2023年山东省青岛市高新区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年山东省青岛市高新区中考数学一模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省青岛市高新区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各组数中的两个数，互为相反数的是(    )
A. 3和13 B. 3和−3 C. −3和13 D. −3和−13
2. 每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为(    )
A. 1.05×105 B. 0.105×10−4 C. 1.05×10−5 D. 105×10−7
3. 剪纸是中国民间艺术的瑰宝，下列剪纸作品中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
4. 如图所示的几何体的俯视图为(    )
A.
B.
C.
D.
5. 下列计算正确的是(    )
A. 3a+2b=5ab B. 7a+a=7a2
C. 5y−3y=2 D. 3x2y−2x2y=x2y
6. 为了保护环境，加强环保教育，某中学组织学生参加义务手机废旧电池的活动，随机抽取班上30名学生进行调查，并将调查结果绘制成统计表，请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是(    )
收集的废
电池数(个)
4
5
6
7
8
人数(人)
6
9
11
3
1

A. 平均数是6.5节 B. 众数是11节 C. 中位数是5.5节 D. 极差为10
7. 如图，将△ABC先向右平移两个单位，再绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，则点C的对应点C′的坐标是(    )

A. (2,5) B. (−2,5) C. (5,−2) D. (5,2)
8. 如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC=65°，连接AD，则∠BAD等于(    )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 32.5°
9. 如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线AO上任意一点，过点P作PM⊥AC，交AC于点M，连接PC，若AC=2，BC= 3，则PM+PC长度的最小值为(    )
A. 2 217 B. 3 214 C. 3 21 D. 4
10. 如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B(−1,−3)，与x轴的一个交点为A(−4,0).点A和点B均在直线y2=mx+n(m≠0)上．
①2a+b=0；
②abc<0；
③抛物线与x轴的另一个交点是(4,0)；
④方程ax2+bx+c=−3有两个不相等的实数根；
⑤a+b+c>−m+n；
⑥不等式mx+n>ax2+bx+c的解集为−4 其中结论正确的是(    )
A. ①④⑥ B. ②⑤⑥ C. ②③⑤ D. ①⑤⑥
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 因式分解：4m2−16=______．
12. 一个不透明的口袋中装有5个红球和m个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出m的值为______．
摸球的总次数a
100
500
1000
2000
…
摸出红球的次数b
19
101
199
400
…
摸出红球的频率ba
0.190
0.202
0.199
0.200
…

13. 为提升晚高峰车辆的通行速度，北京市交通委路政局积极设置潮汐车道，首条潮汐车道于2013年9月11日开始启用，试点路段为京广桥至慈云寺桥，全程约2.5千米，该路段实行潮汐车道后，在晚高峰期间，通过该路段的车辆的行驶速度平均提高了25%，行驶时间平均减少了1.5分钟.设在路段实行潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，则可列方程______ ．
14. 已知一元二次方程ax2−x+1=0(a≠0)有两个实数根，则a的取值范围是          ．
15. 如图，已知扇形AOB，点C为OA中点，点D在弧AB上，将扇形沿直线CD折叠，点A恰好落在点O，若∠AOB=120°，OA=4，则图象中阴影部分的面积是______ ．


16. 如图，在正方形ABCD中，∠ADB的平分线交AB边于点E，点F在BC边上，BE=CF，连接AF分别交DE和BD于点G、H，动点P在DE上，PQ⊥BD于点Q，连接PH，则下列结论正确的是：①AF⊥DE；②BF+CD=BD；③CF=32BF；④若BC=2，则PH+PQ的最小值是 2.其中正确的是______ .(填写序号)
三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
如图，点A在直线l上，点P在直线l外，作⊙O经过P，A两点且与l相切．

18. (本小题8.0分)
化简：M=x2−2xx−1÷(1x−1+1)，同时求出M有意义时x的取值范围，并从不等式组1−3x 19. (本小题6.0分)
如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，−1；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，−2，−3.如果同时任意转动转盘A、B，转盘停止时，两个指针指向转盘A、B上的对应数字分别为x，y(指针指在两个扇形的交线时，重新转动转盘).小红和小兰用这两个转盘做游戏，若x与y的乘积是正数，则小红赢；若x与y的乘积是负数，则小兰赢．这个游戏对双方公平吗？请借助画树状图或列表的方法说明理由．


20. (本小题6.0分)
某校数学兴趣小组为了测量建筑物CD的高度，先在斜坡AB的底部A测得建筑物顶点C的仰角为31°，再沿斜坡AB走了26m到达斜坡顶点B处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度i=1：2.4.求建筑物CD的高度．
(参考数据：tan53°≈43，tan31°≈35)


21. (本小题6.0分)
促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容，为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，据统计，所有学生一分钟的跳绳数不少于10次，现随机抽取了部分学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据成绩分布情况，将抽取的全部成绩分成A、B、C、D四组，并绘制了如图统计图表：
等级
次数
频数
平均数
A
100x<120
4
110
B
120x<140
12
130
C
140x<160
14
150
D
x>160
m
190
请结合上述信息完成下列问题：
(1)m= ______ ，n= ______ ；
(2)上述样本数据的中位数落在______ 组；
(3)请你估计该校学生一分钟跳绳的平均次数是多少？
(4)若该校共有2000名学生，请你估计全校达不到A等级的有多少人？

22. (本小题6.0分)
如图，一次函数y=kx+2(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0,x>0)的图象交于点A(2,n)，与y轴交于点B，与x轴交于点C(−4,0)．
(1)求k与m的值；
(2)P(a,0)为x轴上的一动点，连接BP，若△ABP的面积为△CBO面积的34，求a的值．

23. (本小题8.0分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，过点C作CF//BD交BE的延长线于F，连接DF．
(1)求证：△FCE≌△BOE；
(2)若AD=CD，当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为正方形？请说明理由．

24. (本小题8.0分)
问题提出：如图(1)，在边长为a(a>2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求S正方形MNPQ．
问题探究：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图(2))．
若将上述四个等腰三角形拼成一个新的正方形(无缝隙，不重叠)，则新正方形的边长为______；这个新正方形与原正方形ABCD的面积有何关系______；(填“>”，“=”“或<”)；通过上述的分析，可以发现S正方形MNPQ与S△FSB之间的关系是______．
问题解决：求S正方形MNPQ．
拓展应用：如图(3)，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF=1，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△PQR，求S△PQR．
(请仿照上述探究的方法，在图3的基础上，先画出图形，再解决问题)．


25. (本小题10.0分)
恩施州是祖国的后花园之一，旅游资源丰富．为适应市场需求，某星级大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨13.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：
(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？

淡季
旺季
未入住房间数
10
0
日总收入(元)
12000
20000

26. (本小题10.0分)
如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，速度为2cm/s；同时，点E从点B出发，沿BO方向匀速向点O运动，速度为1cm/s，EF//BC，交OC于点F.当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段EF也停止运动，连接PE、DF(0
(1)当t为何值时，PE//AB？
(2)设四边形EFDP的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；
(3)连接FP，是否存在某一时刻t，使得FP⊥AD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A、3和13，互为倒数，故A错误；
B、3和−3，是互为相反数，故B正确；
C、−3和13，绝对值不同，故C错误；
D、−3和−13，绝对值不同，不是相反数，故D错误；
故选：B．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2.【答案】C 
【解析】解：0.0000105=1.05×10−5，
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3.【答案】B 
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．

4.【答案】C 
【解析】解：上面看，可得选项C的图形．
故选：C．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得俯视图．
此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．

5.【答案】D 
【解析】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并成一项，故本选项计算错误，不符合题意；
B、7a+a=8a，故本选项计算错误，不符合题意；
C、5y−3y=2y，故本选项计算错误，不符合题意；
D、3x2y−2x2y=x2y，故本选项计算正确，符合题意；
故选：D．
根据合并同类项的法则判断即可．
本题考查了合并同类项，掌握合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变是解题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：这组数据的平均数为：4×6+5×9+6×11+7×3+8×130≈5.47(节)，故选项A不合题意；
众数为7节，故选项B不合题意；
中位数为：5+62=5.5(节)，故选项C符合题意；
极差为：8−4=4(节)，故选项D不合题意．
故选：C．
根据众数、中位数、平均数及极差的定义列式计算即可．
本题主要考查众数、中位数、加权平均数以及极差，解题的关键是掌握众数、中位数及加权平均数的定义．

7.【答案】B 
【解析】解：根据题意，作出△A′B′C′的图如下：

故C′点的坐标为(−2,5)，
故选：B．
根据图形的平移和旋转得出对应点的坐标即可．
本题主要考查平移和旋转的知识，熟练掌握平移和旋转的知识是解题的关键．

8.【答案】A 
【解析】解：连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB=90°，
∵∠AEC=65°，
∴∠OCE=180°−90°−65°=25°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=25°，
∴∠DOC=180°−25°−25°=130°，
∴∠DOB=∠DOC−∠BOC=130°−90°=40°，
∴由圆周角定理得：∠BAD=12∠DOB=20°，
故选：A．
连接OD，根据三角形内角和定理求出∠OCD，根据等腰三角形的性质求出∠ODC，根据三角形内角和定理求出∠DOC，求出∠DOB，再根据圆周角定理求出∠BAD即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和圆周角定理等知识点，能求出∠DOB的度数是解此题的关键．

9.【答案】A 
【解析】解：如图：过P作PNAB于N，过C作CH⊥AB，
由作图得：AD平分∠BAC，则PM=PN，
∴PM+PC=PN+PC≥CN≥CH，

在Rt△ABC中，AC=2，BC= 3，
∴AB= 7，
∵2S△ABC=AC⋅BC=AB⋅CH，
即：2 3= 7CH，
解得CH=2 217，
故选：A．
先根据角平分线的性质把PM进行转化，在根据两点之间线段最短及垂线段最短找出最小值，再根据三角形的面积公式求解．
本题考考查了基本作图，找出最小值是解题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b=2a，即2a−b=0，所以①错误；
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∴b=2a0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc<0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点为B(−4,0)，
∴抛物线与x轴的一个交点为(2,0)，所以③错误；
∵抛物线的顶点坐标为(−1,−3)，
∴抛物线与直线y=−3只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c=−3有两个相等的实数根，所以④错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1，−1<1，
∴a+b+c>a−b+c，
∵直线y2=mx+n(m≠0)经过抛物线的顶点坐标为B(−1,−3)，
∴a−b+c=−m+n，
∴a+b+c>−m+n，所以⑤正确；
∵当−4y1，
∴不等式mx+n>ax2+bx+c的解集为−4 故选：B．
利用抛物线的对称轴方程得到x=−b2a=−1，则可对①进行判断；由抛物线开口向上得到a>0，则b>0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c<0，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点为(2,0)，则可对③进行判断；利用抛物线与直线y=−3只有一个交点可对④进行判断；利用二次函数的增减性可对⑤进行判断；结合函数图象可对⑥进行判断．
本题考查了二次函数与不等式(组)：对于二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x轴的交点问题．

11.【答案】4(m+2)(m−2) 
【解析】解：4m2−16，
=4(m2−4)，
=4(m+2)(m−2)．
此题应先提公因式4，再利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

12.【答案】20 
【解析】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，
∴55+m=0.2，
解得：m=20．
经检验m=20是原方程的解，
故答案为：20．
利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可．
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．

13.【答案】2.5x−2.5x(1+25%)=1.560 
【解析】解：由题意可得，
2.5x−2.5x(1+25%)=1.560，
故答案为：2.5x−2.5x(1+25%)=1.560．
根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，注意时间要化为小时．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．

14.【答案】a≤14且a≠0 
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2−x+1=0有两个实数根，
∴△=b2−4ac=(−1)2−4×a×1=1−4a≥0，
解得：a≤14，
∴a的取值范围是a≤14且a≠0．
故答案为：a≤14且a≠0．
由关于x的一元二次方程ax2−x+1=0有两个实数根，即可得判别式△≥0且a≠0，继而可求得a的取值范围．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得△≥0.同时考查了一元二次方程的定义．

15.【答案】4 3 
【解析】解：连接DA．

由题意得，CD是线段OA的垂直平分线，
∴DA=DO，
∵OA=DO，
∴OA=DA=DO，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵∠AOB=120°，
∴∠DOB=60°，
∴S扇形OAD=S扇形BOD，
∴图象中阴影部分的面积=S扇形BOD−(S扇形OAD−S△AOD)
=S△AOD
=12×4×4×sin60°
=4 3，
故答案为：4 3．
连接DA，根据中点的性质得到DA=DO，证明△AOD为等边三角形，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式、等边三角形的性质、折叠的性质是解题的关键．

16.【答案】①②④ 
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAE=90°=∠ABF，
∵AE=BF，
∴△DAE≌△ABF(SAS)，
∴∠ADE=∠BAF，AE=BF，
∵∠BAF+∠DAF=90°，
∴∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥DE，选项A正确，符合题意；
∴∠AGD=90°=∠HGD，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADG=∠HDG，
∵DG=DG，
∴△ADG≌△HDG(ASA)，
∴AD=DH，∠DAH=∠DHA，AG=GH，
∵∠DAH=∠BFH，
∴∠DHA=∠BFH，
∴∠BHF=∠BFH，
∴BF=BH，
∴AE=BF=BH，
∵BD=DH+BH，
∴BF+CD=BD，故选项B正确，符合题意；
没有条件能说明CF=32BF，故选项C错误，不符合题意；
连接AP，过A作AQ′⊥BD于Q′，AQ′交DE于P′，如图：

∵△ADG≌△HDG，
∴AG=HG，
又DE⊥AF，
∴DE是AH的垂直平分线，
∴AP=PH，
∴PH+PQ=AP+PQ，
∴当A、P、Q共线，即Q与Q′重合，P与P′重合时，AP+PQ最小，PH+PQ也最小，最小值即为AQ′的长，
在Rt△ADQ′中，∠ADQ′=∠ADB=45°，AD=BC=2，
∴AQ′= 22AD= 2，
∴PH+PQ最小值是 2，故选项D正确，符合题意，
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
证明△DAE≌△ABF(SAS)，可得∠ADE=∠BAF，AE=BF，AF⊥DE，即可判断A正确；再证明△ADG≌△HDG(ASA)，可得AE=BF=BH，从而判断选项B正确；由已知条件不能说明CF=32BF，可判断选项C错误；连接AP，过A作AQ′⊥BD于Q′，AQ′交DE于P′，可得AP=PH，即知当A、P、Q共线，即Q与Q′重合，P与P′重合时，AP+PQ最小，PH+PQ也最小，最小值即为AQ′的长，在Rt△ADQ′中，可得AQ′= 22AD= 2，从而判断选项D正确．
本题考查轴对称−最短路线问题，正方形的性质，全等三角形判定与性质，动点问题等，解题的关键是熟练应用全等三角形判定定理，熟悉“将军饮马”问题的解决方法．

17.【答案】解：如图，⊙O即为所求．
 
【解析】过点A作EA⊥直线l，作线段AP的垂直平分线MN，直线MN交EA于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．
本题考查作图−复杂作图，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

18.【答案】解：M=x2−2xx−1÷(1x−1+1)
=x(x−2)x−1÷1+x−1x−1
=x(x−2)x−1÷xx−1
=x(x−2)x−1⋅x−1x
=x−2，
要使分式x2−2xx−1÷(1x−1+1)有意义，必须x−1≠0，x≠0，
即x≠1和0，
所以x的取值范围是x≠1且x≠0，
解不等式组1−3x 所以不等式组的整数解是0，1，2，3，
取x=2，
当x=2时，原式=2−2=0． 
【解析】先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则进行计算，即可得出化简的结果，根据分式有意义的条件得出x−1≠0且x≠0，求出x不能为1和0，求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，取x=2，再把x=2代入化简的结果x−2，即可求出分式的值．
本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．

19.【答案】解：列表如下：

2
0
−1
3
6
0
−3
2
4
0
−2
−2
−4
0
2
−3
−6
0
3
由表可知，共有12种等可能结果，其中乘积是正数的有4种，乘积是负数的也有4种，
所以这个游戏对双方是公平的． 
【解析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查列表法与树状图法，列举法(树形图法)求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．

20.【答案】解：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
在Rt△ABE中，BE：AE=1：2.4=5：12，
设BE=5x m，AE=12x m，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB= BE2+AE2= (5x)2+(12x)2=13x(m)，
∴13x=26，
解得：x=2(m)，
∴AE=12x=24(m)，
过点B作BF⊥CD于点F，
∵CD⊥AD，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DF=BE=10m，BF=DE，
∵tan∠CBF=CFBF，
∴BF=CFtan53∘≈CF43=34CF=DE，
∵tan∠CAD=CDAD，
∴DF+CFAE+DE≈35，
即  DF+CF24+34CF=35，
解得：CF=8，
∴CD=DF+CF=10+8=18(m)，
答：建筑物CD的高度为18m． 
【解析】点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由坡度定义得BE：AE=5：12，设BE=5x m，AE=12x m，求出x=2，得到AE=12x=24(m)，过点B作BF⊥CD于点F，由锐角三角函数定义求出即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题等知识；熟练掌握锐角三角函数定义、仰角俯角以及坡度坡角定义是解题的关键．

21.【答案】10  30%  C 
【解析】解：(1)调查总人数为：4÷10%=40(人)，
∴m=40−4−12−14=10(人)，n=1−10%−25%−35%=30%，
故答案为：10；30%；
(2)由题意可知，样本数据的中位数落在C组，
故答案为：C；
(3)140×(4×110+12×130+14×150+10×190)=150(次)，
答：估计该校学生一分钟跳绳的平均次数是150次；
(4)2000×40−440=1800(人)，
答：估计全校达不到A等级的大约有1800人．
(1)由A组的频数和A组所占的比例可得调查总人数，进而得出m、n的值；
(2)根据中位数的定义解答即可；
(3)根据加权平均数公式计算即可；
(4)利用样本估计总体可得答案．
此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．解题的关键是根据直方图得到进一步解题的有关信息．

22.【答案】解：(1)把C(−4,0)代入y=kx+2，
得−4k+2=0，
∴k=12，
∴一次函数解析式为y=12x+2，
把A(2,n)代入y=12x+2，得n=3．
∴A(2,3)．
把A(2,3)代入y=mx，得m=2×3=6．
∴k的值为12，m的值为6．
(2)当x=0时，y=12x+2=2，
∴B(0,2)，
∴OB=2，
∵C(−4,0)，
∴OC=4，
∴S△CBO=12×4×2=4，
∵△ABP的面积为△CBO面积的34，
∴S△ABP=3，
∵P(a,0)为x轴上的一动点，
∴PC=|a+4|．
∵S△CAP=S△ABP+S△CBP，
∴12|a+4|×3=12|a+4|×2+3，
∴a+4=6或a+4=−6，
∴a=2或a=−10． 
【解析】(1)把C(−4,0)代入y=kx+2，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；
(2)先求解B(0,2).由P(a,0)为x轴上的一动点，可得PC=|a+4|.由S△CAP=S△ABP+S△CBP，建立方程求解即可．
本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．

23.【答案】(1)证明：∵CF//BD，
∴∠CFE=∠OBE，
∵E是OC的中点，
∴CE=OE，
在△FCE和△BOE中，
∠CFE=∠OBE∠CEF=∠OEBCE=OE，
∴△FCE≌△BOE(AAS)；
(2)解：当△ADC满足∠ADC=90°时，四边形OCFD为正方形，理由如下：
∵△FCE≌△BOE，
∴CF=OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴CF=OD，
∵CF//BD，
∴四边形OCFD为平行四边形，
∵AD=CD，OA=OC，
∴OD⊥AC，
∴∠COD=90°，
∴平行四边形OCFD为矩形．
∵∠ADC=90°，
∴OC=CD，
∴四边形OCFD为平行正方形． 
【解析】(1)由AAS证明△FCE≌△BOE即可；
(2)先证四边形OCFD为平行四边形，再由等腰三角形的性质得OD⊥AC，则∠COD=90°，即可得出平行四边形OCFD为矩形．
本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△FCE≌△BOE是解题的关键．

24.【答案】a；=；S正方形MNPQ=4S△FSB 
【解析】解：(1)问题探究：
∵AE=BF=CG=DH=1，∠AFO=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°，
∴△AER，△BFS，△CGT，△DHW是四个全等的等腰直角三角形，
∴AE=DW，
∴AE+DE=DW+DE=a，即AD=WE=a，
∵拼成一个新的正方形无缝隙，不重叠，
∴这个新正方形的边长为a；
∵所得的四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为12a，
每个等腰直角三角形的面积为：12a⋅12a=14a2，
∴拼成的新正方形面积为：4×14a2=a2，
即新正方形与原正方形ABCD的面积相等；
∵新正方形的面积=4×S△MSG=4×(S△FSB+S四边形MFBG)，
原正方形ABCD的面积=S正方形MNPQ+4×S四边形MFBG，
∴4×(S△FSB+S四边形MFBG)=S正方形MNPQ+4×S四边形MFBG，
即S正方形MNPQ=4S△FSB；
故答案为：a，=，S正方形MNPQ=4S△FSB；

(2)问题解决：
∵S△FSB=12×1×1=12，
∴S正方形MNPQ=4S△FSB=4×12=2；

(3)拓展应用：
如图所示，△PDH，△QWEI，△RFG是三个全等的三角形，可以拼成一个和△ABC一样的等边三角形(无缝隙，不重叠)，
∴S△PRQ=S△ADG+S△BHE+S△CFI=3S△ADG，
如图，过点G作GJ⊥BA于J，
根据∠ADG=∠BDP=30°，∠DAF=60°=∠GAJ可得，∠ADG=∠AGD=30°，
∴AD=AG=1，
∴GJ= 32AG= 32，
∴S△ADG=12AD×GJ=12×1× 32= 34，
∴S△PQR=3S△ADG=3× 34=34 3．
(1)问题探究：根据AE=BF=CG=DH=1，∠AFO=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°，可得△AER，△BFS，△CGT，△DHW是四个全等的等腰直角三角形，进而得出AD=WE=a；根据所得的四个等腰直角三角形的斜边长为a，可得新正方形与原正方形ABCD的面积相等；根据图形可得4×(S△FSB+S四边形MFBG)=S正方形MNPQ+4×S四边形MFBG，即S正方形MNPQ=4S△FSB；
(2)问题解决：根据S△FSB=12×1×1=12，即可求得S正方形MNPQ=4S△FSB=4×12=2；
(3)拓展应用：根据图形，△PDH，△QWEI，△RFG是三个全等的三角形，可以拼成一个和△ABC一样的等边三角形(无缝隙，不重叠)，进而得出S△PRQ=S△ADG+S△BHE+S△CFI=3S△ADG，再过点G作GJ⊥BA于J，根据GJ= 32AG= 32，可得S△ADG，最后根据S△PQR=3S△ADG进行计算即可．
本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作作辅助线构造直角三角形进行求解．通过本题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力．

25.【答案】解：(1)设该酒店豪华间有a间，淡季每间价格为b元，则旺季每间价格为(1+13)b元，
由题意可得：(a−10)b=1200a(1+13)b=2000，
解得：a=50b=300，
∴(1+13)b=400，
答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为400元；
(2)设该酒店将豪华间的价格上涨到x元时，豪华间的日总收入为y元，
由题意可得y=x(50−x−40025×1)=−125x2+66x=−125(x−825)2+27225，
∵−125<0，
当x=825时，y最大为27225，
∴该酒店豪华间上涨的价格为825−400=425(元)．
答：该酒店将豪华间的价格上涨425元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入为27225元． 
【解析】(1)根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格；
(2)设该酒店将豪华间的价格上涨到x元时，豪华间的日总收入为y元，根据题意列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
本题考查一元二次方程应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．

26.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO=12AC=12×12=6(cm)，BO=DO=12BD=12×16=8(cm)，AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，
在Rt△AOD中，
由勾股定理，得AO2+DO2=AD2，
∴AD= AO2+DO2= 62+82=10(cm)．
∵PE//AB，
∴DEDB=DPDA，
即16−t16=2t10，
∴t=8021，
因此，当t为8021s时，PE//AB．
(2)如图1，过点P作PQ⊥OD于Q，

∴∠DQP=∠DOA=90°，
又∵∠QDP=∠ODA，
∴△DQP∽△DOA，
∴PQAO=DPDA，
即PQ6=2t10，
∴PQ=6t5，
∵EF//BC，
∴OEOB=OFOC，
即8−t8=OF6，
∴OF=6−34t，
∴y=S四边形EFDP=S△EFD+S△EDP=12⋅DE⋅OF+12⋅DE⋅PQ=12×(16−t)⋅(6−34t)+12×(16−t)⋅65t=−940t2+35t+48．
因此，y与t之间的函数关系式为y=−940t2+35t+48．
(3)存在．理由如下：
假设存在t，使得FP⊥AD．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD=90°，
∴∠AOD=90°，
∵FP⊥AD，
∴∠APF=90°，
∴∠AOD=∠APF，
∵∠OAD=∠PAF，
∴△AOD∽△APF，
∴APAO=AFAD，
∵OF=6−34t，DP=2t，
∴AF=12−34t，AP=10−2t，
∴10−2t6=12−34t10，
∴t=5631，
因此，当t=5631时，FP⊥AD． 
【解析】(1)由菱形的性质得出OA=6cm，OB=8cm，求出AD的长，得出DEDB=DPDA，则可求出t的值；
(2)过点P作PQ⊥OD于Q，证明△DQP∽△DOA，得出PQAO=DPDA，求出PQ，由比例线段OEOB=OFOC可得出8−t8=OF6，求出OF，则可得出答案；
(3)证明△AOD∽△APF，得出APAO=AFAD，得出t的方程，解方程即可得解．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，多边形的面积，一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．