第4讲 四边形（题型精讲）-中考数学一轮复习讲练测（全国通用版）

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第4讲 四边形（精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：平行四边形
角度1：平行四边形的判定
角度2：平行四边形的性质
角度3：平行四边形的判定与性质综合
角度4：三角形中位线
题型二：矩形
角度1：矩形的判定
角度2：矩形的性质
角度3：矩形的判定与性质综合
题型三：菱形
角度1：菱形的判定
角度2：菱形的性质
角度3：菱形的判定与性质综合
题型四：正方形
角度1：正方形的判定
角度2：正方形的性质
角度3：正方形的判定与性质综合
题型五：四边形综合
角度1：中点四边形
角度2：利用平行四边形对称性求阴影面积
角度3：平行四边形中动点问题
角度4：四边形综合问题
题型六：多边形问题
角度1：多边形内角和
角度2：多边形外角和
角度3：多边形对角线
角度4：平面镶嵌
第四部分：中考真题感悟


第一部分：知识点精准记忆
知识点一：平行四边形定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形记作“，读作“平行四边形”.

知识点二：平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；且；且；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；
5.平行四边形面积等于底和底边上的高的积



知识点三：平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
知识点四：矩形定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，记作：矩形

矩形与平行四边形的关系：矩形是特殊的平行四边形
知识点五：矩形的性质
① 矩形作为特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质：
对边平行且相等 ；对角相等，邻角互补 ；对角线互相平分
② 性质1：矩形的四个角都是直角
几何语言：
∵四边形是矩形
∴
③ 性质2：矩形对角线相等
几何语言：
∵四边形是矩形
∴
④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
知识点六：矩形的判定
判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（定义）
几何语言：
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形
判定2：有三个角是直角的四边形是矩形
符号语言：
在四边形中，
∴四边形是矩形

判定3：对角线相等的平行四边形是矩形．
符号语言：
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形．

知识点七：菱形定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
知识点八：菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.
知识点九：菱形判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
知识点十：正方形定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

知识点十一：正方形性质
1、正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。
2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
3、正方形对边平行且相等。
4、正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
5、正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
6、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
知识点十二：正方形的判定
1、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
2、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
3、有一组邻边相等的矩形是正方形
4、对角线互相垂直的矩形是正方形
5、有一个角是直角的菱形是正方形
6、对角线相等的菱形是正方形
知识点十三：多边形定义
在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
（1）相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

知识点十四：多边形性质
（1）多边形内角和
边形的内角和为()．
内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
（2）多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
①在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
②正边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；
③多边形的外角和为360°的作用是：已知各相等外角度数求多边形边数；已知多边形边数求各相等外角的度数．
（3）对角线
过变形一个顶点可引条对角线，变形共有条对角线
知识点十五：正多边形的性质
（1）边：正边形的各边相等
（2）内角：正边形的每个内角都相等，等于
（3）外角：正边形的每个外角都相等，等于
（4）对称轴：正边有条对称轴.
第二部分：课前自我评估测试
1．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知，那么的大小是（    ）

A． B． C． D．
2．（2022秋·河北保定·八年级校考期中）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设内角和的度数与四边形外角和的度数分别为，，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．无法比较与的大小
3．（2022春·广东江门·八年级校联考期中）下列说法错误的是（    ）
A．菱形的对角线互相垂直且平分 B．矩形的对角线相等
C．有一组邻边相等的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形
4．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ）

A．， B．，
C．， D．，
5．（2022秋·湖南株洲·九年级校考期末）下列说法正确的是（　　）
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B．矩形的对角线互相垂直平分
C．菱形的对角线平分一组对角 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
6．（2022秋·四川泸州·八年级统考期中）一个多边形的内角和等于，则它是________边形．
7．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形是__________．
8．（2022秋·山西朔州·八年级校考期末）如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，则_________．

第三部分：典型例题剖析
题型一：平行四边形
角度1：平行四边形的判定
典型例题
例题1．（2023春·福建厦门·八年级统考期末）如图，四边形的对角线，交于点，则添加下列条件，一定可使四边形ABCD成为平行四边形的是（  ）

A． B．，
C．平分 D．，
例题2．（2022秋·安徽合肥·八年级校联考阶段练习）下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A． ， B．，
C． D．
例题3．（2022秋·全国·八年级假期作业）已知、、三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例题4．（2022春·天津·八年级天津二中校考期中）如图,在平行四边形中,,,、相交于点,则图中共有__________个平行四边形.



例题5．（2022春·广东江门·八年级校考期中）已知：如图，在平行四边形中，点、在对角线上，且，，
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．




例题6．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，四边形是矩形，连接交于点，的平分线交于点．

(1)尺规作图：作的角平分线交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：四边形是平行四边形．
证明：∵四边形是矩形
∴，
∴　 　
∵平分，平分
∴
∴　 　
∵在和中

∴　 　
∴　 　
又∵
∴四边形是平行四边形
例题7．（2022秋·重庆·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，在矩形中，是上一点，连接．
(1)用尺规完成以下基本作图：在矩形内部作交于点（不写作法和证明，保留作图痕迹）．
(2)在（1）所作的图形中，求证：四边形是平行四边形（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）．
（2）证明：
∵四边形为矩形
∴，， ①
∵
∴ ②
∴，
∴ ③
即 ④
又∵
∴四边形是平行四边形．














例题8．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）在四边形中，对角线交于点O， ，，点是中点，点F是中点，连接．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长分别交边于点、，连接并延长交于点，连接并延长交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中所有的平行四边形．









角度2：平行四边形的性质
典型例题
例题1．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（　　）

A． B． C． D．
例题2．（2022春·山东临沂·八年级校考期末）如图，是面积为的内任意一点，的面积为，的面积为，则（    ）

A． B．
C． D．的大小与点位置有关
例题3．（2022秋·湖北襄阳·九年级校考阶段练习）如图，中，连接，是上一点，连接并延长交于，交延长线于点，若，则________．

例题4．（2022春·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期末）如图，中，，，平分交于点，则的长为________ ．

例题5．（2022春·八年级课时练习）如图，的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，，求证：．






例题6．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，

(1)若点、是、的中点，连接、，求证：；
(2)若平分且交边于点，如果，，试求线段的长．







例题7．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在中，已知，点在上以的速度从点向点运动，点在上以的速度从点出发往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），设运动时间为（s）．

(1)当点运动秒时，线段的长度为 ________cm ；
当点运动2秒时，线段的长度为 ________cm ；
当点运动5秒时，线段的长度为 ________cm；
(2)若经过秒，以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有的值






角度3：平行四边形的判定与性质综合
典型例题
例题1．（2022春·贵州黔东南·八年级校考期中）如图，在中，，、分别是、的中点，在延长线上，使，，，则四边形的周长为（    ）

A．16 B．20 C．18 D．22
例题2．（2022春·浙江杭州·八年级校考期末）如图，在平行四边形中，已知，，，，分别是线段，的中点，则的长为______ ．


例题3．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且四边形为正方形．

(1)求证：；
(2)若平行四边形的面积为，，直接写出线段的长为 ___________．






例题4．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，在菱形中，、交于点，，．

(1)求证：；
(2)不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的平行四边形．






例题5．（2022秋·广东广州·八年级统考期末）如图，在四边形中，点是延长线上一点，过点的直线分别交，，交于点，，，交的延长线于点，且，．

(1)若，求证：平分；
(2)若，在不添加任何辅助线的条件下，你能找出图中有几对三角形全等，分别是哪些？请写出其中一对三角形全等的理由．








例题6．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图在平行四边形中，为对角线 的中点，过点的直线 分别交，于点，．

(1)求证：；
(2)从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形的形状，并证明你的结论．①，②．
选择的条件：_________（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）

角度4：三角形中位线
典型例题
例题1．（2022秋·广东深圳·九年级校联考期末）如图，矩形的对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
例题2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为，则四边形的面积为（　　）

A． B．1 C． D．2
例题3．（2022春·河北保定·八年级统考期末）如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取，的中点，，测得，两点间的距离为30m，则，两点间的距离为______m，解决问题的依据是_______．

例题4．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，点是上一点，，过点作，分别交于点，交于点.

(1)求证：；
(2)如果，求证：.



例题5．（2022春·八年级课时练习）要测量，两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点，得到线段，，并取，的中点，，连结．只要测出的长，就可以求得，两地的距离．你认为这个方法正确吗？请说明理由．




题型一同类题型归类练
1．（2022秋·浙江温州·九年级统考期中）如图，点P是的重心，过点P作交，于D，E，交于点F，若，则的长为（　　）

A． B． C． D．
2．（2022秋·吉林长春·九年级长春外国语学校校考期末）已知点是直线外一点，数学兴趣小组的同学用了4种不同的尺规作图方法想过点作直线的平行线，根据尺规作图痕迹，直线不一定与直线平行的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，在平行四边形中，于E，于F，，平行四边形的周长为60，则平行四边形的面积是（    ）

A．36 B．48 C．63 D．75
4．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，平行四边形中，，，垂足分别是、，，，，则平行四边形的周长为______．

5．（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图，在中，，D、E分别为、的中点，，过点B作，交的延长线于点F，则四边形的面积为 _____．

6．（2022春·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是______．

7．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交于点，若，，，则图中阴影部分的面积是__________．

8．（2022·模拟预测）如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长是______．


9．（2022·江苏扬州·校考二模）如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________．


题型二：矩形
角度1：矩形的判定
典型例题
例题1．（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）如图，四边形是平行四边形，点在的延长线上，且，，、相交于点，连接．求证：四边形是矩形．

例题2．（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第一二六中学校联考期中）如图，将平行四边形的边延长至点，使，连接交于点，连接，若．求证：四边形是矩形．

例题3．（2022秋·陕西汉中·九年级统考期末）如图，的对角线交于点，点在边的延长线上，连接，且，．求证：四边形是矩形．



例题4．（2022春·八年级课时练习）已知：如图，将矩形纸的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形．

(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，求边的长．



例题5．（2022春·八年级课时练习）已知：如图，，，在同一条直线上，，分别是与的平分线，，，为垂足．求证：四边形是矩形．



例题6．（2022春·八年级课时练习）已知：如图，在正方形中，是对角线上的一点，，，，分别为垂足，连结，，求证：．



角度2：矩形的性质
典型例题
例题1．（2022秋·安徽宣城·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，于点，设，且，，则的长为（   ）

A． B． C． D．
例题2．（2022秋·山西晋中·九年级校考阶段练习）如图，矩形的周长为28cm，对角线，将矩形分成四个小三角形，若四个小三角形的周长和为68cm，的长度为（    ）

A．10cm B．14cm C．16cm D．无法确定
例题3．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处．若，则等于（　　）

A． B． C． D．
例题4．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市长郡双语实验中学校考阶段练习）如图，矩形的边在的边上，两点、分别在边、上，已知cm， cm，cm，那么的面积是_______．

例题5．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则折痕的长为_____．

例题6．（2022秋·湖南常德·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿边向点以的速度运动，同时，点从点出发沿边向点以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．问点运动开始后第几秒时，的面积等于？

例题7．（2022秋·陕西西安·九年级交大附中分校校考阶段练习）如图，已知、是矩形的对角线，过点作，交的延长线于．求证：．

例题8．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，点和点分别从点和点同时出发，点沿折线按点方向向终点运动，点沿线段按方向向终点运动，点和点的运动速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为（秒）．

(1)当点F运动到的中点时，求的长；
(2)当的面积是矩形面积的时，请直接写出t的值；
(3)若点不与点和点重合，在点和点的运动过程中，矩形的边上有一点，且点，，，构成的四边形是平行四边形，请直接写出线段的长．





角度3：矩形的判定与性质综合
典型例题
例题1．（2022秋·广东深圳·九年级校考期中）如图，已知在矩形中，，为对角线上的一动点，于点，于点接，连接．若，则的最小值为（    ）．

A． B． C． D．
例题2．（2022秋·广东揭阳·九年级统考期中）如图，在矩形中，，分别是，的中点，若，，则的长是______．





例题3．（2022秋·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线交于点，点为的中点，于点，点为上一点，连接，且．

(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求矩形的面积．




例题4．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，在中，，点是边的中点，连接，分别过点，作，交于点，连接，交于点．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，则的长为___________．

题型二同类题型归类练
1．（2022秋·山西吕梁·九年级校考期中）如图，某公司准备在一个等腰直角三角形的绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点P在上点N，M分别在，上，记，，图中阴影部分的面积为S，若在一定范围内变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（   ）

A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
2．（2022秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在中，，M为的中点，H为上一点，过点C作，交的延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是（    ）

A．28 B．26 C．22 D．18
3．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图，在长方形中，，，点E是边上一点，且，点P是边上一动点，连接，，则下列结论：
① ；
②当时，平分；
③连接，周长的最小值为；
④当或6或时，为等腰三角形．
其中正确的个数有                                      （        ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）如图，△ABC中，，AD为BC上的高线，E为AB边上一点，于点F，交CA的延长线于点G，已知，则AD的长为_______．

5．（2022秋·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期末）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为______．

6．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考阶段练习）如图，四边形是平行四边形，过点作于点，点在边上，，连接，．

(1)求证：四边形是矩形．
(2)若是的平分线．若 ，，求的长．

7．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）在矩形中，是对角线于点，于点．
(1)如图1，求证；

(2)如图2，当时，连接、、、交于点，在不添加任何轴助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形面积的．




题型三：菱形
角度1：菱形的判定
典型例题
例题1．（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形一定是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形
例题2．（2022秋·山东青岛·九年级青岛三十九中校考期末）下列命题中，真命题是（    ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
例题3．（2022秋·湖北黄石·八年级校考阶段练习）如图，，是正方形对角线上的两点，且，连接，，，，求证：四边形是菱形．

例题4．（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）如图，在中，是对角线，且，、分别为边的中点，连接．求证：四边形是菱形．

例题5．（2022秋·山西晋中·九年级统考期末）如图，已知平行四边形中，延长至点，使，连接和．

(1)求证：
(2)请你给图中补充适当的条件，使四边形成为菱形；请结合补充条件证明；




例题6．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点．

(1)求证：；
(2)连接，，已知_______（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件①：；
条件②：．


角度2：菱形的性质
典型例题
例题1．（2022春·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，在菱形中，是的中点，，交于点，则等于（    ）

A．30° B．45° C．60° D．120°
例题2．（2022秋·广东深圳·九年级期末）如图，菱形中，,分别是，的中点．若菱形的周长为32，则线段的长为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．12
例题3．（2022秋·江西九江·九年级统考期末）如图，在菱形中，交对角线于点，若，，则________．

例题4．（2022秋·陕西西安·九年级交大附中分校校考期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为12，则的长为_________．

例题5．（2022春·山东泰安·八年级校考阶段练习）如图，是菱形的对角线的交点，，分别是，的中点．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④是轴对称图形．其中正确的结论有______．

例题6．（2022秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，在菱形中，于点，，，求菱形的边长．





例题7．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期末）如图，已知四边形是菱形，且于点，于点．

(1)求证：；
(2)若，，求菱形的面积．


角度3：菱形的判定与性质综合
典型例题
例题1．（2022春·河北保定·八年级统考期末）如图，在的两边上分别截取，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接．若，四边形的面积为则的长为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5
例题2．（2022春·四川成都·九年级成都市第二十中学校校考阶段练习）如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作，延长线的垂线，垂足分别为点，若，，则的值为______．

例题3．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在给定的一张平行四边形纸片上，用尺规作出四边形，具体作法如下：分别作的平分线，分别交于，连接，若，则四边形的周长是______．



例题4．（2022秋·山东菏泽·九年级统考期中）已知矩形中，对角线与相交于点．分别过点、作、的平行线交于点．

(1)求证：四边形为菱形．
(2)若，，求菱形的面积．





例题5．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习）如图，在矩形中，对角线交于点，分别过点作，的平行线交于点，连接交于点．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．







例题6．（2022秋·陕西咸阳·九年级校联考期中）如图，在四边形中，，是的中点，，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点作于点F，若，，求的长．



题型三同类题型归类练
1．（2022春·河北保定·八年级统考期末）如图，在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为则的长为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022春·四川成都·九年级成都市第二十中学校校考阶段练习）如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作，延长线的垂线，垂足分别为点，若，，则的值为______．

3．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在给定的一张平行四边形纸片上，用尺规作出四边形，具体作法如下：分别作的平分线，分别交于，连接，若，则四边形的周长是______．

4．（2022秋·山东菏泽·九年级统考期中）已知矩形中，对角线与相交于点．分别过点、作、的平行线交于点．

(1)求证：四边形为菱形．
(2)若，，求菱形的面积．




5．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习）如图，在矩形中，对角线交于点，分别过点作，的平行线交于点，连接交于点．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．




6．（2022秋·陕西咸阳·九年级校联考期中）如图，在四边形中，，E是的中点，，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点E作于点F，若，，求的长．



7．（2022春·八年级课时练习）如图，四边形和四边形都是菱形，点E，F在上已知，，求：

(1)的度数．
(2)的度数．




8．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）如图，在四边形中，对角线相交于点，，，点是延长线上一点，连接，，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的面积．









题型四：正方形
角度1：正方形的判定
典型例题
例题1．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）下列说法错误的是（    ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线垂互相平分且垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
例题2．（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是　　

A． B． C． D．
例题3．（2022秋·山东菏泽·九年级统考期中）如图，在矩形中，点，分别在边上，，且，与相交于点．求证：矩形为正方形；



例题4．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、．

(1)求证：；
(2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？请说明你的理由；
(3)若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．


例题5．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在四边形中，，，，点，分别是，的中点．

(1)求证：
(2)求证：四边形是菱形
(3)给三角形添加一个条件_________，使得四边形是正方形，并证明你的结论．



角度2：正方形的性质
典型例题
例题1．（2022秋·广东江门·九年级新会陈经纶中学校考期中）如图，点是正方形内一点，把绕点旋转至的位置，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
例题2．（2022秋·河南南阳·八年级校考期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则（    ）

A．135° B．125° C．120° D．90°
例题3．（2022秋·全国·九年级期末）如图，正方形的边长为6，点，分别在上，，连接与相交于点，连接，取的中点，连接，则的长为（    ）

A． B． C．5 D．
例题4．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，是的黄金分割点，，以为边的正方形的面积为，以、为边的长方形的面积为，则与的关系为（　　）

A． B． C． D．无法判断
例题5．（2022秋·河南安阳·九年级统考期中）如图，在中，，点在线段上，过点作于点，于点F，若四边形为正方形，，，则阴影部分的面积为________．（提示：线段可看作由绕点顺时针旋转得到）

例题6．（2022秋·河南商丘·九年级校联考阶段练习）如图，四边形是正方形，、分别在边上，将分别沿折叠后，重合于的位置，且点恰好在连线上．若正方形边长为12，线段长为10，则的长为 _____．

例题7．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，边长为6cm的正方形先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2

例题8．（2022秋·重庆九龙坡·九年级重庆市杨家坪中学校考期末）如图，在正方形中，点在上，连接．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，分别与、交于点、；（不写作法和证明，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证：．（请补全下面的证明过程）

证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
__________，
__________，
又，
____________________，
在和中：
（____________________），
．
．

角度3：正方形的判定与性质综合
典型例题
例题1．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ）

A． B． C． D．
例题2．（2022秋·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）如图，点，分别在正方形的边，上，E为中点，连接，正方形的边恰好在上，若正方形边长为7，则正方形面积为__________．

例题3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）已知正方形的边长为8，点为正方形边上一点，，则线段的长为______．
例题4．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在正方形中，，分别是的中点．若，则的长是____．



例题5．（2022秋·全国·九年级期末）如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接．

(1)求证：矩形是正方形；
(2)求的值；
(3)若恰为的中点，求正方形的面积．







例题6．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以为邻边作矩形，连接．

(1)求证：矩形是正方形；
(2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．






题型四同类题型归类练
1．（2022春·山东德州·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG．下列结论：①CE=DF；②CE⊥DF；③∠AGE=∠CDF；④AD=AG．其中正确的结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022秋·安徽宿州·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．
3．（2022春·江苏·九年级专题练习）我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数的矩形叫做黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，点E在边BC上，将这个矩形沿直线AE折叠，使点B落在边AD上的点F处，那么EF与CE的比值等于________．

4．（2022·北京海淀·八年级校考期中）如图，点E是正方形ABCD内一动点，满足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F．

(1)依题意补全图形；
(2)用等式表示线段EF，DF，BE之间的数量关系，并证明．




5．（2022春·安徽六安·八年级统考期末）已知：在正方形ABCD中，点E、F、G分别在BC、AB和CD上．FG⊥ED，垂足为H．

(1)如图1，点G与点C重合，求证FG=ED；
(2)如图2，点G与点C不重合，延长FG交BC的延长线于点M，若H为FM的中点，求证：AF=CM；
(3)在（2）的条件下，若AF=1、BF=2，求BE的长；


6．（2022春·浙江杭州·八年级校联考期中）已知：如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，，相交于点P，并且．

(1)如图1，判断和的位置关系？并说明理由；
(2)若，，求的长度；
(3)如图2，，，点F在线段上运动时(点F不与C、D重合)，四边形是否能否成为正方形？请说明理由．

题型五：四边形综合
角度1：中点四边形
典型例题
例题1．（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）顺次连接正方形四边中点得到的四边形是（    ）
A．正方形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形
例题2．（2022春·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在矩形中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形若，，则四边形的周长等于（    ）

A． B． C． D．
例题3．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图所示，顺次连接四边形各边中点得到四边形，使四边形为正方形，应添加的条件分别是（    ）

A．且 B．且
C．且 D．且
例题4．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，四边形中，对角线，且，，各边中点分别为，，，，顺次连接得到四边形；再取各边中点，，，，顺次连接得到四边形；依此类推，这样得到四边形，则四边形的面积为____．

角度2：利用平行四边形对称性求阴影面积
典型例题
例题1．（2022秋·陕西渭南·九年级校考期末）如图，在矩形中，，，点，，，依次是边，，，上的点（不与各顶点重合），且，记四边形面积为（图中阴影），则的最大值为_________．

例题2．（2022秋·九年级单元测试）如图，点是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于、、、，则当绕点旋转时，图中的阴影部分是否关于点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由．











角度3：平行四边形中动点问题
典型例题
例题1．（2022秋·山东东营·八年级东营市东营区实验中学校考期末）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发以的速度沿运动，点从点出发的同时点从点出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动．设点，运动的时间为．

(1)从运动开始，当取何值时，四边形是平行四边形？
(2)在运动过程中，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出时间的值；若不存在，说明理由．




例题2．（2022春·吉林长春·八年级统考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．

(1)线段的长为________．
(2)用含的代数式表示线段的长．
(3)求当为何值时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？
(4)直接写出以线段为腰，为等腰三角形时的值．


角度4：四边形综合问题
典型例题
例题1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）1.如图，在矩形中，，点从以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时，点从点以每秒1个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，，停止运动．设运动时间为秒，则当四边形为矩形时，的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
例题2．（2023秋·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（   ）

A． B． C． D．
例题3．（2023秋·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考开学考试）如图，点，，，分别为四边形四条边，,，的中点，则关于四边形，下列说法正确的是（    ）

A．不一定是平行四边形 B．当时，它为菱形
C．一定是轴对称图形 D．不一定是中心对称图形






例题4．（2023·四川·九年级专题练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．

例题5．（2022秋·浙江·八年级专题练习）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，．分别是上的点，且，请探究图中线段之间的数量关系是什么？
小明探究此问题的方法是：延长到点，使，连结．先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段之间的数量关系是　   　．
（2）拓展应用：如图2，在四边形中，，．分别是上的点，且．问（1）中的线段之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．






题型五同类题型归类练
1．（2022春·四川成都·八年级校考期末）顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是(    )
A．平行四边形 B．对角线相等的四边形
C．矩形 D．对角线互相垂直的四边
2．（2022秋·福建漳州·九年级校联考期中）依次连接下列四边形四条边的中点得到四边形不是菱形的是（    ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
3．（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）如图 ，在平行四边形中 ， ， ， ， 点、分别是边、上的动点．连接、 ，点为的中点 ，点为的中点 ，连接．则的最大值与最小值的差为（       ）

A．2 B． C． D．
4．（2022春·江西赣州·八年级统考期末）如图，在菱形中，，，、分别为、的中点，是上的一个动点，则的最小值是（    ）

A．3 B． C．4 D．
5．（2022·江苏泰州·校联考三模）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，每秒个单位长度的速度沿方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P，Q两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．在运动过程中，若将沿翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，则运动时间t的值为______．


6．（2022春·重庆大足·八年级统考期末）在正方形中，，点E、F分别为上一点，且，连接，则的最小值是________________．

7．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

【问题探究】
(1)如图①，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形___________（填“一定”或“不一定”）是正方形；
(2)如图②，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；此时，四边形的周长的最小值为___________；
【尝试应用】
(3)现有一个平行四边形材料，如图③，在中，，，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值___________．









8．（2022秋·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，点P到达点D后停止，点Q到达点B后停止．设运动时间为t秒．

(1)当时，t的值为______．
(2)当时，求t的值．
(3)在点P和点Q的运动过程中是否存在，你的判断是______（填“存在”或“不存在”）．



题型六：多边形问题
角度1：多边形内角和
典型例题
例题1．（2023秋·山西忻州·八年级忻州师范学院附属外国语中学校考阶段练习）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
例题2．（2023秋·广东潮州·八年级校考阶段练习）正多边形的一个内角等于，则该多边形是正（    ）边形．
A． B． C． D．
例题3．（2023秋·广东潮州·八年级校考阶段练习）如图，中，，若沿图中虚线截去，则______.

例题4．（2023秋·广东广州·八年级广东华侨中学校考期末）一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的内角和是_________________．
角度2：多边形外角和
典型例题
例题1．（2023秋·河北唐山·八年级唐山市第十二中学校考期末）一个多边形的内角和等于它外角和的倍，这个多边形是（    ）边形．
A．15 B．16 C．17 D．18
例题2．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，七边形中，，的延长线相交于点，若 ， ， ， 的外角的度数和为，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
例题3．（2022·江苏·九年级假期作业）一个正多边形的周长为60，边长为，一个外角为．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．

角度3：多边形对角线
典型例题
例题1．（2023春·七年级单元测试）若过一个多边形的一个顶点将多边形分割成个三角形，则该多边形的边数为（    ）
A．9 B．8 C．7 D．6
例题2．（2023春·七年级单元测试）若从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，则的值是（   ）
A． B． C． D．
例题3．（2022秋·山东德州·八年级统考期中）（1）一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，求这个多边形的边数．
（2）此时该多边形的对角线共有多少条？




例题4．（2022秋·七年级课时练习）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过点可以做1条对角线；同样，经过点可以做1条对角线；经过点可以做1条对角线；经过点可以做1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有________条对角线；
（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有________条对角线；图3共有________条对角线；
（3）探索归纳：对于边形（），共有________条对角线；（用含的式子表示）
（4）特例验证：十边形有________对角线．



角度4：平面镶嵌
典型例题
例题1．（2022秋·山东临沂·八年级统考期中）如图是某小区花园内用正边形铺设的小路的局部示意图，若用3块正边形围成的中间区域是一个小正三角形，则（   ）

A．12 B．10 C．8 D．6
例题2．（2022·全国·八年级专题练习）一个正方形水池的四周恰好被4个完全相同的正边形地砖铺满，其部分示意图如图所示，则n的值为（　　　）

A．6 B．8
C．10 D．12
例题3．（2023·河北·九年级专题练习）如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮廓的周长为______；若个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是 ______．

例题4．（2022春·安徽合肥·八年级统考期末）我们知道，正五边形不能进行平面镶嵌．如图，将三个全等的正五边形拼接在一起，则度数是______．

题型六同类题型归类练
1．（2023·四川·九年级专题练习）如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，的度数是（     ）

A．72° B．36° C．74° D．88°
2．（2023·河北·九年级专题练习）若过多边形的一个顶点作一条直线，把这个多边形截掉两个角，它的内角和变为1260°，则这个多边形原来的边数为（    ）
A．12 B．10 C．11 D．10或11
3．（2023秋·广东汕头·八年级汕头市翠英中学校考期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（    ）

A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2 C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2（∠1＋∠2）

4．（2023秋·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期末）如果一个多边形的内角和是1800度，它是______边形．
5．（2023秋·河北唐山·八年级唐山市第九中学校考期末）已知，正多边形的一个外角是30°，则这个正多边形是（    ）
A．六边形 B．九边形 C．十边形 D．十二边形
6．（2022秋·云南昭通·八年级统考期中）如图，七边形中，，的延长线交于点O，若，，，的和等于，则的度数为______．

7．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）已知一个n边形的各内角都等于，则这个n边形的对角线的总条数为（    ）．
A．9 B．54 C．12 D．60
8．（2022春·河南驻马店·七年级统考阶段练习）在正边形中，每个内角与每个外角的度数之比为．
(1)求的值．
(2)利用（1）中求出的的值填空：正边形每个顶点可引出的对角线的条数为______，正边形对角线的总条数为______．
9．（2022秋·重庆巴南·八年级校考期中）若一个边形的内角和比它的外角和的3倍多．
(1)求的值；
(2)在（1）条件下，求正边形的一个内角度数及对角线条数．




10．（2022秋·山东济宁·八年级统考阶段练习）一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形共有对角线的条数．






11．（2022春·吉林长春·七年级长春市解放大路学校校考期末）我们知道用正五边形不能铺满地面，若将三个相同的正五边形按如图所示拼接在一起，那么图中的的度数是______．

12．（2022·福建·模拟预测）如图是某小区花园内用同一种正多边形和正方形地砖铺设的小路的局部示意图，四块正多边形地砖围成的中间区域使用一块正方形地砖，则正多边形的内角和为___________．

13．（2022春·河北保定·八年级统考期末）定义：如果几个全等的正边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形，那么我们称作正边形的环状连接．如图1，我们可以看作正八边形的环状连接，中间围成一个正方形．

（1）若正六边形作环状连接，如图2，中间可以围成的正多边形的边数为______；
（2）若边长为的正边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为_____．（用含的代数式表示）


第四部分：中考真题感悟
1．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，，，则（    ）

A．4 B． C．2 D．
2．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（    ）

A． B． C． D．
3．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，以的三边为边在上方分别作等边、、．且点A在内部．给出以下结论：
①四边形是平行四边形；
②当时，四边形是矩形；
③当时，四边形是菱形；
④当，且时，四边形是正方形．
其中正确结论有__________（填上所有正确结论的序号）．

4．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为_________．





5．（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N．若DM＝5，CM＝3，则MN＝_____．

6．（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 _____．

7．（2022·宁夏·中考真题）如图，四边形中，ABDC，，于点．

(1)用尺规作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接．求证：四边形是菱形．