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2022-2023学年福建省泉州市石狮市八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年福建省泉州市石狮市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省泉州市石狮市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算(−2)0的结果是( )
A. 0 B. −2 C. −12 D. 1
2. “了解病毒，防控新冠，保卫健康”.某类新型冠状病毒的直径约为0.000000125米，它比流感病毒的基因组大两倍.数据0.000000125用科学记数法表示为( )
A. 1.25×107 B. 1.25×10−6 C. 1.25×10−7 D. 1.25×10−9
3. 函数y=x−1x+3中，自变量x的取值范围是( )
A. x≠0 B. x≠−3 C. x≠1 D. x>−3
4. 在平面直角坐标系xOy中，点P(−3,4)到坐标原点O的距离为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
5. 某公司要招聘一名职员，其中应聘者小明的笔试与面试成绩(百分制)如表所示：
招聘对象
笔试成绩
面试成绩
小明
90分
85分
若笔试与面试成绩分别按40%、60%的比例计入综合成绩，则小明的综合成绩是( )
A. 86分 B. 87分 C. 87.5分 D. 88分
6. 在平面直角坐标系xOy中，与点(2,5)关于y轴对称的点是( )
A. (−2,5) B. (2,−5) C. (−2,−5) D. (5,2)
7. 如图四边形中分别标注了部分数据，根据所标数据，则不能判断该四边形是平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，∠ABC的平分线BE交CD边于点E，则DE的长是( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 2
9. 如图，已知直线y=ax+b(a≠0)和直线y=kx(k≠0)交于点P(1,2)，则不等式(a−k)x+b>0的解集是( )
A. x>1 B. x<1 C. x>2 D. x<2
10. 在同一条公路上，甲从A地匀速骑自行车到B地，乙从B地匀速骑摩托车到A地，两人同时出发，到达目的地后，立即停止运动.甲、乙两人离地A的距离y(km)与他们骑车的时间x(h)之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是( )
A. A、B两地相距120km
B. 甲的速度为20km/h
C. 甲、乙两人出发2h相遇
D. 当乙到达目的地时，甲还需4h到达目的地
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. (13)−1=______．
12. 计算：xx−y−yx−y= ______ ．
13. 甲、乙、丙三名射击手的10次测试的平均成绩都是8.5环，方差分别是S甲2=1.2(环 2)、S乙2=3.4(环 2)、S丙2=1.5(环 2)，则成绩比较稳定的射击手是______ ．
14. 已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(1,3)，若点(−10,y1)、(13,y2)、(4,y3)也在此函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为______ .(用“<”号连接起来)
15. 如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则这个菱形的周长是______ cm．
16. 如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，且CE=2DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于G点，连接AG.若AB=3，则BG的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解方程：10x=3x−7．
18. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，点O是边AB的中点，且OD=OC．
(1)求证：∠ADO=∠BCO；
(2)求证：四边形ABCD是矩形．
19. (本小题8.0分)
先化简，后求值：(1−2aa+2)÷a2+2a+1a2+a，其中a=−11．
20. (本小题8.0分)
求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程)
21. (本小题8.0分)
某校为提高学生的文化自信，开展了“爱我中华”优秀传统文化大赛.现从七、八年级参赛学生中各随机抽取了20名学生的初赛成绩(成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀)进行统计、整理．
信息一：七年级抽取的学生的初赛成绩如下：
6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，
9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
信息二：八年级抽取的学生的初赛成绩制作成如图所示的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)分别计算七、八年级所抽取的20名学生的初赛平均成绩；
(2)若学校要给两个年级中的一个年级颁奖，你认为应该给哪个年级颁奖？请从两个角度说明理由．
22. (本小题10.0分)
“把读书当作一件大事来抓”是2023年全国教育工作会议的精神之一.为了更好的落实会议精神，某学校购进A、B两种读本，花费分别是1100元和500元.已知A读本的订购单价是B读本的订购单价的2倍，并且订购A读本的数量比B读本的数量多5本．
(1)求A、B两种读本的单价分别是多少元？
(2)该学校拟计划再订购这两种读本共100本，其中A读本订购数量不少于B读本订购数量的3倍，求该学校订购这两种读本的最低总费用．
23. (本小题10.0分)
如图，有一块矩形场地ABCD，长BC=80米，宽AB=60米，现要在此场地上设计一个菱形区域AECF用来栽种花草，其中点E、F分别在BC、AD上．
(1)尺规作图：作出菱形AECF；(要求：保留作图痕迹，不写作法)
(2)试求出菱形区域AECF的面积．
24. (本小题13.0分)
如图，在正方形ABCD中，点P为边BC上的一个动点(不与点B、C重合)，点E是对角线BD上一点，连接AP交BD于点F．
(1)当BE=BA时，请直接写出∠BEA的大小；
(2)当点E恰好在AP垂直平分线上时，连接AE、PE．
①求证：△AEP是等腰直角三角形；
②试猜想线段BF、EF、DE之间的数量关系，并证明你的结论．
25. (本小题13.0分)
已知直线：l1：y=kx+b(k≠0)与x、y轴分别交于点A(−4,0)、B(0,2).经过点B的直线l2：y=−2x+m与x轴交于点C．
(1)求m的值及直线l1的函数表达式；
(2)已知点D是线段BC上一点，连接AD，若S△ABD：S△ABC=1：3，求点D的坐标；
(3)在(2)的前提下，试探索：在直线l1上是否存在点E，使得△BDE是等腰直角三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：(−2)0=1，
故选：D．
根据零指数幂：a0=1(a≠0)可得答案．
此题主要考查了零次幂，关键是掌握非零数的零次幂等于1．
2.【答案】C
【解析】解：0.000000125=1.25×10−7，
故选：C．
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：由题意得：x+3≠0，
解得：x≠−3，
故选：B．
根据分母不为0可得x+3≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：点P(−3,4)到坐标原点O的距离= 32+42=5，
故选：C．
直接根据勾股定理求解即可．
本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：小明的综合成绩是：90×40%+85×60%=87(分)，
故选：B．
根据加权平均数的计算公式计算即可．
此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是灵活运用相关知识列出算式．
6.【答案】A
【解析】解：∵点(2,5)，
∴与点(2,5)关于y轴对称的点(−2,5)．
故选：A．
根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可．
本题考查的是坐标与图形变化−对称，熟知关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
B、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C、∵∠ACB=∠DAC=40°，
∴AD//BC，
∵AB=CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
D、∠ACB=∠CAD=40°，
∴AD//BC，
∵∠ABD=∠BDC=35°，
∴AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形的判定定理是解题的关键．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，CD=AB=10，BC=AD=6，
∴∠CEB=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠CEB，
∴BC=CE=AD=6，
∴DE=CD−CE=10−6=4，
故选：C．
根据平行四边形的性质得出CD//AB，CD=AB=10，BC=AD=6，再根据角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE，从而得出CE的长即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，得出BC=CE的长是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：当x<1时，ax+b>kx，
所以不等式(a−k)x+b>0的解集是x<1．
故选：B．
观察函数图象，当x<1时，直线y=ax+b都在直线y=kx的上方，于是可得不等式(a−k)x+b>0的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
10.【答案】D
【解析】解：选项A：由图象可知A、B两地相距120km，故A选项不符合题意；
选项B：甲用6小时走完全程120km，甲的速度是120÷6=20km/h，故B选项不符合题意；
选项C：两人同时出发，相遇时甲行驶的路程为40km，40÷20=2小时，故C选项不符合题意；
选项D：由图象可知相遇时乙行驶的路程是120−40=80km，所以乙的速度是80÷2=40km/h，乙走完全程需120÷40=3h，而甲需要6小时，所以已到达目的地时，甲还需6−3=3小时才能到达，故D选项符合题意．
故选：D．
由图象可知A、B两地相距120km，可判断A的正误；甲用6小时走完全程，甲的速度是120÷6=20km/h，可判断B的正误；相遇时甲行驶的路程为40km，40÷20=2小时，可判断C的正误；由图象可知相遇时乙行驶的路程是120−40=80km，所以乙的速度是80÷2=40km/h，乙走完全程需120÷40=3h，而甲需要6小时，所以已到达目的地时，甲还需6−3=3小时才能到达，可判断D的正误．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键在于从图象中获取正确信息．
11.【答案】3
【解析】解：(13)−1=3．
故答案为：3．
根据有理数的负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数解答即可．
本题考查了有理数的负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数的性质，熟记性质是解题的关键．
12.【答案】1
【解析】解：xx−y−yx−y=x−yx−y=1．
故答案为：1．
根据同分母分式加减，分母不变，只把分子相加减即可．
本题考查了同分母分式的加减运算，比较简单，但要注意最后结果一定要化简．
13.【答案】甲
【解析】解：∵S甲2=1.2(环 2)、S乙2=3.4(环 2)、S丙2=1.5(环 2)，
∴s甲2
故答案为：甲．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14.【答案】y1
∴k=1×3=3，
∴反比例函数解析式为y=3x，
令x=−10，
则y1=−310，
令x=13，
则y2=9，
令x=4，
则y3=34，
∵−310<34<9，
∴y1
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数图象上点的坐标的特征，求出反比例函数的解析式是解题的关键．
15.【答案】20
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC、BD互相垂直平分，
∴BO=12BD=12×8=4(cm)，CO=12AC=12×6=3(cm)，
在△BCO中，由勾股定理，可得
BC= BO2+CO2= 42+32=5(cm)，
周长=5×4=20(cm)
故答案为：20．
首先根据菱形的对角线互相垂直平分，再利用勾股定理，求出BC的长是多少，在根据周长=边长×4即可．
此题主要考查了菱形的性质、勾股定理的应用，解答此题的关键是求出BC的长是多少，再求出周长是多少．
16.【答案】32
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=3，∠B=∠D=90°，
∵CE=2DE，
∴CE=2，DE=1，
由翻折可知：DE=EF=1，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，
∴AF=AB，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
AG=AGAB=AF，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，
∴BG=FG，∠AGB=∠AGF，
设BG=x，则CG=BC−BG=3−x，GE=GF+EF=x+1，
在Rt△ECG中，根据勾股定理得：
GE2=CG2+CE2，
∴(x+1)2=(3−x)2+22，
∴x=32，
∴BG=32．
故答案为：32．
根据正方形的性质证明Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，得BG=FG，∠AGB=∠AGF，设BG=x，则CG=BC−BG=3−x，GE=GF+EF=x+1，利用勾股定理列出方程求出x的值，进而可以解决问题．
本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
17.【答案】解：去分母得：10(x−7)=3x，
去括号得：10x−70=3x，
移项得：10x−3x=70，
合并同类项得：7x=70，
化系数得：x=10．
检验：将x=10代入x(x−7)=10×(10−7)=30≠0．
∴方程的解为：x=10．
【解析】根据解分式方程的步骤解题即可．
本题考查了解分式方程，分式方程的解要检验，防止是增根．
18.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵点O是边AB的中点，
∴AO=BO，
在△ADO与△BCO中，
AD=BCAO=BOOD=OC，
∴△ADO≌△BCO(SSS)，
∴∠ADO=∠BCO；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CB，
∴∠A+∠B=180°，
∵△AOD≌△BOC，
∴∠A=∠B，
∵∠A+∠B=180°，
∴∠A=∠B=90°，
即平行四边形ABCD是矩形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AD=BC，根据全等三角形判定和性质定理即可得到结论；
(2)根据平行四边形的性质得到AD//CB，根据平行线的性质证得∠A+∠B=180°，根据全等三角形的性质得到∠A=∠B，根据矩形的判定定理即可得到结论．
此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握 矩形的判定定理是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1−2aa+2)÷a2+2a+1a2+a
=1−2a+2aa⋅a(a+1)(a+1)2
=1a⋅aa+1
=1a+1，
当a=−11时，原式=1−11+1=1−10=−110．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a=11代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：连结BD．
在△ABFD和△CDB中
AB=CDBD=DBAD=BC，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠ABD=∠CDB，∠ADC=∠CBD，
∴AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】连接BD，利用SSS定理证明△ABD≌△CDB可得∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，进而可得AB//CD，AD//CB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；
此题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
21.【答案】解：(1)七年级所抽取的20名学生的初赛平均成绩为6×2+7×3+8×5+9×7+10×320=8.3(分)，
八年级所抽取的20名学生的初赛平均成绩为6+7×6+8×4+9×4+10×520=8.3(分)；
(2)从众数角度看，七年级的众数为9大于八年级的众数为7；从中位数来看，七年级的中位数8.5高于八年级的中位数8，
综上所述，应该给七年级颁奖．(答案不唯一，也可从众数、优秀率的角度来分析)．
【解析】(1)利用平均数公式计算可得；
(3)答案不唯一，可从平均数、中位数、众数、优秀率的角度来分析．根据两个年级众数和方差解答即可；
本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设B读本的单价是x元，则A读本的单价是2x元，
根据题意得：11002x−500x=5，
解得：x=10，
经检验，x=10是所列方程的解，且符合题意，
∴2x=2×10=20．
答：A读本的单价是20元，B读本的单价是10元；
(2)设订购A读本m本，则订购B读本(100−m)本，
根据题意得：m≥3(100−m)，
解得：m≥75．
设该学校订购这两种读本的总费用为w元，则w=20m+10(100−m)，
即w=10m+1000，
∵10>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=75时，w取得最小值，最小值=10×75+1000=1750．
答：该学校订购这两种读本的最低总费用为1750元．
【解析】(1)设B读本的单价是x元，则A读本的单价是2x元，利用数量=总价÷单价，结合用1100元订购A读本的数量比用500元订购B读本的数量多5本，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出B读本的单价，再将其代入2x中，即可求出A读本的单价；
(2)设订购A读本m本，则订购B读本(100−m)本，根据A读本订购数量不少于B读本订购数量的3倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该学校订购这两种读本的总费用为w元，利用总价=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
23.【答案】解：(1)如图：菱形AECF即为所求；
(2)在菱形AECF中，AE=CE，
设AE=CE=xm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AB2+BE2=AE2，即：602+(80−x)2=x2，
解得：x=62.5，
∴菱形AECF的面积为：CE⋅AB=62.5×60=375(m2).
【解析】(1)作AC的垂直平分线即可；
(2)先根据勾股定理求出CE，再根据面积公式求解．
本题考查了作图的应用与设计，掌握菱形的判定定理和面积公式是解题的关键．
24.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∵BE=BA，
∴∠BEA=12(180°−45°)=67.5°；
(2)如图，连接CE，
①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE，∠BAE=∠BCE，
∵点E恰好在AP垂直平分线上，
∴AE=PE，
∴CE=PE，
∴∠EPC=∠ECP，
∴∠EPC=∠BAE，
∵∠EPC+∠BPE=180°，
∴∠BAE+∠BPE=180°，
∴∠AEP+∠ABP=180°，
∵∠ABP=90°，
∴∠AEP=90°，
∴△AEP是等腰直角三角形；
②解：BF2+DE2=EF2，
证明：如图，将△ABF绕点A逆时针旋转90°得△ADM，
∴AF=AM，BF=DM，∠FAM=∠BAD=90°，∠ABF=∠ADM=45°，
由①知：∠PAE=45°，
∴∠MAE=45°，
∴∠FAE∠MAE=45°，
∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEM(SAS)，
∴EF=EM，
∵∠ADB=45°，
∴∠EDM=∠ADM+∠ADB=90°，
∴DM2+DE2=EM2，
∴BF2+DE2=EF2．
【解析】(1)根据正方形的性质和BE=BA，即可得∠BEA=67.5°；
(2)根据点E恰好在AP垂直平分线上，连接CE，证明△ABE≌△CBE(SAS)，得AE=CE，∠BAE=∠BCE，然后证明CE=PE，∠AEP=90°，进而可得△AEP是等腰直角三角形；
②将△ABF绕点A逆时针旋转90°得△ADM，然后证明△AEF≌△AEM，得EF=EM，然后根据△DEM是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
25.【答案】解：(1)将点B(0,2)代入直线l2：y=−2x+m，
得m=2，
将点A(−4,0)、B(0,2)代入直线：l1：y=kx+b得，
−4k+b=0b=2，解得k=12b=2，
∴直线l1：y=12x+2；
(2)由(1)得直线l2：y=−2x+2，
当y=0时，0=−2x+2，
解得x=1，
∴C(1,0)，
∴AC=5，
∴S△ABC=12AC⋅OB=12×5×2=5，
∵S△ABD：S△ABC=1：3，
∴S△ADC=23S△ABC=23×5=103，
设点D的坐标为(n,−2n+2)，
则S△ADC=12×5×(−2n+2)=103，
解得n=13，
∴−2×13+2=43，
∴D(13,43)；
(3)由图可知，BC= OB2+OC2= 22+12= 5，
AB= AO2+BO2= 42+22=2 5，AC=5，
∵( 5)2+(2 5)2=52，即BC2+AB2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，
∵S△ABD：S△ABC=1：3，
∴BD=13BC= 53，
∴直线l1上存在点E，使得△BDE是等腰直角三角形，此时BE=BD= 53，
①当点E在点B左侧时，作E1F⊥y轴于点F，
∵∠E1FB=∠AOB=90°，∠E1BF=∠ABO，
∴△E1BF∽△ABO，
∴BE1BA=E1FAO=BFBO，即 532 5=E1F4=BF2，
解得E1F=23，BF=13，
∴OF=OB−BF=2−13=53，
∴E1(−23,53)；
②当点E在点B右侧时，作E2H⊥y轴于点H，
∵∠E2HB=∠AOB=90°，∠HBE2=∠OBA，
∴△HBE2∽△OBA，
∴BE2BA=E2HAO=BHBO，即 532 5=E2H4=BH2，
解得E2H=23，BH=13，
∴OH=OB+BH=2+13=73，
∴E2(23,73)，
综上，E(−23,53)或(23,73).
【解析】(1)利用待定系数法求解即可．
(2)先求出△ABC的面积，得到△ADC的面积，设点D的坐标为(n,−2n+2)，利用公式计算即可．
(3)利用勾股定理证得∠ABC=90°，分类讨论：点E在点B左侧时和点E在点B右侧时两种情况，作E1F⊥y轴于点F；E2H⊥y轴于点H，再用相似三角形的性质求出对应线段长，进而求得点E的坐标．
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积公式，等腰直角三角形性质，勾股定理，以及三角形相似的判定和性质，解题的关键是计算三角形面积的方法，难点是分类讨论思想，利用相似比求线段长时，计算容易出错．
2022-2023学年福建省泉州市石狮市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算(−2)0的结果是( )
A. 0 B. −2 C. −12 D. 1
2. “了解病毒，防控新冠，保卫健康”.某类新型冠状病毒的直径约为0.000000125米，它比流感病毒的基因组大两倍.数据0.000000125用科学记数法表示为( )
A. 1.25×107 B. 1.25×10−6 C. 1.25×10−7 D. 1.25×10−9
3. 函数y=x−1x+3中，自变量x的取值范围是( )
A. x≠0 B. x≠−3 C. x≠1 D. x>−3
4. 在平面直角坐标系xOy中，点P(−3,4)到坐标原点O的距离为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
5. 某公司要招聘一名职员，其中应聘者小明的笔试与面试成绩(百分制)如表所示：
招聘对象
笔试成绩
面试成绩
小明
90分
85分
若笔试与面试成绩分别按40%、60%的比例计入综合成绩，则小明的综合成绩是( )
A. 86分 B. 87分 C. 87.5分 D. 88分
6. 在平面直角坐标系xOy中，与点(2,5)关于y轴对称的点是( )
A. (−2,5) B. (2,−5) C. (−2,−5) D. (5,2)
7. 如图四边形中分别标注了部分数据，根据所标数据，则不能判断该四边形是平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=6，∠ABC的平分线BE交CD边于点E，则DE的长是( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 2
9. 如图，已知直线y=ax+b(a≠0)和直线y=kx(k≠0)交于点P(1,2)，则不等式(a−k)x+b>0的解集是( )
A. x>1 B. x<1 C. x>2 D. x<2
10. 在同一条公路上，甲从A地匀速骑自行车到B地，乙从B地匀速骑摩托车到A地，两人同时出发，到达目的地后，立即停止运动.甲、乙两人离地A的距离y(km)与他们骑车的时间x(h)之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是( )
A. A、B两地相距120km
B. 甲的速度为20km/h
C. 甲、乙两人出发2h相遇
D. 当乙到达目的地时，甲还需4h到达目的地
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. (13)−1=______．
12. 计算：xx−y−yx−y= ______ ．
13. 甲、乙、丙三名射击手的10次测试的平均成绩都是8.5环，方差分别是S甲2=1.2(环 2)、S乙2=3.4(环 2)、S丙2=1.5(环 2)，则成绩比较稳定的射击手是______ ．
14. 已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(1,3)，若点(−10,y1)、(13,y2)、(4,y3)也在此函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为______ .(用“<”号连接起来)
15. 如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则这个菱形的周长是______ cm．
16. 如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，且CE=2DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于G点，连接AG.若AB=3，则BG的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解方程：10x=3x−7．
18. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，点O是边AB的中点，且OD=OC．
(1)求证：∠ADO=∠BCO；
(2)求证：四边形ABCD是矩形．
19. (本小题8.0分)
先化简，后求值：(1−2aa+2)÷a2+2a+1a2+a，其中a=−11．
20. (本小题8.0分)
求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程)
21. (本小题8.0分)
某校为提高学生的文化自信，开展了“爱我中华”优秀传统文化大赛.现从七、八年级参赛学生中各随机抽取了20名学生的初赛成绩(成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀)进行统计、整理．
信息一：七年级抽取的学生的初赛成绩如下：
6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，
9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
信息二：八年级抽取的学生的初赛成绩制作成如图所示的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)分别计算七、八年级所抽取的20名学生的初赛平均成绩；
(2)若学校要给两个年级中的一个年级颁奖，你认为应该给哪个年级颁奖？请从两个角度说明理由．
22. (本小题10.0分)
“把读书当作一件大事来抓”是2023年全国教育工作会议的精神之一.为了更好的落实会议精神，某学校购进A、B两种读本，花费分别是1100元和500元.已知A读本的订购单价是B读本的订购单价的2倍，并且订购A读本的数量比B读本的数量多5本．
(1)求A、B两种读本的单价分别是多少元？
(2)该学校拟计划再订购这两种读本共100本，其中A读本订购数量不少于B读本订购数量的3倍，求该学校订购这两种读本的最低总费用．
23. (本小题10.0分)
如图，有一块矩形场地ABCD，长BC=80米，宽AB=60米，现要在此场地上设计一个菱形区域AECF用来栽种花草，其中点E、F分别在BC、AD上．
(1)尺规作图：作出菱形AECF；(要求：保留作图痕迹，不写作法)
(2)试求出菱形区域AECF的面积．
24. (本小题13.0分)
如图，在正方形ABCD中，点P为边BC上的一个动点(不与点B、C重合)，点E是对角线BD上一点，连接AP交BD于点F．
(1)当BE=BA时，请直接写出∠BEA的大小；
(2)当点E恰好在AP垂直平分线上时，连接AE、PE．
①求证：△AEP是等腰直角三角形；
②试猜想线段BF、EF、DE之间的数量关系，并证明你的结论．
25. (本小题13.0分)
已知直线：l1：y=kx+b(k≠0)与x、y轴分别交于点A(−4,0)、B(0,2).经过点B的直线l2：y=−2x+m与x轴交于点C．
(1)求m的值及直线l1的函数表达式；
(2)已知点D是线段BC上一点，连接AD，若S△ABD：S△ABC=1：3，求点D的坐标；
(3)在(2)的前提下，试探索：在直线l1上是否存在点E，使得△BDE是等腰直角三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：(−2)0=1，
故选：D．
根据零指数幂：a0=1(a≠0)可得答案．
此题主要考查了零次幂，关键是掌握非零数的零次幂等于1．
2.【答案】C
【解析】解：0.000000125=1.25×10−7，
故选：C．
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：由题意得：x+3≠0，
解得：x≠−3，
故选：B．
根据分母不为0可得x+3≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：点P(−3,4)到坐标原点O的距离= 32+42=5，
故选：C．
直接根据勾股定理求解即可．
本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：小明的综合成绩是：90×40%+85×60%=87(分)，
故选：B．
根据加权平均数的计算公式计算即可．
此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是灵活运用相关知识列出算式．
6.【答案】A
【解析】解：∵点(2,5)，
∴与点(2,5)关于y轴对称的点(−2,5)．
故选：A．
根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数解答即可．
本题考查的是坐标与图形变化−对称，熟知关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
B、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C、∵∠ACB=∠DAC=40°，
∴AD//BC，
∵AB=CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
D、∠ACB=∠CAD=40°，
∴AD//BC，
∵∠ABD=∠BDC=35°，
∴AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形的判定定理是解题的关键．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD//AB，CD=AB=10，BC=AD=6，
∴∠CEB=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠CEB，
∴BC=CE=AD=6，
∴DE=CD−CE=10−6=4，
故选：C．
根据平行四边形的性质得出CD//AB，CD=AB=10，BC=AD=6，再根据角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE，从而得出CE的长即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，得出BC=CE的长是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：当x<1时，ax+b>kx，
所以不等式(a−k)x+b>0的解集是x<1．
故选：B．
观察函数图象，当x<1时，直线y=ax+b都在直线y=kx的上方，于是可得不等式(a−k)x+b>0的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
10.【答案】D
【解析】解：选项A：由图象可知A、B两地相距120km，故A选项不符合题意；
选项B：甲用6小时走完全程120km，甲的速度是120÷6=20km/h，故B选项不符合题意；
选项C：两人同时出发，相遇时甲行驶的路程为40km，40÷20=2小时，故C选项不符合题意；
选项D：由图象可知相遇时乙行驶的路程是120−40=80km，所以乙的速度是80÷2=40km/h，乙走完全程需120÷40=3h，而甲需要6小时，所以已到达目的地时，甲还需6−3=3小时才能到达，故D选项符合题意．
故选：D．
由图象可知A、B两地相距120km，可判断A的正误；甲用6小时走完全程，甲的速度是120÷6=20km/h，可判断B的正误；相遇时甲行驶的路程为40km，40÷20=2小时，可判断C的正误；由图象可知相遇时乙行驶的路程是120−40=80km，所以乙的速度是80÷2=40km/h，乙走完全程需120÷40=3h，而甲需要6小时，所以已到达目的地时，甲还需6−3=3小时才能到达，可判断D的正误．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键在于从图象中获取正确信息．
11.【答案】3
【解析】解：(13)−1=3．
故答案为：3．
根据有理数的负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数解答即可．
本题考查了有理数的负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数的性质，熟记性质是解题的关键．
12.【答案】1
【解析】解：xx−y−yx−y=x−yx−y=1．
故答案为：1．
根据同分母分式加减，分母不变，只把分子相加减即可．
本题考查了同分母分式的加减运算，比较简单，但要注意最后结果一定要化简．
13.【答案】甲
【解析】解：∵S甲2=1.2(环 2)、S乙2=3.4(环 2)、S丙2=1.5(环 2)，
∴s甲2
故答案为：甲．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14.【答案】y1
∴k=1×3=3，
∴反比例函数解析式为y=3x，
令x=−10，
则y1=−310，
令x=13，
则y2=9，
令x=4，
则y3=34，
∵−310<34<9，
∴y1
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数图象上点的坐标的特征，求出反比例函数的解析式是解题的关键．
15.【答案】20
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC、BD互相垂直平分，
∴BO=12BD=12×8=4(cm)，CO=12AC=12×6=3(cm)，
在△BCO中，由勾股定理，可得
BC= BO2+CO2= 42+32=5(cm)，
周长=5×4=20(cm)
故答案为：20．
首先根据菱形的对角线互相垂直平分，再利用勾股定理，求出BC的长是多少，在根据周长=边长×4即可．
此题主要考查了菱形的性质、勾股定理的应用，解答此题的关键是求出BC的长是多少，再求出周长是多少．
16.【答案】32
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=3，∠B=∠D=90°，
∵CE=2DE，
∴CE=2，DE=1，
由翻折可知：DE=EF=1，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，
∴AF=AB，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
AG=AGAB=AF，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，
∴BG=FG，∠AGB=∠AGF，
设BG=x，则CG=BC−BG=3−x，GE=GF+EF=x+1，
在Rt△ECG中，根据勾股定理得：
GE2=CG2+CE2，
∴(x+1)2=(3−x)2+22，
∴x=32，
∴BG=32．
故答案为：32．
根据正方形的性质证明Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，得BG=FG，∠AGB=∠AGF，设BG=x，则CG=BC−BG=3−x，GE=GF+EF=x+1，利用勾股定理列出方程求出x的值，进而可以解决问题．
本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
17.【答案】解：去分母得：10(x−7)=3x，
去括号得：10x−70=3x，
移项得：10x−3x=70，
合并同类项得：7x=70，
化系数得：x=10．
检验：将x=10代入x(x−7)=10×(10−7)=30≠0．
∴方程的解为：x=10．
【解析】根据解分式方程的步骤解题即可．
本题考查了解分式方程，分式方程的解要检验，防止是增根．
18.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵点O是边AB的中点，
∴AO=BO，
在△ADO与△BCO中，
AD=BCAO=BOOD=OC，
∴△ADO≌△BCO(SSS)，
∴∠ADO=∠BCO；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CB，
∴∠A+∠B=180°，
∵△AOD≌△BOC，
∴∠A=∠B，
∵∠A+∠B=180°，
∴∠A=∠B=90°，
即平行四边形ABCD是矩形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AD=BC，根据全等三角形判定和性质定理即可得到结论；
(2)根据平行四边形的性质得到AD//CB，根据平行线的性质证得∠A+∠B=180°，根据全等三角形的性质得到∠A=∠B，根据矩形的判定定理即可得到结论．
此题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握 矩形的判定定理是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1−2aa+2)÷a2+2a+1a2+a
=1−2a+2aa⋅a(a+1)(a+1)2
=1a⋅aa+1
=1a+1，
当a=−11时，原式=1−11+1=1−10=−110．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a=11代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：连结BD．
在△ABFD和△CDB中
AB=CDBD=DBAD=BC，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠ABD=∠CDB，∠ADC=∠CBD，
∴AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】连接BD，利用SSS定理证明△ABD≌△CDB可得∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，进而可得AB//CD，AD//CB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；
此题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
21.【答案】解：(1)七年级所抽取的20名学生的初赛平均成绩为6×2+7×3+8×5+9×7+10×320=8.3(分)，
八年级所抽取的20名学生的初赛平均成绩为6+7×6+8×4+9×4+10×520=8.3(分)；
(2)从众数角度看，七年级的众数为9大于八年级的众数为7；从中位数来看，七年级的中位数8.5高于八年级的中位数8，
综上所述，应该给七年级颁奖．(答案不唯一，也可从众数、优秀率的角度来分析)．
【解析】(1)利用平均数公式计算可得；
(3)答案不唯一，可从平均数、中位数、众数、优秀率的角度来分析．根据两个年级众数和方差解答即可；
本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设B读本的单价是x元，则A读本的单价是2x元，
根据题意得：11002x−500x=5，
解得：x=10，
经检验，x=10是所列方程的解，且符合题意，
∴2x=2×10=20．
答：A读本的单价是20元，B读本的单价是10元；
(2)设订购A读本m本，则订购B读本(100−m)本，
根据题意得：m≥3(100−m)，
解得：m≥75．
设该学校订购这两种读本的总费用为w元，则w=20m+10(100−m)，
即w=10m+1000，
∵10>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=75时，w取得最小值，最小值=10×75+1000=1750．
答：该学校订购这两种读本的最低总费用为1750元．
【解析】(1)设B读本的单价是x元，则A读本的单价是2x元，利用数量=总价÷单价，结合用1100元订购A读本的数量比用500元订购B读本的数量多5本，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出B读本的单价，再将其代入2x中，即可求出A读本的单价；
(2)设订购A读本m本，则订购B读本(100−m)本，根据A读本订购数量不少于B读本订购数量的3倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该学校订购这两种读本的总费用为w元，利用总价=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
23.【答案】解：(1)如图：菱形AECF即为所求；
(2)在菱形AECF中，AE=CE，
设AE=CE=xm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AB2+BE2=AE2，即：602+(80−x)2=x2，
解得：x=62.5，
∴菱形AECF的面积为：CE⋅AB=62.5×60=375(m2).
【解析】(1)作AC的垂直平分线即可；
(2)先根据勾股定理求出CE，再根据面积公式求解．
本题考查了作图的应用与设计，掌握菱形的判定定理和面积公式是解题的关键．
24.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∵BE=BA，
∴∠BEA=12(180°−45°)=67.5°；
(2)如图，连接CE，
①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE，∠BAE=∠BCE，
∵点E恰好在AP垂直平分线上，
∴AE=PE，
∴CE=PE，
∴∠EPC=∠ECP，
∴∠EPC=∠BAE，
∵∠EPC+∠BPE=180°，
∴∠BAE+∠BPE=180°，
∴∠AEP+∠ABP=180°，
∵∠ABP=90°，
∴∠AEP=90°，
∴△AEP是等腰直角三角形；
②解：BF2+DE2=EF2，
证明：如图，将△ABF绕点A逆时针旋转90°得△ADM，
∴AF=AM，BF=DM，∠FAM=∠BAD=90°，∠ABF=∠ADM=45°，
由①知：∠PAE=45°，
∴∠MAE=45°，
∴∠FAE∠MAE=45°，
∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEM(SAS)，
∴EF=EM，
∵∠ADB=45°，
∴∠EDM=∠ADM+∠ADB=90°，
∴DM2+DE2=EM2，
∴BF2+DE2=EF2．
【解析】(1)根据正方形的性质和BE=BA，即可得∠BEA=67.5°；
(2)根据点E恰好在AP垂直平分线上，连接CE，证明△ABE≌△CBE(SAS)，得AE=CE，∠BAE=∠BCE，然后证明CE=PE，∠AEP=90°，进而可得△AEP是等腰直角三角形；
②将△ABF绕点A逆时针旋转90°得△ADM，然后证明△AEF≌△AEM，得EF=EM，然后根据△DEM是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
25.【答案】解：(1)将点B(0,2)代入直线l2：y=−2x+m，
得m=2，
将点A(−4,0)、B(0,2)代入直线：l1：y=kx+b得，
−4k+b=0b=2，解得k=12b=2，
∴直线l1：y=12x+2；
(2)由(1)得直线l2：y=−2x+2，
当y=0时，0=−2x+2，
解得x=1，
∴C(1,0)，
∴AC=5，
∴S△ABC=12AC⋅OB=12×5×2=5，
∵S△ABD：S△ABC=1：3，
∴S△ADC=23S△ABC=23×5=103，
设点D的坐标为(n,−2n+2)，
则S△ADC=12×5×(−2n+2)=103，
解得n=13，
∴−2×13+2=43，
∴D(13,43)；
(3)由图可知，BC= OB2+OC2= 22+12= 5，
AB= AO2+BO2= 42+22=2 5，AC=5，
∵( 5)2+(2 5)2=52，即BC2+AB2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，
∵S△ABD：S△ABC=1：3，
∴BD=13BC= 53，
∴直线l1上存在点E，使得△BDE是等腰直角三角形，此时BE=BD= 53，
①当点E在点B左侧时，作E1F⊥y轴于点F，
∵∠E1FB=∠AOB=90°，∠E1BF=∠ABO，
∴△E1BF∽△ABO，
∴BE1BA=E1FAO=BFBO，即 532 5=E1F4=BF2，
解得E1F=23，BF=13，
∴OF=OB−BF=2−13=53，
∴E1(−23,53)；
②当点E在点B右侧时，作E2H⊥y轴于点H，
∵∠E2HB=∠AOB=90°，∠HBE2=∠OBA，
∴△HBE2∽△OBA，
∴BE2BA=E2HAO=BHBO，即 532 5=E2H4=BH2，
解得E2H=23，BH=13，
∴OH=OB+BH=2+13=73，
∴E2(23,73)，
综上，E(−23,53)或(23,73).
【解析】(1)利用待定系数法求解即可．
(2)先求出△ABC的面积，得到△ADC的面积，设点D的坐标为(n,−2n+2)，利用公式计算即可．
(3)利用勾股定理证得∠ABC=90°，分类讨论：点E在点B左侧时和点E在点B右侧时两种情况，作E1F⊥y轴于点F；E2H⊥y轴于点H，再用相似三角形的性质求出对应线段长，进而求得点E的坐标．
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积公式，等腰直角三角形性质，勾股定理，以及三角形相似的判定和性质，解题的关键是计算三角形面积的方法，难点是分类讨论思想，利用相似比求线段长时，计算容易出错．
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