高考数学真题分项汇编三年（2021-2023）（全国通用）专题04+导数及其应用（解答题）（理）

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专题04 导数及其应用（解答题）（理）
知识点目录
知识点1：恒成立与有解问题
知识点2：极最值问题
知识点3：证明不等式
知识点4：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移）
知识点5：零点问题
近三年高考真题
知识点1：恒成立与有解问题
1．（2023•甲卷（理））已知，．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）已知，函数定义域为，
若，此时，
可得
，
因为，，
所以当，即时，，单调递增；
当，即时，，单调递减；
（2）不妨设，函数定义域为，
，
令，，
此时，
不妨令，
可得，
所以单调递增，
此时（1），
①当时，，
所以在上单调递减，
此时，
则当时，恒成立，符合题意；
②当时，
当时，，
所以，
又（1），
所以在区间上存在一点，使得，
即存在，使得，
当时，，
所以当时，，单调递增，
可得当时，，不符合题意，
综上，的取值范围为，．
2．（2021•天津）已知，函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）证明函数存在唯一的极值点；
（3）若，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为，所以，而，
所以在，处的切线方程为；
（2）证明：令，则，
令，则，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，当时，，
作出图象，如图，

所以当时，与仅有一个交点，令，
则，且，
当时，，，为增函数；
当时，，，为减函数；
所以时是的极大值点，故仅有一个极值点；
（3）由（2）知，
此时，，
所以，
令，
若存在，使对任意的恒成立，
则等价于存在，使得，即，
而，，
当时，，为单调减函数，
当时，，为单调增函数，
所以（1），故，
所以实数的取值范围，．
3．（2023•上海）已知函数，（其中，，，若任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有满足条件的函数在处取得的最小值记为．
（1）若，，试判断函数是否为函数的“控制函数”，并说明理由；
（2）若，曲线在处的切线为直线，证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值；
（3）若曲线在，处的切线过点，且，，证明：当且仅当或时，（c）（c）．
【解析】（1），设，
，当，时，易知，即单调减，
，即，
是的“控制函数“；
（2），
，
，即为函数的“控制函数“，
又，且，；
证明：（3），，
在处的切线为，
，，（1）（1），

，
，
，
，
恒成立，
函数必是函数的“控制函数“，
是函数的“控制函数“，
此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点，
在之间的点不可能使得在切线下方，所以或，
所以曲线在处的切线过点，且，，
当且仅当或时，．
知识点2：极最值问题
4．（2023·北京·统考高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
【解析】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
5．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；参考答案
（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围．
【解析】（1）证明：设，，
则，，
在上单调递减，
，
在上单调递减，
，
即，，
，，
设，，
则，
在上单调递增，
，，
即，，
，，
综合可得：当时，；
（2），，
且，，
①若，即时，
易知存在，使得时，，
在上单调递增，，
在上单调递增，这显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去；
②若，即或时，
存在，使得，时，，
在，上单调递减，又，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，满足为的极大值点，符合题意；
③若，即时，为偶函数，
只考虑的情况，
此时，时，
，
在上单调递增，与显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去．
综合可得：的取值范围为，，．
6．（2023•乙卷（理））已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）是否存在，，使得曲线关于直线对称，若存在，求，的值，若不存在，说明理由；
（3）若在存在极值，求的取值范围．
【解析】（1）时，（1），
，（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为．
（2），定义域为，，，
要使函数的图像关于对称，则由，且，可知，
即的图像关于对称，
则（1），，
得，解得．
综上，，；
（3），
要使在存在极值点，则方程有正根，
记，，，
①当时，，故在上单调递增，，不符合题意；
②当时，，故在上单调递减，，不符合题意；
③当时，令，，令，，
故在上单调递增，，不符合题意；
易知时，，
故只需，
记，，，
故在上单调递增，
（2），
故取，，有，即，符合题意；
综上所述，时，在存在极值点．
知识点3：证明不等式
7．（2022•新高考Ⅱ）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）设，证明：．
【解析】（1）当时，，
，
，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
（2）令，
，，
在上恒成立，
又，
令，则，
，
①当，即，存在，使得当时，，即在上单调递增．
因为，所以在内递增，所以，这与矛盾，故舍去；
②当，即，
，
若，则，
所以在，上单调递减，，符合题意．
若，则，
所以在上单调递减，，符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
另的导数为，
①当时，，
所以在递增，所以，与题意矛盾；
②当时，，
所以在递减，所以，满足题意；．
③当时，．
设，，则在递减，所以，
，所以在递减，所以，满足题意；
④当时，，
令，则，，
可得递减，，
所以存在，使得．当时，，
在递增，此时，
所以当时，，在递增，所以，与题意矛盾．
综上可得，的取值范围是，．
（3）由（2）可知，当时，，
令得，，
整理得，，
，
，，
即．
另运用数学归纳法证明．
当时，左边成立．
假设当时，不等式成立，即．
当时，要证，
只要证，
即证．
可令，则，，则需证明，
再令，则需证明．
构造函数，，
，
可得在，上递减，
则（1），所以原不等式成立，
即时，成立．
综上可得，成立．
8．（2023•新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
【解析】（1），
则，
①当时，恒成立，在上单调递减，
②当时，令得，，
当时，，单调递减；当，时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增．
证明：（2）由（1）可知，当时，，
要证，只需证，
只需证，
设（a），，
则（a），
令（a）得，，
当时，（a），（a）单调递减，当，时，（a），（a）单调递增，
所以（a），
即（a），
所以得证，
即得证．
9．（2021•乙卷（理））已知函数，已知是函数的极值点．
（1）求；
（2）设函数．证明：．
【解析】（1）由题意，的定义域为，
令，则，，
则，
因为是函数的极值点，则有，即，所以，
当时，，且，
因为，
则在上单调递减，
所以当时，，
当时，，
所以时，是函数的一个极大值点．
综上所述，；
（2）证明：由（1）可知，，
要证，即需证明，
因为当时，，
当时，，
所以需证明，即，
令，
则，
所以，当时，，
当时，，
所以为的极小值点，
所以，即，
故，
所以．
10．（2023•天津）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在处的切线斜率；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）证明：．
【解析】（Ⅰ）对函数求导，可得，
则曲线在处的切线斜率为（2）；
（Ⅱ）证明：当时，，即，即，
而 在上单调递增，
因此，原不等式得证；
（Ⅲ）证明：设数列的前项和，
则；
当时，，
由（2），，
故，不等式右边得证；
要证，只需证：对任意的，，
令，则，
当时，，函数在上单调递减，
则，即，
则，
因此当时，，
当时，累加得
，
又，，
故，即得证．
知识点4：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移）
11．（2021•新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．
【解析】（1）由函数的解析式可得，
，，单调递增，
，，单调递减，
则在单调递增，在单调递减．
（2）证明：由，得，
即，
由（1）在单调递增，在单调递减，
所以（1），且（e），
令，，
则，为 的两根，其中．
不妨令，，则，
先证，即证，即证，
令，
则在单调递减，
所以（1），
故函数在单调递增，
（1）．，，得证．
同理，要证，
（法一）即证，
根据（1）中单调性，
即证，
令，，
则，令，
，，单调递增，
，，，单调递减，
又时，，且（e），
故，
（1）（1），
恒成立，
得证，
（法二），，
又，故，，
故，，
令，，，
在上，，单调递增，
所以（e），
即，所以，得证，
则．
12．（2022•天津）已知，，函数，．
（1）求函数在，处的切线方程；
（2）若和有公共点．
（ⅰ）当时，求的取值范围；
（ⅱ）求证：．
【解析】（1），，
，，
函数在处的切线方程为；
（2）（ⅰ），，又和有公共点，
方程有解，
即有解，显然，
在上有解，
设，，
，
当时，；当，时，，
在上单调递减，在，上单调递增，
，且当时，；当时，，
，，
的范围为，；
（ⅱ）证明：令交点的横坐标为，则，
由柯西不等式可得
，
又易证时，，，，
，
故．
13．（2022•浙江）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知，，曲线上不同的三点，，，，，处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则（a）；
（ⅱ）若，，则．
（注是自然对数的底数）
【解析】（Ⅰ）函数，
，，
由，得，在，上单调递增；
由，得，在上单调递减．
（Ⅱ）证明：过有三条不同的切线，
设切点分别为，，，，，，
，，2，，方程有3个不同的根，
该方程整理为，
设，
则，
当或时，；当时，，
在，上为减函数，在上为增函数，
有3个不同的零点，（e）且（a），
，且，
整理得到且，
此时，，且，
此时，，
整理得，且，
此时，（a），
设（a）为上的减函数，（a），
．
当时，同讨论，得：
在，上为减函数，在上为增函数，
不妨设，则，
有3个不同的零点，（a），且（e），
，且，
整理得，
，，
，
设，则方程即为：
，即为，
记，
则，，为有三个不同的根，
设，，
要证：，
即证，
即证：，
而，且，
，
，
即证，
即证，
即证，
记，则，
在为增函数，，
，
设，，
则，
在上是增函数，（1），
，
即，
若，，则．
14．（2022•北京）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；
（Ⅱ）设，讨论函数在，上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的，，有．
【解析】（Ⅰ）对函数求导可得：，
将代入原函数可得，将代入导函数可得：，
故在处切线斜率为1，故，化简得：；
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）有：，
，
令，令，
设，恒成立，
故在，单调递增，又因为，
故在，恒成立，故，
故在，单调递增；
解法二：由（Ⅰ）有：，
，
设，，则，
由指数函数的性质得上上是增函数，且，
，当时，，单调递增，
且当时，，
在，单调递增．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）有在，单调递增，又，
故在，恒成立，故在，单调递增，
设，，
由（Ⅱ）有在，单调递增，又因为，所以，
故单调递增，又因为，故，
即：，又因为函数，
故，得证．
知识点5：零点问题
15．（2022•甲卷（理））已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，，则．
【解析】（1）的定义域为，，
令，解得，故函数在单调递减，单调递增，
故（1），要使得恒成立，仅需，
故，故的取值范围是，；
（2）证明：由已知有函数要有两个零点，故（1），即，
不妨设，要证明，即证明，
，，
即证明：，又因为在单调递增，
即证明：，
构造函数，，
，
构造函数，
，因为，所以，
故在恒成立，故在单调递增，
故（1）
又因为，故在恒成立，故在单调递增，
又因为（1），故（1），
故，即．得证．
16．（2022•新高考Ⅰ）已知函数和有相同的最小值．
（1）求；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【解析】（1）定义域为，
，
，
若，
则，无最小值，
故，
当时，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
故，
的定义域为，
，
，
令，解得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在，上单调递增，
故，
函数和有相同的最小值
，
，
化为，
令，，
则，
，
恒成立，
在上单调递增，
又（1），
（a）（1），仅有此一解，
．
（2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
设，
则，当时，，
所以函数在上单调递增，因为（1），
所以当时，（1）恒成立，即在时恒成立，
所以时，，
因为，函数在上单调递增，（1），函数在上单调递减，
所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为，，
此时可作出函数和的大致图象，

由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，
直线必经过点，，即，
因为，所以，即，
令得，解得或，由，得，
令得，解得或，由，得，
所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时，
从左到右的三个交点的横坐标依次为，，，，
因为，所以，
所以，，成等差数列．
存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
17．（2021•新高考Ⅱ）已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点．
①，；
②，．
【解析】（Ⅰ），，
①当时，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
②当时，令，可得或，
当时，
当或时，，当时，，
在，，上单调递增，在，上单调递减，
时，
且等号不恒成立，在上单调递增，
当时，
当或时，，当时，，
在，，上单调递增，在，上单调递减．
综上所述：
当 时， 在上单调递减；在上 单调递增；
当 时， 在， 和上单调递增；在，上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在和， 上单调递增；在， 上单调递减．
（Ⅱ）证明：若选①，由 （Ⅰ）知， 在上单调递增，， 单调递减，， 上 单调递增．
注意到．
在 上有一个零点；
，
由 得，，
，当 时，，此时 无零点．
综上： 在 上仅有一个零点．
另当，时，有，，
而，于是
，
所以在没有零点，当时，，
于是，所以在，上存在一个零点，命题得证．
若选②，则由（Ⅰ）知：在， 上单调递增，
在，上单调递减，在 上单调递增．
，
，，，，
当 时，，此时 无零点．
当 时， 单调递增，注意到，
取，，，又易证，
，
在上有唯一零点，即在上有唯一零点．
综上： 在 上有唯一零点．
18．（2021•浙江）设，为实数，且，函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，满足．
（注是自然对数的底数）
【解析】（Ⅰ），
①当时，由于，则，故，此时在上单调递增；
②当时，令，解得，令，解得，
此时在单调递减，在单调递增；
综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（Ⅱ）注意到时，，当时，，
由（Ⅰ）知，要使函数有两个不同的零点，只需即可，
对任意均成立，
令，则，即，即，即，
对任意均成立，
记，则，
令（b），得，
①当，即时，易知（b）在，单调递增，在单调递减，
此时（b），不合题意；
②当，即时，易知（b）在，单调递减，
此时，
故只需，即，则，即；
综上，实数的取值范围为，；
（Ⅲ）证明：当时，，，令，解得，
易知，
有两个零点，不妨设为，，且，
由，可得，
要证，只需证，只需证，
而，则，
要证，只需证，只需证，
而，
，即得证．
19．（2021•甲卷（理））已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围．
【解析】（1）时，，
，
当时，，当，时，，
故在上单调递增，在，上单调递减．
（2）由题知在有两个不等实根，
，
令，，在上单调递增，在上单调递减，
又当时，，（1），（e），当时，，
作出的图象，如图所示：

由图象可得，解得且，
即的取值范围是，，．