中考数学二轮精品专题复习 一元二次方程(选择题)

这是一份中考数学二轮精品专题复习 一元二次方程(选择题)，共19页。

2023年中考数学真题知识点汇编之《一元二次方程(选择题)》
一．选择题（共23小题）
1．（2023•赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17
2．（2023•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）
A．﹣9 B．−94 C．94 D．9
3．（2023•无锡）2020年﹣2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（　　）
A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58
C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.58
4．（2023•菏泽）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则1x1+1x2的值为（　　）
A．32 B．﹣3 C．3 D．−32
5．（2023•河南）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．（2023•黑龙江）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（　　）

A．5m B．70m C．5m或70m D．10m
7．（2023•兰州）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
8．（2023•吉林）一元二次方程x2﹣5x+2＝0根的判别式的值是（　　）
A．33 B．23 C．17 D．17
9．（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
10．（2023•广西）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　）
A．3.2（1﹣x）2＝3.7 B．3.2（1+x）2＝3.7
C．3.7（1﹣x）2＝3.2 D．3.7（1+x）2＝3.2
11．（2023•福建）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　）
A．43903.89（1+x）＝53109.85
B．43903.89（1+x）2＝53109.85
C．43903.89x2＝53109.85
D．43903.89（1+x2）＝53109.85
12．（2023•滨州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
13．（2023•永州）某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7
C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7
14．（2023•广元）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+32=0根的情况，下列说法中正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
15．（2023•天津）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（　　）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2=76 D．x1x2＝7
16．（2023•内江）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如：3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
17．（2023•乐山）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
18．（2023•新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　）
A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
19．（2023•眉山）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜32 B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3
20．（2023•广安）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
21．（2023•泸州）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数a的取值有关
22．（2023•泸州）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　）
A．3 B．23 C．14 D．214
23．（2023•台湾）利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（　　）
A．−11+1096 B．−11+1336 C．11+1096 D．11+1336

2023年中考数学真题知识点汇编之《一元二次方程(选择题)》
参考答案与试题解析
一．选择题（共23小题）
1．（2023•赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17
【考点】解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】先把﹣1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
2．（2023•北京）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）
A．﹣9 B．−94 C．94 D．9
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac，建立关于m的等式，即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m＝0，
解得m=94．
故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
3．（2023•无锡）2020年﹣2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（　　）
A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58
C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.58
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据2020年的人均可支配收入×（1+年平均增长率）2＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
【解答】解：由题意得：5.76（1+x）2＝6.58．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2023•菏泽）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则1x1+1x2的值为（　　）
A．32 B．﹣3 C．3 D．−32
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣3；x1x2＝﹣1．
∴1x1+1x2
=x1+x2x1x2
=−3−1
＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
5．（2023•河南）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
6．（2023•黑龙江）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（　　）

A．5m B．70m C．5m或70m D．10m
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设小路的宽是xm，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，根据花圃的面积是3600m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设小路的宽是xm，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，
根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600，
整理得：x2﹣75x+350＝0，
解得：x1＝5，x2＝70（不符合题意，舍去），
∴小路的宽是5m．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2023•兰州）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】由一元二次方程有有两个相等的实数根得Δ＝b2﹣4ac＝0，得到b2﹣4c＝0，再将其代入所求式子中计算即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4c＝0，
∴b2＝4c，
∴b2﹣2（1+2c）
＝b2﹣4c﹣2
＝0﹣2
＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
8．（2023•吉林）一元二次方程x2﹣5x+2＝0根的判别式的值是（　　）
A．33 B．23 C．17 D．17
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac即可求出值．
【解答】解：x2﹣5x+2＝0，
∵a＝1，b＝﹣5，c＝2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×2＝25﹣8＝17．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．
9．（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列得不等式并计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，
∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，
解得：m≤1且m≠0，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，特别注意二次项系数不能为0．
10．（2023•广西）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　）
A．3.2（1﹣x）2＝3.7 B．3.2（1+x）2＝3.7
C．3.7（1﹣x）2＝3.2 D．3.7（1+x）2＝3.2
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】根据2020年的人均可支配收入×（1+年平均增长率）2＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
【解答】解：由题意得：3.2（1+x）2＝3.7，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．（2023•福建）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　）
A．43903.89（1+x）＝53109.85
B．43903.89（1+x）2＝53109.85
C．43903.89x2＝53109.85
D．43903.89（1+x2）＝53109.85
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元，据此列方程．
【解答】解：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，
根据题意得，43903.89（1+x）2＝53109.85，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
12．（2023•滨州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【解答】解：由题意得，Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根．
13．（2023•永州）某市2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7
C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】利用2022年间每年人均可支配收入＝2020年间每年人均可支配收入×（1+每年人均可支配收入的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得2.36（1+x）2＝2.7．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2023•广元）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+32=0根的情况，下列说法中正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【分析】先确定a、b、c的值，在计算b2﹣4ac即可．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c=32，
∴b2﹣4ac＝9﹣12＝﹣3＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．
15．（2023•天津）若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（　　）
A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2=76 D．x1x2＝7
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，
∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，应掌握：设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
16．（2023•内江）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如：3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式；实数的运算．菁优网版权所有
【专题】实数；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据运算“⊗”的定义将方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1转化为一般式，由根的判别式Δ＝（k﹣1）2+4＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵（k﹣3）⊗x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，
∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，
∴关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．
17．（2023•乐山）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝8，再根据x1＝3x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2＝m求得答案即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝8，
∵x1＝3x2，
解得x1＝6，x2＝2，
∴m＝x1x2＝6×2＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
18．（2023•新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　）
A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
【考点】解一元二次方程﹣配方法．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
x2﹣6x＝﹣8，
x2﹣6x+9＝﹣8+9，
（x﹣3）2＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
19．（2023•眉山）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜32 B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＝12﹣4m＞0，
解得：m＜3．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
20．（2023•广安）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【考点】根的判别式；点的坐标．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；平面直角坐标系；推理能力．
【分析】先利用第四象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵点P（a，c）在第四象限，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，
∴方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
21．（2023•泸州）关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．实数根的个数与实数a的取值有关
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】先计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式得结论．
【解答】解：∵Δ＝（2a）2﹣4×1×（a2﹣1）
＝4a2﹣4a2+4
＝4＞0．
∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“根的判别式与方程的解的关系”是解决本题的关键．
22．（2023•泸州）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　）
A．3 B．23 C．14 D．214
【考点】根与系数的关系；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；运算能力．
【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
由题意，得a+b=10ab=22．
∴菱形的边长=(a2)2+(b2)2
=12a2+b2
=12(a+b)2−2ab
=12100−44
=1256
=14．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．
23．（2023•台湾）利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（　　）
A．−11+1096 B．−11+1336 C．11+1096 D．11+1336
【考点】解一元二次方程﹣公式法．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用公式法即可求解．
【解答】解：3x2﹣11x﹣1＝0，
这里a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0，
∴x=11±1332×3=11±1336，
∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，
∴a的值为11+1336．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．

考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
3．解一元二次方程-公式法
（1）把x=−b±b2−4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
4．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
5．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=−（x1+x2），ca=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
6．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
7．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
8．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
9．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
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