福建省福州市2023届高三数学质量检测试题（Word版附解析）

这是一份福建省福州市2023届高三数学质量检测试题（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（完卷时间120分钟；满分150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上!请不要错位，越界答题!
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的交集确定元素与集合的关系，即可求得的值.
【详解】因集合，，且，所以
故.
故选：B.
2. 在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】设，然后由复数除法运算得，根据对应的点在第二象限可解.
【详解】设，则，
因为复数对应的点位于第二象限，
所以,得，
所以复数对应的点在第三象限.
故选：C
3. 已知向量在单位向量上的投影向量为，则（ ）
A. -3B. -1C. 3D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量可求得向量的数量积，再根据数量积的运算即可得所求.
【详解】因为向量在单位向量上的投影向量为，所以，又，所以，
则.
故选：A.
4. 为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例关于贷款人的年收入（单位：万元）的Lgistic，模型：，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（ ）（精确到0.01万元，参考数据：，）
A. 4.65万元B. 5.63万元C. 6.40万元D. 10.00万元
【答案】A
【解析】
【分析】先根据题中数据代入计算函数中参数的值，然后计算时的值即可.
【详解】由题意，即，得，所以.
令，
得，
得，
得
得.
故选：A.
5. 已知的外接圆半径为1，，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理化边为角，再利用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理即可得解.
【详解】由正弦定理可得，
所以，
则.
故选：D.
6. “赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（ ）
A. 15种B. 18种C. 19种D. 36种
【答案】C
【解析】
【详解】根据题意，记只会划左桨两人，只会划右桨的两人，既会划左桨又会划右桨的两人；
则不同的选派方法有以下三种：
（1）从中选择2人划左桨，划右桨的在中选两人，共有种，
（2）从中选择1人划左桨，则从中选1人划左桨，再从剩下的3人中选2人划右桨，共有种；
（3）从中选择0人划左桨，则中的两人划右桨，从中选2人划左桨，共有
所以，不同的选派方法共有19种.
故选：C
7. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（ ）
A. α∥β且∥αB. α⊥β且⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于D. α与β相交，且交线平行于
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．
考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．
8. 已知，函数，.若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，，则，利用导数求出函数的最小值，即可得出答案.
【详解】，即，
令，
，
令，
则，所以函数为增函数，即函数为增函数，
又，
则当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
所以的取值范围是.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：构造函数，利用导数求出函数的最小值，是解决本题的关键.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是（ ）
A. 中位数B. 平均数
C. 方差D. 第40百分位数
【答案】AD
【解析】
【分析】根据中位数，平均数，方差及百分位数的定义，举例说明即可.
【详解】设这个数分别为，
且，
则中位数为，
去掉最大和最小的数据，得，中位数为，
故中位数一定不变；
由，得的第40百分位数为，
由，得的第40百分位数为，
故第40百分位数不变，
设这个数分别，
则平均数为，
去掉最大和最小的数据为，
此时平均数为，所以此时平均数改变了；
设这个数分别，
则平均数为，
方差为
，
去掉最大和最小的数据为，
则平均数为，
方差为，
所以此时方差都改变了.
故选：AD.
10. 已知椭圆C：，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（ ）
A. C长轴长为2B. C的焦距为
C. C的离心率为D. C与圆有2个公共点
【答案】BC
【解析】
【分析】先由p，q，r依次成公比为2的等比数列求出椭圆方程，再逐一判断各选项.
【详解】因为p，q，r依次成公比为2的等比数列，所以，，即，.
所以C的方程可化为，则，，即，.
对于A，所以C的长轴长为4，故A错误；
对于B，焦距为，故B正确；
对于C，C的离心率为，故C正确；
对于D，联立解得，C与圆只有1个公共点，故D错误.
故选：BC.
11. 如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒Р离水面的最大距离为5.2m，旋转一周需要60s.以P刚浮出水面时开始计算时间，Р到水面的距离d（单位：m）（在水面下则d为负数）与时间t（单位：s）之间的关系为，，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 离水面的距离不小于3.7m的时长为20s
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意，的最大值为，最小值为，即可求出，再根据函数的周期即可求出，根据时，，利用待定系数法即可求出，解正弦不等式即可判断D.
【详解】由题意，的最大值为，最小值为，
则，
所以，故A正确；
由旋转一周需要60s，得函数的周期，所以，故B正确；
故，
当时，，
则，所以，故C错误；
由，得，
因为，所以，
由，得，
令，得，
所以，故，
所以离水面的距离不小于3.7m的时长为，故D正确.
故选：ABD.
12. 已知函数定义域为，满足，当时，.若函数的图象与函数的图象的交点为，（其中表示不超过的最大整数），则（ ）
A. 是偶函数B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】举例说明判断A；分析函数与的性质，作出部分函数图象，结合图象与性质推理、计算判断BCD作答.
【详解】函数，显然，而，即，因此不是偶函数，A错误；
函数定义域为，满足，当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
因此当时，函数在上递减，
在上递增，当时，取得最大值，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
因此当时，函数，
在同一坐标平面内作出函数的部分图象，如图，
当时，函数的图象有唯一公共点，
因为，因此，，而满足的整数有个，即，B正确；
显然，
所以，C正确；
，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，D错误.
【点睛】关键点睛：求两个分段函数的公共点的坐标，确定要求值的自变量属于哪一段区间，再代入该段的解析式求值是关键.
第Ⅱ卷
注意事项：
用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答.答案无效.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知变量和的统计数据如下表：
若由表中数据得到经验回归直线方程为，则时的残差为_________（注：观测值减去预测值称为残差）.
【答案】##
【解析】
【分析】先求出回归方程，再根据回归方程求出预测值，最后计算残差即可.
【详解】，
则，解得，
所以，
当时，，
所以时的残差为.
故答案为：.
14. 写出经过抛物线的焦点且和圆相切的一条直线的方程_________.
【答案】（或，写出一个方程即可）
【解析】
【分析】斜率不存在时，直接观察可知；斜率存在时，设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径可解.
【详解】抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径为2.
记过点的直线为l，当l斜率不存在时，由图可知l与圆相切，此时l的方程为；
当l斜率存在时，设其方程为，即，
因为直线l与圆相切，所以，解得
所以l的方程为，即.
故答案为：（或，写出一个方程即可）
15. 已知圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为_________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的侧面公式即可求得其侧面积.
【详解】圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，
如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为，
则圆台的高，
测圆台的母线长为，
据此可得圆台的侧面积为.
故答案为：.
16. 不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性结合，解不等式即可.
【详解】由，得，
令，
则，
因为，所以，
所以，
所以函数为增函数，
又，
则不等式即为，
所以，
即不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：构造函数是解决本题的关键.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图，直线，线段DE与，均垂直，垂足分别是E，D，点A在DE上，且，.C，B分别是，上的动点，且满足.设，面积为.
（1）写出函数解析式；
（2）求的最小值.
【答案】（1）
（2）的最小值为
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的边角关系得关于的表达式，再根据三角形面积公式即可得函数解析式；
（2）利用三角恒等变换化简，再根据函数的性质即可得的最小值.
【小问1详解】
结合图形可知，若，则，所以，又，所以，
又在中，
在中，
所以面积为
【小问2详解】
由（1），
因为，所以，所以的取值范围是
所以当时，取得最小值.
18. 学校有A，B两家餐厅，周同学每天午餐选择其中一家餐厅用餐.第1天午餐选择A餐厅的概率是，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为.
（1）记周同学前两天去A餐厅的总天数为X，求X的数学期望；
（2）如果周同学第2天去B餐厅，那么第1天去哪个餐厅的可能性更大?请说明理由.
【答案】（1）
（2）如果周同学第天去餐厅，那么第天去餐厅的可能性更大，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，根据随机变量的分布结合条件概率求解分布列及数学期望；
（2）根据条件概率与全概率公式求解即可判断.
【小问1详解】
设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，则与对立，与对立.
由题意可得
则的分布列为：
所以.
【小问2详解】
由全概率公式，得
所以
所以
则
所以如果周同学第天去餐厅，那么第天去餐厅可能性更大.
19. 如图，四边形是圆柱的轴截面，是母线，点D在线段BC上，直线//平面.
（1）记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，证明：；
（2）若，，直线到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得为的中点，结合锥体的体积分析证明；
（2）根据题意可得到平面的距离为，结合锥体的体积可得，进而可求得，结合线面夹角的定义分析求解.
【小问1详解】
连接，设，连接，
因为直线//平面，平面，平面平面，
所以//，
又因为为的中点，则为的中点，
所以.
【小问2详解】
因为直线//平面，直线到平面的距离为，
则到平面的距离为，
又因为为的中点，则到平面的距离为，
由，则，可得，
延长交底面圆周于点，连接，则
因为平面，平面，则，
，平面，
所以平面，
由平面，则，即的边AD的高为，
由题意可得：，
可得为等腰直角三角形，则，
可得，
由，解得，
所以直线与平面所成角的正弦值，
因为//，则直线与平面所成角即为直线与平面所成角，
故线与平面所成角的正弦值.
20. 已知数列满足，.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）求使取得最小值时的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据可得，即，再利用累加法求解即可；
（2）根据数列的通项公式判断出数列的单调性，结合数列的单调性即可得解.
【小问1详解】
，
由，
得，即，
当时，
，
所以，
当时，上式也成立，所以；
【小问2详解】
由（1）可知，，
当时，，即，当时，，即，
当或时，，即，
则数列在且上递减，在且上递增，，
所以取得最小值时或.
21. 已知双曲线：的右顶点为A，О为原点，点在的渐近线上，的面积为.
（1）求的方程；
（2）过点Р作直线交于M，N两点，过点N作x轴的垂线交直线AM于点G，H为NG的中点，证明：直线AH的斜率为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】根据点在的渐近线上，可得，再根据的面积求出即可；
（2）易得直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，求出的方程，令，可得点的坐标，从而可得点的坐标，再根据斜率公式计算即可.
【小问1详解】
因为点在的渐近线上，所以，
，则，所以，故，
所以的方程为；
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线与双曲线只有一个交点，不符题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，消得，
则，解得且，
，
直线的方程为，
令，得，即，
因为H为NG的中点，所以，
所以，
因为
，
所以，
所以直线AH的斜率为定值.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22. 已知，函数.
（1）讨论在上的单调性；
（2）已知点.
（i）若过点Р可以作两条直线与曲线相切，求的取值范围；
（ii）设函数，若曲线上恰有三个点使得直线与该曲线相切于点，写出的取值范围（无需证明）.
【答案】（1）答案见解析
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可得解；
（2）（i）设切点为，根据导数的几何意义可得切线方程为，再根据切线过点，可得，根据过点Р可以作两条直线与曲线相切，得关于的方程在上至少有两个不同的解，令，利用导数求出函数的单调区间，作出函数的大致图象，结合图象即可得解；
（ii）由（i）得，当时，曲线上恰有两个点处得切线过点，再根据函数与互为反函数，结合（i）即可得解.
【小问1详解】
，
当时，，所以在上单调递减，
当时，令，则，令，则，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
（i）设切点为，
因为，所以切线的斜率为，
则切线方程为，
因为切线过点，所以，
即，
若过点Р可以作两条直线与曲线相切，
则上述关于的方程至少有两个不同的解，
显然不是该方程的解，
所以关于的方程在上至少有两个不同的解，
令，
则，
令，
则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，
所以当时，，
所以在上单调递增，在上单调递增，
的大致图象如下图所示：
因为，
，
所以当时，
关于关于的方程在上有两个不同的解，
此时过点Р可以作两条直线与曲线相切，
所以的取值范围为；
（ii）由（i）得，过点Р可以作一条直线与曲线相切，
则当时，曲线上恰有两个点处得切线过点，
由，得，
由，得，
所以函数与互为反函数，
则函数与关于对称，
因为点在直线，
则曲线上恰有两个点处得切线过点，
即为过点Р可以作两条直线与曲线相切，
由（i）得，此时，
所以的取值范围为.
【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面：
（1）求导后看最高次项系数是否为，须需分类讨论；
（2）若最高次项系数不为，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况；
（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较.
6
7
8
9
10
3.5
4
5
6
6.5
0
1
2