2023年安徽省亳州市蒙城县中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年安徽省亳州市蒙城县中考数学三模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列四个实数最小的是( )
A. −1B. − 2C. 0D. 1
2. 2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕，党的二十大报告提到一组数据：人均预期寿命增长到78.2岁，居民人均可支配收入从1.65万元增加到3.51万元，城镇新增数业年均13千万人以上.将数据13千万用科学记数法表示为( )
A. 0.13×103B. 1.3×108C. 1.3×104D. 13×104
3. 下列计算正确的是( )
A. a2+a2=2a4B. a2⋅a=a3C. (3a)2=6a2D. a6÷a2=a3
4. 如图所示的几何体，其俯视图是( )
A. B. C. D.
5. 已知一组数据3、8、5、x、4的众数为4，则该组数据的中位数为( )
A. 3B. 4C. 5D. 8
6. 小刚从家出发去上学，若跑步去学校，每小时跑10km会迟到5分钟：若同一时刻沿着同一路线，骑自行车去学校，每小时骑15km则可早到12分钟，设他家到学校的路程是x km，则根据题意列出方程是( )
A. x10−5=x15+12B. x10+560=x15−1260
C. x10−560=x15+1260D. x10−560=x15−1260
7. 若a<0，则下列不等式不成立的是( )
A. a+57aC. 5−a<7−aD. a5>a7
8. 如图，AB//CD，BE垂直平分AD，DC=BC，若∠A=70°，则∠C=( )
A. 100°
B. 110°
C. 115°
D. 120°
9. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°.动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ=100°.设BP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为( )
A. B. C. D.
10. 如图，已知抛物线y=x2−2x与直线y=−x+2交于A，B两点．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标xM的取值范围是( )
A. −2≤xM≤2
B. −2≤xM≤2且xM≤−1
C. −1≤xM<2
D. −1≤xM<2或xM=3
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11. 因式分解：12abc2−3ab=______．
12. 如图，点A是函数y=kx(k<0,x<0)图象上一点，点B是函数y=5x(x>0)图象上一点，点C在x轴上，连接AB，CA，CB.若AB//x轴，S△ACB=4，则k= ______ ．
13. 如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在边AB上，以CD为折痕将△CBD折叠得到△CFD，CF与边AB交于点E，当DF⊥AB时，BD的长是______ ．
14. 如图，Rt△ABC中，AB=AC=8，BO=14AB，点M为BC边上一动点，将线段OM绕点O按逆时针方向旋转90°至ON，连接AN、CN，(1)当N点在AB上时AN= ______ ；(2)△CAN周长的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
计算：6sin45°−|1− 2|− 8×(π−2023)0−(−12)−2．
16. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,−1)，B(1,−2)，C(3,−3)．
(1)将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
(3)请写出点C1、B2的坐标．
17. (本小题8.0分)
观察以下等式：
第1个等式：31−23=73；
第2个等式：32−24=88；
第3个等式：33−25=915；
第4个等式：34−26=1024；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______ ；
(2)写出你猜想的第n个等式：______ (用含n的等式表示)，并证明．
18. (本小题8.0分)
某食品公司深耕餐饮供应链领域，以自主技术研发创新当做打造核心竞争力的关键手段，对研发投入不遗余力地进行投资.2019年的研发投资为500万元，2021年的研发投资为720万元，求该食品公司研发投资的年平均增长率．
19. (本小题8.0分)
蒙城涡河五桥横跨涡河南北，为蒙改城标志建筑之一，图1是大桥的实物图，图2是建造大桥设计平面图一部分，平面图纸有桥护栏BG=1.5米，拉索AB与护栏的夹角是26°，拉索ED与护栏的夹角是60°，两拉索底端距离BD为168m，两拉索顶端的距离AE=48m，请求出立柱AH的长(tan26°≈0.5,sin26°≈0.4, 3≈1.7)．
20. (本小题8.0分)
如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=60°，以点D为圆心的⊙D与AB相切于点E，与DC相交于点F．
(1)求证：⊙D与BC也相切；
(2)求劣弧EF的长(结果保留π)．
21. (本小题8.0分)
北京冬奥会期间，学校为了解学生最喜欢的冰雪运动，从全校随机抽取了部分学生进行了问卷调查，每个被调查的学生从滑雪、滑冰、冰球、冰壶这4种冰雪运动中选择最喜欢的一项.该小组将调查数据进行整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．
(1)这次调查中，一共调查了______ 名学生，请补全条形统计图；
(2)若全校有2600名学生，则估计该校最喜欢“滑冰”运动项目的有______ 名学生；
(3)已知选冰壶的4名学生中1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，学校想要从这4名学生中随机抽取2名学生进行访谈.请用画树状图或列表法求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
22. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−(m+n)x+mn(m>n)与x轴相交于A、B两点(点A位于点B的右侧)，与y轴相交于点C．
(1)若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；
(2)若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,−1)，求∠ACB的大小；
(3)若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．
23. (本小题8.0分)
在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°.EA交BD于M，AF交BD于N．

(1)作△APB≌△AND(如图①)，求证：△APM≌△ANM；
(2)求证：MN2=BM2+DN2；
(3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，(如图②)，请你直接写出线段MN，BM，DN之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵− 2<−1<0<1，
∴最小的数是− 2，
故选：B．
根据选项中的各个数据，可以比较出它们的大小，从而可以得到哪个实数最小，本题得以解决．
本题考查实数大小的比较，解题的关键是明确实数在原点左侧离原点距离越大，这个数越小，在原点右侧，离原点距离越远，这个数越大．
2.【答案】B
【解析】解：13千万=130000000=1.3×108．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
3.【答案】B
【解析】解：A、a2+a2=2a2，故A不符合题意；
B、a2⋅a=a3，故B符合题意；
C、(3a)2=9a2，故C不符合题意；
D、a6÷a2=a4，故D符合题意；
故选：B．
利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】D
【解析】【试题解析】
解：从上边看是一个同心圆，內圆是虚线，
故选：D．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，注意看不到的线用虚线．
5.【答案】B
【解析】解：∵这组数据的众数是4，
∴数据中的x的值是4，
将这组数据按照从小到大的顺序排列为：3、4、4、5、8，
∵中间的是4，
∴该组数据的中位数为4．
故选：B．
先根据众数的意义推出这组数据中x的值，然后根据求一组数据的中位数的方法即可求出结果．
本题主要考查众数和中位数的意义，熟练掌握众数的意义和求中位数的方法是解决问题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：设他家到学校的路程是x km，
依题意，得：x10−560=x15+1260．
故选：C．
设他家到学校的路程是x km，根据时间=路程÷速度结合上课时间不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A、a<0，则a是负数，a+5B、5a>7a可以看作5<7两边同时乘以一个负数a，不等号方向改变，故B选项正确；
C、−a<7−a是不等号两边同时加上−a，不等号不变，故C选项正确；
D、a<0，a5>a7可以看作15>17两边同时乘以一个负数a，不等号方向改变，故D选项错误．
故选：D．
根据不等式的性质分析判断．
本题考查的实际上就是不等式的基本性质，不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
8.【答案】A
【解析】解：∵BE垂直平分AD，
∴AB=DB，
∴∠ABE=∠DBE，
又∵∠A=70°，
∴∠ABE=20°，
∴∠ABD=40°，
又∵AB//CD，
∴∠CDB=∠ABD=40°，
又∵DC=BC，
∴∠C=180°−2×40°=100°，
故选：A．
由BE垂直平分AD，可得AB=DB，进而得出∠ABE=∠DBE，由∠A=70°，即可得到∠ABD=40°，依据平行线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．
本题主要考查了平行线的性质以及等腰三角形的性质，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
9.【答案】A
【解析】解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°
∴∠ACB=80°
又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=100°
∴∠PAB+∠CAQ=80°
△ABC中：∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°
∴∠AQC=∠PAB
同理：∠P=∠CAQ
∴△APB∽△QAC
∴PBAC=ABQC，即x2=2y．
则函数解析式是y=4x．
故选：A．
根据△ABC是等腰三角形，∠BAC=20°，则∠ABC=∠ACB=80°.根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，得到∠QAC=∠P，得到△APB∽△QAC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得x与y的函数关系式，即可进行判断．
注意本题不一定要通过求解析式来解决．能够根据角度的关系，联想到△APB∽△QAC是解决本题的关键．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数与一次函数的综合运用、坐标与图形变化−平移，分类求解确定MN的位置是解题的关键．分类求解确定MN的位置，进而求解．
【解答】
解：解y=x2−2xy=−x+2得x=−1y=3或x=2y=0，
∴点A的坐标为(−1,3)，点B的坐标为(2,0)，
当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∵M，N的距离为4，而A、B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即−1≤xM<2；
当点M在点A的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
当点M在点B的右侧时，当xM=3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点(1,−1)，即xM=3时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
综上，−1≤xM<2或xM=3．
故选：D．
11.【答案】3ab(2c+1)(2c−1)
【解析】解：12abc2−3ab=3ab(4c2−1)
=3ab(2c+1)(2c−1)．
故答案为：3ab(2c+1)(2c−1)．
直接提取公因式3ab，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
12.【答案】−3
【解析】解：连接OA、OB、CM，

∵点A是函数y=kx(k<0,x<0)图象上一点，点B是y=5x(x>0)图象上一点，
∴S△OBM=12×|5|=52，
S△OAM=12|k|，
又∵AB//x轴，
∴S△OAM=S△CAM=12|k|，△BOM与△BCM面积相等，
∵S△ACB=4，
∴12|k|+52=4，
又∵k<0，
∴k=−3，
故答案为：−3．
根据反比例函数系数k的几何意义，以及平行线的性质进行计算即可．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键．
13.【答案】45
【解析】解：如图，作CH⊥AB于H．

在Rt△ACB中，∵AC=3，BC=4，
∴AB= 32+42=5，
∴CH=AC⋅BCAB=3×45=125，
∵∠ACB=∠AHC=90°，
∴∠ACH+∠BCH=90°，∠BCH+∠B=90°，
∴∠ACH=∠B=∠P，
∵CH//DP，
∴∠P=∠HCE，
∴∠ACH=∠HCE，∠DCE=∠DCB，
∴∠HCD=45°，
∴HC=HD=125，
∵AH= AC2−CH2= 32−(125)2=95，
∴BD=AB−AH−DH=5−95−125=45．
故答案为：45．
作CH⊥AB于H.只要证明CH=DH，即可解决问题．
本题考查翻折变换、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握其性质定理．
14.【答案】4 8+4 10
【解析】解：(1)当N点在AN上时，OM//AC，
∴BOBA=OMAC，
∵AB=AC=8，BO=14AB，
∴OM=BO=14×8=2；
∵将线段OM绕点O按逆时针方向旋转90°至ON，
∴OM=ON，
∴AN=AB−BO−ON=8−2−2=4；
故答案为：4；
(2)如图，作OH⊥BC于H，NJ⊥OH于J．

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∵OH⊥BC于H，
∴OH=BH，
∵OB=14AB，AB=8，
∴OB=2，
∴OH=BH= 2，
∵OM=ON，∠OHM=∠NJO=90°，∠NOJ=∠OMH，
∴△OHM≌△NJO(AAS)，
∴JN=OH= 2，
∴点N的运动轨迹是直线(该直线与直线OH平行，在OH的右侧，与OH的距离是 2，
作点C关于该直线的对称点C′，连接AC′交该直线于N′，连接CN′，此时△ACN′的周长最小，作AG⊥BC于G．
在Rt△AGC′中，AC′= (4 2)2+(8 2)2=4 10，
∴△ACN的周长的最小值为8+4 10．
故答案为：8+4 10．
(1)当N点在AN上时，OM//AC，依据平行四边形的性质解答即可；
(2)如图，作OH⊥BC于H，NJ⊥OH于J.证明△OHM≌△NJO(AAS)，推出JN=OH= 2，推出点N的运动轨迹是直线(该直线与直线OH平行，在OH的右侧，与OH的距离是 2)，作点C关于该直线的对称点C′，连接AC′交该直线于N′，连接CN′，此时△ACN′的周长最小．
本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
15.【答案】解：原式=6× 22−( 2−1)−2 2×1−4
=3 2− 2+1−2 2−4
=−3．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
16.【答案】解：(1)如图所示，依次将点A，B，C三点的横坐标加4，纵坐标不变，分别得到它们的对称点A1，B1，C1，依次连接各点得到△A1B1C1为所作的图形．
(2)如图所示，依次将点A，B，C三点的横坐标取相反数，纵坐标不变，分别得到它们的对称点A2，B2，C2，依次连接各点得到△A2B2C2，为所作的图形．
(3)由图象得：C1(3,1)，B2(−1,−2)．

【解析】(1)利用平移的性质得出对应点位置，然后依次连接各点得出结论；
(2)利用轴对称的性质作出三角形的对应顶点，然后依次连接各点得出结论；
(3)利用所画图象依据坐标的特征写出结论即可．
本题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
17.【答案】36−28=1248 3n−2n+2=n+6n(n+2)
【解析】解：(1)第1个等式：31−23=73；
第2个等式：32−24=88；
第3个等式：33−25=915；
第4个等式：34−26=1024；
第5个等式：35−27=1135；
第6个等式：36−28=1248；
故答案为：36−28=1248；
(2)由(1)观察可得：第n个等式：3n−2n+2=n+6n(n+2)，证明如下：
原式左边=3n−2n+2=3(n+2)n(n+2)−2nn(n+2)=3n+6−2nn(n+2)=n+6n(n+2)=原式右边；
∴等式成立；
故答案为：3n−2n+2=n+6n(n+2)．
(1)通过观察总结归纳第n个等式为3n−2n+2=n+6n(n+2)，写出第6个等式即可；
(2)根据(1)写出第n个等式，然后通过证明等式左右相等来证明结论即可．
本题主要考查数字的变化规律，通过观察总结归纳出变化规律是解题的关键．
18.【答案】解：设平均每年投资增长的百分率是x．
由题意得500(1+x)2=720，
解得x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意舍去)．
答：这两年投资的年平均增长率为20%．
【解析】设这两年投资的年平均增长率是x.根据2019年投资500万元，得出2020年投资500(1+x)万元，2021年投资500(1+x)2万元，2021年投资720万元．据此列方程求解．
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程．
19.【答案】解：由题意得：CH=BG=1.5m，BC⊥AH，
设CD=x m，
∵BD=168m，
∴BC=CD+BD=(x+168)m，
在Rt△ECD中，∠EDC=60°，
∴EC=CD⋅tan60°= 3x(m)，
∵AE=48m，
∴AC=AE+CE=(48+ 3x)m，
在Rt△ABC中，∠ABC=26°，
∴AC=BC⋅tan26°≈0.5(x+168)m，
∴48+ 3x=0.5(x+168)，
解得：x=30，
∴EC= 3x=30 3(m)，
∴AH=AE+EC+CH=48+30 3+1.5≈100.5(m)，
∴立柱AH的长约为100.5m．
【解析】根据题意可得：CH=BG=1.5m，BC⊥AH，然后设CD=x m，则BC=(x+168)m，在Rt△ECD中，利用锐角三角函数的定义求出EC的长，从而求出AC的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：连接DE，过D作DM⊥BC于M，
∵⊙D与AB相切于点E，
∴∠AED=∠CMD=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠C=∠A=60°，
∴△ADE≌△CDM(AAS)，
∴DE=DM，
∴⊙D与BC也相切；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AD=AB，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°，△ADB是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，∠CDB=60°，
∴∠EDB=30°，
∴∠EDC=60°+30°=90°，
∴劣弧EF的长为90⋅π×2180=π．
【解析】(1)连接DE，过D作DM⊥BC于M，根据菱形的性质得到AD=CD，∠C=∠A=60°，根据全等三角形的性质得到DE=DM，根据切线的判定定理即可得到结论；
(2)根据菱形的性质得到AB//CD，AD=AB，求得∠ADC=120°，△ADB是等边三角形，得到AD=BD，∠ADB=60°，∠CDB=60°，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】40 1040
【解析】解：(1)这次调查中，一共调查的学生人数为：16÷40%=40(名)，
则喜欢滑雪的学生人数为：40−16−12−4=8(名)，
故答案为：40，
补全条形统计图如下：

(2)估计该校最喜欢“滑冰”运动项目的学生有：2600×40%=1040(名)，
故答案为：1040；
(3)用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，
画树状图如下：

共有12种等可能的情况，其中抽到的2名学生来自不同年级的情况有10种，
∴抽到的2名学生来自不同年级的概率是1012=56．
(1)由喜欢滑冰的学生人数除以所占百分比可得调查的学生总人数，即可解决问题；
(2)由全校学生人数乘以最喜欢“滑冰”运动项目的学生所占的百分比即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的情况，其中抽到的2名学生来自不同年级的情况有10种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】方法一：
解：(1)∵y=x2−(m+n)x+mn=(x−m)(x−n)，
∴x=m或x=n时，y都为0，
∵m>n，且点A位于点B的右侧，
∴A(m,0)，B(n,0)．
∵m=2，n=1，
∴A(2,0)，B(1,0)．
(2)∵抛物线y=x2−(m+n)x+mn(m>n)过C(0,−1)，
∴−1=mn，
∴n=−1m，
∵B(n,0)，
∴B(−1m,0)．
∵AO=m，BO=1m，CO=1
∴AC= AO2+OC2= m2+1，
BC= OB2+OC2= m2+1m，
AB=AO+BO=m+1m，
∵(m+1m)2=( m2+1)2+( m2+1m)2，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°．
(3)∵A(m,0)，B(n,0)，C(0,mn)，且m=2，
∴A(2,0)，B(n,0)，C(0,2n)．
∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，
∴AC= AO2+OC2=2 1+n2，
BC= OB2+OC2= 5|n|，
AB=xA−xB=2−n．
①当AC=BC时，2 1+n2= 5|n|，解得n=2(A、B两点重合，舍去)或n=−2；
②当AC=AB时，2 1+n2=2−n，解得n=0(B、C两点重合，舍去)或n=−43；
③当BC=AB时， 5|n|=2−n，
当n>0时， 5n=2−n，解得n= 5−12，
当n<0时，− 5n=2−n，解得n=− 5+12．
综上所述，n=−2，−43，− 5+12， 5−12时，△ABC是等腰三角形．
方法二：
(1)略
(2)∵C点的坐标是(0,−1)，
∴mn=−1，设A(m,0)，
∴B(−1m,0)，
∴m1=11m即OAOC=OCOB，
∵∠AOC=∠CBO=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∴∠ACB=90°．
(3)∵m=2，∴mn=2n，
∴C(0,2n)，B(n,0)，A(2,0)
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC，AB=BC，AC=BC，
∴(n−2)2+(0−0)2=(2−0)2+(0−2n)2，∴n1=0，n2=−43，
(n−2)2+(0−0)2=(n−0)2+(0−2n)2，∴n1=−1+ 52，n2=−1− 52，
(2−0)2+(0−2n)2=(n−0)2+(0−2n)2，∴n1=2，n2=−2，
经检验n=0，n=2(舍)
∴当n=−2，−43，− 5+12， 5−12时，△ABC是等腰三角形．
(4)过点A作BC的平行下交抛物线于点D，
∵m=2，
∴n=−12，
∴A(2,0)，B(−12,0)，
∵AD//BC，
∴KAD=KBC=−2，又A(2,0)，
∴y=x2−32x−1y=−2x+4，
解得x1=−2(舍)，x2=−52，
∴D1(−52,32)，
过点B作AC的平行线交抛物线于点D，
∵BD//AC，
∴KBD=KAC=12，又B(−12,0)，
∴y=x2−32x−1y=12x+14，
解得：x1=−12(舍)，x2=52，
∴D252，9)，
综上所述，满足题意的D点有两个，
D1(−52,32)，D2(52,9)．
【解析】(1)已知m，n的值，即已知抛物线解析式，求解y=0时的解即可．此时y=x2−(m+n)x+mn=(x−m)(x−n)，所以也可直接求出方程的解，再代入m，n的值，推荐此方式，因为后问用到的可能性比较大．
(2)求∠ACB，我们只能考虑讨论三角形ABC的形状来判断，所以利用条件易得−1=mn，进而可以用m来表示A、B点的坐标，又C已知，则易得AB、BC、AC边长．讨论即可．
(3)△ABC是等腰三角形，即有三种情形，AB=AC，AB=BC，AC=BC.由(2)我们可以用n表示出其三边长，则分别考虑列方程求解n即可．
本题考查了因式分解、二次函数性质、利用勾股定理求点与点的距离、等腰三角形等常规知识，总体难度适中，是一道非常值得学生加强练习的题目．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°．
∴∠BAM+∠NAD=45°，
∵△APB≌△AND，
∴PA=NA，∠PAB=∠NAD，
∴∠PAB+∠BAM=45°，
∴∠PAM=∠NAM=45°，
在△APM和△ANM中，PA=NA∠PAM=∠NAMAM=AM，
∴△APM≌△ANM(SAS)；
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，
∵△APB≌△AND，
∴PB=ND，∠ABP=∠ADB=45°，
∴∠BPM=∠ABP+∠ABD=90°，
∴PM2=BM2+PB2，
∵△APM≌△ANM，
∴PM=MN，
∴MN2=BM2+DN2；
(3)解：MN2=2BM2+2DN2.理由如下：
将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′M′.如图：

过点M′作M′F⊥CD于F，连接M′N，
同(1)可证△AMN≌△AM′N，
∴M′N=MN．
∵∠C=90°，∠CMN=45°，
∴CM=CN．
设BM=a，DN=b，CM=c，则AD=a+c，CD=b+c，
∴M′F=AD−AB′=AD−AB=a+c−(b+c)=a−b，
NF=DN+DF=DN+B′M′=DN+BM=b+a．
在Rt△M′FN中，M′N2=M′F2+NF2=(a−b)2+(a+b)2=2a2+2b2，
∴MN2=2BM2+2DN2．
【解析】(1)由正方形的性质和△APB≌△AND，推出∠PAM=∠NAM=45°，利用SAS即可证明△APM≌△ANM；
(2)由正方形的性质和△APB≌△AND，推出∠BPM=∠ABP+∠ABD=90°，再由(1)的结论得到PM=MN，根据勾股定理即可证明MN2=BM2+DN2；
(3)将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′M′，则△AMN≌△AM′N，利用全等三角形的性质可得出M′N=MN，由∠C=90°，∠CMN=45°可得出CM=CN，设BM=a，DN=b，CM=c，则AD=a+c，CD=b+c，进而可得出M′F=a−b，NF=b+a，在Rt△M′FN中，利用勾股定理可求出M′N2=2a2+2b2，进而可得出MN2=2BM2+2DN2．
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形以及勾股定理，解题的关键是：(1)利用SAS即可证明△APM≌△ANM；(2)证明∠BPM=90°，利用勾股定理求解；(3)通过构造直角三角形，利用勾股定理找出MN2=2BM2+2DN2．