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中考数学二轮精品专题复习 圆(选择题二)
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这是一份中考数学二轮精品专题复习 圆(选择题二)，共39页。
2023年中考数学真题知识点汇编之《圆(选择题二)》
一．选择题（共27小题）
1．（2023•山西）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在AB上，点Q是DE的中点，则∠CPQ的度数为（ ）
A．30° B．45° C．36° D．60°
4．（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为(−23，3)，（0，﹣3），则点M的坐标为（ ）
A．（33，﹣2） B．（33，2） C．（2，﹣33） D．（﹣2，﹣33）
5．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．32° B．42° C．48° D．52°
6．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．23° B．24° C．25° D．26°
7．（2023•乐山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD=2，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
8．（2023•湖北）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC＝（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
9．（2023•山西）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.5km，则这段圆曲线AB的长为（ ）
A．π4km B．π2km C．3π4km D．3π8km
10．（2023•临沂）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）
A．60° B．90° C．180° D．360°
11．（2023•苏州）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，CD=DB，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E．设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若S1S2=23，则tan∠ACO的值为（ ）
A．2 B．223 C．75 D．32
12．（2023•宜宾）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为AB的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（ ）
A．140° B．120° C．110° D．70°
13．（2023•新疆）如图，在⊙O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB（阴影部分）的面积是（ ）
A．12π B．6π C．4π D．2π
14．（2023•宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出AB的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+MN2OA．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（ ）
A．11﹣23 B．11﹣43 C．8﹣23 D．8﹣43
15．（2023•巴中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝（ ）
A．25° B．50° C．60° D．65°
16．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（ ）
A．414π﹣20 B．412π﹣20 C．20π D．20
17．（2023•云南）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°，则∠A＝（ ）
A．66° B．33° C．24° D．30°
18．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．35° C．40° D．45°
19．（2023•广安）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣2 B．2π﹣2 C．2π﹣4 D．4π﹣4
20．（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
21．（2023•凉山州）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝23，则OC＝（ ）
A．1 B．2 C．23 D．4
22．（2023•自贡）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（ ）
A．41° B．45° C．49° D．59°
23．（2023•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（ ）
A．4109 B．8109 C．8027 D．83
24．（2023•自贡）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
25．（2023•重庆）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝23，BC＝3，则OC的长度是（ ）
A．3 B．23 C．13 D．6
26．（2023•台湾）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中AC为直径，今以AB为折线将纸片向右折后，纸片盖住部分的AC，而AB上与AC重叠的点为D，如图2所示，若BC=35°，则AD的度数为何（ ）
A．105° B．110° C．120° D．145°
27．（2023•台湾）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得△ABC的外心为O，求BC的长度为何（ ）
A．4 B．5 C．10 D．20
2023年中考数学真题知识点汇编之《圆(选择题二)》
参考答案与试题解析
一．选择题（共27小题）
1．（2023•山西）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】由圆周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC＝40°，再利用直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵BD经过圆心O，
∴∠BCD＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC＝40°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝50°，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
2．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】根据垂径定理得OB⊥AC，在根据勾股定理得OA=AD2+OD2=82+62=10，即可求出答案．
【解答】解：∵AD＝CD＝8，
∴OB⊥AC，
在Rt△AOD中，OA=AD2+OD2=82+62=10，
∴OB＝10，
∴BD＝10﹣6＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理得OB⊥AC是解题的关键．
3．（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在AB上，点Q是DE的中点，则∠CPQ的度数为（ ）
A．30° B．45° C．36° D．60°
【考点】正多边形和圆；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，OD，OQ，OE，
∵正六边形ABCDEF，Q是DE的中点，
∴∠COD＝∠DOE=360°6=60°，∠DOQ＝∠EOQ=12∠DOE＝30°，
∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，
∴∠CPQ=12∠COQ＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．
4．（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为(−23，3)，（0，﹣3），则点M的坐标为（ ）
A．（33，﹣2） B．（33，2） C．（2，﹣33） D．（﹣2，﹣33）
【考点】正多边形和圆；坐标确定位置；全等图形．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【分析】设中间正六边形的中心为D，连接DB．判断出OC，CM的长，可得结论．
【解答】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB．
∵点P，Q的坐标分别为(−23，3)，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形，
∴AB＝BC＝23，OQ＝3，
∴OA＝OB=3，
∴OC＝33，
∵DQ＝DB＝2OD，
∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，
∴M（33，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．32° B．42° C．48° D．52°
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】根据外角∠APD，求出∠C，由同弧所对圆周角相等即可求出∠B．
【解答】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，
∴∠C＝80°﹣48°＝32°，
∵AD=AD，
∴∠B＝∠C＝32°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角的性质的应用，三角形外角的性质应用是解题关键．
6．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．23° B．24° C．25° D．26°
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，结合垂直的定义可求解∠BOC 的度数，再利用圆周角定理可求解．
【解答】解：连接OC，
∵∠ABC＝19°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，
∵半径OA，OB互相垂直，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，
∴∠BAC=12∠BOC＝26°，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
7．（2023•乐山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD=2，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【考点】点与圆的位置关系；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【分析】判断三角形PCD和三角形OAB都是等腰直角三角形，由题得，当P、O、Q共线时，S△ABP最大，求出AB、PQ，根据面积公式计算即可．
【解答】解：作OQ⊥AB，连接OP、OD、OC，
∵CD=2，OC＝OD＝1，
∴OC2+OD2＝CD2，
∴△OCD为等腰直角三角形，
由y＝﹣x﹣2得，点A（﹣2，0）、B（0，﹣2），
∴OA＝OB＝2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB＝22，OQ=2，
由题得，当P、O、Q共线时，S△ABP最大，
∵P为中点，
∴OP=22，
∴PQ＝OP+OQ=322，
∴S△ABP=12AB•PQ＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的相关知识点的应用，点圆最值的计算是解题关键．
8．（2023•湖北）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC＝（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】先根据外角性质得∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，，再由AB是⊙O的直径得∠ADB＝90°即可求得∠ADC．
【解答】解：∵∠C＝20°，∠BPC＝70°，
∴∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB﹣∠BDC＝40°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的外角性质以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
9．（2023•山西）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.5km，则这段圆曲线AB的长为（ ）
A．π4km B．π2km C．3π4km D．3π8km
【考点】垂径定理的应用；切线的性质；弧长的计算．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；推理能力．
【分析】由圆的切线可得∠OAC＝∠OBC＝90°，进而可证明A、O、B、C四点共圆，利用圆内接四边形的性质可求得∠AOB＝60°，再根据弧长公式计算可求解．
【解答】解：∵过点A，B的两条切线相交于点C，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴A、O、B、C四点共圆，
∴∠AOB＝α＝60°，
∴圆曲线AB的长为：60π⋅1.5180=12π（km）．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线的性质，点与圆的位置关系，圆内接四边形的性质，弧长的计算，证明A、O、B、C四点共圆求解∠AOB的度数是解题的关键．
10．（2023•临沂）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）
A．60° B．90° C．180° D．360°
【考点】正多边形和圆；旋转对称图形．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【分析】求出正六边形的中心角的度数，再根据中心角的整数倍进行判断即可．
【解答】解：由于正六边形的中心角为360°6=60°，
所以正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角可以为60°或60°的整数倍，即可以为60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及正多边形中心角的计算方法是解决问题的关键．
11．（2023•苏州）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，CD=DB，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E．设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若S1S2=23，则tan∠ACO的值为（ ）
A．2 B．223 C．75 D．32
【考点】圆周角定理；解直角三角形；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】如图，过C作CH⊥AO于H，证明∠COD＝∠BOE＝∠CAO，由S1S2=23，即12OA⋅CH12OB⋅BE=23，可得CHBE=23，证明tan∠A＝tan∠BOE，可得CHBE=AHOB=23，设AH＝2m，则BO＝3m＝AO＝CO，可得OH＝3m﹣2m＝m，CH=9m2−m2=22m，再利用正切的定义可得答案．
【解答】解：如图，过C作CH⊥AO于H，
∵CD=BD，
∴∠COD＝∠BOE＝∠CAO，
∵S1S2=23，即12OA⋅CH12OB⋅BE=23，
∴CHBE=23，
∵∠A＝∠BOE，
∴tan∠A＝tan∠BOE，
∴CHAH=BEOB，即CHBE=AHOB=23，
设AH＝2m，则BO＝3m＝AO＝CO，
∴OH＝3m﹣2m＝m，
∴CH=9m2−m2=22m，
∴tan∠A=CHAH=22m2m=2，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴tan∠ACO=2；
故选A．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
12．（2023•宜宾）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为AB的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（ ）
A．140° B．120° C．110° D．70°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】连接OC，由∠BAC＝35°，得∠BOC＝2∠BAC＝70°，又C为AB的中点．故∠AOC＝∠BOC＝70°，即知∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°．
【解答】解：连接OC，如图：
∵∠BAC＝35°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝70°，
∵C为AB的中点．
∴BC=AC，
∴∠AOC＝∠BOC＝70°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，
故选：A．
【点评】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系．
13．（2023•新疆）如图，在⊙O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB（阴影部分）的面积是（ ）
A．12π B．6π C．4π D．2π
【考点】扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；几何直观．
【分析】先由圆周角定理可得∠AOB的度数，然后再根据扇形的面积公式计算可得结果．
【解答】解：∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∴S扇形OAB=60×π×62360=6π，
故选：B．
【点评】此题主要是考查了圆周角定理，扇形的面积公式，能够熟练运用同弧所对圆周角是圆心角的一半是解答此题的关键．
14．（2023•宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出AB的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+MN2OA．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（ ）
A．11﹣23 B．11﹣43 C．8﹣23 D．8﹣43
【考点】弧长的计算；近似数和有效数字．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力．
【分析】连接ON，根据AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，知ON⊥AB，M，N，O共线，由OA＝4，∠AOB＝60°，知△AOB是等边三角形，得ON＝OA•sin60°＝23，即得MN＝OM﹣ON＝4﹣23，故l＝AB+MN2OA=4+(4−23)24=11﹣43．
【解答】解：连接ON，如图：
∵AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，
∴ON⊥AB，
∴M，N，O共线，
∵OA＝4，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，∠OAN＝60°，
∴ON＝OA•sin60°＝23，
∴MN＝OM﹣ON＝4﹣23，
∴l＝AB+MN2OA=4+(4−23)24=11﹣43；
故选：B．
【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求ON的长度．
15．（2023•巴中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝（ ）
A．25° B．50° C．60° D．65°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】由圆周角定理求得∠AOB的度数，再根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理可得结论．
【解答】解：连接OB，
∵∠C＝25°，
∴∠AOB＝2∠C＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO=180°−50°2=65°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．
16．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（ ）
A．414π﹣20 B．412π﹣20 C．20π D．20
【考点】扇形面积的计算；矩形的性质；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算．
【分析】根据矩形的性质可求出BD，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆进行计算即可．
【解答】解：如图，连接BD，则BD过点O，
在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，
∴BD2＝AB2+AD2＝41，
S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆
＝π×（42）2+π×（52）2+4×5﹣π×（BD2）2
=41π4+20−41π4
＝20，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
17．（2023•云南）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°，则∠A＝（ ）
A．66° B．33° C．24° D．30°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】根据圆周角定理解答即可，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
【解答】解：∵∠A=12∠BOC，∠BOC＝66°，
∴∠A＝33°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
18．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．35° C．40° D．45°
【考点】切线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】连接OB，由切线的性质得到∠ABO＝90°，由平行线的性质得到∠D＝∠OCD＝25°，由圆周角定理得出∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°﹣∠O＝40°．
【解答】解：连接OB，
∵AB切⊙O于B，
∴半径OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵BD∥OA，
∴∠D＝∠OCD＝25°，
∴∠O＝2∠D＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠O＝2∠D，由切线的性质定理得到∠ABO＝90°，由直角三角形的性质即可求出∠A的度数．
19．（2023•广安）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣2 B．2π﹣2 C．2π﹣4 D．4π﹣4
【考点】扇形面积的计算；勾股定理；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力．
【分析】根据已知求出∠A、∠B的度数，根据扇形和三角形的面积即可求出答案．
【解答】解：在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形CAE+S扇形CBF﹣S△ABC
=45π×(22)2360×2−12×22×22
＝2π﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形、扇形的面积和三角形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
20．（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】切线的性质．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠ACO＝40°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO＝40°．
【解答】解：连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠ACO＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．（2023•凉山州）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝23，则OC＝（ ）
A．1 B．2 C．23 D．4
【考点】垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】连接OB，设OA交BC于E，由∠ADB＝30°，得∠AOB＝60°，根据OA⊥BC，BC＝23，得BE=12BC=3，故sin60°=3OB，从而OB＝2＝OC＝2．
【解答】解：连接OB，设OA交BC于E，如图：
∵∠ADB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA⊥BC，BC＝23，
∴BE=12BC=3，
在Rt△BOE中，sin∠AOB=BEOB，
∴sin60°=3OB，
∴OB＝2，
∴OC＝2；
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理和圆周角定理，解题的关键是掌握含30°角的直角三角形三边关系．
22．（2023•自贡）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（ ）
A．41° B．45° C．49° D．59°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【分析】由直径所对的圆周角是直角可得∠DBC＝90°，由同弧所对的圆周角相等可得∠DBA＝∠DCA，进而可计算∠ABC．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∵∠DBA＝∠DCA＝41°，
∴∠ABC＝90°﹣∠DBA＝49°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点，难度不大．
23．（2023•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（ ）
A．4109 B．8109 C．8027 D．83
【考点】切线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】首先求出AB＝10，先证△BOE和△BAC相似，由相似三角形的性质可求出OE，BE的长，进而可求出CE的长和AE的长，然后再证△BDE和△BEA相似，最后利用相似三角形的性质即可求出DE．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=10，
连接AE，OE，
设☉O的半径为r，则OA＝OE＝r，
∴OB＝AB﹣OA＝10﹣r，
∵BC与半圆相切，
∴OE⊥BC，
∵∠C＝90°，即AC⊥BC，
∴OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC，
∴BEBC=BOAB=OEAC，
即：BE6=10−r10=r8，
由10−r10=r8得：r=409，
由BE6=10−rr得：BE=103，
∴CE=BC−BE=6−103=83，
在Rt△ACE中，AC＝8，CE=83，
由勾股定理得：AE=AC2+CE2=8103，
∵BE为半圆的切线，
∴∠BED＝∠BAE，
又∠DBE＝∠EBA，
∴△BDE∽△BEA，
∴BEAB=DEAE，
∴DE•AB＝BE•AE，
即：DE×10=103×8103，
∴DE=8109．
故选：B．
【点评】此题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，弦切角定理，勾股定理等知识点，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，灵活运用相似三角形的性质和勾股定理进行计算．
24．（2023•自贡）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠ABC，再根据正多边形内角的求解方法列方程求解即可．
【解答】解：∵AB＝CB，∠ACB＝15°，
∴∠ABC＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
设这个正多边形为正n边形，则(n−2)×180°n=150°，
解得n＝12，
经检验n＝12是原方程的解，
即这个正多边形是正十二边形，
故选：D．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形内角的计算方法是解决问题的关键．
25．（2023•重庆）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝23，BC＝3，则OC的长度是（ ）
A．3 B．23 C．13 D．6
【考点】切线的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】根据切线的性质得到OB⊥AC，求得∠ABO＝∠CBO＝90°，得到OB=33AB＝2，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接OB，
∵AC是⊙O的切线，
∴OB⊥AC，
∴∠ABO＝∠CBO＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝23，
∴OB=33AB＝2，
∵BC＝3，
∴OC=BC2+OB2=32+22=13，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．（2023•台湾）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中AC为直径，今以AB为折线将纸片向右折后，纸片盖住部分的AC，而AB上与AC重叠的点为D，如图2所示，若BC=35°，则AD的度数为何（ ）
A．105° B．110° C．120° D．145°
【考点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】由折叠的性质得到：BD、BC的度数相等，又AC是圆的直径，即可求出AD的度数．
【解答】解：由折叠的性质得到：BD=BC，
∵BC的度数＝35°，AC是圆的直径，
∴AD的度数＝180°﹣35°﹣35°＝110°．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，折叠的性质，关键是由折叠的性质得到BD=BC．
27．（2023•台湾）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得△ABC的外心为O，求BC的长度为何（ ）
A．4 B．5 C．10 D．20
【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到OB＝OC＝OA，从而确定B、C的位置．
【解答】解：∵△ABC的外心为O，
∴OB＝OC＝OA，
∵OA=12+32=10，
∴OB＝OC=10，
∵B、C是方格纸格线的交点，
∴B、C的位置如图所示，
∴BC=22+42=20．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．
考点卡片
1．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
2．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
3．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
4．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
5．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
6．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
7．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
8．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
9．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
10．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
11．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
12．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
13．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
14．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
15．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
16．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
17．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
18．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
19．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
20．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
21．旋转对称图形
（1）旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
22．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/9 9:12:25；用户：组卷3；邮箱：zyb003@xyh.com；学号：41418966
2023年中考数学真题知识点汇编之《圆(选择题二)》
一．选择题（共27小题）
1．（2023•山西）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在AB上，点Q是DE的中点，则∠CPQ的度数为（ ）
A．30° B．45° C．36° D．60°
4．（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为(−23，3)，（0，﹣3），则点M的坐标为（ ）
A．（33，﹣2） B．（33，2） C．（2，﹣33） D．（﹣2，﹣33）
5．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．32° B．42° C．48° D．52°
6．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．23° B．24° C．25° D．26°
7．（2023•乐山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD=2，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
8．（2023•湖北）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC＝（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
9．（2023•山西）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.5km，则这段圆曲线AB的长为（ ）
A．π4km B．π2km C．3π4km D．3π8km
10．（2023•临沂）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）
A．60° B．90° C．180° D．360°
11．（2023•苏州）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，CD=DB，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E．设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若S1S2=23，则tan∠ACO的值为（ ）
A．2 B．223 C．75 D．32
12．（2023•宜宾）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为AB的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（ ）
A．140° B．120° C．110° D．70°
13．（2023•新疆）如图，在⊙O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB（阴影部分）的面积是（ ）
A．12π B．6π C．4π D．2π
14．（2023•宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出AB的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+MN2OA．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（ ）
A．11﹣23 B．11﹣43 C．8﹣23 D．8﹣43
15．（2023•巴中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝（ ）
A．25° B．50° C．60° D．65°
16．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（ ）
A．414π﹣20 B．412π﹣20 C．20π D．20
17．（2023•云南）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°，则∠A＝（ ）
A．66° B．33° C．24° D．30°
18．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．35° C．40° D．45°
19．（2023•广安）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣2 B．2π﹣2 C．2π﹣4 D．4π﹣4
20．（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
21．（2023•凉山州）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝23，则OC＝（ ）
A．1 B．2 C．23 D．4
22．（2023•自贡）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（ ）
A．41° B．45° C．49° D．59°
23．（2023•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（ ）
A．4109 B．8109 C．8027 D．83
24．（2023•自贡）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
25．（2023•重庆）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝23，BC＝3，则OC的长度是（ ）
A．3 B．23 C．13 D．6
26．（2023•台湾）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中AC为直径，今以AB为折线将纸片向右折后，纸片盖住部分的AC，而AB上与AC重叠的点为D，如图2所示，若BC=35°，则AD的度数为何（ ）
A．105° B．110° C．120° D．145°
27．（2023•台湾）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得△ABC的外心为O，求BC的长度为何（ ）
A．4 B．5 C．10 D．20
2023年中考数学真题知识点汇编之《圆(选择题二)》
参考答案与试题解析
一．选择题（共27小题）
1．（2023•山西）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】由圆周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC＝40°，再利用直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵BD经过圆心O，
∴∠BCD＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC＝40°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝50°，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
2．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】根据垂径定理得OB⊥AC，在根据勾股定理得OA=AD2+OD2=82+62=10，即可求出答案．
【解答】解：∵AD＝CD＝8，
∴OB⊥AC，
在Rt△AOD中，OA=AD2+OD2=82+62=10，
∴OB＝10，
∴BD＝10﹣6＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理得OB⊥AC是解题的关键．
3．（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在AB上，点Q是DE的中点，则∠CPQ的度数为（ ）
A．30° B．45° C．36° D．60°
【考点】正多边形和圆；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．
【解答】解：如图，连接OC，OD，OQ，OE，
∵正六边形ABCDEF，Q是DE的中点，
∴∠COD＝∠DOE=360°6=60°，∠DOQ＝∠EOQ=12∠DOE＝30°，
∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，
∴∠CPQ=12∠COQ＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．
4．（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为(−23，3)，（0，﹣3），则点M的坐标为（ ）
A．（33，﹣2） B．（33，2） C．（2，﹣33） D．（﹣2，﹣33）
【考点】正多边形和圆；坐标确定位置；全等图形．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【分析】设中间正六边形的中心为D，连接DB．判断出OC，CM的长，可得结论．
【解答】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB．
∵点P，Q的坐标分别为(−23，3)，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形，
∴AB＝BC＝23，OQ＝3，
∴OA＝OB=3，
∴OC＝33，
∵DQ＝DB＝2OD，
∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，
∴M（33，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．32° B．42° C．48° D．52°
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】根据外角∠APD，求出∠C，由同弧所对圆周角相等即可求出∠B．
【解答】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，
∴∠C＝80°﹣48°＝32°，
∵AD=AD，
∴∠B＝∠C＝32°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角的性质的应用，三角形外角的性质应用是解题关键．
6．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．23° B．24° C．25° D．26°
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，结合垂直的定义可求解∠BOC 的度数，再利用圆周角定理可求解．
【解答】解：连接OC，
∵∠ABC＝19°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，
∵半径OA，OB互相垂直，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，
∴∠BAC=12∠BOC＝26°，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
7．（2023•乐山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD=2，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【考点】点与圆的位置关系；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【分析】判断三角形PCD和三角形OAB都是等腰直角三角形，由题得，当P、O、Q共线时，S△ABP最大，求出AB、PQ，根据面积公式计算即可．
【解答】解：作OQ⊥AB，连接OP、OD、OC，
∵CD=2，OC＝OD＝1，
∴OC2+OD2＝CD2，
∴△OCD为等腰直角三角形，
由y＝﹣x﹣2得，点A（﹣2，0）、B（0，﹣2），
∴OA＝OB＝2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB＝22，OQ=2，
由题得，当P、O、Q共线时，S△ABP最大，
∵P为中点，
∴OP=22，
∴PQ＝OP+OQ=322，
∴S△ABP=12AB•PQ＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的相关知识点的应用，点圆最值的计算是解题关键．
8．（2023•湖北）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC＝（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】先根据外角性质得∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，，再由AB是⊙O的直径得∠ADB＝90°即可求得∠ADC．
【解答】解：∵∠C＝20°，∠BPC＝70°，
∴∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB﹣∠BDC＝40°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的外角性质以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
9．（2023•山西）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.5km，则这段圆曲线AB的长为（ ）
A．π4km B．π2km C．3π4km D．3π8km
【考点】垂径定理的应用；切线的性质；弧长的计算．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；推理能力．
【分析】由圆的切线可得∠OAC＝∠OBC＝90°，进而可证明A、O、B、C四点共圆，利用圆内接四边形的性质可求得∠AOB＝60°，再根据弧长公式计算可求解．
【解答】解：∵过点A，B的两条切线相交于点C，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴A、O、B、C四点共圆，
∴∠AOB＝α＝60°，
∴圆曲线AB的长为：60π⋅1.5180=12π（km）．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线的性质，点与圆的位置关系，圆内接四边形的性质，弧长的计算，证明A、O、B、C四点共圆求解∠AOB的度数是解题的关键．
10．（2023•临沂）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）
A．60° B．90° C．180° D．360°
【考点】正多边形和圆；旋转对称图形．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【分析】求出正六边形的中心角的度数，再根据中心角的整数倍进行判断即可．
【解答】解：由于正六边形的中心角为360°6=60°，
所以正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角可以为60°或60°的整数倍，即可以为60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及正多边形中心角的计算方法是解决问题的关键．
11．（2023•苏州）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，CD=DB，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E．设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若S1S2=23，则tan∠ACO的值为（ ）
A．2 B．223 C．75 D．32
【考点】圆周角定理；解直角三角形；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】如图，过C作CH⊥AO于H，证明∠COD＝∠BOE＝∠CAO，由S1S2=23，即12OA⋅CH12OB⋅BE=23，可得CHBE=23，证明tan∠A＝tan∠BOE，可得CHBE=AHOB=23，设AH＝2m，则BO＝3m＝AO＝CO，可得OH＝3m﹣2m＝m，CH=9m2−m2=22m，再利用正切的定义可得答案．
【解答】解：如图，过C作CH⊥AO于H，
∵CD=BD，
∴∠COD＝∠BOE＝∠CAO，
∵S1S2=23，即12OA⋅CH12OB⋅BE=23，
∴CHBE=23，
∵∠A＝∠BOE，
∴tan∠A＝tan∠BOE，
∴CHAH=BEOB，即CHBE=AHOB=23，
设AH＝2m，则BO＝3m＝AO＝CO，
∴OH＝3m﹣2m＝m，
∴CH=9m2−m2=22m，
∴tan∠A=CHAH=22m2m=2，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴tan∠ACO=2；
故选A．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
12．（2023•宜宾）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为AB的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（ ）
A．140° B．120° C．110° D．70°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】连接OC，由∠BAC＝35°，得∠BOC＝2∠BAC＝70°，又C为AB的中点．故∠AOC＝∠BOC＝70°，即知∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°．
【解答】解：连接OC，如图：
∵∠BAC＝35°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝70°，
∵C为AB的中点．
∴BC=AC，
∴∠AOC＝∠BOC＝70°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，
故选：A．
【点评】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系．
13．（2023•新疆）如图，在⊙O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB（阴影部分）的面积是（ ）
A．12π B．6π C．4π D．2π
【考点】扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的计算；几何直观．
【分析】先由圆周角定理可得∠AOB的度数，然后再根据扇形的面积公式计算可得结果．
【解答】解：∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∴S扇形OAB=60×π×62360=6π，
故选：B．
【点评】此题主要是考查了圆周角定理，扇形的面积公式，能够熟练运用同弧所对圆周角是圆心角的一半是解答此题的关键．
14．（2023•宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出AB的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+MN2OA．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（ ）
A．11﹣23 B．11﹣43 C．8﹣23 D．8﹣43
【考点】弧长的计算；近似数和有效数字．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力．
【分析】连接ON，根据AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，知ON⊥AB，M，N，O共线，由OA＝4，∠AOB＝60°，知△AOB是等边三角形，得ON＝OA•sin60°＝23，即得MN＝OM﹣ON＝4﹣23，故l＝AB+MN2OA=4+(4−23)24=11﹣43．
【解答】解：连接ON，如图：
∵AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，
∴ON⊥AB，
∴M，N，O共线，
∵OA＝4，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，∠OAN＝60°，
∴ON＝OA•sin60°＝23，
∴MN＝OM﹣ON＝4﹣23，
∴l＝AB+MN2OA=4+(4−23)24=11﹣43；
故选：B．
【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求ON的长度．
15．（2023•巴中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝（ ）
A．25° B．50° C．60° D．65°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】由圆周角定理求得∠AOB的度数，再根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理可得结论．
【解答】解：连接OB，
∵∠C＝25°，
∴∠AOB＝2∠C＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO=180°−50°2=65°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．
16．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（ ）
A．414π﹣20 B．412π﹣20 C．20π D．20
【考点】扇形面积的计算；矩形的性质；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算．
【分析】根据矩形的性质可求出BD，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆进行计算即可．
【解答】解：如图，连接BD，则BD过点O，
在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，
∴BD2＝AB2+AD2＝41，
S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆
＝π×（42）2+π×（52）2+4×5﹣π×（BD2）2
=41π4+20−41π4
＝20，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
17．（2023•云南）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°，则∠A＝（ ）
A．66° B．33° C．24° D．30°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】根据圆周角定理解答即可，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
【解答】解：∵∠A=12∠BOC，∠BOC＝66°，
∴∠A＝33°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
18．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．35° C．40° D．45°
【考点】切线的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】连接OB，由切线的性质得到∠ABO＝90°，由平行线的性质得到∠D＝∠OCD＝25°，由圆周角定理得出∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°﹣∠O＝40°．
【解答】解：连接OB，
∵AB切⊙O于B，
∴半径OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵BD∥OA，
∴∠D＝∠OCD＝25°，
∴∠O＝2∠D＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠O＝2∠D，由切线的性质定理得到∠ABO＝90°，由直角三角形的性质即可求出∠A的度数．
19．（2023•广安）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣2 B．2π﹣2 C．2π﹣4 D．4π﹣4
【考点】扇形面积的计算；勾股定理；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力．
【分析】根据已知求出∠A、∠B的度数，根据扇形和三角形的面积即可求出答案．
【解答】解：在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形CAE+S扇形CBF﹣S△ABC
=45π×(22)2360×2−12×22×22
＝2π﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形、扇形的面积和三角形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
20．（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】切线的性质．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠ACO＝40°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO＝40°．
【解答】解：连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠ACO＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．（2023•凉山州）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝23，则OC＝（ ）
A．1 B．2 C．23 D．4
【考点】垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】连接OB，设OA交BC于E，由∠ADB＝30°，得∠AOB＝60°，根据OA⊥BC，BC＝23，得BE=12BC=3，故sin60°=3OB，从而OB＝2＝OC＝2．
【解答】解：连接OB，设OA交BC于E，如图：
∵∠ADB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA⊥BC，BC＝23，
∴BE=12BC=3，
在Rt△BOE中，sin∠AOB=BEOB，
∴sin60°=3OB，
∴OB＝2，
∴OC＝2；
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理和圆周角定理，解题的关键是掌握含30°角的直角三角形三边关系．
22．（2023•自贡）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（ ）
A．41° B．45° C．49° D．59°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【分析】由直径所对的圆周角是直角可得∠DBC＝90°，由同弧所对的圆周角相等可得∠DBA＝∠DCA，进而可计算∠ABC．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∵∠DBA＝∠DCA＝41°，
∴∠ABC＝90°﹣∠DBA＝49°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点，难度不大．
23．（2023•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（ ）
A．4109 B．8109 C．8027 D．83
【考点】切线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】首先求出AB＝10，先证△BOE和△BAC相似，由相似三角形的性质可求出OE，BE的长，进而可求出CE的长和AE的长，然后再证△BDE和△BEA相似，最后利用相似三角形的性质即可求出DE．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=10，
连接AE，OE，
设☉O的半径为r，则OA＝OE＝r，
∴OB＝AB﹣OA＝10﹣r，
∵BC与半圆相切，
∴OE⊥BC，
∵∠C＝90°，即AC⊥BC，
∴OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC，
∴BEBC=BOAB=OEAC，
即：BE6=10−r10=r8，
由10−r10=r8得：r=409，
由BE6=10−rr得：BE=103，
∴CE=BC−BE=6−103=83，
在Rt△ACE中，AC＝8，CE=83，
由勾股定理得：AE=AC2+CE2=8103，
∵BE为半圆的切线，
∴∠BED＝∠BAE，
又∠DBE＝∠EBA，
∴△BDE∽△BEA，
∴BEAB=DEAE，
∴DE•AB＝BE•AE，
即：DE×10=103×8103，
∴DE=8109．
故选：B．
【点评】此题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，弦切角定理，勾股定理等知识点，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，灵活运用相似三角形的性质和勾股定理进行计算．
24．（2023•自贡）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，算出这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠ABC，再根据正多边形内角的求解方法列方程求解即可．
【解答】解：∵AB＝CB，∠ACB＝15°，
∴∠ABC＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
设这个正多边形为正n边形，则(n−2)×180°n=150°，
解得n＝12，
经检验n＝12是原方程的解，
即这个正多边形是正十二边形，
故选：D．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形内角的计算方法是解决问题的关键．
25．（2023•重庆）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝23，BC＝3，则OC的长度是（ ）
A．3 B．23 C．13 D．6
【考点】切线的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】根据切线的性质得到OB⊥AC，求得∠ABO＝∠CBO＝90°，得到OB=33AB＝2，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接OB，
∵AC是⊙O的切线，
∴OB⊥AC，
∴∠ABO＝∠CBO＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝23，
∴OB=33AB＝2，
∵BC＝3，
∴OC=BC2+OB2=32+22=13，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．（2023•台湾）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中AC为直径，今以AB为折线将纸片向右折后，纸片盖住部分的AC，而AB上与AC重叠的点为D，如图2所示，若BC=35°，则AD的度数为何（ ）
A．105° B．110° C．120° D．145°
【考点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】由折叠的性质得到：BD、BC的度数相等，又AC是圆的直径，即可求出AD的度数．
【解答】解：由折叠的性质得到：BD=BC，
∵BC的度数＝35°，AC是圆的直径，
∴AD的度数＝180°﹣35°﹣35°＝110°．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，折叠的性质，关键是由折叠的性质得到BD=BC．
27．（2023•台湾）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得△ABC的外心为O，求BC的长度为何（ ）
A．4 B．5 C．10 D．20
【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到OB＝OC＝OA，从而确定B、C的位置．
【解答】解：∵△ABC的外心为O，
∴OB＝OC＝OA，
∵OA=12+32=10，
∴OB＝OC=10，
∵B、C是方格纸格线的交点，
∴B、C的位置如图所示，
∴BC=22+42=20．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．
考点卡片
1．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
2．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
3．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
4．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
5．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
6．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
7．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
8．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
9．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
10．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
11．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
12．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
13．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
14．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
15．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
16．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
17．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
18．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
19．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
20．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
21．旋转对称图形
（1）旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
22．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
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