（2）如图2，连结AD，连接DO并延长交⊙O于E，连结AE，AC，过O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，证明四边形OFHN是正方形，则可证△ACH是等腰直角三角形，则∠C＝45°，由AD=AD，可知∠E＝∠C＝45°，由DE是⊙O的直径，可得∠EAD＝90°，则△ADE是等腰直角三角形，AD＝DE•sin∠E=2；
（3）如图3，延长CD、FP，交点为G，由题意知MH是△APF的中位线，则MH∥PF，MH=12PF，由PD=12AD，可得MD=12PD，证明△MDH∽△PDG，则MHGP=MDPD=12，即GP＝2MH＝PF，如图3，作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N，连结GN、FN，由CP是∠HCF的平分线，可得∠GCP＝∠FCP，则GN＝NF，证明△GPN≌△FPN（SSS），则∠GPN＝∠FPN＝90°，即PF⊥CP，由MH∥PF，可得MH⊥CP，进而结论得证．
【解答】（1）解：如图1，CD、点H即为所求；

（2）：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度不变；
如图，连结AD，连接DO并延长交⊙O于E，连结AE，AC，过O作OF⊥AB于F，ON⊥CD于N，则四边形OFHN是矩形，

∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴OF＝ON，
∴四边形OFHN是正方形，
∴FH＝NH，
∴AF+FH＝CN+NH，即AH＝CH，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴∠C＝45°，
∵AD=AD，
∴∠E＝∠C＝45°，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠EAD＝90°，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝AD，
∴AD＝DE•sin∠E=2，
∴线段AD是定长，长度不发生变化，值为2；
（3）证明：如图3，延长CD、FP，交点为G，
∵HF＝AH，
∴点H为AF的中点，
又∵点M为AP的中点，
∴MH是△APF的中位线，
∴MH∥PF，MH=12PF，
又∵PD=12AD，PM＝AM，
∴MD=12PD，
∵MH∥GP，
∴∠MHD＝∠PGD，
又∵∠MDH＝∠PDG，
∴△MDH∽△PDG，
∴MHGP=MDPD=12，
即GP＝2MH＝PF，
如图3，作△CFG的外接圆，延长CP交外接圆于点N，连结GN、FN，

∵CP是∠HCF的平分线，
∴∠GCP＝∠FCP，
∴GN＝NF，
∵GP＝PF，GN＝NF，PN＝PN，
∴△GPN≌△FPN（SSS），
∴∠GPN＝∠FPN＝90°，
∴PF⊥CP，
∵MH∥PF，
∴MH⊥CP．
证法二：过点P作PG⊥HF于G点，
由PG∥DH，
∴HG：AH＝PD：AD＝1：2，
∵AH＝HF，
∴HG：HF＝1：2，即G是HF中点，
∴PH＝PF，
∵CP平分∠DCF，过点P作PK⊥CH于点K，PE⊥CF于点E，

∴∠KPE＝135°，PK＝PE，
∴△PHK≌△PFE（HL），∴∠HPF＝135°，∠PFG＝22.5，
在△CPF中，由内角和推得∠CPF＝90°，
∴MN⊥CP
【点评】本题考查了作垂线，同弧或等弧所对的圆周角相等，正弦，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
35．（2023•遂宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M．交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AD2＝AB•CN；
（3）当AB＝6，sin∠DCA=33时，求AM的长．

​

【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；压轴题；推理能力．
【分析】（1）连接OD交AC于点H，根据垂径定理的推论可得半径OD⊥AC，利用平行线的判定定理由∠ADM＝∠DAC可得AC∥MN，得出半径OD⊥MN，再运用切线的判定定理即可证得结论；
（2）连接BD，可证得△CDN∽△ABD，得出CNAD=CDAB，再由AD＝CD，即可证得结论；
（3）连接OD交AC于点H，连接BD，利用解直角三角形可得AD＝AB•sin∠ABD＝6×33=23=CD，CN＝CD•sin∠CDN＝23×33=2，利用勾股定理可得DN=CD2−CN2=(23)2−22=22，再证明四边形CNDH是矩形，得出CH＝DN＝22，由垂径定理可得AC＝2CH＝42，再根据勾股定理求得BC＝2，运用平行线分线段成比例定理即可求得答案．
【解答】（1）证明：连接OD交AC于点H，如图，

∵AD＝CD，
∴AD=CD，
∴半径OD⊥AC，
∴∠AHO＝90°，
∵∠ADM＝∠DAC，
∴AC∥MN，
∴∠MDO＝∠AHO＝90°，
∴半径OD⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）证明：连接BD，如图，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵∠ADM＝∠DAC，
∴AC∥MN，
∴∠ACD＝∠CDN，∠DNC＝∠ACB＝90°＝∠ADB，
∵AD=AD，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD＝∠CDN，
∴△CDN∽△ABD，
∴CNAD=CDAB，
∵AD＝CD，
∴CNAD=ADAB，
∴AD2＝AB•CN；
（3）解：连接OD交AC于点H，连接BD，如图，

由（1）（2）得：∠ABD＝∠CDN＝∠ACD，∠ADB＝∠BNM＝∠AHO＝∠MDO＝90°，
∴sin∠ABD＝sin∠CDN＝sin∠ACD=33，
∵AB＝6，
∴AD＝AB•sin∠ABD＝6×33=23，
∵AD＝CD，
∴CD＝23，
∴CN＝CD•sin∠CDN＝23×33=2，
∴DN=CD2−CN2=(23)2−22=22，
∵∠CND＝∠CHD＝∠NDH＝90°，
∴四边形CNDH是矩形，
∴CH＝DN＝22，
∵OD⊥AC，
∴AC＝2CH＝42，
在Rt△ABC中，BC=AB2−AC2=62−(42)2=2，
∵AC∥MN，
∴AMAB=CNBC，即AM6=22，
∴AM＝6．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，平行线分线段成比例定理等，难度适中，解题关键是正确添加辅助线．
36．（2023•眉山）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若sin∠P=13，BP＝4，求CD的长．

【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】证明题；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】（1）连接OE，证明OE∥AD，即可得到结论；
（2）根据锐角三角函数先求出半径和AD的长，然后证明△AEB≌△AEC（ASA），AB＝AC＝4，进而根据线段的和差即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠OAE＝∠DAE，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠DAE＝∠OEA，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AC，
∴OE⊥PD，
∵OE是⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线；
（2）解：∵sin∠P=13=OEOP，BP＝4，OB＝OE，
∴OEOE+4=13，
∴OE＝2，
∴AB＝2OE＝4，
∴AP＝AB+BP＝8，
在Rt△APD中，sin∠P=ADAP=13，
∴AD=13AP=83，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠AEC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝AE，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB＝AC＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝4−83=43，
∴CD的长为43．

【点评】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题．
37．（2023•广安）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若sinC=45，DE＝5，求AD的长；
（3）求证：2DE2＝CD•OE．

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【专题】几何综合题；压轴题；推理能力．
【分析】（1）连接OD，BD，由AB是⊙O的直径，可得∠ADB＝90°＝∠BDC，由点E是BC的中点，可得DE＝BE＝EC，进而证得△ODE≌△OBE（SSS），得出半径OD⊥DE，即可证得结论；
（2）利用解直角三角形可得BD＝8，再由sin∠ABD＝sin∠C=45，可得ADAB=45，设AD＝4x，则AB＝5x，利用勾股定理可得（4x）2+82＝（5x）2，求得x=83，即可求得AD=323；
（3）连接BD，可证得△BCD∽△OEB，得出CDBE=BCOE，即CDDE=2DEOE，即可证得2DE2＝CD•OE．
【解答】（1）证明：连接OD，BD，

在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝BE＝EC，
∵OB、OD是⊙O的半径，
∴OB＝OD，
又∵OE＝OE，
∴△ODE≌△OBE（SSS），
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴半径OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，如图，

由（1）知：DE＝BE＝EC，∠ADB＝∠BDC＝∠ABC＝90°，
∵DE＝5，
∴BC＝10，
∵sinC=45，
∴BDBC=45，
∴BD＝8，
∵∠C+∠CBD＝∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∴sin∠ABD＝sin∠C=45，
∴ADAB=45，
设AD＝4x，则AB＝5x，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴（4x）2+82＝（5x）2，
解得：x=83（负值舍去），
∴AD＝4x＝4×83=323；
（3）证明：连接BD，

由（1）（2）得：∠BDC＝∠OBE＝90°，BE＝DE，
∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，
∴OE∥AC，BC＝2BE，
∴∠C＝∠OEB，
∴△BCD∽△OEB，
∴CDBE=BCOE，即CDDE=2DEOE，
∴2DE2＝CD•OE．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，直角三角形性质，中点定义，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线．
38．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是AB的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．
（1）求证：AD∥HC；
（2）若OGGC=2，求tan∠FAG的值；
（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．
下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．
①若OF=52，求BC的长；
②若AH=10，求△ANB的周长；
③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．

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【专题】几何综合题；与圆有关的计算；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据题意可得AC=CD=DB，再由HC是⊙O的切线，即可求证．
（2）先证明△CAG≌△FAG（ASA），设出CG，根据勾股定理即可求解．
（3）①根据题意，求出AG的长，再由AC=CD=DB即可求解．
②根据题意可求得AC=CD=DB，再由勾股定理及相似三角形的性质即可求解．
③作出辅助线，设出CG，利用勾股定理及相似三角形的性质可得方程10x+x（5﹣2x）＝22，进而可求得S△CHA＝8，再证明△CHA∽△BHC，即可解答．
【解答】（1）证明：∵点C，D是AB的三等分点，
∴AC=CD=DB．
由CE是⊙O的直径可得CE⊥AD，
∵HC是⊙O的切线，
∴HC⊥CE，
∴AD∥HC．
（2）解：如图1，连接AO，

∵BD=CD，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠AGC＝∠AGF＝90°，
∴△CAG≌△FAG（ASA），
∴CG＝FG，
设CG＝a，则FG＝a，
∵OGCG=2，
∴OG＝2a，AO＝CO＝3a．
在Rt△AOG中，AO2＝AG2+OG2，
∴（3a）2＝AG2+（2a）2，
∴AG=5a，
∴tan∠FAG=FGAG=55．
答：tan∠FAG的值为55．
（3）解：①如图1，∵OF=52，OC=OA=5，
∴CF=52，
∴CG=FG=54，
∴OG=154，
∴AG=OA2−OG2=574，
∵CE⊥AD，
∴AD＝2AG=572，
∵AC=CD=DB，
∴AD=CB，
∴BC=AD=572．
答：BC的长为572．
②如图2，连接CD，

∵AD∥HC，FG＝CG，
∴AH＝AF，
∵∠HCF＝90°，
∴AC=AH=AF=10，
设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x，
由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝AC2﹣CG2，
即25﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，
解得x＝1，
∴AG＝3，AD＝6，
∵CD=DB，
∴∠DAC＝∠BCD，
∵∠CDN＝∠ADC，
∴△CDN∽△ADC，
∴NDCD=CDAD，
∴ND=CD2AD=53，AN=133，
∵∠BAD＝∠DAC，∠ABN＝∠ADC，
∴△ANB∽△ACD，
∴C△ANB=C△ACD×ANAC=(6+210)×13310=13105+263．
答：△ANB的周长为13105+263．
③如图3，过点O作OM⊥AB于点M，则AM=MB=12AB，

设CG＝x，则FG＝x，OG＝5﹣x，OF＝5﹣2x，
由勾股定理得AG2＝AO2﹣OG2＝25﹣（5﹣x）2，
AF2＝AG2+FG2＝10x﹣x2+x2＝10x，
∵AD∥HC，FG＝CG，
∴AH=AF=12HF，
∴AG=12HC，
∴AF⋅AM=12HF⋅12AB=14HF⋅AB=14×88=22，
∵∠AGF＝∠OMF＝90°，∠AFG＝∠OFM，
∴△AFG∽△OFM，
∴AFOF=GFFM，
∴AF•FM＝OF•GF，
∴AF•AM＝AF•（AF+FM）＝AF2+AF•FM＝AF2+OF•GF＝22，
可得方程10x+x（5﹣2x）＝22，
解得x1＝2，x2＝5.5（舍去），
∴CG＝FG＝2，
∴OG＝3，
∴AG＝4，
∴HC=8，AH=AF=25，
∴S△CHA＝8，
∵AD∥HC，
∴∠CAD＝∠ACH，
∵AC=CD，
∴∠B＝∠CAD，
∴∠B＝∠ACH，
∵∠H＝∠H，
∴△CHA∽△BHC，
∴S△BHC=8×(HCAH)2=1285．
答：△BHC的面积为1285．
【点评】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角形解答．
39．（2023•凉山州）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，点P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为点E，∠EAD＝∠FAD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若PA＝4，PD＝2，求⊙O的半径和DE的长．

【考点】切线的判定与性质；角平分线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）连接OA，由AB⊥CD，得∠FAD+∠ADF＝90°，故∠FAD+∠OAD＝90°，根据∠EAD＝∠FAD，得∠EAD+∠OAD＝90°，即∠OAE＝90°，OA⊥AE，从而可得AE是⊙O的切线；
（2）连接AC，AO，证明△ADP∽△CAP，可得4CP=24，CP＝8，故CD＝CP﹣PD＝6，⊙O的半径为3；再证△OAP∽△DEP，得DE3=25，从而DE=65．
【解答】（1）证明：连接OA，如图：

∵AB⊥CD，
∴∠AFD＝90°，
∴∠FAD+∠ADF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADF，
∴∠FAD+∠OAD＝90°，
∵∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD+∠OAD＝90°，即∠OAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∵OA是⊙O半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，AO，如图：

∵CD为⊙O直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠C+∠ADC＝90°，
∵∠FAD+∠ADC＝90°，
∴∠C＝∠FAD，
∵∠EAD＝∠FAD，
∴∠C＝∠EAD，
∵∠P＝∠P，
∴△ADP∽△CAP，
∴APCP=PDAP，
∵PA＝4，PD＝2，
∴4CP=24，
解得CP＝8，
∴CD＝CP﹣PD＝8﹣2＝6，
∴⊙O的半径为3；
∴OA＝3＝OD，
∴OP＝OD+PD＝5，
∵∠OAP＝90°＝∠DEP，∠P＝∠P，
∴△OAP∽△DEP，
∴DEOA=PDOP，即DE3=25，
∴DE=65，
∴⊙O的半径为3，DE的长为65．
【点评】本题考查圆的性质及应用，涉及切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是掌握圆的相关性质．
40．（2023•达州）如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB＝BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB＝∠ACB，AC、BD相交于点E．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，DE＝4，∠P＝30°，求AP的长．
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【考点】切线的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OA，利用等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，垂直的定义，等量代换和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用直角三角形的性质，同圆的半径相等，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OA，如图，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA．
∵∠PAB＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠PAB．
∵AB＝BC，
∴AB=AC，
∴OB⊥AC，
∴∠BAC+∠ABO＝90°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO．
∴∠BAO+∠∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠PAB＝90°，
∴∠PAO＝90°，
即OA⊥AP，
∵OA为⊙O的半径，
∴AP是⊙O的切线；
（2）解：∵OA⊥AP，∠P＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴AO＝AB．
由（1）知：∠BAC＝∠BCA，
∵∠BCA＝∠D，
∴∠BAC＝∠D．
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴ABBE=BDAB，
∴AB2=2+4AB，
∴AB2＝12，
∴AB＝23，
∴OA＝23．
在Rt△OAP中，
∵tanP=OAAP，
∴AP=2333=6．

【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，垂直的定义，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
41．（2023•南充）如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD．
（1）求证：∠OCA＝∠ADC；
（2）若AD＝2，tanB=13，求OC的长．

【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】证明题；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】（1）连接OA交BC于点F，根据切线的性质和圆周角定理得∠ADC=12∠AOC＝45°，进而可以解决问题；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，得△ADE是等腰直角三角形，根据锐角三角函数和勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OA交BC于点F，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠OAB＝90°，
∵OC∥AB，
∴∠AOC＝∠OAB＝90°，
∵CO＝OA，
∴∠OCA＝45°，
∴∠ADC=12∠AOC＝45°，
∴∠OCA＝∠ADC；
（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE=22AD=2，
∵tanB=AEBE=13，
∴BE＝3AE＝32，
∴AB=BE2+AE2=18+2=25，
在Rt△ABF中，tanB=AFAB=13，
∴AF=13AB=253，
∵OC∥AB，
∴∠OCF＝∠B，
∴tan∠OCF=OFOC=13，
设OC＝r，则OF＝OA﹣AF＝r−253，
∴3 （r−253）＝r，
解得r=5，
∴OC=5．

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．
42．（2023•泸州）如图，AB是⊙O的直径，AB＝210，⊙O的弦CD⊥AB于点E，CD＝6．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接BC．
（1）求证：BC平分∠DCF；
（2）G为AD上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝3GH，求BH的长．

【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CF，即∠OCF＝90°，根据直角三角形的性质得到CE＝DE=12CD＝3，∠BEC＝90°，求得∠BCE+∠OBC＝90°，等量代换得到∠BCE＝∠BCF，根据角平分线的定义得到BC平分∠DCF；
（2）连接OC，OG，过G作GM⊥AB于M，根据圆周角定理CD⊥AB，得到CE=12CD＝3，OC＝OG=12AB=10，根据勾股定理得到OE=OC2−CE2=1，根据相似三角形性质得到GM＝1，设MH＝x，则HE＝3x，根据勾股定理即可得到即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵CF是⊙O的切线，点C是切点，
∴OC⊥CF，
即∠OCF＝90°，
∴∠OCB+∠BCF＝90°，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴CE＝DE=12CD＝3，∠BEC＝90°，
∴∠BCE+∠OBC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCE＝∠BCF，
即BC平分∠DCF；
（2）解：连接OC，OG，过G作GM⊥AB于M，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=12CD＝3，OC＝OG=12AB=10，
∴OE=OC2−CE2=1，
∵GM⊥AB，CD⊥AB，
∴CE∥GM，
∴△GMH∽△CEH，
∴GHCH=GMCE=MHHE，
∵CH＝3GH，
∴13=GM3=MHHE，
∴GM＝1，
设MH＝x，则HE＝3x，
∴HO＝3x﹣1．OM＝4x﹣1，
在Rt△OGM中，OM2+GM2＝OG2，
∴（4x﹣1）2+12＝（10）2，
解得x＝1（负值舍去），
∴BH＝OH+OB＝3×1﹣1+10=2+10．

【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握各定理是解题的关键．

考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

3．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
4．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
5．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
6．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
7．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．


8．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
9．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
10．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
11．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
12．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
13．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
14．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
15．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
16．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
17．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
18．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
19．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
20．圆的综合题
圆的综合题．
21．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
22．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
23．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边=ac．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边=bc．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边=ab．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
24．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
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