中考数学二轮精品专题复习 一元二次方程(填空题)

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2023年中考数学真题知识点汇编之《一元二次方程(填空题)》
一．填空题（共31小题）
1．（2023•贵州）若一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　 　．
2．（2023•徐州）若关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 　 　．
3．（2023•常德）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 　 　．
4．（2023•辽宁）若关于x的一元二次方程x2﹣x+k+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 　 　．
5．（2023•内蒙古）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的两个实数根，则x1+x2x1x2=　 　．
6．（2023•张家界）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　 　．
7．（2023•绥化）已知一元二次方程x2+x＝5x+6的两根为x1与x2，则1x1+1x2的值为 　 　．
8．（2023•长春）若关于x的方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是 　 　．
9．（2023•鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，且a≠b，则1a+1b=　 　．
10．（2023•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1+x2+x1•x2＝2，则实数m＝　 　．
11．（2023•随州）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 　 　．
12．（2023•邵阳）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为 　 　．
13．（2023•扬州）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为　 　．
14．（2023•上海）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，那么a的取值范围是　 　．
15．（2023•上海）已知关于x的方程x−14=2，则x＝　 　．
16．（2023•枣庄）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为 　 　．
17．（2023•衡阳）已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣4，则它的另一个根是 　 　．
18．（2023•内江）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝　 　．
19．（2023•宜昌）已知x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则代数式x1+x21+x1x2的值为 　 　．
20．（2023•株洲）已知实数m、x满足：（mx1﹣2）（mx2﹣2）＝4．
①若m=13，x1=9，则x2＝　 　；
②若m、x1、x2为正整数，则符合条件的有序实数对（x1，x2）有 　 　个．
21．（2023•湖北）已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，则实数k＝　 　．
22．（2023•连云港）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　 　．
23．（2023•宜宾）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根的倒数和为1，则m的值为 　 　．
24．（2023•金昌）关于x的一元二次方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，则c＝　 　（写出一个满足条件的值）．
25．（2023•连云港）若W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为 　 　．
26．（2023•怀化）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为 　 　，另一个根为 　 　．
27．（2023•遂宁）若a、b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则代数式a+b﹣ab的值为 　 　．
28．（2023•眉山）已知方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，则（x1+2）•（x2+2）的值为 　 　．
29．（2023•重庆）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程 　 　．
30．（2023•达州）已知x1，x2是方程2x2+kx﹣2＝0的两个实数根，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝10，则k的值 　 　．
31．（2023•重庆）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　 　．

2023年中考数学真题知识点汇编之《一元二次方程(填空题)》
参考答案与试题解析
一．填空题（共31小题）
1．（2023•贵州）若一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是 　94　．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】结合已知条件，利用根的判别式及一元二次方程的定义即可求得答案．
【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4k×1＝0，且k≠0，
解得：k=94，
故答案为：94．
【点评】本题考查一元二次方程的定义及其根的判别式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（2023•徐州）若关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 　4　．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4m＝0，
解得m＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
3．（2023•常德）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 　a＜1　．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式Δ＞0，继而可求得a的范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×a＝4﹣4a＞0，
解得：a＜1，
∴a的取值范围是：a＜1．
故答案为：a＜1．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式，解答的关键是注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得Δ＞0．
4．（2023•辽宁）若关于x的一元二次方程x2﹣x+k+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 　k≤−34　．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣1）2﹣4（k+1）≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4×（k+1）≥0，
解得k≤−34．
故答案为：k≤−34．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（2023•内蒙古）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的两个实数根，则x1+x2x1x2=　−14　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝﹣8，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣8，
则x1+x2x1x2=2−8=−14．
故答案为：−14．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
6．（2023•张家界）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　a＞﹣1　．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＞0，
解得a＞﹣1．
故答案为：a＞﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（2023•绥化）已知一元二次方程x2+x＝5x+6的两根为x1与x2，则1x1+1x2的值为 　−23　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝﹣6，再把原式变形得到x1+x2x1x2，然后利用整体代入的方法进行计算．
【解答】解：一元二次方程x2+x＝5x+6整理得，
x2﹣4x﹣6＝0．
根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣6，
所以原式=x1+x2x1x2=4−6=−23．
故答案为：−23．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1•x2=ca．
8．（2023•长春）若关于x的方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是 　c＜1　．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，Δ＝b2﹣4ac＞0求解即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＞0，
解得：c＜1．
故答案为：c＜1．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题关键．熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
9．（2023•鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，且a≠b，则1a+1b=　32　．
【考点】根与系数的关系；分式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】先根据题意可以把a、b看作是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b＝3，ab＝2，再根据1a+1b=a+bab进行求解即可．
【解答】解：∵a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，
∴可以a、b看作是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，
∴a+b＝3，ab＝2，
∴1a+1b=a+bab=32．
故答案为：32．
【点评】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
10．（2023•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1+x2+x1•x2＝2，则实数m＝　3　．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，由根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2，结合x1+x2+x1•x2＝2，可得出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣m+2）＞0，
∴m＞2．
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2，
∵x1+x2+x1•x2＝2，
∴﹣2m+m2﹣m+2＝2，
解得：m1＝0（不符合题意，舍去），m2＝3，
∴实数m的值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合x1+x2+x1•x2＝2，找出关于m的一元二次方程是解题的关键．
11．（2023•随州）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 　2　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】直接利用根于系数的关系x1+x2=−ba=3，x1x2=ca=1，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，
∴x1+x2=−−31=3，x1x2=11=1，
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，熟记根与系数的关系时解题关键．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
12．（2023•邵阳）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为 　1000（1+x）2＝1440　．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】根据2022年底绿化面积×（1+年平均增长率）2＝2024年底绿化面积，列出一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意得：1000（1+x）2＝1440，
故答案为：1000（1+x）2＝1440．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2023•扬州）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为　k＜1　．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4k＝4﹣4k＞0，
解得：k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式得出4﹣4k＞0是解题的关键．
14．（2023•上海）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，那么a的取值范围是　a＞9　．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】由方程根的情况，根据判别式可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，
∴Δ＜0，即62﹣4a＜0，
解得：a＞9，
故答案为：a＞9．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键．
15．（2023•上海）已知关于x的方程x−14=2，则x＝　18　．
【考点】无理方程．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】方程两边平方得出x﹣14＝4，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：x−14=2，
方程两边平方得：x﹣14＝4，
解得：x＝18，
经检验x＝18是原方程的解．
故答案为：18．
【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
16．（2023•枣庄）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为 　2019　．
【考点】一元二次方程的解．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】把x＝3代入方程求出3a﹣b的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：把x＝3代入方程得：9a﹣3b＝6，即3a﹣b＝2，
则原式＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣4＝2019．
故答案为：2019．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
17．（2023•衡阳）已知关于x的方程x2+mx﹣20＝0的一个根是﹣4，则它的另一个根是 　5　．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得﹣4t＝﹣20，然后解一次方程即可．
【解答】解：设方程的另一个解为t，
根据根与系数的关系得﹣4t＝﹣20，
解得t＝5，
即方程的另一个根为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
18．（2023•内江）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝　﹣2　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2+3a﹣4＝0，a2＝﹣3a+4，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣3，然后把要求的式子进行变形，再代入计算即可．
【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣4＝0的根，
∴a2+3a﹣4＝0，
∴a2＝﹣3a+4，
∵a，b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，
∴a+b＝﹣3，
∴a2+4a+b﹣3
＝﹣3a+4+4a+b﹣3
＝a+b+1
＝﹣3+1
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1•x2=ca，也考查了一元二次方程的解．
19．（2023•宜昌）已知x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则代数式x1+x21+x1x2的值为 　1　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，把两根之和与两根之积代入即可求出值．
【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，
∴x1+x2=32，x1x2=12，
∴x1+x21+x1x2=321+12=1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
20．（2023•株洲）已知实数m、x满足：（mx1﹣2）（mx2﹣2）＝4．
①若m=13，x1=9，则x2＝　18　；
②若m、x1、x2为正整数，则符合条件的有序实数对（x1，x2）有 　7　个．
【考点】一元二次方程的解．菁优网版权所有
【分析】①把m=13，x1＝9代入求值即可；
②由题意知：（mx1﹣2），（mx2﹣2）均为整数，mx1≥1，mx2≥1，mx1﹣2≥﹣1，mx2﹣2≥﹣1，则4＝1×4＝2×2＝4×1，再分三种情况讨论即可．
【解答】解：①把m=13，x1＝9时，（13×9﹣2）×（13x2﹣2）＝4，
解得：x2＝18；
故答案为：18．
②当m，x1，x2为正整数时，
（mx1﹣2），（mx2﹣2）均为整数，mx1≥1，m2≥1，mx1﹣2≥﹣1，mx2﹣2≥﹣1，
而4＝1×4＝2×2＝4×1，
∴mx1−2=1mx2−2=4或mx1−2=2mx2−2=2或mx1−2=4mx2−2=1，
∴mx1=3mx2=6或mx1=4mx2=4或mx1=6mx2=3，
当mx1=3mx2=6时，m＝1时，x1＝3，x2＝6；m＝3时，x1＝1，x2＝2，
故（x1，x2）为（3，6），（1，2），共2个；
当mx1=4mx2=4时，m＝1时，x1＝4，x2＝4；m＝2时，x1＝2，x2＝2，m＝4时，x1＝1，x2＝1，
故（x1，x2）为（4，4），（2，2），（1，1），共3个；
当mx1=6mx2=3时，m＝1时，x1＝6，x2＝3；m＝3时，x1＝2，x2＝1，
故（x1，x2）为（6，3），（2，1），共2个；
综上所述：共有2+3+2＝7个．
故答案为：7．
【点评】本题考查了整式方程的代入求值、整式方程的整数解，因式分解的应用，及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题．
21．（2023•湖北）已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，则实数k＝　﹣5　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】把两根之和与两根之积代入已知条件中，求得k的值，再根据根的判别式求得k的取值范围．最后综合情况，求得k的值．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝k，
∵x1x2+2x1+2x2＝1，
∴k+2×3＝1，
解得k＝﹣5，
又∵方程有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤94，
综合以上可知实数k取值范围是k＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】此题考查一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
22．（2023•连云港）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　a＜1　．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据根的判别式得到Δ＝4﹣4a＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝4﹣4a＞0，
解得a＜1．
故答案为a＜1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
23．（2023•宜宾）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根的倒数和为1，则m的值为 　2　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】设关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根为α，β，可得α+β＝2（m+1），αβ＝m+4，根据两根的倒数和为1，有α+βαβ=1，即2(m+1)m+4=1，得m＝2，再检验可得答案．
【解答】解：设关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m+4＝0两根为α，β，
∴α+β＝2（m+1），αβ＝m+4，
∵两根的倒数和为1，
∴1α+1β=1，
∴α+βαβ=1，
∴2(m+1)m+4=1，
解得m＝2，
经检验，m＝2是分式方程的解，
当m＝2时，原方程为x2﹣6x+6＝0，
Δ＝12＞0，
∴m＝2符合题意，
故答案为：2．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，注意最后需要检验原方程是否有实数根．
24．（2023•金昌）关于x的一元二次方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，则c＝　0（答案不唯一）　（写出一个满足条件的值）．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣16c＞0，解之即可得出c的取值范围，任取其内的一个数即可．
【解答】解：∵方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣16c＞0，
解得：c＜14．
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
25．（2023•连云港）若W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为 　﹣2　．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．菁优网版权所有
【专题】配方法；运算能力．
【分析】将原式进行配方，然后根据偶次幂的非负性即可求得答案．
【解答】解：W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3
＝x2+4x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3
＝4x2﹣4xy+y2﹣2y+x2+8x+3
＝（4x2﹣4xy+y2）﹣2y+x2+8x+3
＝（2x﹣y）2﹣2y+x2+4x+4x+3
＝（2x﹣y）2+4x﹣2y+x2+4x+3
＝（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1﹣1+x2+4x+4﹣4+3
＝[（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1]+（x2+4x+4）﹣2
＝（2x﹣y+1）2+（x+2）2﹣2，
∵x，y均为实数，
∴（2x﹣y+1）2≥0，（x+2）2≥0，
∴原式W≥﹣2，
即原式的W的最小值为：﹣2，
解法二：由题意5x2+（8﹣4y）x+（y2﹣2y+3﹣W）＝0，
∵x为实数，
∴（8﹣4y）2﹣20（y2﹣2y+3﹣W）≥0，
即5W≥（y+3）2﹣10≥﹣10，
∴W≥﹣2，
∴W的最小值为：﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法把原式整理为“平方+常数”的形式是解题的关键．
26．（2023•怀化）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为 　﹣1　，另一个根为 　2　．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】将x＝﹣1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合两根之积等于﹣2，即可求出方程的另一个根．
【解答】解：将x＝﹣1代入原方程可得1﹣m﹣2＝0，
解得：m＝﹣1，
∵方程的两根之积为ca=−2，
∴方程的另一个根为﹣2÷（﹣1）＝2．
故答案为：﹣1，2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
27．（2023•遂宁）若a、b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则代数式a+b﹣ab的值为 　2　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据根与系数的关系得到a+b＝3，ab＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，
∴a+b＝3，ab＝1，
∴a+b﹣ab＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1•x2=ca．
28．（2023•眉山）已知方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，则（x1+2）•（x2+2）的值为 　6　．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】直接利用根与系数的关系作答．
【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣4＝0的根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣4，
∴（x1+2）•（x2+2）＝x1•x2+2x1+2x2+4＝﹣4+2×3+4＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1•x2=ca．
29．（2023•重庆）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程 　301（1+x）2＝500　．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，
依题意得：301（1+x）2＝500．
故答案为：301（1+x）2＝500．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
30．（2023•达州）已知x1，x2是方程2x2+kx﹣2＝0的两个实数根，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝10，则k的值 　7　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】先求出（x1+x2），x1x2的值，然后把（x1﹣2）（x2﹣2）＝10的左边展开，将其代入该关于k的方程，通过解方程来求k的值．
【解答】解：∵x1，x2是方程2x2+kx﹣2＝0的两个实数根，
∴x1+x2=−k2，x1•x2＝﹣1，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝﹣1﹣2×（−k2）+4＝10，
解得k＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca，也考查了代数式的变形能力．
31．（2023•重庆）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　1501（1+x）2＝1815　．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】根据今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，列一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意，得1501（1+x）2＝1815，
故答案为：1501（1+x）2＝1815．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．

考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
4．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
5．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=−（x1+x2），ca=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
6．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
7．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
8．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
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