北师大数学 九上 第一章 特殊平行四边形测试提升卷B卷 （困难）

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北师大版 数学就是第一章特殊平行四边形 测试提升卷 B卷
一． 选择题（共30分）
1．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（    ）

A．2 B．1 C． D．
答案B
【分析】如图，取的中点O，连接，，，根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据勾股定理求出，根据两点之间线段最短得到即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点O，连接，，，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴PC的最小值为1，
故选：B．
2．顺次连接等腰梯形（等腰梯形的两条对角线相等）各边中点所得的四边形是（    ）．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
答案 ．C
【分析】由三角形中位线定理得出，，，，同理：，因此且，即可得四边形是平行四边形，由，可得，证得四边形是菱形．
【详解】解：如图所示，是等腰梯形，E，F，G，H是四边形四边的中点，连接，，

∵E，F，G，H是四边形四边的中点，
∴，，，，同理：，
∴且，
∴四边形是平行四边形．
∵等腰梯形的两条对角线相等，即，
∴，
∴四边形是菱形．
故选：C．

3．下列说法正确的是（    ）
A．有一个直角的四边形是矩形 B．一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是正方形 D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
答案D
【分析】由平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定可依次判断即可．
【详解】∵有一个直角的平行四边形是矩形，
∴A选项错误；
∵有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴B选项错误；
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴C选项错误；
∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴D选项正确.
故选D．

4．如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上一点，将沿直线折叠，得到，连接，．若四边形是菱形，则的长为（    ）．

A．1 B． C．2 D．

答案．A
【分析】利用直角三角形中特殊的角度及勾股定理求出边长，再利用点是边的中点及菱形的性质算出菱形对角线的长度，最后通过等量代换求解可得．
【详解】解：在直角三角形中，，，，
，
，
又是边的中点，
，
又四边形是菱形，
设交于点，
，
将沿直线折叠，得到，
，
在中，
，
由折叠知：
，
，
故选：A．

5.如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C'，若∠ADC'＝20°，则∠BDC的度数为（　　）

A．55° B．50° C．60° D．65°
【解答】解：由折叠的性质，得∠BDC＝∠BDC′，
则∠ADB＝∠BDC′﹣∠ADC′＝∠BDC﹣20°，
∵∠ADB+∠BDC＝90°，∴∠BDC﹣20°+∠BDC＝90°，
解得∠BDC＝55°．故选：A．

6.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　）

A．逐渐增加 B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等 D．保持不变且与AB的长度相等
【解答】解：连接BD，

∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD，
∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°，
∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD＝60°，∴∠A＝∠CDB，
∵∠EBF＝60°，∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF，∴∠ABE＝∠DBF，
在△ABE和△DBF中，
，
∴△ABE≌△DBF（ASA），∴AE＝DF，∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB，故选：D．
7．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF＝AE+FC，则边BC的长为（　　）

A．2 B．3 C．6 D．
答案．B
【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°，AB＝BO＝3，因为四边形BEDF是菱形，所以BE，AE可求出进而可求出BC的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，即BA⊥BF，
∵四边形BEDF是菱形，
∴EF⊥BD，∠EBO＝∠DBF，
∵EF＝AE+FC，AE＝CF，EO＝FO
∴AE＝EO＝CF＝FO，
∴，
∴AB＝BO＝3，∠ABE＝∠EBO，
∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°，
设OE＝x，则BE＝2x，
根据勾股定理得，4x2﹣x2＝32，解得，x＝，
∴BE＝2，
∴BF＝BE＝2，
∴CF＝AE＝，
∴BC＝BF+CF＝3，
故选：B．
8．如图，在直角三角形ABC中，，，，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（    ）

A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
答案．A
【分析】先由勾股定理求出，再证四边形CEMF是矩形，得，当时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出，即可得出答案．
【详解】解：连接CM，如图所示：

∵，，，
∴，
∵，，，
∴四边形CEMF是矩形，
∴，
∵点P是EF的中点，
∴，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵，
∴，
∴，
故选：A．

9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，若CD=2，∠BOC=120°，则AE的长是（    ）

A． B． C．2 D．
答案 B
【分析】由矩形的性质得OA=OB=OD，易求∠AOB=60°，则△AOB为等边三角形，由AE⊥BD，得出BE=OE=OB=1，在Rt△BEA中，利用勾股定理即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OD，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOB=180°-120°=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∵CD=2，
∴AB=CD=OB=2，
∵AE⊥BD，
∴BE=OE=OB=1，
在Rt△BEA中，，
∴AE=，
故选：B．

10．如图，在正方形中，点，分别在，上，且，点，分别为，的中点，为上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（    ）

A． B． C． D．
答案．D
【分析】连接EC，当点E、P、C在同一直线时，由对称可得等腰△BPC，所以BP=PC．最小值是EC，依据△BEC≌△ADF可得AF=EC，即最小值是AF．
【详解】如图，连接EC．

由对称性可知，等腰△BPC
∴BP=PC
∴=PC+EP
∴当点E、P、C在同一直线时，的值最小
∵正方形ABCD
∴AD=BC，∠D=∠ABC
∵
∴△BEC≌△ADF
∴AF=EC
∴=PC+EP=EC=AF
故选：D

二．填空题（共24分）
11.如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为时，它移动的距离等于 ．
  
答案或
【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设，根据题意阴影部分的面积为，解方程即可求解．
【详解】设，与相交于点，
∵是正方形剪开得到的，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，
∵两个三角形重叠部分的面积为，
∴，
解得，
即移动的距离为或．
  
故答案为：或．

12．如图，长方形中，，． 为边 上的一个动点，将 沿 折叠，使点落在处．
题：当时，的长为 ．
题：当为直角三角形时的长为 ．

答案． 或者1
【分析】A题：设，则，根据矩形折叠性质易得 三点共线，由勾股定理求出的长度，在中利用勾股定理可解得x的值，即可得到的长度；
B题：找出直角三角形，再根据勾股定理分情况求解即可．
【详解】解：题：设，则，

由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ 三点共线，
根据勾股定理得，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
题：当，；
当 ，如图所示

恰好落在上， ，则，
故答案为：；或1．

13．如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O，过O点作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于 ．

答案．5
【详解】试题分析：∵正方形ABCD中，OB=OC，∠BOC=∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC，在△BOE和△COF中，∠OCB=∠OBE45°，OB=OC，∠EOB=∠FOC，∴△BOE≌△COF（ASA）∴BF=AE=4，同理BE=CF=3，在Rt△BEF中，BF=4，BE=3，∴EF=5．故答案为5．

14.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在AB上（不与A，B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E，F，连接EF，M为EF的中点，则CM的最小值为 　1 　．

【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC2+BC2＝25＝AB2，
∴△ABC是直角三角形且∠ACB＝90°，
又∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形CEPF是矩形，
如图，连接CP，则CP＝EF，

∵M为EF的中点，∠ECF＝90°，∴Rt△CEF中，CM＝EF，∴CM＝CP，
如图，当CP⊥AB时，CP最短，此时，×AC×BC＝×AB×CP，
∴CP＝＝，∴CM＝CP＝1.2，即CM的最小值为1.2．

15．如图，点是、的斜边的中点，，，那么的度数是

答案．
【分析】先根据是等腰直角三角形计算，进而利用外角性质计算等腰的外角的度数，再利用外角性质计算等腰的外角的度数，最后利用三角形内角和定理即可计算．
【详解】∵在中
∴
∵点是、的斜边的中点
∴
∴，，
∵是外角，是外角
∴，
∴在中，
故答案为：．

16.如图，正方形纸片ABCD的边长为6，G是BC的中点，沿着AG折叠该纸片，得点B的对应点为点F，延长GF交DC于点E，则线段DE的长为 　 　．

【解答】解：如图，连接AE，

∵正方形纸片ABCD的边长为6，G是BC的中点，∴BG＝GC＝3，
∵折叠，∴AF＝BA，∠ABC＝∠AFG＝90°，BG＝GF＝3，∴AD＝AF，
在Rt△AEF和Rt△AED中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△AED（HL），∴DE＝EF，
∵GE2＝EC2+GC2，∴（3+DE）2＝（6﹣DE）2+9，
∴DE＝2，故答案为：2．

二． 解答题（共46分）
17.（8分）如图，▱ABCD的两条对角线相交于点O，且AB＝，AO＝2，OB＝1.
(1)求证：▱ABCD是菱形；
(2)求▱ABCD的面积.

解：(1)∵AB＝，AO＝2，OB＝1，∴AB2＝AO2＋OB2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形.
(2)S▱ABCD＝AC·BD＝4.


18.（8分)如图，C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形.
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形.

答案. 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC. ∵C是BE的中点，∴BC＝CE，∴AD＝CE. ∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC. ∵AB＝AE，∴DC＝AE. ∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形.

19.（10分）如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′.
(1)若点C′刚好落在对角线BD上时，求BC′和CE的长；
(2)当B C′//DE时，求CE的长；
(3)若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，请直接写出CE的长______________．
答案】解：(1)如图1，由折叠可得DC′=DC=6，C′E=CE，∠DC′E=∠C=90∘，

∵点C′在BD上
∴BC′=BD−DC′，∠BC′E=90∘
∵AB=6，BC=8，∠C=90∘
∴BD=AB2+BC2=10                  
∴BC′=BD−DC′=10−6=4(cm)       
设CE=x，则C′E=CE=x，BE=8−x
在Rt△BC′E中，∵∠BC′E=90∘
∴BC′2+C′E2=BE2
∴42+x2=(8−x)2                          
解得：x=3，即CE=3cm；
(2)解：如图2，由折叠得，∠CED=∠C′ED，

∵BC′//DE，
∴∠EC′B=∠C′ED，∠CED=∠C′BE，
∴∠EC′B=∠C′BE，
∴BE=C′E=EC=4；
(3)9±35．

20.（10分）．在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G．
（1）如图1，求证：AE⊥BF；
（2）如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB＝4，求QF的值

【解答】（1）证明：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF；
（2）解：∵将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，∴FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°，
∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，
设QF＝x，PB＝BC＝AB＝4，CF＝PF＝2，∴QB＝x，PQ＝x﹣2，
在Rt△BPQ中，∴x2＝（x﹣2）2+42，解得：x＝5，即QF＝5．




21.（10分）．已知菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝12，点E，F分别在边AD，AB上，将△AEF沿着直线EF折叠，使得点A落在G点．

（1）如图1，若点G恰好落在AC上，且CG＝3，求DE的长；
（2）如图2，若点G恰好落在BD上，且BG＝3，求DE的长．
【解答】解：（1）连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABD＝°，∠AOB＝90°，AC＝2AO，
在Rt△AOB中易得到AO＝6，AC＝12，
∵菱形ABCD中，AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，
∵点A与点G关于EF轴对称，∴AE＝EG，∴∠DAC＝∠EGA，∴∠DCA＝∠EGA，
∴EG∥DC，∴，即＝，∴DE＝．

（2）∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴AD＝AB，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠EDG＝∠FBG＝60°，
又由翻折可得∠EGF＝∠A＝60°，
又∠EGB＝∠EGF+∠FGB＝∠DEG+∠EDG，
∴∠FGB＝∠DEG．∴△DEG∽△BGF，∴，
设DE＝x，则EG＝AE＝12﹣x，∴，
∴BF＝，FG＝，
又AB＝AF+BF＝FG+BF＝12，∴＝12，
解得：x＝，即DE＝．