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2023年湖北省武汉市江汉区中考数学模拟试卷（三）（含解析）
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这是一份2023年湖北省武汉市江汉区中考数学模拟试卷（三）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省武汉市江汉区中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 23的相反数是( )
A. −23 B. 23 C. −123 D. 123
2. 有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中同时抽取两张.下列事件为随机事件的是( )
A. 两张卡片的数字之和等于2 B. 两张卡片的数字之和大于2
C. 两张卡片的数字之和等于7 D. 两张卡片的数字之和大于7
3. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 计算(4a2b3)2的结果是( )
A. 6a4b5 B. 8a4b6 C. 12a4b5 D. 16a4b6
5. 如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”.图②“堑堵”的左视图是( )
A. B.
C. D.
6. 若点(m−1,y1)和(m+1,y2)在y=kx(k>0)图象上，若y1>y2，则m的取值范围是( )
A. m>1或m<−1 B. −1
A. 1 B. −2023 C. −12023 D. −1
8. A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地.l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的关系，当乙车出发2h时，两车相距是( )
A. 403km
B. 803km
C. 13km
D. 40km
9. 如图，在▱OABC中，以O为圆心，OC为半径的⊙O切AB于点B，F是圆上一动点，作直线AF交⊙O于另一点E，当EF=BC时，∠OAF的度数是( )
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
10. 将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似)，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=15，BC=13，CD=9，AD=5，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是( )
A. 554 B. 15 C. 754 D. 25
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 写出一个比5小的正无理数是______ ．
12. 《全国防沙治沙规划(2021−2030年)》提出到2030年，规划完成沙化土地治理任务186000000亿亩，数186000000用科学记数法表示是______ ．
13. 某中学开展校徽设计评比，七、八年级各设计了1个作品，九年级设计了2个作品.从这四个作品中随机选取两个，选中的2个作品来自不同年级的概率是______ ．
14. 如图，无人机在离地面20 3m的点D处，测得操控者A的俯角为30°，测得教学楼顶部点C的俯角为45°，已知操控者A和教学楼BC之间的水平距离为80m，教学楼BC的高度是______ m.
15. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(−2,−9a).下列结论：
①abc<0；②5a−b+c=0；③若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1，x2，且x1
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解不等式组x−1>−3①3x+1≤4②，请按下列步骤完成解答．
(Ⅰ)解不等式①，得______ ；
(Ⅱ)解不等式②，得______ ；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(Ⅳ)原不等式组的解集为______ ．
18. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE//AC，EF//AB．
(1)求证：∠BDE=∠EFC；
(2)若FC=2AF，△EFC的面积是20，直接写出△ABC的面积．
19. (本小题8.0分)
某区举行了一次以“爱祖国爱家乡”为主题的知识竞赛活动，共有1600名中学生参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表．
分组
分数段
频数
频率
A
50≤x<60
40
0.08
B
60≤x<70
80
0.16
C
70≤x<80
100
0.2
D
80≤x<90
a
0.32
E
90≤x≤100
120
b
根据上面提供的信息，解答下列问题：
(1)a= ______ ，b= ______ ；
(2)样本的中位数落在分数段______ 上；补全频数分布直方图；
(3)若竞赛成绩在80分以上(含80分)为优秀，请估计该区参加竞赛成绩为优秀的学生人数．
20. (本小题8.0分)
如图，⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，D为AC上一点，P为△ABD的内心．
(1)求证：∠PDC=90°；
(2)过点P作PE⊥AB，垂足为E，若CD=2 2，求BE−AE的值．
21. (本小题8.0分)
如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，C两个点是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图(1)中，点B是格点，先画线段AB的中点D，再在AC上画点E，使AD=DE；
(2)在图(2)中，点B在格线上，过点C作AB的平行线CF；
(3)在图(3)中，点B在格线上，在AB上画点G，使tan∠ACG=47．
22. (本小题8.0分)
某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙(墙长为65m)围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
(3)现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围．
23. (本小题12.0分)
【基础巩固】(1)如图(1)，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE//BC，AF交DE于点G.若BF=CF，求证：DG=EG．
【尝试应用】(2)如图(2)，在(1)的条件下，在等边△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE//BC，AF分别交DE，CD于G，H两点.若CH=DH，∠AHD=60°，求FCBF的值．
【拓展提高】(3)如图(3)，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG//BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F，若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，直接写出BF的长．
24. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx−3a与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图(1)，点P在抛物线上，若tan∠PAB=13，求点P的坐标；
(3)如图(2)，直线y=kx+k+1与抛物线交于M，N两点，在抛物线上存在定点Q，使得对于任意实数k，都有∠MQN=90°，求出点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：23的相反数是−23．
故选：A．
根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中同时抽取两张，
A、两张卡片的数字之和等于2，是不可能事件，故A不符合题意；
B、两张卡片的数字之和大于2，是必然事件，故B不符合题意；
C、两张卡片的数字之和等于7，是随机事件，故C符合题意；
D、两张卡片的数字之和大于7，是不可能事件，故D不符合题意；
故选：C．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形，关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】D
【解析】解：(4a2b3)2=16a4b6，
故选：D．
利用幂的乘方与积的乘方的法则，进行计算即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：这个“堑堵”的左视图如下：
故选：A．
找到从几何体的左面看所得到的图形即可．
本题考查了简单组合体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
6.【答案】A
【解析】解：∵k>0，
∴反比例函数y=kx(k>0)图象的图象在一，三象限，且在每个象限y随x的增大而减小，
∵y1>y2，
∴当y1>0时，m−1>0，
当y1<0时，m+1<0，
∴m的取值范围是m>1或m<−1，
故选：A．
根据反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质即可得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：根据根与系数的关系得m+n=−1，
所以原式=2(m+n)(m−n)⋅(m−n)−1m+n
=2m+n−1m+n
=1m+n
=1−1
=−1．
故选：D．
先根据根与系数的关系得到m+n=−1，再进行分式的混合运算得到原式=1m+n，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了分式的混合运算．
8.【答案】A
【解析】解：由图象可知，
甲的速度是(80−20)÷(3−1.5)=40(km/h)，乙的速度是403km/h，
∴当乙车出发2小时时，两车相距：20+(2−1.5)×40−403×2=403(km)，
故选：A．
根据题意和函数图象中的数据，求出甲的速度和乙的速度，然后再求乙车出发2h时两车的距离．
本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：如图，当AF在OA的上方，连接OE，OF，OB，过O作OH⊥EF于H，
∵OE=OF=OB=OC，EF=BC，
∴△OEF≌△OBC(SSS)，
∴∠C=∠OBC=∠E=∠OFE，
∵OC为半径的圆切AB于点B，
∴OB⊥AB，
∵四边形ABCO是平行四边形，
OA//BC，
∴OB⊥OA，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠C=∠OAB=∠OBC=45°，
∴∠E=∠EFO=45°，
∴OH=12EF，
∵OA=BC=EF，
∴OH=12OA，
∴∠OAH=∠OAF=30°，
当AF在OA的下方时，同理可得∠OAF=30°，
综上所述，∠OAF的度数为30°，
故选：B．
如图，当AF在OA的上方，连接OE，OF，OB，过O作OH⊥EF于H，根据全等三角形的判定定理得到△OEF≌△OBC(SSS)，根据切线的性质得到OB⊥AB，根据平行线的性质得到OB⊥OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠C=∠OAB=∠OBC=45°，求得∠E=∠EFO=45°，求得∠OAH=30°，求当AF在OA的下方时，同理可得∠OAF=30°，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图1所示，
由已知可得，△DFE∽△ECB，
则DFEC=FECB=DEEB，
设DF=x，CE=y，
则xy=1513=9+y5+x，
解得x=454y=394，
∴DE=CD+CE=9+394=754，故选项C不符合题意；
EB=DF+AD=454+5=654；
如图2所示，
由已知可得，△DCF∽△FEB，
则DCFE=CFEB=DFFB，
设FC=m，FD=n，
则915=mn+5=nm+13，
解得m=12n=15，
∴FD=15，故选项B不符合题意；
BF=FC+BC=12+13=25，故选项D不符合题意；
故选：A．
根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查相似三角形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答
11.【答案】π(答案不唯一)
【解析】解：写出一个比5小的正无理数是π，
故答案为：π(答案不唯一)．
根据无理数的意义，即可解答．
本题考查了实数大小比较，无理数，熟练掌握无理数的意义是解题的关键．
12.【答案】1.86×108
【解析】解：186000000=1.86×108．
故答案为：1.86×108．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.【答案】56
【解析】解：把七年级设计的1个作品记为A，八年级设计的1个作品记为B，九年级设计的2个作品分别记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中的2个作品来自不同年级的结果有10种，
∴选中的2个作品来自不同年级的概率是1012=56，
故答案为：56．
画树状图，共有12种等可能的结果，其中选中的2个作品来自不同年级的结果有10种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】(20 3−20)
【解析】解：过点A作AE⊥DF，垂足为E，延长BC交FD于点G，
由题意得：AE=BG=20 3m，EG=AB=80m，BG⊥EG，
在Rt△AED中，∠ADE=30°，
∴DE=AEtan30∘=20 3 33=60(m)，
∴DG=EG−DE=80−60=20(m)，
在Rt△DCG中，∠GDC=45°，
∴CG=DG⋅tan45°=20(m)，
∴BC=BG−CG=(20 3−20)m，
∴教学楼BC的高度是(20 3−20)m，
故答案为：(20 3−20)．
过点A作AE⊥DF，垂足为E，延长BC交FD于点G，根据题意可得：AE=BG=20 3m，EG=AB=80m，BG⊥EG，然后在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而求出DG的长，再在Rt△DCG中，利用锐角三角函数的定义求出CG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15.【答案】①③
【解析】解：∵抛物线的顶点坐标为(−2,−9a)，
∴y=a(x+2)2−9a=ax2+4ax−5a，
∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∴b=4a>0，c=−5a<0，
∴abc<0，所以①正确；
∵5a−b+c=5a−4a−5a=−4a，
而a>0，
∴5a−b+c<0，所以②错误；
∵方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，
∴抛物线y=a(x+5)(x−1)与直线y=−1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，
∴−5
∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=−1有2个根，
∴所有根之和为2×(−ba)=2×(−4aa)=−8，所以④错误．
故答案为：①③．
利用顶点式得到y=ax2+4ax−5a，根据抛物线的开口向上得到a>0，则b>0，c<0，于是可对①进行判断；把b=4a，c=−5a代入5a−b+c中可对②进行判断；根据抛物线y=a(x+5)(x−1)与直线y=−1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，则可对③进行判断；假设方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=−1有2个根，则利用根与系数的关系可对④进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)．
16.【答案】5或354．
【解析】解：分两种情况：第一种情况：如图，延长DE交CA于A′，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°．
又∠ACD=90°，
∴∠DA′C=45°．
∵∠DAC=45°，且点C、点A、点A′在同一条直线上，
∴A与A′是同一点(或重合)．
又∵tan∠QBP=3，且△CBE为直角三角形．
∴CE=3BE，
∵AE=AB+BE=CE，
∴10+BE=3BE，
解得：BE=5．
第二种情况：如图，分别过C、D作AE的垂线，垂足为点O、点F，过D作CO延长线的垂线，与CO的延长线交于点N.设CD与AE交于R．
∵AC⊥CD，CN⊥DN，
∴∠ACO=90°−∠OCR，∠CDN=90°−∠OCR，
∴∠ACO=∠CDN．
又∵∠AOC=∠CND=90°，AC=CD，
∴△ACO≌△CDN(AAS)．
∴CO=DN．
同理可证，△COE≌△EFD，则CO=EF．
由CO⊥AE，DF⊥AE，DN⊥ON得四边形ONDF是矩形，
∴OF=DN．
由tan∠QBO=3、△CBO为直角三角形，可得CO=3BO．
设BO=a，则CO=OF=EF=3a．
∵△ACD为等腰直角三角形，且AC=CD，设CE=x，
则AC=CD= 2x.
在直角△ACO与直角△COE中，由勾股定理得：AC2=AO2+CO2，CE2=CO2+OE2，
即：( 2x)2=(10+a)2+(3a)2，x2=(3a)2+(3a+3a)2
消去x，得(10+a)2+(3a)2=2(3a)2+2(3a+3a)2，
即(10+a)2=81a2，
考虑到a为正值，两边开方得，10+a=9a，
∴a=54，
∴BE=BO+OF+EF=a+3a+3a=7a=354，
故答案为：5或354．
按照题意合理画图，尽可能想到各种情况，然后根据等腰直角三角形的性质以及以此构造全等三角形，结合正切函数的概念，即可求解．
本题考查旋转的相关知识点，涉及等腰直角三角形性质、正切函数的计算等，利用90°旋转的特点构造全等三角形是解题的关键．
17.【答案】x>−2 x≤1 −2
(Ⅱ)解不等式②，得x≤1；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(Ⅳ)原不等式组的解集为−2
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：(1)证明：∵DE//AC，
∴∠BED=∠ECF，
∵EF//AB，
∴∠B=∠FEC，
∴△BDE∽△EFC
∴∠BDE=∠EFC；
(2)∵EF//AB，
∴△ABC∽△FEC，
∴S△ABCS△FEC=(ACFC)2，
∵FC=2AF，
∴ACFC=32，
∴S△ABCS△FEC=94，
又∵△EFC的面积是20，
∴S△ABC=94×20=45．
∴△ABC的面积为45．
【解析】(1)由平行线的性质可得∠BED=∠ECF，∠B=∠FEC，从而可证得△BDE∽△EFC；
(2)先判定△ABC∽△FEC，从而根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出等式，再根据AFFC=12得出相似比，然后结合△EFC的面积是20，可求得△ABC的面积．
本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
19.【答案】160 0.24 D
【解析】解：(1)∵被调查的总人数为40÷0.08=500(人)，
∴b=120÷500=0.24，a=500×0.32=160，
故答案为：160，0.24；
(2)被抽取学生的成绩的中位数是第250、251个数据的平均数，而这两个数据均落在D组，
所以被抽取学生的成绩的中位数落在D组，
故答案为：D，
补全图形如下：
(3)估计该市参加竞赛成绩为优秀成绩的学生人数为1600×(0.32+0.24)=896(人)．
答：估计该市参加竞赛成绩为优秀成绩的学生人数为896人．
(1)由A组频数及频率求出样本总量，再根据频率=频数÷总数求解即可；
(2)根据中位数的概念求解，再补全统计图即可；
(3)用总人数乘以样本中D、E组频率之和即可．
本题考查频数分布直方图、统计表、样本容量、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】(1)证明：∵⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，
∴∠CAB=45°，AB是直径，
∴∠CDB=45°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵P是△ADB的内心，
∴PD平分∠ADB，
∴∠PDB=45°，
∴∠PDC=∠PDB+∠CDB=90°，
∴∠PDC=90°；
(2)解：作PM⊥AD于M，PN⊥BD于N，连接PA，在DB上截取BK=AD，连接CK，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∵∠DAC=∠CBK，
∴△CDA≌△CKB(SAS)，
∴CD=CK，∠DCA=∠KCB，
∵∠KCB+∠ACK=90°，
∴∠DCA+∠ACK=90°，
∴△DCK是等腰直角三角形，
∴DK= 2CD= 2×2 2=4，
∵P是△ADB的内心，
∴PM=PN=PE，
∵∠MDN=∠ACB=90°，
∴四边形PMDN是正方形，
∴PM=PN，
∵PA=PA，PM=PE，
∴Rt△PMA≌Rt△PEA(HL)，
∴AM=AE，
同理：BN=BE，
∴BE−AE=BN−AM=(BN+DN)−(AM+DM)=BD−AD，
∵BD−AD=BD−BK=DK=4，
∴BE−AE=4．
【解析】(1)根据圆周角定理证明∠CDB=45°，再根据内心定义证明∠PDB=45°，进而可以解决问题；
(2)作PM⊥AD于M，PN⊥BD于N，连接PA，在DB上截取BK=AD，连接CK，可以证明△CDA≌△CKB，得到CD=CK，∠DCA=∠KCB，推出△DCK是等腰直角三角形，得到DK= 2CD= 2×2 2=4，由P是△ADB的内心，推出BE−AE=BD−AD=DK=4．
本题考查三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，三角形外接圆与外心，等腰直角三角形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造全等三角形，并掌握三角形内心的性质．
21.【答案】解：如图：
(1)点D、E即为所求；
(2)CF即为所求；
(3)点G即为所求．
【解析】(1)根据矩形的性质及直角三角形的性质作图；
(2)根据网格线是特点作图；
(3)根据三角函数的定义及相似三角形的性质作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点、相似三角形的性质、直角三角形的性质及矩形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意得，AE=HG=12AD=12x m，
DC=AB=12(200−52x)=(100−54x)m，
故y=x(100−54x)=−54x2+100x，
自变量x的取值范围为：28≤x<80；
(2)由题意可得：
∵y=−54x2+100x=−54( x2−80x)=−54( x−40)2+2000，
又∵28≤x<80，
∴当x=40时，y有最大值，最大值为2000平方米；
(3)由题意得，S矩形EAGH=AG⋅AE=12(100−54x)⋅12x=−516x2+25x，S矩形DEFC=DC⋅DE=(100−54x)⋅12x=−58x2+50x，
设安装成本为w元，则w=40(−516x2+25x)+20(−58x2+50x)=−25x2+2000x，
令w=30000，则−25x2+2000x=30000，
解得x=60或20，
∵28≤x<80，
∴60≤x<80时，安装成本不超过30000元．
【解析】(1)根据题意表示出矩形的长与宽，进而得出答案；
(2)把二次函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；
(3)设安装成本为w元，则w=−25x2+2000x，再根据二次函数的性质结合(1)中x的最值范围可得答案．
此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)∵DE//BC，
∴DE//BC，
∴∠ADG=∠ABF，∠AGD=∠AFB，
∴△ADG∽△ABF，
∴DGBF=AGAF，
同理，EGCF=AGAFDGBF=EGCF，
∵BF=CF，
∴DG=EG；
(2)∵∠AHD=60°，∠ACB=60°，
∴∠FAC=∠DCB，
∵AC=CB，∠ACF=∠CBD，
∴△ACF≌△CBD(ASA)，
∴CF=BD=m，
∵AB=BC，
∴AD=BF=n，
∴DE//BC，
∴∠GDH=∠FCH．
∴DH=CH，∠DHG=∠CHF，
∴△DHG≌△CHF(ASA)，
∴DG=CF=m．
∴GE=DE−DG=n−m，
由(1)知，DGBF=EGCF，
∴mn=n−mm，
∴m2+mn−n2=0，
解得，m=−1± 52n；
∵值不能为负，舍去负值，
∴FCBF= 5−12；
(3)延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MN⊥BC于N，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，∠ABC=∠ADC=45°，
∵MG//BD，
∴ME=GE，
∵EF⊥EG，
∴FM=FG=10，
在Rt△GEF中，∠EGF=40°，
∴∠EFG=90°−40°=50°，
∵FG平分∠EFC，
∴∠GFC=∠EFG=50°，
∵FM=FG，EF⊥GM，
∴∠MFE=∠EFG=50°，
∴∠MFN=30°，
∴MN=12MF=5，
∴NF= MF2−MN2=5 3，
∵∠ABC=45°，
∴BN=MN=5，
∴BF=BN+NF=5+5 3．
【解析】(1)根据DE//BC证明△AGD∽△AFB，同理可证明△AFC∽△AGE得到DGBF=CEFC，于是根据BF=CF即可证得答案；
(2)根据条件证明△ACF=△CBD，设CF=BD=mAD=BF=n，于是证明△DHG≌△CHF，根据DGBF=EGCF得到m，n的关系式进而得到答案；
(3)延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MN⊥BC于N，根据直角三角形的性质求出∠EFG，求出∠MFN=30°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)把A(−1,0)、C(0,−3)代入y=ax2−bx−3a得：
a+b−3a=0−3a=−3，
解得a=1b=2，
所以抛物线解析式为y=x2−2x−3；
(2)过P作PH⊥x轴于点H．
设P(t,t2−2t−3)，
∴PH=|t2−2t−3|，AH=t+1，
∵tan∠PAB=13，
∴PHAH=13，即|t2−2t−3|t+1=13，
∴t2−2t−3=13(t+1)或t2−2t−3=−13(t+1)，
解得：t1=103，t2=−1(与A重合，舍去)或t1=83，t2=−1(与A重合，舍去)，
∴点P(103,139)或点P(83,−119)；
(3)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，Q(a,b)，∠MQN=90°，
过点Q作GH//x轴，分别交过点M、N于y轴的平行线于点G、H，
∵∠QNH+∠NQH=90°，∠NQH+∠MQG=90°，
∴∠QNH=∠MQG，
∴tan∠QNH=tan∠MQG，
∴x2−ay1−b=y2−ba−x1，
∴a(x1+x2)−a2−x1x2=y1y2−b(y1+y2)+b2，
∵直线y=kx+k+1与抛物线y=x2−2x−3交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，
∴kx+k+1=x2−2x−3，即x2−(2+k)x−k−4=0，
∴x1x2=−k−4，x1+x2=k+2，
∴y1y2=(kx1+k+1)(kx2+k+1)=k2x1x2+k(k+1)(x1+x2)+(k+1)2=4k+1，
∴y1+y2=(kx1+k+1)+(kx2+k+1)=k(x1+x2)+2k+2=k2+4k+2，
∵a(x1+x2)−a2−x1x2=y1y2−b(y1+y2)+b2，
∴a(k+2)−a2+k+4=4k+1−b(k2+4k+2)+b2，
整理得：bk2+k(a+4b−3)+(3+2a+2b−a2−b2)=0，
∵y=kx+k+1有无数条，
∴k为任何实数，b=0，a+4b−3=0，3+2a+2b−a2−b2=0，
由b=0，a+4b−3=0得到a=3，b=0，
此时，3+2a+2b−a2−b2=6−9+3=0，
∴点Q的坐标为(3,0)．
【解析】(1)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
(2)过P作PH⊥x轴于点H.设P(t,t2−2t−3)，则PH=|t2−2t−3|，AH=t+1，根据tan∠PAB=13可得到PHAH=13，则易求t的值，即可求解；
(3)证明∠QNH=∠MQG，得到a(x1+x2)−a2−x1x2=y1y2−b(y1+y2)+b2，整理得：bk2+k(a+4b−3)+(2a+2b−a2−b2)=0，则b=0，a+4b−3=0，2a+2b−a2−b2=0，由b=0，a+4b−3=0得到a=3，b=0，此时，2a+2b−a2−b2=6−9=−3≠0，即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数，根与系数的关系等，熟练掌握二次函数的性质和根与系数的关系是解题的关键．
2023年湖北省武汉市江汉区中考数学模拟试卷（三）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 23的相反数是( )
A. −23 B. 23 C. −123 D. 123
2. 有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中同时抽取两张.下列事件为随机事件的是( )
A. 两张卡片的数字之和等于2 B. 两张卡片的数字之和大于2
C. 两张卡片的数字之和等于7 D. 两张卡片的数字之和大于7
3. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 计算(4a2b3)2的结果是( )
A. 6a4b5 B. 8a4b6 C. 12a4b5 D. 16a4b6
5. 如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”.图②“堑堵”的左视图是( )
A. B.
C. D.
6. 若点(m−1,y1)和(m+1,y2)在y=kx(k>0)图象上，若y1>y2，则m的取值范围是( )
A. m>1或m<−1 B. −1
A. 1 B. −2023 C. −12023 D. −1
8. A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地.l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s(km)与时间t(h)之间的关系，当乙车出发2h时，两车相距是( )
A. 403km
B. 803km
C. 13km
D. 40km
9. 如图，在▱OABC中，以O为圆心，OC为半径的⊙O切AB于点B，F是圆上一动点，作直线AF交⊙O于另一点E，当EF=BC时，∠OAF的度数是( )
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
10. 将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似)，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=15，BC=13，CD=9，AD=5，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是( )
A. 554 B. 15 C. 754 D. 25
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 写出一个比5小的正无理数是______ ．
12. 《全国防沙治沙规划(2021−2030年)》提出到2030年，规划完成沙化土地治理任务186000000亿亩，数186000000用科学记数法表示是______ ．
13. 某中学开展校徽设计评比，七、八年级各设计了1个作品，九年级设计了2个作品.从这四个作品中随机选取两个，选中的2个作品来自不同年级的概率是______ ．
14. 如图，无人机在离地面20 3m的点D处，测得操控者A的俯角为30°，测得教学楼顶部点C的俯角为45°，已知操控者A和教学楼BC之间的水平距离为80m，教学楼BC的高度是______ m.
15. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(−2,−9a).下列结论：
①abc<0；②5a−b+c=0；③若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1，x2，且x1
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解不等式组x−1>−3①3x+1≤4②，请按下列步骤完成解答．
(Ⅰ)解不等式①，得______ ；
(Ⅱ)解不等式②，得______ ；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(Ⅳ)原不等式组的解集为______ ．
18. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE//AC，EF//AB．
(1)求证：∠BDE=∠EFC；
(2)若FC=2AF，△EFC的面积是20，直接写出△ABC的面积．
19. (本小题8.0分)
某区举行了一次以“爱祖国爱家乡”为主题的知识竞赛活动，共有1600名中学生参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表．
分组
分数段
频数
频率
A
50≤x<60
40
0.08
B
60≤x<70
80
0.16
C
70≤x<80
100
0.2
D
80≤x<90
a
0.32
E
90≤x≤100
120
b
根据上面提供的信息，解答下列问题：
(1)a= ______ ，b= ______ ；
(2)样本的中位数落在分数段______ 上；补全频数分布直方图；
(3)若竞赛成绩在80分以上(含80分)为优秀，请估计该区参加竞赛成绩为优秀的学生人数．
20. (本小题8.0分)
如图，⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，D为AC上一点，P为△ABD的内心．
(1)求证：∠PDC=90°；
(2)过点P作PE⊥AB，垂足为E，若CD=2 2，求BE−AE的值．
21. (本小题8.0分)
如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，C两个点是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图(1)中，点B是格点，先画线段AB的中点D，再在AC上画点E，使AD=DE；
(2)在图(2)中，点B在格线上，过点C作AB的平行线CF；
(3)在图(3)中，点B在格线上，在AB上画点G，使tan∠ACG=47．
22. (本小题8.0分)
某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙(墙长为65m)围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
(3)现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围．
23. (本小题12.0分)
【基础巩固】(1)如图(1)，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE//BC，AF交DE于点G.若BF=CF，求证：DG=EG．
【尝试应用】(2)如图(2)，在(1)的条件下，在等边△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE//BC，AF分别交DE，CD于G，H两点.若CH=DH，∠AHD=60°，求FCBF的值．
【拓展提高】(3)如图(3)，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG//BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F，若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，直接写出BF的长．
24. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx−3a与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图(1)，点P在抛物线上，若tan∠PAB=13，求点P的坐标；
(3)如图(2)，直线y=kx+k+1与抛物线交于M，N两点，在抛物线上存在定点Q，使得对于任意实数k，都有∠MQN=90°，求出点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：23的相反数是−23．
故选：A．
根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中同时抽取两张，
A、两张卡片的数字之和等于2，是不可能事件，故A不符合题意；
B、两张卡片的数字之和大于2，是必然事件，故B不符合题意；
C、两张卡片的数字之和等于7，是随机事件，故C符合题意；
D、两张卡片的数字之和大于7，是不可能事件，故D不符合题意；
故选：C．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形，关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】D
【解析】解：(4a2b3)2=16a4b6，
故选：D．
利用幂的乘方与积的乘方的法则，进行计算即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：这个“堑堵”的左视图如下：
故选：A．
找到从几何体的左面看所得到的图形即可．
本题考查了简单组合体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
6.【答案】A
【解析】解：∵k>0，
∴反比例函数y=kx(k>0)图象的图象在一，三象限，且在每个象限y随x的增大而减小，
∵y1>y2，
∴当y1>0时，m−1>0，
当y1<0时，m+1<0，
∴m的取值范围是m>1或m<−1，
故选：A．
根据反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质即可得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：根据根与系数的关系得m+n=−1，
所以原式=2(m+n)(m−n)⋅(m−n)−1m+n
=2m+n−1m+n
=1m+n
=1−1
=−1．
故选：D．
先根据根与系数的关系得到m+n=−1，再进行分式的混合运算得到原式=1m+n，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了分式的混合运算．
8.【答案】A
【解析】解：由图象可知，
甲的速度是(80−20)÷(3−1.5)=40(km/h)，乙的速度是403km/h，
∴当乙车出发2小时时，两车相距：20+(2−1.5)×40−403×2=403(km)，
故选：A．
根据题意和函数图象中的数据，求出甲的速度和乙的速度，然后再求乙车出发2h时两车的距离．
本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：如图，当AF在OA的上方，连接OE，OF，OB，过O作OH⊥EF于H，
∵OE=OF=OB=OC，EF=BC，
∴△OEF≌△OBC(SSS)，
∴∠C=∠OBC=∠E=∠OFE，
∵OC为半径的圆切AB于点B，
∴OB⊥AB，
∵四边形ABCO是平行四边形，
OA//BC，
∴OB⊥OA，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠C=∠OAB=∠OBC=45°，
∴∠E=∠EFO=45°，
∴OH=12EF，
∵OA=BC=EF，
∴OH=12OA，
∴∠OAH=∠OAF=30°，
当AF在OA的下方时，同理可得∠OAF=30°，
综上所述，∠OAF的度数为30°，
故选：B．
如图，当AF在OA的上方，连接OE，OF，OB，过O作OH⊥EF于H，根据全等三角形的判定定理得到△OEF≌△OBC(SSS)，根据切线的性质得到OB⊥AB，根据平行线的性质得到OB⊥OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠C=∠OAB=∠OBC=45°，求得∠E=∠EFO=45°，求得∠OAH=30°，求当AF在OA的下方时，同理可得∠OAF=30°，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图1所示，
由已知可得，△DFE∽△ECB，
则DFEC=FECB=DEEB，
设DF=x，CE=y，
则xy=1513=9+y5+x，
解得x=454y=394，
∴DE=CD+CE=9+394=754，故选项C不符合题意；
EB=DF+AD=454+5=654；
如图2所示，
由已知可得，△DCF∽△FEB，
则DCFE=CFEB=DFFB，
设FC=m，FD=n，
则915=mn+5=nm+13，
解得m=12n=15，
∴FD=15，故选项B不符合题意；
BF=FC+BC=12+13=25，故选项D不符合题意；
故选：A．
根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查相似三角形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答
11.【答案】π(答案不唯一)
【解析】解：写出一个比5小的正无理数是π，
故答案为：π(答案不唯一)．
根据无理数的意义，即可解答．
本题考查了实数大小比较，无理数，熟练掌握无理数的意义是解题的关键．
12.【答案】1.86×108
【解析】解：186000000=1.86×108．
故答案为：1.86×108．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.【答案】56
【解析】解：把七年级设计的1个作品记为A，八年级设计的1个作品记为B，九年级设计的2个作品分别记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中的2个作品来自不同年级的结果有10种，
∴选中的2个作品来自不同年级的概率是1012=56，
故答案为：56．
画树状图，共有12种等可能的结果，其中选中的2个作品来自不同年级的结果有10种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】(20 3−20)
【解析】解：过点A作AE⊥DF，垂足为E，延长BC交FD于点G，
由题意得：AE=BG=20 3m，EG=AB=80m，BG⊥EG，
在Rt△AED中，∠ADE=30°，
∴DE=AEtan30∘=20 3 33=60(m)，
∴DG=EG−DE=80−60=20(m)，
在Rt△DCG中，∠GDC=45°，
∴CG=DG⋅tan45°=20(m)，
∴BC=BG−CG=(20 3−20)m，
∴教学楼BC的高度是(20 3−20)m，
故答案为：(20 3−20)．
过点A作AE⊥DF，垂足为E，延长BC交FD于点G，根据题意可得：AE=BG=20 3m，EG=AB=80m，BG⊥EG，然后在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而求出DG的长，再在Rt△DCG中，利用锐角三角函数的定义求出CG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15.【答案】①③
【解析】解：∵抛物线的顶点坐标为(−2,−9a)，
∴y=a(x+2)2−9a=ax2+4ax−5a，
∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∴b=4a>0，c=−5a<0，
∴abc<0，所以①正确；
∵5a−b+c=5a−4a−5a=−4a，
而a>0，
∴5a−b+c<0，所以②错误；
∵方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，
∴抛物线y=a(x+5)(x−1)与直线y=−1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，
∴−5
∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=−1有2个根，
∴所有根之和为2×(−ba)=2×(−4aa)=−8，所以④错误．
故答案为：①③．
利用顶点式得到y=ax2+4ax−5a，根据抛物线的开口向上得到a>0，则b>0，c<0，于是可对①进行判断；把b=4a，c=−5a代入5a−b+c中可对②进行判断；根据抛物线y=a(x+5)(x−1)与直线y=−1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，则可对③进行判断；假设方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=−1有2个根，则利用根与系数的关系可对④进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)．
16.【答案】5或354．
【解析】解：分两种情况：第一种情况：如图，延长DE交CA于A′，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°．
又∠ACD=90°，
∴∠DA′C=45°．
∵∠DAC=45°，且点C、点A、点A′在同一条直线上，
∴A与A′是同一点(或重合)．
又∵tan∠QBP=3，且△CBE为直角三角形．
∴CE=3BE，
∵AE=AB+BE=CE，
∴10+BE=3BE，
解得：BE=5．
第二种情况：如图，分别过C、D作AE的垂线，垂足为点O、点F，过D作CO延长线的垂线，与CO的延长线交于点N.设CD与AE交于R．
∵AC⊥CD，CN⊥DN，
∴∠ACO=90°−∠OCR，∠CDN=90°−∠OCR，
∴∠ACO=∠CDN．
又∵∠AOC=∠CND=90°，AC=CD，
∴△ACO≌△CDN(AAS)．
∴CO=DN．
同理可证，△COE≌△EFD，则CO=EF．
由CO⊥AE，DF⊥AE，DN⊥ON得四边形ONDF是矩形，
∴OF=DN．
由tan∠QBO=3、△CBO为直角三角形，可得CO=3BO．
设BO=a，则CO=OF=EF=3a．
∵△ACD为等腰直角三角形，且AC=CD，设CE=x，
则AC=CD= 2x.
在直角△ACO与直角△COE中，由勾股定理得：AC2=AO2+CO2，CE2=CO2+OE2，
即：( 2x)2=(10+a)2+(3a)2，x2=(3a)2+(3a+3a)2
消去x，得(10+a)2+(3a)2=2(3a)2+2(3a+3a)2，
即(10+a)2=81a2，
考虑到a为正值，两边开方得，10+a=9a，
∴a=54，
∴BE=BO+OF+EF=a+3a+3a=7a=354，
故答案为：5或354．
按照题意合理画图，尽可能想到各种情况，然后根据等腰直角三角形的性质以及以此构造全等三角形，结合正切函数的概念，即可求解．
本题考查旋转的相关知识点，涉及等腰直角三角形性质、正切函数的计算等，利用90°旋转的特点构造全等三角形是解题的关键．
17.【答案】x>−2 x≤1 −2
(Ⅱ)解不等式②，得x≤1；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(Ⅳ)原不等式组的解集为−2
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：(1)证明：∵DE//AC，
∴∠BED=∠ECF，
∵EF//AB，
∴∠B=∠FEC，
∴△BDE∽△EFC
∴∠BDE=∠EFC；
(2)∵EF//AB，
∴△ABC∽△FEC，
∴S△ABCS△FEC=(ACFC)2，
∵FC=2AF，
∴ACFC=32，
∴S△ABCS△FEC=94，
又∵△EFC的面积是20，
∴S△ABC=94×20=45．
∴△ABC的面积为45．
【解析】(1)由平行线的性质可得∠BED=∠ECF，∠B=∠FEC，从而可证得△BDE∽△EFC；
(2)先判定△ABC∽△FEC，从而根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出等式，再根据AFFC=12得出相似比，然后结合△EFC的面积是20，可求得△ABC的面积．
本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
19.【答案】160 0.24 D
【解析】解：(1)∵被调查的总人数为40÷0.08=500(人)，
∴b=120÷500=0.24，a=500×0.32=160，
故答案为：160，0.24；
(2)被抽取学生的成绩的中位数是第250、251个数据的平均数，而这两个数据均落在D组，
所以被抽取学生的成绩的中位数落在D组，
故答案为：D，
补全图形如下：
(3)估计该市参加竞赛成绩为优秀成绩的学生人数为1600×(0.32+0.24)=896(人)．
答：估计该市参加竞赛成绩为优秀成绩的学生人数为896人．
(1)由A组频数及频率求出样本总量，再根据频率=频数÷总数求解即可；
(2)根据中位数的概念求解，再补全统计图即可；
(3)用总人数乘以样本中D、E组频率之和即可．
本题考查频数分布直方图、统计表、样本容量、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】(1)证明：∵⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，
∴∠CAB=45°，AB是直径，
∴∠CDB=45°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵P是△ADB的内心，
∴PD平分∠ADB，
∴∠PDB=45°，
∴∠PDC=∠PDB+∠CDB=90°，
∴∠PDC=90°；
(2)解：作PM⊥AD于M，PN⊥BD于N，连接PA，在DB上截取BK=AD，连接CK，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∵∠DAC=∠CBK，
∴△CDA≌△CKB(SAS)，
∴CD=CK，∠DCA=∠KCB，
∵∠KCB+∠ACK=90°，
∴∠DCA+∠ACK=90°，
∴△DCK是等腰直角三角形，
∴DK= 2CD= 2×2 2=4，
∵P是△ADB的内心，
∴PM=PN=PE，
∵∠MDN=∠ACB=90°，
∴四边形PMDN是正方形，
∴PM=PN，
∵PA=PA，PM=PE，
∴Rt△PMA≌Rt△PEA(HL)，
∴AM=AE，
同理：BN=BE，
∴BE−AE=BN−AM=(BN+DN)−(AM+DM)=BD−AD，
∵BD−AD=BD−BK=DK=4，
∴BE−AE=4．
【解析】(1)根据圆周角定理证明∠CDB=45°，再根据内心定义证明∠PDB=45°，进而可以解决问题；
(2)作PM⊥AD于M，PN⊥BD于N，连接PA，在DB上截取BK=AD，连接CK，可以证明△CDA≌△CKB，得到CD=CK，∠DCA=∠KCB，推出△DCK是等腰直角三角形，得到DK= 2CD= 2×2 2=4，由P是△ADB的内心，推出BE−AE=BD−AD=DK=4．
本题考查三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，三角形外接圆与外心，等腰直角三角形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造全等三角形，并掌握三角形内心的性质．
21.【答案】解：如图：
(1)点D、E即为所求；
(2)CF即为所求；
(3)点G即为所求．
【解析】(1)根据矩形的性质及直角三角形的性质作图；
(2)根据网格线是特点作图；
(3)根据三角函数的定义及相似三角形的性质作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点、相似三角形的性质、直角三角形的性质及矩形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)由题意得，AE=HG=12AD=12x m，
DC=AB=12(200−52x)=(100−54x)m，
故y=x(100−54x)=−54x2+100x，
自变量x的取值范围为：28≤x<80；
(2)由题意可得：
∵y=−54x2+100x=−54( x2−80x)=−54( x−40)2+2000，
又∵28≤x<80，
∴当x=40时，y有最大值，最大值为2000平方米；
(3)由题意得，S矩形EAGH=AG⋅AE=12(100−54x)⋅12x=−516x2+25x，S矩形DEFC=DC⋅DE=(100−54x)⋅12x=−58x2+50x，
设安装成本为w元，则w=40(−516x2+25x)+20(−58x2+50x)=−25x2+2000x，
令w=30000，则−25x2+2000x=30000，
解得x=60或20，
∵28≤x<80，
∴60≤x<80时，安装成本不超过30000元．
【解析】(1)根据题意表示出矩形的长与宽，进而得出答案；
(2)把二次函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；
(3)设安装成本为w元，则w=−25x2+2000x，再根据二次函数的性质结合(1)中x的最值范围可得答案．
此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)∵DE//BC，
∴DE//BC，
∴∠ADG=∠ABF，∠AGD=∠AFB，
∴△ADG∽△ABF，
∴DGBF=AGAF，
同理，EGCF=AGAFDGBF=EGCF，
∵BF=CF，
∴DG=EG；
(2)∵∠AHD=60°，∠ACB=60°，
∴∠FAC=∠DCB，
∵AC=CB，∠ACF=∠CBD，
∴△ACF≌△CBD(ASA)，
∴CF=BD=m，
∵AB=BC，
∴AD=BF=n，
∴DE//BC，
∴∠GDH=∠FCH．
∴DH=CH，∠DHG=∠CHF，
∴△DHG≌△CHF(ASA)，
∴DG=CF=m．
∴GE=DE−DG=n−m，
由(1)知，DGBF=EGCF，
∴mn=n−mm，
∴m2+mn−n2=0，
解得，m=−1± 52n；
∵值不能为负，舍去负值，
∴FCBF= 5−12；
(3)延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MN⊥BC于N，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，∠ABC=∠ADC=45°，
∵MG//BD，
∴ME=GE，
∵EF⊥EG，
∴FM=FG=10，
在Rt△GEF中，∠EGF=40°，
∴∠EFG=90°−40°=50°，
∵FG平分∠EFC，
∴∠GFC=∠EFG=50°，
∵FM=FG，EF⊥GM，
∴∠MFE=∠EFG=50°，
∴∠MFN=30°，
∴MN=12MF=5，
∴NF= MF2−MN2=5 3，
∵∠ABC=45°，
∴BN=MN=5，
∴BF=BN+NF=5+5 3．
【解析】(1)根据DE//BC证明△AGD∽△AFB，同理可证明△AFC∽△AGE得到DGBF=CEFC，于是根据BF=CF即可证得答案；
(2)根据条件证明△ACF=△CBD，设CF=BD=mAD=BF=n，于是证明△DHG≌△CHF，根据DGBF=EGCF得到m，n的关系式进而得到答案；
(3)延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MN⊥BC于N，根据直角三角形的性质求出∠EFG，求出∠MFN=30°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)把A(−1,0)、C(0,−3)代入y=ax2−bx−3a得：
a+b−3a=0−3a=−3，
解得a=1b=2，
所以抛物线解析式为y=x2−2x−3；
(2)过P作PH⊥x轴于点H．
设P(t,t2−2t−3)，
∴PH=|t2−2t−3|，AH=t+1，
∵tan∠PAB=13，
∴PHAH=13，即|t2−2t−3|t+1=13，
∴t2−2t−3=13(t+1)或t2−2t−3=−13(t+1)，
解得：t1=103，t2=−1(与A重合，舍去)或t1=83，t2=−1(与A重合，舍去)，
∴点P(103,139)或点P(83,−119)；
(3)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，Q(a,b)，∠MQN=90°，
过点Q作GH//x轴，分别交过点M、N于y轴的平行线于点G、H，
∵∠QNH+∠NQH=90°，∠NQH+∠MQG=90°，
∴∠QNH=∠MQG，
∴tan∠QNH=tan∠MQG，
∴x2−ay1−b=y2−ba−x1，
∴a(x1+x2)−a2−x1x2=y1y2−b(y1+y2)+b2，
∵直线y=kx+k+1与抛物线y=x2−2x−3交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，
∴kx+k+1=x2−2x−3，即x2−(2+k)x−k−4=0，
∴x1x2=−k−4，x1+x2=k+2，
∴y1y2=(kx1+k+1)(kx2+k+1)=k2x1x2+k(k+1)(x1+x2)+(k+1)2=4k+1，
∴y1+y2=(kx1+k+1)+(kx2+k+1)=k(x1+x2)+2k+2=k2+4k+2，
∵a(x1+x2)−a2−x1x2=y1y2−b(y1+y2)+b2，
∴a(k+2)−a2+k+4=4k+1−b(k2+4k+2)+b2，
整理得：bk2+k(a+4b−3)+(3+2a+2b−a2−b2)=0，
∵y=kx+k+1有无数条，
∴k为任何实数，b=0，a+4b−3=0，3+2a+2b−a2−b2=0，
由b=0，a+4b−3=0得到a=3，b=0，
此时，3+2a+2b−a2−b2=6−9+3=0，
∴点Q的坐标为(3,0)．
【解析】(1)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
(2)过P作PH⊥x轴于点H.设P(t,t2−2t−3)，则PH=|t2−2t−3|，AH=t+1，根据tan∠PAB=13可得到PHAH=13，则易求t的值，即可求解；
(3)证明∠QNH=∠MQG，得到a(x1+x2)−a2−x1x2=y1y2−b(y1+y2)+b2，整理得：bk2+k(a+4b−3)+(2a+2b−a2−b2)=0，则b=0，a+4b−3=0，2a+2b−a2−b2=0，由b=0，a+4b−3=0得到a=3，b=0，此时，2a+2b−a2−b2=6−9=−3≠0，即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数，根与系数的关系等，熟练掌握二次函数的性质和根与系数的关系是解题的关键．
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