福建省福州市八县（市、区）一中2022-2023学年高一数学上学期11月期中联考试题（Word版附解析）

这是一份福建省福州市八县（市、区）一中2022-2023学年高一数学上学期11月期中联考试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年度第一学期八县(市、区)一中期中联考
第Ⅰ卷
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合，则下列关系中，正确的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合题意写出集合中的具体元素，然后利用元素与集合、集合与集合之间的关系逐项进行验证即可求解.
【详解】因为集合，
对于A，因为，故选项A错误；
对于B，是一个集合，且，故选项B错误；
对于C，因为集合，所以集合与集合不存在包含关系，故选项C错误；
对于D，因为集合，任何集合都是它本身的子集，所以，故选项D正确，
故选：D.
2. 下列命题的否定是真命题的是（ ）
A.
B. 菱形都是平行四边形
C. ，一元二次方程没有实数根
D. 平面四边形，其内角和等于360°
【答案】C
【解析】
【分析】对A，特称命题的否定为全称命题，由，计算即可判断真假；对B，全称命题的否定为特称命题，再由菱形与平行四边形的关系即可判断真假；对C，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号即可判断真假；对D，由四边形的内角和计算即可判断原命题为真，特称命题的否定为全称命题为假命题．
【详解】对于A，，，其否定为：，，
由时，，则原命题为真命题，其否定为假命题，故A不正确；
对于B，每个菱形都是平行四边形，其否定为：存在一个菱形不是平行四边形，
原命题为真命题，其否定为假命题，故B不正确；
对于C，，一元二次方程没有实根，
其否定为：，一元二次方程有实根，
由，可得原命题为假命题，命题的否定为真命题，故C正确；
对于D，平面四边形，其内角和等于360°为真命题，命题的否定为假命题，故D不正确；
故选：C.
3. 下列函数表示同一个函数的是（ ）.
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】根据相同函数的概念判定即可.
【详解】对于A项，，显然与对应关系不同，但定义域相同均为，故A错误；
对于B项，由题意得，即的定义域为，，即的定义域为和，两函数定义域不同，故B错误；
对于C项，，即两函数对应关系不同，故C错误；
对于D项，，两函数定义域与对应关系均相同，故D正确.
故选：D
4. 下列命题正确的是（ ）.
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用作差比较法，可判定A、B不正确；根据不等式的性质，可判定C正确；根据基本不等式，可判定D不正确.
【详解】对于A中，由，其中的符号不确定，所以A不正确；
对于B中，因为，可得，
所以，即，所以B不正确；
对于C中，由，可得，所以，所以C正确；
对于D中，由，可得，
则，
当且仅当时，即时等号成立，所以D不正确.
故选：C.
5. 已知函数，若，则（    ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的解析式，作图，由数形结合化简方程，结合分段函数，求得函数值.
【详解】由函数，可作图如下：

由方程，则，即，解得.

故选：B.
6. 已知不等式解集为，若不等式解集为B，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由不等式解集为可得，从而求出，再利用集合补集的定义求解即可.
【详解】因为不等式解集为，
所以，
所以可化为，则，
所以，解得：，
所以，
故选：B.
7. 命题 在上为增函数，命题Q：在单调增函数，则命题P是命题Q（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出命题，为真命题的条件，然后根据必要条件，充分条件的判断即可求解.
【详解】因为命题 在上为增函数，
则有，解得，
又因为命题Q：在单调增函数，
则有，解得，
若命题成立，则命题一定成立，反之则不一定成立，
所以是的充分不必要条件，
故选：A.
8. 定义在上且满足，其中，在为增函数，则
（1）不等式解集为
（2）不等式解集为
（3）解集为
（4）解集为，其中成立的是（ ）.
A. （1）与（3） B. （1）与（4） C. （2）与（3） D. （2）与（4）
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数满足的性质作出函数的大致图象，进而数形结合，分别求解不等式，即可求得答案.
【详解】由题意可知定义在上且满足，其中，在为增函数，
则函数为偶函数，在上为减函数，
函数的图象可由的图象向左平移1个单位得到，
作出以即得大致图象如图，

则不等式可化为或，
由图象可知，故（1）正确，（2）错误；
由于为偶函数，故可化为，
即，解得，故（3）错误，（4）正确，
故选：B
【点睛】方法点睛：解答本题是要结合函数的性质，即单调性、奇偶性，明确函数图象的大致形状，作出图象，数形结合，即可求解问题.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知函数，则（ ）
A. B.
C. 的最小值为1 D. 的图象与轴有1个交点
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用换元法求出的解析式，然后逐一判断即可.
【详解】令，得，则，得，
故，，，A正确，B错误.
，所以在上单调递增，
，的图象与轴只有1个交点，C正确，D正确.
故选：ACD
10. 已知幂函数对任意且，都满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由已知函数为幂函数可得，再由已知可得此函数在上递增，则，从而可求出函数解析式，然后判断函数奇偶性和单调性，从而可判断选项AB，对于CD，作差比较即可.
【详解】因为为幂函数，
所以，解得或，
因为对任意且，都满足，
所以函数在上递增，
所以
当时，，不合题意，
当时，，
所以
因为，
所以为奇函数，
所以由，得，
因为在上为增函数，
所以，所以，
所以A错误，B正确，
对于CD，因为，
所以



，
所以，所以C错误，D正确，
故选：BD
11. 已知关于，且．下列正确的有（ ）
A. 最小值为9 B. 最小值为1
C. 若，则 D.
【答案】CD
【解析】
【分析】A选项，利用基本不等式“1”的代换求出最小值；B选项，变形得到，再利用基本不等式进行计算；C选项，先由基本不等式得到，再用作差法计算；D选项，平方后利用基本不等式进行求解.
【详解】A选项，因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，A错误；
B选项，因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
但由于，故等号取不到，所以的最小值不为-1，B错误；
C选项，，
因为，，所以由基本不等式得，
故，C正确；
D选项，由基本不等式得，
所以，当且仅当时，等号成立，D正确.
故选：CD
12. 已知连续函数对任意实数恒有，当时，，，则（ ）
A. B. 在上的最大值是4
C. 图像关于中心对称 D. 不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值法可判定A项；特殊值检验B项；通过判定的值即可检验C项正误；判定函数的单调性去“”，解不等式可得出D项正误.
【详解】令，则，即A正确；
令，则，
又，∴，，
则，即C正确；
由，即B项错误；
由条件可得，
当时，，即在定义域上单调递增，
，
即，即D正确；
故选：ACD
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）
13. 已知函数的定义域为 则的定义域为_________________
【答案】
【解析】
【分析】抽象函数定义域求解，需整体在范围内，从而 解出的范围，同时注意需保证，最后求出交集即可得解.
【详解】由已知，的定义域为，所以对于
需满足,解得
故答案为：.
14. 已知命题“存在”是假命题，则实数的取值范围_______.
【答案】
【解析】
【分析】先写出特称命题的否定，即，为真命题，对分为与两种情况，列出所要满足的条件，求出实数的取值范围.
【详解】存在是假命题，则，为真命题，当时，，满足题意，当时，要满足： ，解得：，综上：实数的取值范围是：
故答案为：
15. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220，则这所公寓的地板面积至多为___________平方米；若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是______________（填写“变好了”或者“变坏了”）
【答案】 ①. 200 ②. 变好了
【解析】
【分析】设这所公寓的地板面积为，则这所公寓窗户面积为（），然后根据题意列不等式可求出的范围，设窗户面积与地板面积分别为，（），设同时增加相同的面积为（），然后作差判断.
【详解】设这所公寓的地板面积为，则这所公寓窗户面积为（），
所以，解得，
所以这所公寓的地板面积至多为200平方米，
设窗户面积与地板面积分别为，（），设同时增加相同的面积为（），则
，
所以，
所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了，
故答案为：200，变好了
16. 对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.若函数有“优美区间”，当a变化时，则的最大值为_____________________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据题目新定义信息可知，函数在单调递增，即可得关于的方程，在利用韦达定理将表示成关于的表达式，再利用二次函数求得最值.
【详解】易知函数的定义域为，所以或；
由题意可知函数在单调递增，
所以可得，故是方程，即的两个同号的相异的实数根，
又因为，所以同号，
只需，解得或,
又若函数有“优美区间”，则，
所以当时，的最大值为2.
故答案为：2
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，
（1）若，求，；
（2）若，则实数a的取值范围.
【答案】（1）A∩B＝； AB＝
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简集合，，再利用集合交集和并集运算求解；
（2）由，得到，分和求解.
【小问1详解】
因为集合，
当时，集合，
所以，.
【小问2详解】
，，分和两种情况；
①当时，则，解得： ，此时满足；
②当时，则，要使 成立，
则有，解得，所以，
综上可知，，所以实数a的取值范围为.
18. 设，，命题，命题
（1）当时，试判断命题p是命题q的什么条件？
（2）求的取值范围，使命题p是命题q的必要不充分条件.
【答案】（1）命题p是命题q的必要不充分条件
（2）{a|a3}
【解析】
【分析】（1）根据分式不等式，一元二次不等式和集合关系结合充分条件必要条件的定义即得；
（2）分类讨论参数结合条件即可求解.
【小问1详解】
{x|x5或x3}，
当a8时，
{x|x214x+48≤0}{x|6≤x≤8}，
∵命题p：xA，命题q：xB，则B真包含于A，
∴命题p是命题q的必要不充分条件．
【小问2详解】
∵A{x|x5或x3}，

命题p是命题q的必要不充分条件，则B真包含于A
①当a6，即a6时，此时B＝{x|6≤x≤a}，命题成立；
②当a＝6，即a＝6时，此时B＝{6}，命题成立；
③当a6，即a6时，此时B＝{a≤x≤6}，故有a＞3，解得6a3.
综上所述，a的取值范围是{a|a3}.
19. 已知函数是定义在R上偶函数，如图所示，现已画出函数在y轴左侧的图象，

（1）请画出y轴右侧的图像，并写出函数的解析式和单调减区间；
（2）若函数，求函数的最大值．
【答案】（1）图见解析，，单调递减区间为和
（2）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出的图象，写出单调递减区间，进而求得函数的解析式；
（2）当时，得到，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.
【小问1详解】
解：如图所示，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出的图象，
当时，设函数，
由图象可得，解得，所以，
当时，则，因为函数为偶函数，所以，
所以函数的解析式为，
可得的单调递减区间为和，
【小问2详解】
解：当时，，
可得其对称轴的方程为且开口向上，
①当时，即时，；
②当时，即时，，
综上可得，
20. 已知函数在为奇函数，且
（1）求值；
（2）判断函数在的单调性，并用定义证明；
（3）解关于t的不等式
【答案】（1）
（2）函数在为单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值；
（2）由（1）由此可得出函数的解析式，可判断是奇函数，判断出函数在上是减函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；
（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
在为奇函数，，解得：，
又，解得：，
故，经检验满足题设.
【小问2详解】
当时，，

当时函数在为奇函数，
由，判断函数在为单调递减，
证明：，
，
，
，，
，函数在为单调递减，
【小问3详解】
则，
在为奇函数，，
又函数在单调递减，

t的不等式的解集为
21. 近年来，网龙已成为全球在线及移动互联网教育行业的主要参与者，教育版图至今已覆盖192个国家.网龙协助政府打造面向全球的“中国·福建VR产业基地”，同时，网龙还将以“智能教育”为产业依托，在福州滨海新城打造国际未来教育之都——网龙教育小镇.网龙公司研发一种新产品，生产的固定成本为15000元，每生产一台产品须额外增加投入2000元，鉴于市场等多因素，根据初步测算，当每月产量为台时，总收入（单位：元）满足函数：，设其利润为，（利润=总收入-总成本）
（1）求关于的函数关系式；
（2）如何安排当月产量公司获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）安排当月产量300台时，利润最大为110000元.
【解析】
【分析】（1）根据利润=总收入-总成本，分和两种情况求解即可；
（2）分和两种情况求出的最大值，然后比较可得答案.
【小问1详解】
①当，
，
②当，
，
综上，.
【小问2详解】
①当，
，
当台时 利润最大为110000元.
②当，
在单调递减，
元 110000>85000 ，
答：安排当月产量300台时，利润最在为110000元.
22. 定义：设函数的定义域为D，若存在实数m，M，对任意的实数，有，
则称函数为有上界函数，M是的一个上界；若，则称函数为有下界函数，m是的一个下界．
（1）写出一个定义在R上且M=1，的函数解析式；
（2）若函数在(0，1)上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围；
（3）某同学在研究函数单调性时发现该函数在与具有单调性，
①请直接写出函数在与单调性；
②若函数定义域为，m是函数的下界，请利用①的结论，求m的最大值.
【答案】（1）（答案不唯一，如）
（2）
（3）①为减函数，为增函数；②
【解析】
【分析】（1）根据函数具有有界性的定义即可得出答案；
（2）依题得对任意恒成立，分离参数可得，令，根据的单调性求得,即可得出答案.
（3）①由对勾函数的性质即可得出答案；②根据对勾函数的单调性可知在单调递减，单调递增，分别讨论、、求的最小值即为的最大值.
【小问1详解】
，的值域为，的一个上界为，的一个下界为.
答案不唯一，如，的值域为，的一个上界为，的一个下界为.
【小问2详解】
依题得对任意，恒成立，
，，令在为单调递减 ，
，，
实数的取值范围为.
【小问3详解】
①由对勾函数的性质知，在为减函数， 为增函数
②，由①知，在为减函数，在 为增函数，
当即时，由①知为减函数，
，m是的一个下界，，
当即，由①知为增函数，
，m是的一个下界，
当即，，
当且仅当时等号成立， m是的一个下界，
.
综上所述： ,