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2023年黑龙江省哈尔滨市松北区中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年黑龙江省哈尔滨市松北区中考数学三模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年黑龙江省哈尔滨市松北区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −3的倒数是( )
A. 13 B. −13 C. 3 D. −3
2. 下列运算一定正确的是( )
A. a2⋅a3=a5 B. (a3)3=a6 C. 5a3+2a3=7a6 D. a8÷a4=a2
3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 点A(x1,y1)，B(x2,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，且x1>0>x2，则y1，y2的大小关系是( )
A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1
A.
B.
C.
D.
6. 抛物线y=−2(x+1)2−6的顶点坐标为( )
A. (−1,6) B. (1,−6) C. (1,6) D. (−1,−6)
7. 分式方程1x=2x−1的解是( )
A. x=−1 B. x=1 C. x=2 D. x=−2
8. 如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的直径为10，tan∠B=34，则AC的长为( )
A. 152
B. 8
C. 6
D. 403
9. 如图，在△ABC中，DE//BC，AD=2，BD=3，下列结论错误的是( )
A. AEEC=23
B. DEBC=23
C. SADES△ABC=425
D. CEAC=35
10. 一辆汽车在某一直线道路上行驶，该车离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的函数关系如图所示(折线OBCDE)，根据图象提供的信息，下列说法错误的是( )
A. 汽车共行驶了280千米
B. 汽车在行驶途中停留了0.5小时
C. 汽车在行驶过程中的平均速度为56千米/小时
D. 汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 将数2600000平方公里，这一数字用科学记数法表示为______ ．
12. 在函数y=xx−1中，自变量x的取值范围是______ ．
13. 计算 27−3 13的结果是 ．
14. 把多项式2x2y−8xy2+8y3分解因式的结果是______ ．
15. 不等式组2x−3≤14−3x<1的整数解为______ ．
16. 某件服装厂促销一种服装，原来每件每次售价为200元，经过连续两次降价后，该种服装每次售价为98元，则平均每次降价的百分率为______ ．
17. 一个扇形的面积为10π，弧长为10π3，则该扇形的圆心角的度数为______ ．
18. 一个不透明的袋子中装2个红球，1个黄球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子里随机摸出一个小球，放回后再摸出一个小球，则两次摸出的小球均是黄色的概率是______ ．
19. 在△ABC中，AB=AC=5，△ABC的面积为10，则tan∠B的值为______ ．
20. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为AC中点，连接BD，在BD上取点E，连接AE、CE，若∠BCE=∠ACB−2∠BAE，BE=2，则△ABC的面积= ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题7.0分)
先化简，再求代数式8x2−4x+4÷(x2x−2−x−2)的值，其中x=2sin60°+2tan45°．
22. (本小题7.0分)
如图，在每个边长为1的小正方形方格纸中，线段AB的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中把线段AB绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AC，连接BC，画出△ABC；
(2)在方格纸中画出以AB为一边，并且面积为12的菱形ABDE；
(3)连接CE，直接写出△ACE的面积．
23. (本小题8.0分)
为了能正常恢复线下教学，某中学在2023年2月份对全校九年级学生进行了健康情况调查，并随机抽取了部分学生的调查结果为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
(1)求本次共调查了多少名学生？
(2)通过计算将条形统计图补充完整；
(3)若该中学九年级共有400人参加了这次健康调查，请估计该校九年级共有多少名学生身体健康？
24. (本小题8.0分)
在菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE=AF，连接并延长EF，与CB的延长线交于点G，连接BD．
(1)如图1，求证：四边形EGBD是平行四边形；
(2)如图2，连接AG，若∠FGB=30°，请直接写出长为线段FB长2倍的线段．
25. (本小题10.0分)
我校为了改善办公条件，现准备购买若干台电脑和若干台打印机.如果购买2台电脑，1台打印机，一共需要花费9200元；如果购买1台电脑，2台打印机，一共需要花费6400元．
(1)求每台电脑和每台打印机的价格分别是多少元？
(2)通过洽谈，销售商同意每台电脑八折销售，打印机售价不变.如果学校购买电脑和打印机的预算费用不超过28000元，并且购买电脑的台数要比购买打印机的台数多6台，那么学校至多能购买多少台电脑？
26. (本小题10.0分)
已知，⊙O的弦AB，CD交于点E，连接AC，BD，OB，OB交CD于点F，∠AEC=∠OBD．
(1)如图1，求证：∠ACD=∠BFD；
(2)如图2，过点A作⊙O的直径AK，若∠BOK=2∠CAK，求证：AB=AC；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接KD，若AE=2BE，AK=3 3，求线段DK的长．
27. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx−3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OB=OC．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点D在第三象限的抛物线上，连接BD交y轴于点E，设点D的横坐标为t，线段CE的长为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)如图3，在(2)的条件下，过点C作CF⊥y轴，交抛物线于另一点F，点G在点B，F之间的抛物线上，过点G作GH⊥BD，交x轴于点H，HG的延长线交CF的延长线于点K，连接BF，若∠DBF=45°，GK= 52，求点G的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−3的倒数是−13．
故选：B．
乘积是1的两数互为倒数，依据倒数的定义解答即可．
本题考查了倒数的定义，掌握倒数的定义是关键．
2.【答案】A
【解析】解：A.a2⋅a3=a5，故此选项符合题意；
B.(a3)3=a9，故此选项不合题意；
C.5a3+2a3=7a3，故此选项不合题意；
D.a8÷a4=a4，故此选项不合题意．
故选：A．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B、C不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可得到答案．
本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．
4.【答案】A
【解析】解：∵k>0，
∴反比例函数的两个分支在第一、三象限，且y随x的增大而减小，
∵x1>0>x2，
∴y2<0
故选：A．
先根据k>0判断反比例函数的两个分支在第一、三象限，且y随x的增大而减小，再判断出点A(x1,y1)在第一象限，点B(x2,y2)在第三象限，由此得出答案．
本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知当k>0，反比例函数的两个分支在第一、三象限，且y随x的增大而减小；当k<0时，反比例函数的两个分支在第二、四象限，且y随x的增大而增大．
5.【答案】A
【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：A．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
6.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=2(x+1)2−6，
∴该抛物线的顶点坐标为(−1,−6)，
故选：D．
根据抛物线的顶点式，可以直接写出顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出顶点坐标．
7.【答案】A
【解析】解：去分母得：x−1=2x，
解得：x=−1，
检验：把x=−1代入得：x(x−1)≠0，
∴分式方程的解为x=−1．
故选：A．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
8.【答案】C
【解析】解：连接AO，延长AO交⊙O于点D，
则AD=10，∠ACD=90°，∠D=∠B，
在Rt△ACD中，tan∠B=tan∠D=ACCD=34，
∴设AC=3x，CD=4x．
∵AC2+CD2=AD2，
∴(3x)2+(4x)2=100，
解得x=2，
∴AC=3×2=6．
故选：C．
连接AO，延长AO交⊙O于点D，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B，根据三角函数的定义得到即可得到结论．
本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，AD=2，BD=3，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，AEEC=ADBD=23，故A结论正确，不符合题意；
ECAC=BDAB=32+3=35，故D结论正确，不符合题意；
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=22+3=25，故B结论错误，符合题意；
S△ADES△ABC=(ADAB)2=(25)2=425，故C结论正确，不符合题意．
故选：B．
根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，从而可判定△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质进行分析即可．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是熟记相似三角形的判定定理与性质并灵活运用．
10.【答案】D
【解析】解：由图可知，汽车共行驶了140×2=280(千米)，故选项A不符合题意；
汽车在行驶途中停留了2−1.5=0.5(小时)，故选项B不符合题意；
汽车在行驶过程中的平均速度为：280÷5=56(千米/小时)，故选项C不符合题意；
汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度不变，故选项D符合题意．
故选：D．
根据图象分别判断即可，行驶的最远距离是140千米，共行驶280千米，共用时间是5小时．
本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，准确识图，理解转折点的实际意义是解题的关键．
11.【答案】2.6×106
【解析】解：2600000=2.6×106，
故答案为：2.6×106．
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】x≠1
【解析】
【分析】
本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．
根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x−1≠0，解可得答案．
【解答】
解：根据题意可得x−1≠0；
解得x≠1；
故答案为x≠1．
13.【答案】2 3
【解析】
【分析】
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并是解答此题的关键．
先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】
解：原式=3 3− 3
=2 3．
故答案为：2 3．
14.【答案】2y(x−2y)2
【解析】解：原式=2y(x2−4xy+4y2)
=2y(x−2y)2，
故答案为：2y(x−2y)2．
根据提公因式法，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
本题考查了因式分解，利用提公因式法得出完全平方公式是解题关键．
15.【答案】2
【解析】解：解第一个不等式得：x≤2，
解第二个不等式得：x>1，
所以不等式组的解集为：1
故答案为：2．
先解不等式组，再求出整数解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握不等式组的解法是解题的关键．
16.【答案】30%
【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：200(1−x)2=98，
解得：x1=0.3=30%，x2=1.7(不符合题意，舍去)，
∴平均每次降价的百分率为30%．
故答案为：30%．
设平均每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价×(1−平均每次降价的百分率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】100°
【解析】解：设扇形的圆心角是n°，半径为R，
∵扇形的面积为10π，弧长为10π3，
∴12×10π3×R=10π，
解得：R=6，
∴由扇形的面积公式得：nπ⋅62360=10π，
解得：n=100，
即扇形的圆心角是100°，
故答案为：100°．
设扇形的圆心角是n°，扇形面积公式求出R，再根据扇形面积公式求出n即可．
本题考查了扇形的面积公式和弧长公式，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：圆心角是n°，半径为r的扇形的面积S=nπr2360．
18.【答案】19
【解析】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的小球都是黄球的结果数为1，
所以两次摸出的小球都是黄球的概率=19．
故答案为：19．
画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出的小球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
19.【答案】2或12
【解析】解：作AD⊥BC于D，如图，则BD=CD，
设AD=x，BD=CD=y，
∵12AD⋅BC=10，AD2+BD2=AC2，
∴xy=10，x2+y2=52，
∴(x+y)2−2xy=25，(x−y)2+2xy=25，
∴x+y=3 5，x−y=± 5，
∴x=2 5，y= 5或x= 5，y=2 5，
在Rt△ACD中，tan∠B=ADBD=xy，
当x=2 5，y= 5，tanC=2；
当x= 5，y=2 5，tanC=12．
即tan∠ACB的值为2或12．
故答案为：2或12．
作AD⊥BC于D，如图，根据等腰三角形的性质得BD=CD，设AD=x，BD=CD=y，利用三角形面积公式和勾股定理得到xy=10，x2+y2=52，再利用代数式变形得到x+y=3 5，x−y=± 5，则解得x=2 5，y= 5或x= 5，y=2 5，然后根据正切的定义求解．
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
20.【答案】10
【解析】解：将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，过点C作CG//AF交BD于点G，连接AG，GF，GF交AC于点D′，
由旋转的性质得AE=AF，BE=CF=2，∠BAE=∠CAF，∠BEA=∠CFA，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAF=90°，
∴△EAF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∴∠AFC=∠AEB=180°−45°=135°，
∴∠BFC=135°−45°=90°，
∴△CFG是等腰直角三角形，
∵∠BCE=∠ACB−2∠BAE，即∠BCE+2∠BAE=∠ACB=45°，
∵CG//AF，
∴∠GCD=∠CAF=∠BAE，
∵∠BCE+∠FCG+∠GCD=45°，
∴∠ECG=∠BAE，
∵∠ABE+∠BAE=∠AEF=45°=∠GEC+∠GCE，
∴∠ABE=∠CEG，
∴∠AEC=45°+∠CEG=45°+∠ABE，
∴∠CAE=90°−∠BAE=90°−(45°−∠ABE)=45°+∠ABE，
∴∠CEA=∠CAE，
∴CE=CA=AB，
在△ABE和△CEG中，
∠ABE=∠CEGCE=AB∠ECG=∠BAE，
∴△ABE≌△CEG(ASA)，
∴CG=AE，则CG=AF，
∵CG//AF，
∴∠GCD′=∠FAD′，∠GD′C=∠FD′A，
在△GCD′和△FAD′中，
∠GCD′=∠FAD′∠GD′C=∠FD′ACG=AF，
∴△GCD′≌△FAD′(AAS)，
∴AD′=CD′，GD′=FD′，
∵D为AC中点，
∴点D与点D′重合，则GD=FD=12GF=12FC=1，
在Rt△CFD中，CD= CF2+DF2= 22+12= 5，
∴AB=AC=2CD=2 5，
∴△ABC的面积=12×2 5×2 5=10，
故答案为：10．
将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，过点C作CG//AF交BD于点G，连接AG，GF，GF交AC于点D′，推出△EAF和△CFG是等腰直角三角形，由已知证明∠CEA=∠CAE，推出△ABE≌△CEG，得到CG=AF，再证明△GCD′≌△FAD′，推出点D与点D′重合，最后利用勾股定理求解即可．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：8x2−4x+4÷(x2x−2−x−2)
=8(x−2)2÷x2−(x+2)(x−2)x−2
=8(x−2)2⋅x−2x2−x2+4
=8x−2⋅14
=2x−2，
当x=2sin60°+2tan45°=2× 32+2×1= 3+2时，原式=2 3+2−2=2 33．
【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，△ABC即为所求；
(2)如图，菱形ABDE即为所求；
(3)△ACE的面积=12×4×4=8．
【解析】(1)利用旋转变换的性质作出线段AC即可；
(2)利用数形结合的射线画出对角线分别为2 2，6 2的菱形即可；
(3)利用三角形的面积公式求解．
本题考查作图−旋转变换，菱形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：(1)(8+12+20)÷(1−20%)=50(名)，
答：本次共调查了50名学生；
(2)“发烧”的人数为：50−8−12−20=10(名)，人)，
补全条形统计图如下：
(3)400×(20÷50×100% )=160(名)，
答：估计该校九年级共约有160名学生身体健康．
【解析】(1)用其他三项的人数除以它们所占百分比之和可得答案；
(2)用(1)的结论乘20%可得“发烧”的人数，进而补全条形统计图；
(3)用400乘样本中“身体健康”学生所占比例可得答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AD=AB，
∵AE=AF，∠AEF=∠AFE，AB−AF=AD−AE，
即BF=DE，
∵∠AFE=∠BFG，∠AEF=∠EGB，
∴∠BFG=∠BGF，
∴BG=BF，
∴DE=BG，
∴四边形EGBD是平行四边形；
(2)解：∵∠FGB=30°，
由(1)可知，BG=BF，BG=DE，△AEF≌△BFG，
∴AF=FB=AE=DE，
∴AB=2BF，
∵菱形ABCD，
∴AB=BC=AD=CD，
即为线段FB长2倍的线段有AB、BC、CD、AD．
【解析】(1)根据菱形的性质和平行四边形的判定和性质解答即可；
(2)根据平行四边形的性质解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出AD//BC，AD=AB解答．
25.【答案】解：(1)设每台电脑的价格是x元，每台打印机的价格是y元，
根据题意得：2x+y=9200x+2y=6400，
解得：x=4000y=1200，
答：每台电脑的价格为2800元，每台打印机的价格为1200元；
(2)设学校购买a台电脑，则购买(a−6)台打印机，
根据题意得：4000×0.8a+1200(a−6)≤28000，
解得：a≤8，
答：学校至多能购买8台电脑．
【解析】(1)设每台电脑的价格是x元，每台打印机的价格是y元，根据如果购买2台电脑，1台打印机，一共需要花费9200元；如果购买1台电脑，2台打印机，一共需要花费6400元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设学校购买a台电脑，则购买(a−6)台打印机，根据学校购买电脑和打印机的预算费用不超过28000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】(1)证明：∵∠AEC=∠ABF+∠EFB，∠OBD=∠ABO+∠ABD，∠AEC=∠OBD，
∴∠ABD=∠BFD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ACD=∠BFD．
(2)证明：如图，连接OC，
则OB=OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，∠OAB=∠OBA，
∵∠BOK=2∠CAK，∠BOK=2∠BAK，
∴∠OAC=∠OCA=∠OAB=∠OBA，
∴△OAC≌△OAB(AAS)，
∴AB=AC．
(3)解：设AK、CD交于点M，连接DK，AD，
∵∠AME=∠ACD+∠CAM，∠AEM=∠BFD+∠EBF，
由(1)知∠ACD=∠BFD，
∴∠AME=∠AEM，
∴AM=AE=2BE，
∵∠EBF=∠CAM，∠ACD=∠BFD，
∴△ACM∽△BFE，
∴AMBE=CMEF=ACBF=2，
∵AK平分∠CAB，
∴点M到AC，AE的距离相同，设距离均为h，
∴S△ACMS△AEM=CMEM=12AC⋅h12AE⋅h=ACAE，
∵AE=2BE，
∴AC=AB=3BE，
∴CMEM=32，
设EM=2b，CM=3b，BE=a，AE=AM=2a，
如图，过点A作AN⊥ME，
则EN=b，CN=4b，
由勾股定理可得，(2a)2−b2=(3a)2−(4b)2，
解得a= 3b，
∴AC=AB=AE+BE=3a=3 3b，
∵NB=4b，
∴cos∠ACD=CNAC=4b3 3b，
∵cos∠AKD=cos∠ACD=DKAK=4b3 3b，AK=3 3，
∴DK=4．
答：线段DK的长为4．
【解析】(1)利用外角的性质推出∠ABD=∠BFD，同弧所对的圆周角相等得到∠ABD=∠ACD，即可得证；
(2)连接OC，证明△OAC≌△OAB，即可得证；
(3)设AK、CD交于点M，连接DK，AD，易得AM=AE=2BE，证明△ACM∽△BFE，得到AMBE=CMEF=ACBF，角平分线的性质和等积法得到CMEM=32，设EM=2b，CM=3b，BE=a，AE=AM=2a，勾股定理求出a= 3b，进而得到cos∠AKD=cos∠ACD=DKAK=4b3 3b，即可求解．
本题考查圆的综合应用，主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形．熟练掌握相关知识点，证明三角形的全等和相似是解题的关键．
27.【答案】解：(1)当x=0时，y=c=−3，
∴C(0,−3)，
∴OB=OC=3，
∴B(3,0)，
把B(3,0)代入抛物线解析式，
得0=9+3b−3，
解得b=−2，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3．
(2)如图，过点D作DR⊥AB，垂足为R，
∴∠DRB=∠EOB，
∵∠DBR=∠EBO．
∴△DBR∽△EBO，
∴BRBO=DROE，
设点D的横坐标为t，
∴D(t,t2−2t−3)，
∴BR=OB+OR=3−t，DR=−t2+2t+3，
∴3−t3=−t2+2t+3OE，
整理得OE=3t+3，
∵线段CE的长为d，
∴d=OC−OE=3−(3t+3)=−3t，即d=−3t．
(3)如图，过点E作EN⊥BD交BF的延长线于点N，过点N作NM⊥y轴，垂足为M，设BD，GH交于点T，过点G作GQ⊥FK，垂足为Q，
∴∠BEN=90°=∠EMN=∠GQK，
∴∠OEB+∠MEN=90°，
∵∠BOE=90°，
∴∠OEB+∠OBE=90°，∠BOE=∠EMN=∠GQK，
∴∠OBE=∠MEN，
∵∠EBG=45°，
∴∠BNE=45°=∠EBG，
∴BE=NE，
∴△OBE≌△MEN(AAS)，
∴OE=MN，OB=EM，
由(2)得OE=MN=3+3t，OB=EM=3，
∴N(3+3t,−6−3t)，
当y=−3时，y=x2−2x−3=−3，
解得x=0或x=2，
∴F(2,−3)，
设直线BF解析式为y=kx+b1，将B(3,0)，F(2,−3)代入，
得0=3k+b1−3=2k+b1，
解得k=3b1=9，
∴直线BF解析式为y=3x−9，
将N(3+3t,−6−3t)代入y=3x−9，
得−6−3t=3(3+3t)−9，
解得t=−12，
∴OE=3+3t=32，
由勾股定理得BE= 32+(32)2=3 52，
∵GH⊥BD，
∴∠BTH=90°，
∴∠BTH=∠BOE，
∵∠HBT=∠EBO，
∴∠BHT=∠BEO，
∵OB//CF，
∴∠BHT=∠K，
∴∠BEO=∠K，
∴△BOE∽△GMK，
∴OBGQ=BEGK，
∵GK= 52，
∴3GQ=3 52 52，
∴GQ=1，
∴点G的纵坐标为−2，
当y=−2时，y=x2−2x−3=−2，
解得x=1+ 2或x=1− 2，
∵点G在点B，F之间的抛物线上，
∴当x=1+ 2时，y=−2．
∴G(1+ 2,−2)．
【解析】(1)求出C(0,−3)，B(3,0)，利用待定系数法求解析式即可．
(2)过点D作DR⊥AB，垂足为R，证明△DBR∽△EBO，并利用相似三角形的性质得出BRBO=DROE，设点D的坐标为(t,t2−2t−3)，得出OE=3t+3，利用d=OC−OE求解即可．
(3)过点E作EN⊥BD交BF的延长线于点N，过点N作NM⊥y轴，垂足为M，设BD，GH交于T，过点G作GQ⊥FK，垂足为Q，证明△OBE≌△MEN(AAS)，利用全等三角形的性质得出N(3+3t,−6−3t)，利用待定系数法求出直线BF的解析式，OE的长度，证明△BOE∽△GMK，利用相似三角形的性质求出GQ的长度，再根据二次函数解析式求坐标即可．
本题考查二次函数的综合运用，涉及待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点，添加适当的辅助线是解题的关键．
2023年黑龙江省哈尔滨市松北区中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −3的倒数是( )
A. 13 B. −13 C. 3 D. −3
2. 下列运算一定正确的是( )
A. a2⋅a3=a5 B. (a3)3=a6 C. 5a3+2a3=7a6 D. a8÷a4=a2
3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 点A(x1,y1)，B(x2,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，且x1>0>x2，则y1，y2的大小关系是( )
A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1
A.
B.
C.
D.
6. 抛物线y=−2(x+1)2−6的顶点坐标为( )
A. (−1,6) B. (1,−6) C. (1,6) D. (−1,−6)
7. 分式方程1x=2x−1的解是( )
A. x=−1 B. x=1 C. x=2 D. x=−2
8. 如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的直径为10，tan∠B=34，则AC的长为( )
A. 152
B. 8
C. 6
D. 403
9. 如图，在△ABC中，DE//BC，AD=2，BD=3，下列结论错误的是( )
A. AEEC=23
B. DEBC=23
C. SADES△ABC=425
D. CEAC=35
10. 一辆汽车在某一直线道路上行驶，该车离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的函数关系如图所示(折线OBCDE)，根据图象提供的信息，下列说法错误的是( )
A. 汽车共行驶了280千米
B. 汽车在行驶途中停留了0.5小时
C. 汽车在行驶过程中的平均速度为56千米/小时
D. 汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 将数2600000平方公里，这一数字用科学记数法表示为______ ．
12. 在函数y=xx−1中，自变量x的取值范围是______ ．
13. 计算 27−3 13的结果是 ．
14. 把多项式2x2y−8xy2+8y3分解因式的结果是______ ．
15. 不等式组2x−3≤14−3x<1的整数解为______ ．
16. 某件服装厂促销一种服装，原来每件每次售价为200元，经过连续两次降价后，该种服装每次售价为98元，则平均每次降价的百分率为______ ．
17. 一个扇形的面积为10π，弧长为10π3，则该扇形的圆心角的度数为______ ．
18. 一个不透明的袋子中装2个红球，1个黄球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子里随机摸出一个小球，放回后再摸出一个小球，则两次摸出的小球均是黄色的概率是______ ．
19. 在△ABC中，AB=AC=5，△ABC的面积为10，则tan∠B的值为______ ．
20. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为AC中点，连接BD，在BD上取点E，连接AE、CE，若∠BCE=∠ACB−2∠BAE，BE=2，则△ABC的面积= ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题7.0分)
先化简，再求代数式8x2−4x+4÷(x2x−2−x−2)的值，其中x=2sin60°+2tan45°．
22. (本小题7.0分)
如图，在每个边长为1的小正方形方格纸中，线段AB的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中把线段AB绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AC，连接BC，画出△ABC；
(2)在方格纸中画出以AB为一边，并且面积为12的菱形ABDE；
(3)连接CE，直接写出△ACE的面积．
23. (本小题8.0分)
为了能正常恢复线下教学，某中学在2023年2月份对全校九年级学生进行了健康情况调查，并随机抽取了部分学生的调查结果为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
(1)求本次共调查了多少名学生？
(2)通过计算将条形统计图补充完整；
(3)若该中学九年级共有400人参加了这次健康调查，请估计该校九年级共有多少名学生身体健康？
24. (本小题8.0分)
在菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE=AF，连接并延长EF，与CB的延长线交于点G，连接BD．
(1)如图1，求证：四边形EGBD是平行四边形；
(2)如图2，连接AG，若∠FGB=30°，请直接写出长为线段FB长2倍的线段．
25. (本小题10.0分)
我校为了改善办公条件，现准备购买若干台电脑和若干台打印机.如果购买2台电脑，1台打印机，一共需要花费9200元；如果购买1台电脑，2台打印机，一共需要花费6400元．
(1)求每台电脑和每台打印机的价格分别是多少元？
(2)通过洽谈，销售商同意每台电脑八折销售，打印机售价不变.如果学校购买电脑和打印机的预算费用不超过28000元，并且购买电脑的台数要比购买打印机的台数多6台，那么学校至多能购买多少台电脑？
26. (本小题10.0分)
已知，⊙O的弦AB，CD交于点E，连接AC，BD，OB，OB交CD于点F，∠AEC=∠OBD．
(1)如图1，求证：∠ACD=∠BFD；
(2)如图2，过点A作⊙O的直径AK，若∠BOK=2∠CAK，求证：AB=AC；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接KD，若AE=2BE，AK=3 3，求线段DK的长．
27. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx−3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OB=OC．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点D在第三象限的抛物线上，连接BD交y轴于点E，设点D的横坐标为t，线段CE的长为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)如图3，在(2)的条件下，过点C作CF⊥y轴，交抛物线于另一点F，点G在点B，F之间的抛物线上，过点G作GH⊥BD，交x轴于点H，HG的延长线交CF的延长线于点K，连接BF，若∠DBF=45°，GK= 52，求点G的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−3的倒数是−13．
故选：B．
乘积是1的两数互为倒数，依据倒数的定义解答即可．
本题考查了倒数的定义，掌握倒数的定义是关键．
2.【答案】A
【解析】解：A.a2⋅a3=a5，故此选项符合题意；
B.(a3)3=a9，故此选项不合题意；
C.5a3+2a3=7a3，故此选项不合题意；
D.a8÷a4=a4，故此选项不合题意．
故选：A．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B、C不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可得到答案．
本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．
4.【答案】A
【解析】解：∵k>0，
∴反比例函数的两个分支在第一、三象限，且y随x的增大而减小，
∵x1>0>x2，
∴y2<0
故选：A．
先根据k>0判断反比例函数的两个分支在第一、三象限，且y随x的增大而减小，再判断出点A(x1,y1)在第一象限，点B(x2,y2)在第三象限，由此得出答案．
本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知当k>0，反比例函数的两个分支在第一、三象限，且y随x的增大而减小；当k<0时，反比例函数的两个分支在第二、四象限，且y随x的增大而增大．
5.【答案】A
【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：A．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
6.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=2(x+1)2−6，
∴该抛物线的顶点坐标为(−1,−6)，
故选：D．
根据抛物线的顶点式，可以直接写出顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出顶点坐标．
7.【答案】A
【解析】解：去分母得：x−1=2x，
解得：x=−1，
检验：把x=−1代入得：x(x−1)≠0，
∴分式方程的解为x=−1．
故选：A．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
8.【答案】C
【解析】解：连接AO，延长AO交⊙O于点D，
则AD=10，∠ACD=90°，∠D=∠B，
在Rt△ACD中，tan∠B=tan∠D=ACCD=34，
∴设AC=3x，CD=4x．
∵AC2+CD2=AD2，
∴(3x)2+(4x)2=100，
解得x=2，
∴AC=3×2=6．
故选：C．
连接AO，延长AO交⊙O于点D，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B，根据三角函数的定义得到即可得到结论．
本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，AD=2，BD=3，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，AEEC=ADBD=23，故A结论正确，不符合题意；
ECAC=BDAB=32+3=35，故D结论正确，不符合题意；
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=22+3=25，故B结论错误，符合题意；
S△ADES△ABC=(ADAB)2=(25)2=425，故C结论正确，不符合题意．
故选：B．
根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，从而可判定△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质进行分析即可．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是熟记相似三角形的判定定理与性质并灵活运用．
10.【答案】D
【解析】解：由图可知，汽车共行驶了140×2=280(千米)，故选项A不符合题意；
汽车在行驶途中停留了2−1.5=0.5(小时)，故选项B不符合题意；
汽车在行驶过程中的平均速度为：280÷5=56(千米/小时)，故选项C不符合题意；
汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度不变，故选项D符合题意．
故选：D．
根据图象分别判断即可，行驶的最远距离是140千米，共行驶280千米，共用时间是5小时．
本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，准确识图，理解转折点的实际意义是解题的关键．
11.【答案】2.6×106
【解析】解：2600000=2.6×106，
故答案为：2.6×106．
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】x≠1
【解析】
【分析】
本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．
根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x−1≠0，解可得答案．
【解答】
解：根据题意可得x−1≠0；
解得x≠1；
故答案为x≠1．
13.【答案】2 3
【解析】
【分析】
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并是解答此题的关键．
先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】
解：原式=3 3− 3
=2 3．
故答案为：2 3．
14.【答案】2y(x−2y)2
【解析】解：原式=2y(x2−4xy+4y2)
=2y(x−2y)2，
故答案为：2y(x−2y)2．
根据提公因式法，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
本题考查了因式分解，利用提公因式法得出完全平方公式是解题关键．
15.【答案】2
【解析】解：解第一个不等式得：x≤2，
解第二个不等式得：x>1，
所以不等式组的解集为：1
故答案为：2．
先解不等式组，再求出整数解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握不等式组的解法是解题的关键．
16.【答案】30%
【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：200(1−x)2=98，
解得：x1=0.3=30%，x2=1.7(不符合题意，舍去)，
∴平均每次降价的百分率为30%．
故答案为：30%．
设平均每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原价×(1−平均每次降价的百分率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】100°
【解析】解：设扇形的圆心角是n°，半径为R，
∵扇形的面积为10π，弧长为10π3，
∴12×10π3×R=10π，
解得：R=6，
∴由扇形的面积公式得：nπ⋅62360=10π，
解得：n=100，
即扇形的圆心角是100°，
故答案为：100°．
设扇形的圆心角是n°，扇形面积公式求出R，再根据扇形面积公式求出n即可．
本题考查了扇形的面积公式和弧长公式，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：圆心角是n°，半径为r的扇形的面积S=nπr2360．
18.【答案】19
【解析】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的小球都是黄球的结果数为1，
所以两次摸出的小球都是黄球的概率=19．
故答案为：19．
画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出的小球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
19.【答案】2或12
【解析】解：作AD⊥BC于D，如图，则BD=CD，
设AD=x，BD=CD=y，
∵12AD⋅BC=10，AD2+BD2=AC2，
∴xy=10，x2+y2=52，
∴(x+y)2−2xy=25，(x−y)2+2xy=25，
∴x+y=3 5，x−y=± 5，
∴x=2 5，y= 5或x= 5，y=2 5，
在Rt△ACD中，tan∠B=ADBD=xy，
当x=2 5，y= 5，tanC=2；
当x= 5，y=2 5，tanC=12．
即tan∠ACB的值为2或12．
故答案为：2或12．
作AD⊥BC于D，如图，根据等腰三角形的性质得BD=CD，设AD=x，BD=CD=y，利用三角形面积公式和勾股定理得到xy=10，x2+y2=52，再利用代数式变形得到x+y=3 5，x−y=± 5，则解得x=2 5，y= 5或x= 5，y=2 5，然后根据正切的定义求解．
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
20.【答案】10
【解析】解：将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，过点C作CG//AF交BD于点G，连接AG，GF，GF交AC于点D′，
由旋转的性质得AE=AF，BE=CF=2，∠BAE=∠CAF，∠BEA=∠CFA，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAF=90°，
∴△EAF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∴∠AFC=∠AEB=180°−45°=135°，
∴∠BFC=135°−45°=90°，
∴△CFG是等腰直角三角形，
∵∠BCE=∠ACB−2∠BAE，即∠BCE+2∠BAE=∠ACB=45°，
∵CG//AF，
∴∠GCD=∠CAF=∠BAE，
∵∠BCE+∠FCG+∠GCD=45°，
∴∠ECG=∠BAE，
∵∠ABE+∠BAE=∠AEF=45°=∠GEC+∠GCE，
∴∠ABE=∠CEG，
∴∠AEC=45°+∠CEG=45°+∠ABE，
∴∠CAE=90°−∠BAE=90°−(45°−∠ABE)=45°+∠ABE，
∴∠CEA=∠CAE，
∴CE=CA=AB，
在△ABE和△CEG中，
∠ABE=∠CEGCE=AB∠ECG=∠BAE，
∴△ABE≌△CEG(ASA)，
∴CG=AE，则CG=AF，
∵CG//AF，
∴∠GCD′=∠FAD′，∠GD′C=∠FD′A，
在△GCD′和△FAD′中，
∠GCD′=∠FAD′∠GD′C=∠FD′ACG=AF，
∴△GCD′≌△FAD′(AAS)，
∴AD′=CD′，GD′=FD′，
∵D为AC中点，
∴点D与点D′重合，则GD=FD=12GF=12FC=1，
在Rt△CFD中，CD= CF2+DF2= 22+12= 5，
∴AB=AC=2CD=2 5，
∴△ABC的面积=12×2 5×2 5=10，
故答案为：10．
将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，过点C作CG//AF交BD于点G，连接AG，GF，GF交AC于点D′，推出△EAF和△CFG是等腰直角三角形，由已知证明∠CEA=∠CAE，推出△ABE≌△CEG，得到CG=AF，再证明△GCD′≌△FAD′，推出点D与点D′重合，最后利用勾股定理求解即可．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：8x2−4x+4÷(x2x−2−x−2)
=8(x−2)2÷x2−(x+2)(x−2)x−2
=8(x−2)2⋅x−2x2−x2+4
=8x−2⋅14
=2x−2，
当x=2sin60°+2tan45°=2× 32+2×1= 3+2时，原式=2 3+2−2=2 33．
【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，△ABC即为所求；
(2)如图，菱形ABDE即为所求；
(3)△ACE的面积=12×4×4=8．
【解析】(1)利用旋转变换的性质作出线段AC即可；
(2)利用数形结合的射线画出对角线分别为2 2，6 2的菱形即可；
(3)利用三角形的面积公式求解．
本题考查作图−旋转变换，菱形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：(1)(8+12+20)÷(1−20%)=50(名)，
答：本次共调查了50名学生；
(2)“发烧”的人数为：50−8−12−20=10(名)，人)，
补全条形统计图如下：
(3)400×(20÷50×100% )=160(名)，
答：估计该校九年级共约有160名学生身体健康．
【解析】(1)用其他三项的人数除以它们所占百分比之和可得答案；
(2)用(1)的结论乘20%可得“发烧”的人数，进而补全条形统计图；
(3)用400乘样本中“身体健康”学生所占比例可得答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AD=AB，
∵AE=AF，∠AEF=∠AFE，AB−AF=AD−AE，
即BF=DE，
∵∠AFE=∠BFG，∠AEF=∠EGB，
∴∠BFG=∠BGF，
∴BG=BF，
∴DE=BG，
∴四边形EGBD是平行四边形；
(2)解：∵∠FGB=30°，
由(1)可知，BG=BF，BG=DE，△AEF≌△BFG，
∴AF=FB=AE=DE，
∴AB=2BF，
∵菱形ABCD，
∴AB=BC=AD=CD，
即为线段FB长2倍的线段有AB、BC、CD、AD．
【解析】(1)根据菱形的性质和平行四边形的判定和性质解答即可；
(2)根据平行四边形的性质解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出AD//BC，AD=AB解答．
25.【答案】解：(1)设每台电脑的价格是x元，每台打印机的价格是y元，
根据题意得：2x+y=9200x+2y=6400，
解得：x=4000y=1200，
答：每台电脑的价格为2800元，每台打印机的价格为1200元；
(2)设学校购买a台电脑，则购买(a−6)台打印机，
根据题意得：4000×0.8a+1200(a−6)≤28000，
解得：a≤8，
答：学校至多能购买8台电脑．
【解析】(1)设每台电脑的价格是x元，每台打印机的价格是y元，根据如果购买2台电脑，1台打印机，一共需要花费9200元；如果购买1台电脑，2台打印机，一共需要花费6400元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设学校购买a台电脑，则购买(a−6)台打印机，根据学校购买电脑和打印机的预算费用不超过28000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】(1)证明：∵∠AEC=∠ABF+∠EFB，∠OBD=∠ABO+∠ABD，∠AEC=∠OBD，
∴∠ABD=∠BFD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ACD=∠BFD．
(2)证明：如图，连接OC，
则OB=OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，∠OAB=∠OBA，
∵∠BOK=2∠CAK，∠BOK=2∠BAK，
∴∠OAC=∠OCA=∠OAB=∠OBA，
∴△OAC≌△OAB(AAS)，
∴AB=AC．
(3)解：设AK、CD交于点M，连接DK，AD，
∵∠AME=∠ACD+∠CAM，∠AEM=∠BFD+∠EBF，
由(1)知∠ACD=∠BFD，
∴∠AME=∠AEM，
∴AM=AE=2BE，
∵∠EBF=∠CAM，∠ACD=∠BFD，
∴△ACM∽△BFE，
∴AMBE=CMEF=ACBF=2，
∵AK平分∠CAB，
∴点M到AC，AE的距离相同，设距离均为h，
∴S△ACMS△AEM=CMEM=12AC⋅h12AE⋅h=ACAE，
∵AE=2BE，
∴AC=AB=3BE，
∴CMEM=32，
设EM=2b，CM=3b，BE=a，AE=AM=2a，
如图，过点A作AN⊥ME，
则EN=b，CN=4b，
由勾股定理可得，(2a)2−b2=(3a)2−(4b)2，
解得a= 3b，
∴AC=AB=AE+BE=3a=3 3b，
∵NB=4b，
∴cos∠ACD=CNAC=4b3 3b，
∵cos∠AKD=cos∠ACD=DKAK=4b3 3b，AK=3 3，
∴DK=4．
答：线段DK的长为4．
【解析】(1)利用外角的性质推出∠ABD=∠BFD，同弧所对的圆周角相等得到∠ABD=∠ACD，即可得证；
(2)连接OC，证明△OAC≌△OAB，即可得证；
(3)设AK、CD交于点M，连接DK，AD，易得AM=AE=2BE，证明△ACM∽△BFE，得到AMBE=CMEF=ACBF，角平分线的性质和等积法得到CMEM=32，设EM=2b，CM=3b，BE=a，AE=AM=2a，勾股定理求出a= 3b，进而得到cos∠AKD=cos∠ACD=DKAK=4b3 3b，即可求解．
本题考查圆的综合应用，主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形．熟练掌握相关知识点，证明三角形的全等和相似是解题的关键．
27.【答案】解：(1)当x=0时，y=c=−3，
∴C(0,−3)，
∴OB=OC=3，
∴B(3,0)，
把B(3,0)代入抛物线解析式，
得0=9+3b−3，
解得b=−2，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3．
(2)如图，过点D作DR⊥AB，垂足为R，
∴∠DRB=∠EOB，
∵∠DBR=∠EBO．
∴△DBR∽△EBO，
∴BRBO=DROE，
设点D的横坐标为t，
∴D(t,t2−2t−3)，
∴BR=OB+OR=3−t，DR=−t2+2t+3，
∴3−t3=−t2+2t+3OE，
整理得OE=3t+3，
∵线段CE的长为d，
∴d=OC−OE=3−(3t+3)=−3t，即d=−3t．
(3)如图，过点E作EN⊥BD交BF的延长线于点N，过点N作NM⊥y轴，垂足为M，设BD，GH交于点T，过点G作GQ⊥FK，垂足为Q，
∴∠BEN=90°=∠EMN=∠GQK，
∴∠OEB+∠MEN=90°，
∵∠BOE=90°，
∴∠OEB+∠OBE=90°，∠BOE=∠EMN=∠GQK，
∴∠OBE=∠MEN，
∵∠EBG=45°，
∴∠BNE=45°=∠EBG，
∴BE=NE，
∴△OBE≌△MEN(AAS)，
∴OE=MN，OB=EM，
由(2)得OE=MN=3+3t，OB=EM=3，
∴N(3+3t,−6−3t)，
当y=−3时，y=x2−2x−3=−3，
解得x=0或x=2，
∴F(2,−3)，
设直线BF解析式为y=kx+b1，将B(3,0)，F(2,−3)代入，
得0=3k+b1−3=2k+b1，
解得k=3b1=9，
∴直线BF解析式为y=3x−9，
将N(3+3t,−6−3t)代入y=3x−9，
得−6−3t=3(3+3t)−9，
解得t=−12，
∴OE=3+3t=32，
由勾股定理得BE= 32+(32)2=3 52，
∵GH⊥BD，
∴∠BTH=90°，
∴∠BTH=∠BOE，
∵∠HBT=∠EBO，
∴∠BHT=∠BEO，
∵OB//CF，
∴∠BHT=∠K，
∴∠BEO=∠K，
∴△BOE∽△GMK，
∴OBGQ=BEGK，
∵GK= 52，
∴3GQ=3 52 52，
∴GQ=1，
∴点G的纵坐标为−2，
当y=−2时，y=x2−2x−3=−2，
解得x=1+ 2或x=1− 2，
∵点G在点B，F之间的抛物线上，
∴当x=1+ 2时，y=−2．
∴G(1+ 2,−2)．
【解析】(1)求出C(0,−3)，B(3,0)，利用待定系数法求解析式即可．
(2)过点D作DR⊥AB，垂足为R，证明△DBR∽△EBO，并利用相似三角形的性质得出BRBO=DROE，设点D的坐标为(t,t2−2t−3)，得出OE=3t+3，利用d=OC−OE求解即可．
(3)过点E作EN⊥BD交BF的延长线于点N，过点N作NM⊥y轴，垂足为M，设BD，GH交于T，过点G作GQ⊥FK，垂足为Q，证明△OBE≌△MEN(AAS)，利用全等三角形的性质得出N(3+3t,−6−3t)，利用待定系数法求出直线BF的解析式，OE的长度，证明△BOE∽△GMK，利用相似三角形的性质求出GQ的长度，再根据二次函数解析式求坐标即可．
本题考查二次函数的综合运用，涉及待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点，添加适当的辅助线是解题的关键．
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