湘教版八年级下册数学期中试卷--(含答案)

这是一份湘教版八年级下册数学期中试卷--(含答案)，共21页。
八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．下面的性质中，平行四边形不一定具有的是（　　）
A．内角和为360° B．邻角互补
C．对角线相等 D．对角相等
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD＝PE，则△APD与△APE全等的理由是（　　）

A．SAS B．AAA C．SSS D．HL
3．下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是（　　）
A．一组对边相等且平行
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两条对角线互相平分
D．两组对边分别相等
4．已知x、y为正数，且|x2﹣4|+（y2﹣3）2＝0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（　　）
A．5 B．25 C．7 D．15
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，AD＝10，则点D到AB的距离是（　　）

A．8 B．5 C．6 D．4
6．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（　　）
A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤
7．如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，若AE＝2，平行四边形ABCD的周长等于24，则线段AB的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
8．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，P为正方形ABCD的对角线AC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝，则四边形PEBF的周长为（　　）

A． B．2 C．2 D．1
11．如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD＝30°，∠BEC＝90°，EF＝4cm，则矩形的面积为（　　）

A．16cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2
12．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，AB＝13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（　　）

A．4s B．3s C．2s D．1s
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，则∠B＝　 　．
14．若一个直角三角形的其中两条边长分别为6和8，则第三边长为　 　．
15．平行四边形ABCD中，AB、BC、CD的长度分别为2x+1，3x，x+4，则平行四边形ABCD的周长　 　．
16．已知正方形的一条对角线长为4cm，则它的面积是　 　cm2．
17．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为　 　．

18．如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7．点A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点；点A3，B3，C3分别是边B2C2，A2C2，A2B2的中点；…以此类推，则△A2021B2021C2021的周长是 　 　．

三．解答题（总分66分）
19．（6分）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数．
20．（6分）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且AF＝CE．求证：△ADF≌△CBE．

21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D在AC上，且∠BDC＝60°，AC＝12，求BD、BC的长．

22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点．
求证：DE∥BF．

23．（8分）如图，四边形ABCD是边长为13的菱形，其中对角线AC的长为10．
计算：（1）对角线BD的长度．
（2）菱形ABCD的面积．

24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE、AF．
（1）证明：AF＝CE；
（2）当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．

25．（10分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．

26．（12分）如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在AC运动到什么位置，四边形AECF是矩形，请说明理由．

八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．下面的性质中，平行四边形不一定具有的是（　　）
A．内角和为360° B．邻角互补
C．对角线相等 D．对角相等
【分析】利用平行四边形的性质依次判断可求解．
【解答】解：∵平行四边形的性质有对角相等，邻角互补，内角和为360°，
∴平行四边形的性质不一定具有对角线相等，
故选：C．
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD＝PE，则△APD与△APE全等的理由是（　　）

A．SAS B．AAA C．SSS D．HL
【分析】根据题中的条件可得△ADP和△AEP是直角三角形，再根据条件DP＝EP，AP＝AP可根据HL定理判定△APD≌△APE．
【解答】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠ADP＝∠AEP＝90°，
在Rt△ADP和△AEP中，
∴Rt△ADP≌△AEP（HL），
故选：D．
3．下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是（　　）
A．一组对边相等且平行
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两条对角线互相平分
D．两组对边分别相等
【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
C、两条对角线互相平分是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．已知x、y为正数，且|x2﹣4|+（y2﹣3）2＝0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（　　）
A．5 B．25 C．7 D．15
【分析】本题可根据“两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0”解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积．
【解答】解：依题意得：x2﹣4＝0，y2﹣3＝0，
∴x＝2，y＝，
斜边长＝＝，
所以正方形的面积＝（）2＝7．
故选：C．
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，AD＝10，则点D到AB的距离是（　　）

A．8 B．5 C．6 D．4
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的定义得到∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质得到CD＝5，根据角平分线的性质得到答案．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，又AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝30°，
∴CD＝AD，又AD＝10，
∴CD＝5，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB
∴DE＝CD＝5，
故选：B．

6．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（　　）
A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤
【分析】此题需要动手操作或画图，用两块完全相同的直角三角形可以拼成平行四边形、矩形、等腰三角形．
【解答】解：根据题意，能拼出平行四边形、矩形和等腰三角形．故选D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，若AE＝2，平行四边形ABCD的周长等于24，则线段AB的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出∠DEC＝∠DCE，进而得出DE＝DC＝AB求出即可．
【解答】解：在▱ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，
∴∠DEC＝∠ECB，∠DCE＝∠BCE，AB＝DC，AD＝BC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC＝AB，
∵四边形ABCD的周长等于24，AE＝2，
∴AB+AD＝12，
∴AB+AE+DE＝12，
∴AB＝5．
故选：A．
8．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
9．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM＝PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．
【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°＝＝，OP＝12，
∴OD＝6，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴MD＝ND＝MN＝1，
∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5．
故选：C．

10．如图，P为正方形ABCD的对角线AC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝，则四边形PEBF的周长为（　　）

A． B．2 C．2 D．1
【分析】首先根据正方形的性质和勾股定理可求出AB的长，再由条件可知：四边形PEBF为矩形，三角形AEP和三角形PFC为等腰直角三角形，所以PE+PF+BE+BF＝2AB，问题得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AB＝BC，
∴AB2+BC2＝AC2，
∵AC＝，
∴AB＝BC＝1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∴四边形PEBF为矩形，△AEP和△PFC为等腰直角三角形，
∴PF＝BE，PE＝AE，
∴PE+PF+BE+AE＝2AB＝2，
即四边形PEBF的周长为2，
故选：C．
11．如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD＝30°，∠BEC＝90°，EF＝4cm，则矩形的面积为（　　）

A．16cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BCE＝60°，判断出△CEF是等边三角形，过点E作EG⊥CF于G，根据等边三角形的性质求出EG，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵F是BC中点，∠BEC＝90°，
∴EF＝BF＝FC，BC＝2EF＝2×4＝8cm，
∵∠ECD＝30°，
∴∠BCE＝90°﹣∠EBC＝90°﹣30°＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
过点E作EG⊥CF于G，
则EG＝EF＝×4＝2cm，
∴矩形的面积＝8×2＝16cm2．
故选：C．

12．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，AB＝13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（　　）

A．4s B．3s C．2s D．1s
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP＝BQ，据此列出方程求解即可．
【解答】解：设运动时间为t秒，则CP＝12﹣3t，BQ＝t，
根据题意得到12﹣3t＝t，
解得：t＝3，
故选：B．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，则∠B＝　25°　．
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝65°，
∴∠B＝90°﹣65°＝25°．
故答案为：25°．
14．若一个直角三角形的其中两条边长分别为6和8，则第三边长为　10或2　．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】解：设第三边为x，
（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82＝x2解得：x＝10，
（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2＝82，解得x＝2．
故第三边长为10或2．
故答案为：10或2．
15．平行四边形ABCD中，AB、BC、CD的长度分别为2x+1，3x，x+4，则平行四边形ABCD的周长　32　．
【分析】根据平行四边形的对边相等可列出方程，从而解出x，这样就可得出各边的长，继而得出周长．
【解答】解：∵平行四边形的对边相等，
∴2x+1＝x+4
解得：x＝3，
即得AB＝7、BC＝9、CD＝7、DA＝9，
∴平行四边形ABCD的周长是：AB+BC+CD+DA＝32，
故答案为：32．
16．已知正方形的一条对角线长为4cm，则它的面积是　8　cm2．
【分析】根据正方形性质可知：正方形的一条角平分线即为对角线，对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形，根据勾股定理可知正方形的边长，进而可得这个正方形的面积．
【解答】解：设这个正方形的边长为xcm，
则根据正方形的性质可知：x2+x2＝42＝16，
解可得x＝2cm；
则它的面积是x2＝8cm2，
故答案为8cm2．
17．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为　n﹣1　．

【分析】根据题意作图，连接O1B，O1C，可得△O1BF≌△O1CG，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案．
【解答】解：连接O1B、O1C，如图：
∵∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°，
∴∠BO1F＝∠CO1G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，
在△O1BF和△O1CG中，
，
∴△O1BF≌△O1CG（ASA），
∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S正方形＝1，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形＝1，
∴把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为（n﹣1）．
故答案为：n﹣1

18．如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7．点A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点；点A3，B3，C3分别是边B2C2，A2C2，A2B2的中点；…以此类推，则△A2021B2021C2021的周长是 　＝　．

【分析】由三角形的中位线定理得：B2C2，A2C2，A2B2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出结论．
【解答】解：∵△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7，
∴△A1B1C1的周长是16，
∵A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点，
∴B2C2，A2C2，A2B2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的，
∴△A2B2C2的周长是×16＝8，
同理，△A3B3C3的周长是××16＝×16＝4，
…，
以此类推，△AnBn∁n的周长是×16＝，
∴△A2021B2021C2021的周长是＝．
故答案是：＝．
三．解答题（总分66分）
19．（6分）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数．
【分析】一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是360°，则内角和是4×360°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【解答】解：设这个多边形的边数是，则
（n﹣2）×180＝360×4，
n﹣2＝8，
n＝10．
答：这个多边形的边数是10．
20．（6分）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且AF＝CE．求证：△ADF≌△CBE．

【分析】根据矩形的性质得出∠D＝∠B＝90°，AD＝CB，根据直角三角形全等的判定定理推出即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝CB，
在Rt△ADF和Rt△CBE中
，
∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL）．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D在AC上，且∠BDC＝60°，AC＝12，求BD、BC的长．

【分析】先根据三角形外角的性质得出∠ABD＝30°，则∠A＝∠ABD，再由等角对等边得出BD＝AD，设CD＝x，则BD＝AD＝2x，求出x＝4，即可求出BC的值．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠BDC＝60°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝30°．
∴∠A＝∠ABD＝30°，
∴BD＝AD．
在Rt△BCD中，∠C＝90°，∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD，
设CD＝x，则BD＝AD＝2x，
∴x+2x＝12，
∴x＝4，
∴BD＝8，
∴BC＝＝＝4．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点．
求证：DE∥BF．

【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，由中点的性质可得DF＝BE，可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点．
∴DFCD，BE＝AB，
∴DF＝BE，
又∵DF∥BE，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE∥BF．
23．（8分）如图，四边形ABCD是边长为13的菱形，其中对角线AC的长为10．
计算：（1）对角线BD的长度．
（2）菱形ABCD的面积．

【分析】（1）由菱形的性质可知AC⊥BD，在Rt△ABE中可求得BE的长，则可求得BD的长；
（2）利用菱形的面积公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，且AE＝EC＝AC＝5，且BE＝DE＝BD，
∵菱形的边长为13，
∴AB＝13，
在Rt△ABE中，BE＝＝＝12，
∴BD＝2BE＝24；
（2）∵AC＝10，BD＝24，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×10×24＝120．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE、AF．
（1）证明：AF＝CE；
（2）当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．

【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC＝2DE，求出EF∥AC，EF＝AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF＝CE；
（2）由直角三角形的性质得出∠BAC＝60°，AC＝AB＝AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC＝CE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，
∴DE∥AC，AC＝2DE，
∵EF＝2DE，
∴EF∥AC，EF＝AC，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴AF＝CE；
（2）解：当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB＝AE，
∴△AEC是等边三角形，
∴AC＝CE，
又∵四边形ACEF是平行四边形，
∴四边形ACEF是菱形．
25．（10分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．

【分析】过E作EM⊥AB，根据角平分线的性质可得EF＝ED＝EM．再证明四边形EFDC是矩形，可根据邻边相等的矩形是正方形得到四边形CDEF是正方形．
【解答】证明：过E作EM⊥AB，
∵AE平分∠CAB，
∴EF＝EM，
∵EB平分∠CBA，
∴EM＝ED，
∴EF＝ED，
∵ED⊥BC，EF⊥AC，△ABC是直角三角形，
∴∠CFE＝∠CDE＝∠C＝90°，
∴四边形EFDC是矩形，
∵EF＝ED，
∴四边形CDEF是正方形．

26．（12分）如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在AC运动到什么位置，四边形AECF是矩形，请说明理由．

【分析】（1）由题意可证OE＝OC，OF＝OC，即可得OE＝OF；
（2）根据三角形内角和定理可求∠ECF＝90°，根据勾股定理可求EF的长，根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，可得OC的长；
（3）当点O在AC的中点时，且OE＝OF可证四边形AECF是平行四边形，再根据∠ECF＝90°，可证四边形AECF是矩形．
【解答】证明：（1）∵CF平分∠ACD，且MN∥BD
∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO
∴OF＝OC
同理可证：OC＝OE
∴OE＝OF
（2）由（1）知：OF＝OC＝OE
∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC
∴∠OCF+∠OCE＝∠OFC+∠OEC
而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC＝180°
∴∠ECF＝∠OCF+∠OCE＝90°
∴
∴
（3）当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形
理由如下：
∵当点O移动到AC中点时
∴OA＝OC且OE＝OF
∴四边形AECF为平行四边形
又∵∠ECF＝90°
∴四边形AECF为矩形