2023年高考真题和模拟题数学分项汇编（全国通用）专题06+直线和圆

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专题06 直线和圆

（新课标全国Ⅰ卷）1．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.
    
（新课标全国Ⅱ卷）2．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．
【答案】（中任意一个皆可以）
【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
（全国乙卷数学（文））3．已知实数满足，则的最大值是（    ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
（全国乙卷数学（文）（理））4．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线：（为参数，）.
(1)写出的直角坐标方程；
(2)若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，即，可得，
整理得，表示以为圆心，半径为1的圆，
又因为，
且，则，则，
故.
（2）因为（为参数，），
整理得，表示圆心为，半径为2，且位于第二象限的圆弧，
如图所示，若直线过，则，解得；
若直线，即与相切，则，解得，
若直线与均没有公共点，则或，
即实数的取值范围.
  
（全国甲卷数学（文）（理））5．已知，直线（t为参数），为的倾斜角，l与x轴，y轴正半轴交于A，B两点，．
(1)求的值；
(2)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为与轴，轴正半轴交于两点，所以，
令，，令，，
所以，所以，
即，解得，
因为，所以．
（2）由（1）可知，直线的斜率为，且过点，
所以直线的普通方程为：，即，
由可得直线的极坐标方程为．

1．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知圆C：，过点的两条直线，互相垂直，圆心C到直线，的距离分别为，，则的最大值为（    ）
A． B．1 C． D．4
【答案】B
【详解】过圆心C分别作直线，的垂线，垂足分别为，．
，互相垂直，所以四边形为矩形．
由圆C：，可得，又，
，
所以，当且仅当时取等号，即的最大值为1，
故选：B.
  
2．（2023·河南驻马店·统考三模）已知直线与直线垂直，若直线的倾斜角为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，所以，
所以.
故选：D.
3．（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（    ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【详解】由，得点P在圆上，故点P在圆上，又点P在圆C上，所以，两圆有交点，
因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为1，
所以，又，所以，
解得，所以a的最小值为4.
故选：C.
4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】圆，设，
则，则，，
则，所以圆心到直线的距离是，
，得，．
故选：A．
5．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，又，所以，所以，
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系：
  
则，，设，则，
，，
所以，
设，即，
依题意直线与圆有公共点，
所以，得，
所以的最小值为.   
故选：A
6．（2024·四川成都·成都七中校考一模）圆：与直线：的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
【答案】A
【详解】圆：的圆心为，半径，
直线：即，则圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切.
故选：A
7．（2024·四川成都·成都七中校考一模）直线：与直线：平行，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】由题意得，解得.
故选：A
8．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）若直线与之间的距离为，则a的值为（    ）
A．4 B． C．4或 D．8或
【答案】C
【详解】将直线化为，
则直线与直线之间的距离，
根据题意可得：，即，解得或，
所以a的值为或.
故选：C
9．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【详解】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，
则可知圆心到两直线的距离相等，
由圆的圆心为：，
圆心到的距离为：
，
圆心到的距离为：
，
所以，
由题意，
所以，
故选：A.
10．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【详解】圆：中，圆心，半径
设，则，
则,
当时，，
故选：C
11．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】因为，则，
令，解得，
即直线恒过点.
又因为点A也在直线上，则，
可得，且，
则，即，当且仅当时，等号成立
所以的最大值为.
故选：B.
12．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）过直线上的任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则点到直线距离的最大值为_____________.
【答案】/
【详解】设，则，所以.
由几何性质知,
所以，，，四点在以为直径的圆上，
设圆上任意一点坐标为，则，
所以，当时，也成立.
即圆方程为，即，
把圆和圆方程相减得.
故直线的方程为.
所以是以原点为圆心、1为半径的圆上的点，
故点到直线的距离的最大值为.
（当时取等）
故答案为：
  
13．（2023·广东东莞·校考三模）若圆与轴相切，与直线也相切，且圆经过点，则圆的半径为______.
【答案】1或
【详解】由题意，
在直线中，倾斜角为，
∴圆的圆心在两切线所成角的角平分线上.
设圆心，
则圆的方程为：，
将点的坐标代入，
得，
解得：或，
∴圆的半径为1或.
故答案为：1或.
14．（2023·广东·校联考模拟预测）已知圆，过点的直线交圆于两点，且，请写出一条满足上述条件的直线的方程______.
【答案】（答案不唯一，也满足）
【详解】由题意得，半径，，
故在圆外，设O到直线的距离为d，
由得，即，
解得，
当直线l斜率不存在时，即，此时，符合题意；
当直线l斜率存在时，设为，即，
则， 即，解得，故直线为.
故答案为：（答案不唯一，也满足）
15．（2023·河南驻马店·统考三模）已知圆与圆，写出圆C和圆E的一条公切线的方程______.
【答案】或或.
【详解】设圆的公切线为，，或
代入求解得：或
所以切线为：或或
故答案为：或或.
16．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则________．
【答案】
【详解】如图所示，设圆心为点，则，
，则点在圆上，且，
由与圆相切可得，所以切线方程为，
令，解得，故，
所以
故答案为：.


17．（2023·广东广州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，3为半径的圆与圆有公共点，则的最小值为__________.
【答案】/
【详解】圆：的圆心，半径，
以直线上的点为圆心，3为半径的圆与圆有公共点，则，
于是，整理得，
依题意，不等式有解，则，解得，
所以的最小值为.
故答案为：

18．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知圆，若点在圆上，并且点到直线的距离为，则满足条件的点的个数为__________.
【答案】3
【详解】设，由点P到直线的距离为，得
两边平方整理得到①
因为在圆上，所以，即②
联立①②得，
解得或，
当时，由①②可得，解得或，即或
当时，由①②可得，解得或，即或
综上，满足条件的点P的个数为.
故答案为：3.
19．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知点，，动点M满足，则点M到直线的距离可以是__________．（写出一个符合题意的整数值）
【答案】0或1 (只写一个即可)
【详解】由题设知，即在以为直径的圆上，且圆心为，半径为，
所以的轨迹为，
而到的距离为，即直线过圆心，
所以M到直线的距离范围，
所以点M到直线的距离的整数值可以是0或1.
故答案为：0或1 (只写一个即可)
20．（2023·上海·模拟预测）已知的面积为，求______；
【答案】
【详解】因为，可配方得，
又的面积为，
所以表示一个以为圆心的圆，其半径满足，
则，解得，
所以.
故答案为：.