高考数学真题分项汇编三年（2021-2023）（全国通用）专题03+导数及其应用（选择题、填空题）（文）

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专题03 导数及其应用（选择题、填空题）（文）
知识点目录
知识点1：切线问题
知识点2：单调性、极最值问题
知识点3：比较大小问题
近三年高考真题
知识点1：切线问题
1．（2023•甲卷（文））曲线在点处的切线方程为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为，
，
故函数在点处的切线斜率，
切线方程为，即．
故选：．
2．（2021•新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】法一：函数是增函数，恒成立，
函数的图象如图，，即切点坐标在轴上方，
如果在轴下方，连线的斜率小于0，不成立．
点在轴或下方时，只有一条切线．
如果在曲线上，只有一条切线；
在曲线上侧，没有切线；
由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知．
故选：．
法二：设过点的切线横坐标为，
则切线方程为，可得，
设，可得，，，是增函数，
，，是减函数，
因此当且仅当时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线．
故选：．

3．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
【答案】，，．
【解析】，设切点坐标为，，
切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
整理得：，
切线存在两条，方程有两个不等实根，
△，解得或，
即的取值范围是，，，
故答案为：，，．
4．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 　 　．
【答案】，．
【解析】当时，，设切点坐标为，，
，切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
，
切线方程为，即，
当时，，与的图像关于轴对称，
切线方程也关于轴对称，
切线方程为，
综上所述，曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为，，
故答案为：，．

知识点2：单调性、极最值问题
5．（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】对函数求导可得，，
依题意，在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
易知当时，，
则函数在上单调递减，
则．
故选：．
6．（2023•乙卷（文））函数存在3个零点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
若函数存在3个零点，
则，有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，
即判别式△，得，
由得或，此时单调递增，
由得，此时单调递减，
即当时，函数取得极大值，当时，取得极小值，
则，，
即，且，
即，①，且，②，
则①恒成立，
由，，
平方得，即，
则，综上，
即实数的取值范围是．
故选：．
7．（2022•乙卷（文））函数在区间，的最小值、最大值分别为　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【解析】，，，
则，
令得，或，
当，时，，单调递增；当时，，单调递减；当，时，，单调递增，
在区间，上的极大值为，极小值为，
又，，
函数在区间，的最小值为，最大值为，
故选：．
8．（2022•甲卷（文））当时，函数取得最大值，则（2）　　
A． B． C． D．1
【答案】
【解析】由题意（1），则，
则，
当时函数取得最值，可得也是函数的一个极值点，
（1），即．
，
易得函数在上单调递增，在上单调递减，
故处，函数取得极大值，也是最大值，
则（2）．
故选：．
9．（2021•乙卷（文））设，若为函数的极大值点，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】令，解得或，即及是的两个零点，
当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，

则；
当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，

则；
综上，．
故选：．
10．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】函数定义域为，
且，
由题意，方程即有两个正根，设为，，
则有，，△，
，，
，即．
故选：．
11．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则　　
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【答案】
【解析】，令，解得或，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，且，
有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项正确，选项错误；
又，则关于点对称，故选项正确；
假设是曲线的切线，设切点为，则，解得或，
显然和均不在曲线上，故选项错误．
故选：．
知识点3：比较大小问题
12．（2022•天津）已知，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为是定义域上的单调增函数，所以，即；
因为是定义域上的单调减函数，所以，且，所以；
因为是定义域上的单调增函数，所以，即；
所以．
故选：．
13．（2022•甲卷（文））已知，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，

，
，，
构造函数，
，
，，，
在单调递增，
（8），又因为，
故，
故选：．
14．（2022•新高考Ⅰ）设，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】构造函数，，
则，，
当时，，
时，，单调递减；
时，，单调递增，
在处取最小值（1），
，且，
，，；
，，
，；
设，
则，
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
，当时，，
当时，，单调递增，
，，，
．
故选：．
15．（2023•甲卷（文））已知函数．记，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】令，则的开口向下，对称轴为，
，
而，
，
，
由一元二次函数的性质可知，
，
而，
，，
综合可得，又为增函数，
，即．
故选：．
16．（2021•天津）设，，，则三者大小关系为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，，
，，
，
故选：．
17．（2021•新高考Ⅱ）已知，，，则下列判断正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
．
故选：．