2022-2023学年河南省郑州市中原区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省郑州市中原区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河南省郑州市中原区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 六月是高考季，考上大学是每个学子的目标，河南也有很多不错的大学，以下是河南部分大学的校徽，其中是中心对称图形的是(    )


A. 河南大学 B. 郑州大学 C. 河南农业大学 D. 河南工业学校
2. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是(    )
A. (2x+y)(2x−y)=4x2−y2 B. x2−4x+4=(x−2)2
C. x2+4x+5=(x+2)2+1 D. 10xy2=2x⋅5y2
3. 下列不等式中不成立的是(    )
A. 若x>y，则−2x<−2y B. 若x>y>0，则x2>y2
C. 若x>y，则x4 4. 如图，已知△ABC的周长为12，连接△ABC的三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形3边的中点构成第三个三角形…，依次类推，则第2023个三角形的周长为(    )
A. (12)2020 B. (12)2021 C. (12)2022 D. (12)2023
5. 下列命题中
①等腰三角形的角平分线、高线、中线互相重合；
②一个三角形有两个内角互余，则这个三角形是直角三角形；
③有一个内角为60°的三角形是等边三角形；
④在同一个三角形中，两个内角相等，则两内角所对的边长相等；
⑤三角形中最多有两个直角．
正确的有(    )
A. ② B. ②④ C. ①③⑤ D. ①②③④
6. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，就是平面图形的镶嵌.只用下面一种图形能够进行平面镶嵌的是(    )
A. 正三角形 B. 正五边形 C. 正八边形 D. 正十二边形
7. 如图，已知函数y1=−3x与y2=kx+b的图象交于A(−1,3)，则关于x的不等式kx+b<−3x的解集为(    )
A. x>−1
B. x>3
C. x<−1
D. x<3
8. 袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，那么x满足怎样的分式方程？(    )
A. 14000x=12000x+1500 B. 12000x=14000x+1500
C. 14000x=12000x−1500 D. 14000x−1500=12000x
9. 如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，AC=4，把一块含有30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(∠F=30°)，将△DEF绕点D按顺时针方向旋转a度(E始终在点B上方)，则△ABC与△DEF重叠部分的面积为(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y= 3x，过点A1(2,0)作A1B1⊥x轴，与直线交于点B1，以原点O为圆心，以OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3；…按照这样的作法进行下去，则点A20的坐标是(    )

A. (218,0) B. (219,0) C. (220,0) D. (221,0)
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 写出一个含有字母的分式，且无论x取任何实数，分式都有意义，这个分式可以是______．
12. 某次知识竞赛共有20道题，每答对一道题得10分，答错或不答都扣6分.如果得分要超过95分，设小新答对了x道题，依题意可列不等式为______ ．
13. 若a，b，c为△ABC的三边，且a2−c2−bc+ab=0，则△ABC的形状是______ ．
14. 如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处.若∠1=60°，∠2=40°，则∠A的度数为______ ．

15. 如图，等边三角形ABC的边长为10cm，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C的方向以2cm/s的速度运动，且动点M，N同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动.那么运动到第______ 秒时，点A，M，N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：5×1012−992×5；
(2)解方程：3−xx−4+14−x=1．
17. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0,1)，B(3,2)，C(1,4)均在正方形网格的格点上．
(1)将△ABC沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1绕A1顺时针旋转90°后得到△A1B2C2，画出△A1B2C2，并写出顶点A1，B2，C2的坐标．

18. (本小题9.0分)
下面是小新同学进行分式化简的过程，请认真阅读．
x2+6x+9x2−9−2x+12x−6
=(x+3)2(x+3)(x−3)−2x+12x−6…第一步，
=x+3(x−3)−2x+12(x−3)…第二步，
=2(x+3)2(x−3)−2x+12(x−3)…第三步，
=2x+6−(2x+1)2(x−3)…第四步，
=2x+6−2x+12(x−3)…第五步，
=72x−6…第六步．
(1)第______ 步开始出现错误，正确的化简结果是______ ；
(2)请从不等式组2x−1>−x12x<2的整数解中选择一个合适的值作为x的值代入，求出x2+6x+9x2−9−2x+12x−6的值．
19. (本小题9.0分)
尺规作图题
已知：如图，线段a，c(a 求作：Rt△ABC，使∠c=∠α，BC=a，AB=c．
(注：不写作法，保留作图痕迹)

20. (本小题9.0分)
小新同学在证明三角形中位线定理时，画出了以下图形，写出了已知和求证，请你帮小新完成证明过程．
已知：如图，DE是△ABC的中位线．
求证：DE/​/BC，DE=12BC．
证明：

21. (本小题9.0分)
如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点.某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如表：
甲方案
乙方案


分别取AO，CO的中点E，F
作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F
请回答下列问题：
(1)对以上方案的判断，你认为正确的是：______ ．
A.甲方案可行，乙方案不可行；
B.甲方案不可行，乙方案可行；
C.甲乙两方案均可行；
D.甲乙两方案均不可行；
(2)选择其中一种你认为正确的方案进行证明，若以上两种方案均不可行，也可以自行设计一种方案进行说明；
我选的是方案：______ ；
证明：
(3)在(2)的基础上，若EF=3AE，S△AED=10，则▱ABCD的面积为______ ．
22. (本小题10.0分)
端午节到了，郑州某食品厂家设计了一款名叫小贝塔的卡通造型的香粽，受到众人的喜爱.该食品厂家计划加急生产一批香粽，已知A车间每天生产的数量是B车间每天生产数量的1.5倍，两车间各生产24000个香粽时，A车间比B车间少用2天．
(1)求A、B两车间每天各生产多少个香粽？
(2)已知A、B两车间生产香粽每天的费用分别是1800元和1000元，该厂家计划生产150000个香粽，如果总生产费用不超过39000元，那么B车间至少要生产多少天？
23. (本小题10.0分)
已知：△ABC是等腰三角形，其中AB=AC，∠BAC=α，点D为BC边上的任意一点，连接AD，将线段AD绕点D逆时针旋转α，使点A落在点E处，连接AE、BE．
(1)当α=120°时，如图1，此时AD恰好平分∠EAC，则AE和AC的数量关系是：______ ；
(2)当α=90°时：
①请判断线段BA，BD，BE的数量关系，并根据图2进行证明(提示：过点D作DF⊥BC，交AB与F)；
②若AB=6，在点D的移动过程中，当△ADC是等腰三角形时，直接写出此时△ABE的面积．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：选项A、B、C中的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．

2.【答案】B 
【解析】解：A.(2x+y)(2x−y)=4x2−y2，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.x2−4x+4=(x−2)2，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.x2+4x+5=(x+2)2+1，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意
D.10xy2=2x⋅5y2，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据因式分解的定义判断即可．
本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

3.【答案】C 
【解析】解：A、若x>y，则−2x<−2y，成立，不符合题意；
B、若x>y>0，则x2>y2，成立，不符合题意；
C、若x>y，则x4>y4，原变形错误，符合题意；
D、若x+1 故选：C．
根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．

4.【答案】D 
【解析】解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，
∴DE=12AC，EF=12AB，DF=12BC，
∵△ABC的周长为12，
∴AB+AC+BC=12，
∴DE+DF+EF=12×12=(12)2，
∴第2个三角形的周长为(12)2，
同理可得：第3个三角形的周长为(12)3，
…
则第2023个三角形的周长为(12)2023，
故选：D．
根据三角形中位线定理求出第2个三角形的周长，总结规律，根据规律解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、图形的变化规律，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：①等腰三角形的顶角角平分线、底边高线、底边中线互相重合，故本结论不正确；
②一个三角形有两个内角互余，则这个三角形是直角三角形，正确；
③有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本结论不正确；
④在同一个三角形中，两个内角相等，则两内角所对的边长相等，正确；
⑤三角形中最多有一个直角．故本结论不正确；
故选：B．
根据三角形性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质依次判断即可．
本题考查了命题与定理的判断，三角形性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质是解题关键．

6.【答案】A 
【解析】解：A、正三角形的每个内角是60°，360°÷60=6，一种图形能够进行平面镶嵌，符合题意；
B、正五形的每个内角是108°，108°不能被360°整除，一种图形不能够进行平面镶嵌，不符合题意；
C、正八边形的每个内角是135°，135°不能被360°整除，一种图形不能够进行平面镶嵌，不符合题意；
D、正十二边形的每个内角为150°，150°不能被360°整除，一种图形不能够进行平面镶嵌，不符合题意．
故选：A．
平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．
本题考查平面镶嵌，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．

7.【答案】C 
【解析】解：观察函数图象，当x<−1时，kx+b<−3x，
所以关于x的不等式kx+b<−3x的解集为x<−1．
故选：C．
观察函数图象得到，当x<−1时，直线y=kx+b都在直线y=−3x的下方，于是可得到关于x的不等式kx+b<−3x的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：∵第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，且第一块试验田每公顷的产量为x kg，
∴第二块试验田每公顷的产量为(x+1500)kg．
根据题意得：12000x=14000x+1500．
故选：B．
根据两块试验田每公顷产量间的关系，可得出第二块试验田每公顷的产量为(x+1500)kg，利用种植面积=总产量÷每公顷的产量，结合两块试验田的面积相等，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

9.【答案】B 
【解析】解：如图，连接BD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，点D是AC的中点，
∴BD=AD=2，∠CBD=∠A=45°，BD⊥AC，
∴∠ADB=∠EDF=90°，
∴∠BDM=∠ADN，
∴△ADN≌△BDM(ASA)，
∴S△ADN=S△BDM，
∴S四边形BMDN=S△ABD=12×2×2=2，
故选：B．
由“ASA”可证△ADN≌△BDM，可得S△ADN=S△BDM，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：∵A1(2,0)，
把x=2代入y= 3x得，y=2 3，即A1B2=2 3，
在Rt△OA1B1中，由勾股定理得，OB1=4，
∴A2坐标为(4,0)．
同理可得，A3坐标为(8,0)，A4坐标为(16,0)．
根据A1(2,0)，A2(4,0)，A3(8,0)，A4(16,0)找规律，可得A20坐标为(220,0)．
故答案为：C．
求出B1的坐标，再根据勾股定理求出OB1的长，从而得到A2的坐标，依次类推，求出A3，A4……的坐标，找规律即可．
本题是在平面直角坐标系中根据规律求点的坐标的问题，其中涵盖了根据一次函数关系式利用横坐标求纵坐标，以及勾股定理的知识点．只要能逐次求出A1、A2、A3、A4的坐标，很容易就可以发现规律．

11.【答案】2x2+1 
【解析】解：由题意得：2x2+1，
故答案为：2x2+1．
写一个分母不为零的分式即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．

12.【答案】10x−6(20−x)>95 
【解析】解：设小新答对了x道题，依题意可列不等式为：10x−6(20−x)>95．
故答案为：10x−6(20−x)>95．
根据题意表示出小新的得分，进而得出不等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．

13.【答案】等腰三角形 
【解析】解：由a2−c2−bc+ab=0得
(a+c)(a−c)+b(a−c)=0，
即(a−c)(a+b+c)=0；
又a，b，c为△ABC的三边，
所以a+b+c≠0，
则a−c=0，即a=c，
因此△ABC是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
将等式的左边因式分解，然后利用“AB=0，则A=0或B=0”，便可得出题中a，b之间的关系，进而判断出△ABC的形状．
本题考查了因式分解以及等腰三角形的判定，因式分解是否正确是解决此题的关键．

14.【答案】110° 
【解析】解：设BE，DC交于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠ABD=∠CDB，
由翻折可知：∠ABD=∠EBD，
∴∠EBD=∠CDB，∠E=∠A，
∴FB=FD，
∴∠FBD=∠FDB，
∴∠1=∠FBD+∠FDB=60°，
∴∠FBD=∠FDB=30°，
由翻折可知：∠EDB=∠2=40°，
∴∠EDF=∠EDB−∠FDB=40°−30°=10°，
∴∠E=180°−60°−10°=110°，
∴∠A=∠E=110°．
故答案为：110°．
根据平行四边形的性质和外角定义证明∠1=∠FBD+∠FDB=60°，得∠FBD=∠FDB=30°，由翻折可得∠EDB=∠2=40°，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查翻折变换，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形外角定义，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．

15.【答案】2或6 
【解析】解：①当0≤t≤103时，点M、N、D的位置如图1所示：

∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DM=AN，DM//AN，DN/​/AB，
∴∠MDB=∠C=60°，∠NDC=∠B=60°，
∴∠NDC=∠C，
∴ND=NC，
∴DM+DN=AN+NC=AC=10，
即：3t+2t=10，
∴t=2；
②当103 ③5
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DN=AM，AM/​/DN，
∴∠NDB=∠ACB=60°，
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠B=60°，
∴∠NDB=∠B，
∴ND=NB，
∴NB+MC=AM+CM=10，3t−10+2t−10=10，
解得：t=6，
④当203
则BN=20−2t，BM=30−3t，
由题意可知：△BNM为等边三角形，
∴BN=BM，即：20−2t=30−3t，解得t=10，此时M、N重合，不能构成平行四边形．
综上所述：t的值为2或6，
故答案为：2或6．
分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解．
本题是考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，利用平行四边形的判定和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键．

16.【答案】解：(1)5×1012−992×5
=5×(1012−992)
=5×(101+99)(101−99)
=5×200×2
=2000；
(2)3−xx−4+14−x=1，
方程两边都乘x−4，得3−x−1=x−4，
解得：x=3，
检验：当x=3时，x−4≠0，
所以分式方程的解是x=3． 
【解析】(1)先提取公因式，再根据平方差公式分解因式，最后求出答案即可；
(2)方程两边都乘x−4得出3−x−1=x−4，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了分解因式，平方差公式，解分式方程等知识点，能正确运用平方差公式进行计算是解(1)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(2)的关键．

17.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△A1B2C2为所作；A1(−3,1)，B2(−2,−2)，C2(0,0)．
 
【解析】(1)利用点平移的坐标变换规律得到A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点B1、C1的对应点即可．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．

18.【答案】五 52x−6 
【解析】解：(1)第五步开始出现错误，
x2+6x+9x2−9−2x+12x−6
=(x+3)2(x+3)(x−3)−2x+12x−6
=x+3(x−3)−2x+12(x−3)
=2(x+3)2(x−3)−2x+12(x−3)
=2x+6−(2x+1)2(x−3)
=2x+6−2x−12(x−3)
=52x−6，
故答案为：五，52x−6；
(2)2x−1>−x12x<2，
解不等式组得：13 则其整数解有：1，2，3，
∵x2−9≠0，
∴x≠±3，
∴当x=1时，原式=52−6=−54；
当x=2时，原式=54−6=−52．
故分式的值为：−54或−52．
(1)利用分式的相应的法则对式子进行分析即可；
(2)利用解一元一次不等式组的方法求解不等式组的解集，再结合分式有意义的条件选取适当的数代入运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

19.【答案】解：如图，Rt△ABC即为所求．
 
【解析】作∠ECF=α=90°，在射线CF上截取线段CB，使得CB=a，以B为圆心，c为半径作弧，交CE于A，连接AB，Rt△ABC即为所求．
本题考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．

20.【答案】解：证明：延长DE到F，使FE=DE，连接CF，
在△ADE和△CFE中，
AE=EC∠AED=∠CEFDE=EF，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴∠A=∠ECF，AD=CF，
∴CF//AB，
∵BD=AD，
∴CF=BD，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF//BC，DF=BC，
∴DE/​/BC，DE=12BC． 
【解析】延长DE到F，使FE=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质得到∠A=∠ECF，AD=CF，证明四边形DBCF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线平行于第三边的解题的关键．

21.【答案】C  甲方案或乙方案  100 
【解析】解：(1)∵甲乙两方案均可行，
∴C正确，
故答案为：C；
(2)甲方案，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵O是对角线AC的中点，
∴AO=CO，
∵E、F分别是AO、CO的中点，
∴AE=12AO，CF=12CO，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠BAE=∠DCFAE=CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴BE=DF，∠AEB=∠CFD，
∵∠BEF=180°−∠AEB，∠DFE=180°−∠CFD，
∴∠BEF=∠DFE，
∴BE/​/DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
乙方案，证明如下：
∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴BE/​/DF，∠AEB=∠CFD=90°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE=DF，
四边形BEDF是平行四边形；
(3)由(2)得△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵EF=3AE，
∴AC=5AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABC=S△ADC=5S△AED=5×10=50，
∴S▱ABCD=2×50=100，
故答案为：100．
(1)由题意进行选择即可；
(2)只要证明△ABE≌△CDF，即可解决问题；
(3)由全等三角形的性质得AE=CF，再证AC=5AE，然后由三角形面积关系得S△ABC=S△ADC=5S△AED=50，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

22.【答案】解：(1)设B车间每天生产x个香粽，则A车间每天生产1.5x个香粽，
由题意得：24000x=240001.5x+2，
解得：x=4000，
经检验，x=4000是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×4000=6000，
答：A车间每天生产6000个香粽，B车间每天生产4000个香粽；
(2)设B车间生产m天，则A车间要生产150000−4000m60000天，
由题意得：1000m+1800×150000−4000m6000≤39000，
解得：m≥30，
答：B车间至少要生产30天． 
【解析】(1)设B车间每天生产x个香粽，则A车间每天生产1.5x个香粽，根据两车间各生产24000个香粽时，A车间比B车间少用2天．列出分式方程，解方程即可；
(2)设B车间生产m天，根据总生产费用不超过39000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．

23.【答案】AE=AC 
【解析】解：(1)如图：

∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠C=30°，
∵将线段AD绕点D逆时针旋转120°，使点A落在点E处，
∴AD=ED，∠ADE=120°，
∴∠E=30°=∠C，
∵AD恰好平分∠EAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵AD=AD，
∴△ADE≌△ADC(AAS)，
∴AE=AC；
故答案为：AE=AC；
(2)①过点D作DF⊥BC，交AB与F，如图：

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF= 2BD，BD=FD，
∵∠ADE=∠BDF=90°，
∴∠BDE=∠FDA，
由旋转可得DE=DA，
∴△BDE≌△FDA(SAS)，
∴BE=AF，
∵AB=BF+AF，
∴AB= 2BD+BE；
②当D与B重合时，此时AD=AC，如图，

∵AB=6，
∴BE=AD=6，
∵∠ADE=90°，
∴S△ABE=12×6×6=18；
当AC=CD时，如图：

∵AB=6=AC=CD，
∴BC= 2AB=6 2，
∴BD=BC−CD=6 2−6，
由①可知，AB= 2BD+BE，
∴BE=AB− 2BD=6− 2(6 2−6)=6 2−6，
同①可得△BDE≌△FDA，
∴∠DBE=∠DFA=135°，
∴∠ABE=∠DBE−∠ABC=135°−45°=90°，
∴S△ABE=12BE⋅AB=12×(6 2−6)×6=18 2−18；
当AD=CD时，如图：

此时△ABE不存在，不符合题意；
综上所述，△ABE的面积为18或18 2−18．
(1)证明△ADE≌△ADC(AAS)，可得AE=AC；
(2)①过点D作DF⊥BC，交AB与F，可得△BDF是等腰直角三角形，BF= 2BD，BD=FD，再证△BDE≌△FDA(SAS)，即可得AB= 2BD+BE；
②分三种情况：AD=AC时，S△ABE=12×6×6=18；当AC=CD时，可得BD=BC−CD=6 2−6，而AB= 2BD+BE，可得BE=AB− 2BD=6− 2(6 2−6)=6 2−6，△BDE≌△FDA，可证∠ABE=∠DBE−∠ABC=135°−45°=90°，故S△ABE=12BE⋅AB=12×(6 2−6)×6=18 2−18；当AD=CD时，△ABE不存在，不符合题意．
本题考查几何变换综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，三角形面积的计算，分类讨论思想的应用等，解题的关键是掌握旋转的性质．