河南省郑州市高新区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷

这是一份河南省郑州市高新区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省郑州市高新区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，满分30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化，体现了我国古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）2023年5月31日，我国首个国际科技组织总部集聚区在北京揭牌并正式启用，首批有国际氢能燃料电池协会等8家国际科技组织入驻．氢能燃料电池是氢能利用的一种重要形式，能有效推动能源绿色低碳转型．氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为0.00017g/100mL，0.00017用科学记数法表示为（　　）
A．0.17×10﹣3 B．1.7×10﹣3 C．1.7×10﹣4 D．17×10﹣3
3．（3分）下面的哪一幅图可以近似地刻画汽车紧急刹车时速度与时间的关系（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列各图中，正确画出△ABC中AC边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（　　）

A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
6．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a+a＝4a2 B．3a3•2a2＝6a6
C．（a3）2÷a5＝1 D．（﹣2a）3＝﹣8a3
7．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝60°，则∠3的度数为（　　）

A．130° B．140° C．150° D．160°
8．（3分）已知△ABC在正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中的位置如图所示，点A、B、C、P均在格点上，下列结论正确的是（　　）

A．直线BP是△ABC的对称轴
B．直线BP可以把△ABC分成面积相等的两部分
C．点P在∠BAC的角平分线上
D．点P在∠ABC的角平分线上
9．（3分）若把一个正方形纸片按如图所示方法三次对折后再沿虚线剪开，则剩余部分展开后到的图形是（　　）

A． B．
C． D．
10．（3分）已知：如图1，长方形ABCD中，E是边AD上一点，且AE＝6cm，AB＝8cm，点P从B出发，沿折线BE﹣ED﹣DC匀速运动，运动到点C停止．点P的运动速度为2cm/s，运动时间为t（s），△BPC的面积为y（cm2），y与t的关系用图象表示为图2，则下列结论正确的有（　　）
①a＝7；
②b＝10；
③当t＝3时，△PCD为等腰三角形；
④当t＝10时，y＝12cm2．

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）20＝　 　．
12．（3分）声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表：
空气温度/°C
﹣20
﹣10
0
10
20
30
声音速度/（m/s）
318
324
330
336
342
348
40°C时，声音在空气中的传播速度为 　 　m/s．
13．（3分）小高在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4分米，则图2中“奔跑者”下半身的面积，即△ABM、△EFG和平行四边形的面积和是 　 　平方分米．

14．（3分）埃拉托斯特尼是古希腊著名的地理学家，他曾巧妙估算出地球的周长．如图，A处塞尼城中的一口深井，夏至日中午12时，太阳光可直射井底．B处为亚历山大城，“与塞尼城几乎在一条经线上，两地距离d约为800km，地球周长可近似为×d，太阳光线看作平行光线，他在亚历山大城测得天顶方向与太阳光线的夹角α＝7.2°，依据 　 　，可得到θ＝　 　°，计算得地球周长约为 　 　km．

15．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，其中∠ACB＝90°，AC＝BC．点D是边AC上任意一点（点D与点A，点C都不重合），连接BD，CF⊥BD，交BD于点E，交AB于点F，连接DF，AG⊥AC交CF的延长线于点G．当点C和点F关于直线BD对称时，下面结论：
①AF＝DF；
②△ACG≌△CBD；
③∠ADF＝∠CDE；
④．
其中正确的是 　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．（6分）计算：[（a﹣2b）2﹣（a+b）（a﹣b）]÷b．
17．（8分）请你设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止转动时（如果指针正好停在分界线处可重新转动一次），要求指针落在黑色区域的概率为，任选取转盘中的扇形涂黑，使转盘1、转盘2分别满足上述要求且使涂黑后的转盘都构成轴对称图形．

18．（6分）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，则DE∥BC．下面是小慧同学的思考过程，请你在横线上填写理由、依据或者内容．
（1）∵∠1+∠2＝180°．∠1+∠DFE＝180°．
∴∠2＝∠DFE（ 　 　）
∴AB∥EF
∴∠3＝∠ADE（ 　 　）
∵∠3＝∠B
∴∠B＝　 　
∴DE∥BC（ 　 　）
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，则∠ADC的度数 　 　．

19．（8分）【回顾思考】数学课上，用尺规作角平分线，方法如下：
如图1，①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD　 　OE．（填＞、＜、＝）
②分别以D、E为圆心，以 　 　DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；（填“大于”“小于”或“等于”）
③作射线OC，则OC就是∠AOB的角平分线．通过 　 　可证明△OEC≌△ODC，从而∠EOC＝∠DOC，则OC就是∠AOB的角平分线．
A．SSS；
B．SAS；
C．AAS；
D．ASA．
【问题解决】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图2，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线，请说明其中的道理．

20．（8分）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“差异数”．将一个“差异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．
例如：a＝12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12＝33，和与11的商为33÷11＝3，所以f（12）＝3．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：①下列两位数：30，33，34中，“差异数”为 　 　；
②计算：f（37）＝　 　；
（2）如果一个“差异数”b的十位数字是m，个位数字是（m+2），且f（b）＝12，求这个“差异数”的十位数字m．
21．（9分）2023年“一带一路”河南•郑州龙子湖高校赛艇挑战赛在郑州龙子湖丰合赛艇训练基地举行，甲、乙两队比赛时行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图所示，其中直线段表示甲队，折线段表示乙队，请你根据图象，回答下列问题：
（1）图象中的自变量是 　 　，因变量是 　 　；
（2）这次比赛的全程是 　 　米，　 　队先到达终点；
（3）甲队和乙队到终点距离相等时，乙队的速度 　 　米/分钟；
（4）求乙队出发后到达终点前，两队到终点距离相等时，甲队行驶的路程．

22．（10分）请阅读下列材料，完成相应的任务，古希腊数学家海伦在研究中发现光在镜面反射中总是走最短路径．如图1，直线AB代表平面镜，点C代表一实物，点D代表眼睛，作实物C关于平面镜AB的对称点C′，连接C′D，交平面镜AB于点E，连接CE，则CE为入射光线，ED为反射光线，那么CE+DE最短．
（1）【数学理解】小智的思考过程如下，请你在横线上填写理由、依据或者内容．
如图1，在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点E′，连接DE′、CE′、C'E'，在△C′DE′中，
C′E′+DE′＞C′D（ 　 　），
∵实物C与点C′关于平面镜AB对称，
∴AB垂直平分CC′，
∴CE＝　 　，CE′＝C′E′（ 　 　），
∵C′D＝C′E+DE，C′E′+DE′＞C′D，
∴CE′+DE′＞CE+DE．
（2）【迁移】小宇提出，如图2，A、B是直线l两旁的两个定点，在直线l上是否存在一点P，使PB﹣PA的值最大呢？请你运用上面小智的数学思考，找出点P的位置（保留作图痕迹），并说明理由．


2022-2023学年河南省郑州市高新区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，满分30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，反映了我国悠久的历史文化，体现了我国古代劳动人民的智慧，下列甲骨文中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念分别判断得出答案．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）2023年5月31日，我国首个国际科技组织总部集聚区在北京揭牌并正式启用，首批有国际氢能燃料电池协会等8家国际科技组织入驻．氢能燃料电池是氢能利用的一种重要形式，能有效推动能源绿色低碳转型．氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为0.00017g/100mL，0.00017用科学记数法表示为（　　）
A．0.17×10﹣3 B．1.7×10﹣3 C．1.7×10﹣4 D．17×10﹣3
【答案】C
【分析】将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：0.00017＝1.7×10﹣4，
故选：C．
3．（3分）下面的哪一幅图可以近似地刻画汽车紧急刹车时速度与时间的关系（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据紧急刹车时速度随时间的增大而减小判断即可．
【解答】解：因为汽车紧急刹车时速度随时间的增大而减小，
所以选项D的图象可以近似地刻画汽车紧急刹车时速度与时间的关系．
故选：D．
4．（3分）下列各图中，正确画出△ABC中AC边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、图中，BE不是△ABC中AC边上的高，故本选项不符合题意；
B、图中，BE是△ABC中AC边上的高，本选项符合题意；
C、图中，BE不是△ABC中AC边上的高，故本选项不符合题意；
D、图中，BE不是△ABC中AC边上的高，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．（3分）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（　　）

A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
【答案】B
【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意；
【解答】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小小明随机出的是“石头”的概率为，不符合题意；
D、袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率，不符合题意；
故选：B．
6．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a+a＝4a2 B．3a3•2a2＝6a6
C．（a3）2÷a5＝1 D．（﹣2a）3＝﹣8a3
【答案】D
【分析】由同底数幂的乘法、除法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项的运算法则，即可判断．
【解答】解：A、3a+a＝4a，故A不符合题意；
B、3a3•2a2＝6a5，故B不符合题意；
C、（a3）2÷a5＝a6÷a5＝a，故C不符合题意；
D、（﹣2a）3＝﹣8a3，正确，故D符合题意．
故选：D．
7．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝60°，则∠3的度数为（　　）

A．130° B．140° C．150° D．160°
【答案】C
【分析】过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角即∠4、∠5，根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：如图所示，过∠2顶点作直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角∠4和∠5，

∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l∥支撑平台，
∴直线l∥支撑平台∥工作篮底部，
∴∠1＝∠4＝30°，∠5+∠3＝180°，
∵∠4+∠5＝∠2＝60°，
∴∠5＝60°﹣∠4＝30°，
∴∠3＝180°﹣∠5＝150°，
故选：C．
8．（3分）已知△ABC在正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中的位置如图所示，点A、B、C、P均在格点上，下列结论正确的是（　　）

A．直线BP是△ABC的对称轴
B．直线BP可以把△ABC分成面积相等的两部分
C．点P在∠BAC的角平分线上
D．点P在∠ABC的角平分线上
【答案】B
【分析】根据三角形的中线、角平分线的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、直线CP是△ABC的对称轴，故A不正确；
B、直线BP可以把△ABC分成面积相等的两部分，故B正确；
C、点P在∠ACB的角平分线上，故C不正确；
D、点P在∠ACB的角平分线上，故D不正确；
故选：B．
9．（3分）若把一个正方形纸片按如图所示方法三次对折后再沿虚线剪开，则剩余部分展开后到的图形是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】拿正方形纸片先沿对角线向上翻折，再向右翻折，右下翻折，剪去上面一个等腰直角三角形，展开即可得到正确答案．
【解答】解：动手操作后可得第4个图案，
故选：D．
10．（3分）已知：如图1，长方形ABCD中，E是边AD上一点，且AE＝6cm，AB＝8cm，点P从B出发，沿折线BE﹣ED﹣DC匀速运动，运动到点C停止．点P的运动速度为2cm/s，运动时间为t（s），△BPC的面积为y（cm2），y与t的关系用图象表示为图2，则下列结论正确的有（　　）
①a＝7；
②b＝10；
③当t＝3时，△PCD为等腰三角形；
④当t＝10时，y＝12cm2．

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
【答案】B
【分析】由三角形面积公式求出BC＝10cm，即可得到DE长，求出P在ED上运动的时间，从而求出a的值，求出P在CD上运动的时间是8÷2＝4（s），即可求出b的值，
∴b＝7+4＝11，当t＝3时，由△DEC≌△PEC（SAS），得到PC＝CD，因此△PCD是等腰三角形，当t＝10时，求出PC＝2（cm），即可求出y＝12cm2．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC，AB＝CD，
当P在DE上时，
△PBC的面积＝BC•AB＝40（cm2），
∴BC＝10cm，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣6＝4（cm），
∴P在DE上运动的时间是4÷2＝2（s），
∴a＝5+2＝7，
故①符合题意；
∵P在CD上运动的时间是8÷2＝4（s），
∴b＝7+4＝11，
故②不符合题意；
当t＝3时，如图，连接CE，

∵PB＝2×3＝6（cm），
∴PE＝BE﹣BP＝4（cm），
∴PE＝DE，
∵AE＝6cm，AB＝8cm，
∴BE＝＝10（cm），
∵BE＝BC，
∴∠PEC＝∠BCE，
∵DE∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴∠PEC＝∠DEC，
∵CE＝CE，
∴△DEC≌△PEC（SAS），
∴PC＝CD，
∴△PCD是等腰三角形，
故③符合题意；
当t＝10时，
P运动的路程是2×10＝20（cm），
∴PC＝BE+DE+DC﹣20＝10+4+8﹣10＝2（cm），
∴y＝BC•PC＝10（cm2），
故④不符合题意．
∴正确的是①③．
故选：B．

二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）20＝　1　．
【答案】1．
【分析】根据零指数幂的性质得出答案．
【解答】解：20＝1，
故答案为：1．
12．（3分）声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表：
空气温度/°C
﹣20
﹣10
0
10
20
30
声音速度/（m/s）
318
324
330
336
342
348
40°C时，声音在空气中的传播速度为 　354　m/s．
【答案】354．
【分析】根据表中的数据可得空气温度每升高10°C，声音速度就增加6m/s，从而计算当空气温度为40°C时的声音速度即可．
【解答】解：由表中的数据可得，空气温度每升高10°C，声音速度就增加6m/s，
由表得空气温度为30°C时，声音速度为348m/s，
所以空气温度为40°C时，声音在空气中的传播速度为348+6＝354m/s，
故答案为：354．
13．（3分）小高在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4分米，则图2中“奔跑者”下半身的面积，即△ABM、△EFG和平行四边形的面积和是 　8　平方分米．

【答案】8．
【分析】根据七巧板的特点，可知每个图形与大正方形的面积比即可求解．
【解答】解：由图1可知，S，
S＝2，
平行四边形的面积＝＝2，
∴△ABM、△EFG和平行四边形的面积和＝4+2+2＝8（平方分米），
故答案为：8．
14．（3分）埃拉托斯特尼是古希腊著名的地理学家，他曾巧妙估算出地球的周长．如图，A处塞尼城中的一口深井，夏至日中午12时，太阳光可直射井底．B处为亚历山大城，“与塞尼城几乎在一条经线上，两地距离d约为800km，地球周长可近似为×d，太阳光线看作平行光线，他在亚历山大城测得天顶方向与太阳光线的夹角α＝7.2°，依据 　两直线平行，同位角相等　，可得到θ＝　7.2　°，计算得地球周长约为 　40000　km．

【答案】两直线平行，同位角相等；7.2；40000．
【分析】利用两直线平行，同位角相等求出θ，再代入“×d”计算求解．
【解答】解：由题意知，太阳光线互为平行线，则亚历山大城、赛尼城与地球中心所成角和天顶方向与太阳光线的夹角为同位角，
则亚历山大城、赛伊尼与地球中心所成角为θ＝7.2°，
理由是两直线平行，同位角相等．
因为亚历山大城、赛尼城间距离为800km，
所以地球周长为×800＝40000（km），
故答案为：两直线平行，同位角相等；7.2；40000．
15．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，其中∠ACB＝90°，AC＝BC．点D是边AC上任意一点（点D与点A，点C都不重合），连接BD，CF⊥BD，交BD于点E，交AB于点F，连接DF，AG⊥AC交CF的延长线于点G．当点C和点F关于直线BD对称时，下面结论：
①AF＝DF；
②△ACG≌△CBD；
③∠ADF＝∠CDE；
④．
其中正确的是 　①②④　．

【答案】①②④．
【分析】由题意可得BD垂直平分CF，通过证明△BDF≌△BDC，得到∠AFD＝90°，即可判定①；通过AAS可以得到△ACG≌△CBD，即可判定②；由①可得∠ADF＝45°，而∠CDE＝∠FDE＝CDF＝（180°﹣45°）＝67.5°．即可判定③；在线段EB上取一点H，使得EH＝EC，通过证明△CDH为等腰三角形，即可判定④．
【解答】解：由题意可得BD垂直平分CF，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴CD＝DF，BF＝BC，∠DEC＝90°，
又∵BD＝BD，
∴△BDF≌△BDC（SSS），
∴∠DFB＝∠DCB＝90°，
∴∠AFD＝90°，
又∵∠CAB＝45°，
∴△AFD是等腰直角三角形，①正确；
∵AG⊥AC，
∠GAC＝∠ACB＝∠DEC＝90°，
∴∠DCE+∠CDE＝∠ACG+∠AGC＝90°，
∴∠CDE＝∠AGC，
又∵AC＝BC，
∴△ACG≌△CBD（AAS），②正确；
由①可得∠ADF＝45°，∠CDE＝∠FDE＝∠CDF＝（180°﹣45°）＝67.5°，③错误；
在线段EB上取一点H，使得EH＝EC，连接CH，如图：

则△CHE为等腰直角三角形，
由①可得∠CBD＝∠FBD＝∠CBA＝22.5°，
由②可得∠ACG＝∠CBD＝22.5°，
∴∠DCH＝∠ACG+∠ECH＝67.5°＝∠CDH，∠HCB＝90°﹣DCH＝22.5°＝∠CBD，
∴CH＝DH＝BH，即DH＝BD，
∵DH＝DE+EH＝DE+CE，
∴DE+CE＝BD，④正确；
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．（6分）计算：[（a﹣2b）2﹣（a+b）（a﹣b）]÷b．
【答案】2b﹣4a．
【分析】先运用完全平方公式去括号，再合并同类项，再进行除法运算即可．
【解答】解：原式＝[a2﹣4ab+b2﹣（a2﹣b2）]÷b
＝（a2﹣4ab+b2﹣a2+b2）÷b
＝（2b2﹣4ab）÷b
＝2b﹣4a．
17．（8分）请你设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止转动时（如果指针正好停在分界线处可重新转动一次），要求指针落在黑色区域的概率为，任选取转盘中的扇形涂黑，使转盘1、转盘2分别满足上述要求且使涂黑后的转盘都构成轴对称图形．

【答案】见解析．
【分析】根据指针落在黑色区域的概率为，总共有10个扇形，利用概率公式得黑色扇形的个数，再利用轴对称图形的性质涂黑即可．
【解答】解：∵指针落在黑色区域的概率为，总共有10个扇形，
∴黑色扇形的个数为10×＝4（个），
如图所示：

18．（6分）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，则DE∥BC．下面是小慧同学的思考过程，请你在横线上填写理由、依据或者内容．
（1）∵∠1+∠2＝180°．∠1+∠DFE＝180°．
∴∠2＝∠DFE（ 　等量代换　）
∴AB∥EF
∴∠3＝∠ADE（ 　两直线平行，内错角相等　）
∵∠3＝∠B
∴∠B＝　∠ADE　
∴DE∥BC（ 　同位角相等，两直线平行　）
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，则∠ADC的度数 　72°　．

【答案】（1）等量代换；两直线平行，内错角相等；∠ADE；同位角相等，两直线平行．
（2）72°．
【分析】（1）由）∠1+∠2＝180°，∠1+∠DFE＝180°推出AB∥EF，得出∠3＝∠ADE继而得出∠ADE＝∠B得出答案；
（2）由DE平分∠ADC，得出∠ADE＝∠EDC，由DE∥BC得出∠ADE＝∠B，利用∠2＝3∠B，得出∠ADB＝5∠ADE＝180°，继而得出答案．
【解答】解：（1）∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠DFE＝180°，
∴∠2＝∠DFE（等量代换 ），
∴AB∥EF，
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝（∠ADE），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）；
故答案为：等量代换；两直线平行，内错角相等；∠ADE；同位角相等，两直线平行．
（2）∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠2＝3∠B，
∴∠2＝3∠ADE，
∵∠ADE+∠EDC+∠2＝180°，
∴∠ADE+∠ADE+3∠ADE＝180°，
∴∠ADE＝36°，
∴∠ADC＝2∠ADE＝72°，
故答案为：72°．
19．（8分）【回顾思考】数学课上，用尺规作角平分线，方法如下：
如图1，①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD　＝　OE．（填＞、＜、＝）
②分别以D、E为圆心，以 　大于　DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；（填“大于”“小于”或“等于”）
③作射线OC，则OC就是∠AOB的角平分线．通过 　A　可证明△OEC≌△ODC，从而∠EOC＝∠DOC，则OC就是∠AOB的角平分线．
A．SSS；
B．SAS；
C．AAS；
D．ASA．
【问题解决】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图2，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线，请说明其中的道理．

【答案】【回顾思考】①＝；②大于；③A；
【问题解决】OP平分∠AOB的理由见解答过程．
【分析】【回顾思考】根据角平分线的尺规作法填空即可；
【问题解决】证明△POM≌△PON，即可说明OP平分∠AOB．
【解答】解：【回顾思考】根据角平分线的作法可得：
①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE，
②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；
③作射线OC，则OC就是∠AOB的角平分线．通过SSS可证明△OEC≌△ODC，从而∠EOC＝∠DOC，则OC就是∠AOB的角平分线．
故答案为：①＝；②大于；③A；
【问题解决】如图：

根据题意得：PM＝PN，
在△POM和△PON中，
，
∴△POM≌△PON（SSS），
∴∠POM＝∠PON，
∴OP平分∠AOB．
20．（8分）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“差异数”．将一个“差异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．
例如：a＝12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12＝33，和与11的商为33÷11＝3，所以f（12）＝3．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：①下列两位数：30，33，34中，“差异数”为 　34　；
②计算：f（37）＝　10　；
（2）如果一个“差异数”b的十位数字是m，个位数字是（m+2），且f（b）＝12，求这个“差异数”的十位数字m．
【答案】（1）①34；
②10；
（2）5．
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）根据新定义列方程求解．
【解答】解：（1）①由“差异数”的定义得：34是“差异数”，30和33不是“差异数”，
故答案为：34；
②f（37）＝＝10；
（2）由题意得：12×11＝10m+m+2+10（m+2）+m，
解得：m＝5，
答：m的值为5．
21．（9分）2023年“一带一路”河南•郑州龙子湖高校赛艇挑战赛在郑州龙子湖丰合赛艇训练基地举行，甲、乙两队比赛时行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图所示，其中直线段表示甲队，折线段表示乙队，请你根据图象，回答下列问题：
（1）图象中的自变量是 　时间　，因变量是 　路程　；
（2）这次比赛的全程是 　500　米，　乙　队先到达终点；
（3）甲队和乙队到终点距离相等时，乙队的速度 　150　米/分钟；
（4）求乙队出发后到达终点前，两队到终点距离相等时，甲队行驶的路程．

【答案】（1）时间；路程；
（2）500；乙；
（3）150；
（4）125米．
【分析】（1）根据函数的定义解答即可；
（2）根据函数图象解答即可；
（3）根据“速度＝路程÷时间”计算即可；
（4）根据题意列方程求出相遇数据．即可求出甲队行驶的路程．
【解答】解：（1）图象中的自变量是时间，因变量是路程，
故答案为：时间；路程；
（2）这次比赛的全程是500米，乙队先到达终点；
故答案为：500；乙；
（3）甲队和乙队到终点距离相等时，乙队的速度：（500﹣50）÷（3.5﹣0.5）＝150（米/分钟），
故答案为：150；
（4）甲队的速度为：500÷4＝125（米/分钟），
设出发x小时后，两队相遇，则：
125x＝50+150（x﹣0.5），
解得x＝1，
故乙队出发后到达终点前，两队到终点距离相等时，甲队行驶的路程为125米．
22．（10分）请阅读下列材料，完成相应的任务，古希腊数学家海伦在研究中发现光在镜面反射中总是走最短路径．如图1，直线AB代表平面镜，点C代表一实物，点D代表眼睛，作实物C关于平面镜AB的对称点C′，连接C′D，交平面镜AB于点E，连接CE，则CE为入射光线，ED为反射光线，那么CE+DE最短．
（1）【数学理解】小智的思考过程如下，请你在横线上填写理由、依据或者内容．
如图1，在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点E′，连接DE′、CE′、C'E'，在△C′DE′中，
C′E′+DE′＞C′D（ 　三角形两边之和大于第三边　），
∵实物C与点C′关于平面镜AB对称，
∴AB垂直平分CC′，
∴CE＝　C'E　，CE′＝C′E′（ 　线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等　），
∵C′D＝C′E+DE，C′E′+DE′＞C′D，
∴CE′+DE′＞CE+DE．
（2）【迁移】小宇提出，如图2，A、B是直线l两旁的两个定点，在直线l上是否存在一点P，使PB﹣PA的值最大呢？请你运用上面小智的数学思考，找出点P的位置（保留作图痕迹），并说明理由．

【答案】（1）三角形两边之和大于第三边；C'E；线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等；
（2）作图及说明理由见解答．
【分析】（1）根据三角形三边关系推出C′E′+DE′＞C′D，然后根据C与点C′关于平面镜AB对称推出CE＝C'E，CE'＝C'E'，最后根据三角形两边之和大于第三边即可得证，写出推理过程后填空即可；
（2）作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'并延长，交直线l于点P，再根据三角形两边之和大于第三边即可得证．
【解答】解：（1）在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点E′，连接DE′、CE′、C'E'，在△C′DE′中，
C′E′+DE′＞C′D（三角形两边之和大于第三边），
∵实物C与点C′关于平面镜AB对称，
∴AB垂直平分CC′，
∴CE＝C'E，CE′＝C′E′（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等），
∵C′D＝C′E+DE，C′E′+DE′＞C′D，
∴CE′+DE′＞CE+DE．
故答案为：三角形两边之和大于第三边；C'E；线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等；
（2）如图2，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'并延长，交直线l于点P，则点P就是在直线l上使PB﹣PA的值最大的点P．

理由如下：在直线l上任意找与点P不重合的一点P′，连接BP′、AP′、A'P'，
在△A′BP′中，BP′﹣A′P′＜A′B（三角形两边之差大于第三边），
∵点A与点A′关于直线l对称，
∴直线l垂直平分AA′，
∴AP＝A'P，（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等），
∵PB＝PA＝PB﹣A′B＝A′B，BP′﹣A′P′＜A′B，
∴BP′﹣A′P′＜PB﹣A′B．
即PB﹣PA的值最大