河南省郑州市高新区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份河南省郑州市高新区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省郑州市高新区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（27分）
1．（3分）下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）如果设汽车速度为vkm/h，用不等式表示下面交通标志意义正确的是（　　）

A．v≤30 B．v≥30 C．v＞30 D．v＜30
3．（3分）若a＜b，下列不等式成立的是（　　）
A．a+m＞b+m B．2a＞2b C． D．a﹣2＞b﹣2
4．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．a3﹣a＝a（a2﹣1） B．25x2﹣y2＝（5x+y）（5x﹣y）
C．m2﹣2m+1＝m（m﹣2）+1 D．
5．（3分）用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，应假设（　　）
A．a不平行b B．a不垂直于c
C．b不垂直于c D．a，b都不垂直于c
6．（3分）由生活经验，我们知道往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．将a克糖放入水中，此时糖水的含糖量记为（a＜b），再往杯中加入c（c＞0），此时糖水的含糖含糖量可表示为（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）校园湖边一角的形状如图所示，其中AB，BC，若在线段右侧的区域中找到一点P修建一个观赏亭，使点P到三面墙的距离都相等．则点P在（　　）

A．线段AC、BD的交点
B．∠ABC、∠BCD角平分线的交点
C．线段AB、BC垂直平分线的交点
D．线段BC、CD垂直平分线的交点
8．（3分）生活中，我们所见到的地面、墙面、绘画图案等常常由一种或几种形状相同的图形拼接而成，彼此之间不留空隙，这就是平面图形的镶嵌．以下镶嵌图形所用的平行四边形中最大内角为（　　）

A．110° B．120° C．144° D．150°
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形∠OAB＝90°，点B在第一象限内，将△AOB绕点O顺时针旋转，点B的坐标为（　　）

A． B．（2，2） C． D．（2，﹣2）
二、填空题（15分）
10．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
11．（3分）等边三角形三边相等的逆命题为 　 　．
12．（3分）为加强公民的节水意识，某市制定如下的用水收费标准：当用水量未超过8m3时，每立方米收费1元；当用水量超过8m3时，超过的部分每立方米收费1.5元，设某户六月的用水量为xm3（x＞8）应交水费y（元）．则y＝　 　．
13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，MN的中点，则DE的最小值是 　 　．

14．（3分）定义：如果一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，把这条对角线称为“界线”，AB＝BC＝AD，∠BAD＝90°，则∠BCD的度数为 　 　．
三、解答题（75分）
15．（8分）计算：（1﹣）÷
16．（9分）如图，△ABC三个顶点分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1.此时B1的坐标为 　 　平移过程中线段CB扫过的面积为 　 　；
（2）请画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2，△A2B2C2面积为 　 　．
（3）如果△ABC可以通过一次旋转得到△A2B2C2，则旋转中心Q的坐标为 　 　．

17．（12分）下面是某数学兴趣小组探索三角形的一条中位线和第三边中线关系的过程．在如图中，运用尺规作△ABC三边的垂直平分线，分别与边AB、AC、BC交于点D、E、F，请你一起完成探索过程．
（1）使用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；
（2）通过观察图形，猜想DE和AF互相平分，请你写出证明过程；
（3）通过证明，可以得到结论 　 　（用文字表述：如三角形内角和180°）

18．（10分）我们生活在一个充满轴对称的世界中，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，都可以找到轴对称的影子．我们把形如AA，BAB，EFGFE等的正整数叫“轴对称数”，例如：33，2442，56765，…
（1）写出一个最小的两位“轴对称数”：　 　．
（2）任意一个三位及三位以上“轴对称数”与它个位数字的11倍的差都能被10整除．
例如121﹣1×11＝110＝10×11；2332﹣2×11＝2310＝10×231；32123﹣3×11＝32090＝10×3209．
①设形如ABA的三位“轴对称数”的百位数字为a，十位数字为b，则这个“轴对称数”可以表示为 　 　．
②运用所学说明形如ABA的三位的“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．
（3）如果形如ABA的三位“轴对称数”与它的“换位轴对称数”形如BAB的和等于百位数字a与十位数字b的平方差的37倍（其中a＞b），则称这个三位数为“智慧轴对称数”，例如212的“换位轴对称数”为121，212百位数字2与十位数字1的平方差的37倍（22﹣12）×37＝111，因为333≠111，所以212不是“智慧轴对称数”．如果一个三位数是“智慧轴对称数”　 　．
19．（12分）2023中国产业转移发展对接活动（河南）在郑州隆重举行，本属活动以“开放，提出要重点培育新兴产业．电子商务作为新兴行业，其迅速崛起带来了物流运输和配送的巨大需求．某快递公司采购A，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣200件快递，且A型机器人分拣700件快递所用的时间与B型机器人分600件快递所用的时间相等．
（1）求B型机器人每小时分拣快递的件数；
（2）若快递公司共购进10台机器人，A型机器人售价20万元/台，B型机器人售价15万元/台，如何设计采购方案费用最少？
20．（12分）小慧同学在参加学校剪纸社团的时候，剩下了一些四边形的纸片．爱思考的她想计算一下这张纸片的面积，通过测量她发现，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，AC＝6cm．
她发现如果将纸片沿着AC裁剪，△ACB拼到AD的左侧正好可以拼成一个等腰直角三角形（△ACC′）．通过证明和计算
同桌小智经过思考，过点A作BC的垂线AE，然后沿着AE裁剪，这样就拼出了两个等腰直角三角形（△ACE′和△ACE），通过证明和计算
你知道他们都是如何解决这个问题的吗？请你从两名同学的作法中任选一个，给出证明，并求出四边形ABCD的面积．
​
21．（12分）小宇将一个含60°的三角板绕着等边△ABC中BC边上的一点E旋转，如图所示，三角板短直角边、斜边分别与边AB、AC交于点D、点F，得到图1，作点E关于AC的对称点G，DG．​
（1）请在图1中补全图形，则EC与CG的数量关系是 　 　，∠ACG的度数为 　 　．
（2）①证明△DBE≌△ECF；
②证明四边形DBCG是平行四边形．
（3）当AD＜BD，时，直接写出∠BDE的度数．

2022-2023学年河南省郑州市高新区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题.
1．（3分）下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）如果设汽车速度为vkm/h，用不等式表示下面交通标志意义正确的是（　　）

A．v≤30 B．v≥30 C．v＞30 D．v＜30
【答案】A
【分析】根据限速30km/h，即可得出关于v的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：根据题意得：v≤30．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
3．（3分）若a＜b，下列不等式成立的是（　　）
A．a+m＞b+m B．2a＞2b C． D．a﹣2＞b﹣2
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵a＜b，
∴a+m＜b+m，
故A不符合题意；
B、∵a＜b，
∴2a＜2b，
故B不符合题意；
C、∵a＜b，
∴﹣＞﹣，
故C符合题意；
D、∵a＜b，
∴a﹣2＜b﹣5，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
4．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．a3﹣a＝a（a2﹣1） B．25x2﹣y2＝（5x+y）（5x﹣y）
C．m2﹣2m+1＝m（m﹣2）+1 D．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义，然后对于每一个多项式都先提公因式，再运用公式法继续分解，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、a3﹣a＝a（a2﹣8）＝a（a+1）（a﹣1），故A不符合题意；
B、25x2﹣y2＝（5x+y）（8x﹣y），故B符合题意；
C、m2﹣2m+4＝（m﹣1）2，故C不符合题意；
D、x+3＝x（1+），故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
5．（3分）用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，应假设（　　）
A．a不平行b B．a不垂直于c
C．b不垂直于c D．a，b都不垂直于c
【答案】A
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【解答】解：反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，则a∥b”时，
假设a不平行b，
故选：A．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．（3分）由生活经验，我们知道往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．将a克糖放入水中，此时糖水的含糖量记为（a＜b），再往杯中加入c（c＞0），此时糖水的含糖含糖量可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依据题意，根据糖水中的含糖量＝，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，加入c克糖后，糖总量为（a+c）克，
∴此时糖水的含糖含糖量＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了溶液中溶质的含量计算，解题时要理解题意，准确列式．
7．（3分）校园湖边一角的形状如图所示，其中AB，BC，若在线段右侧的区域中找到一点P修建一个观赏亭，使点P到三面墙的距离都相等．则点P在（　　）

A．线段AC、BD的交点
B．∠ABC、∠BCD角平分线的交点
C．线段AB、BC垂直平分线的交点
D．线段BC、CD垂直平分线的交点
【答案】B
【分析】角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可判断．
【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴使点P到三面墙的距离都相等，点P是∠ABC．
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．
8．（3分）生活中，我们所见到的地面、墙面、绘画图案等常常由一种或几种形状相同的图形拼接而成，彼此之间不留空隙，这就是平面图形的镶嵌．以下镶嵌图形所用的平行四边形中最大内角为（　　）

A．110° B．120° C．144° D．150°
【答案】C
【分析】根据平面图形镶嵌的定义和平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：由图中心的五角星可得空白的平行四边形的内角为360°÷5＝72°，所以另一个内角为180°﹣72°＝108°，
所以镶嵌图形所用的平行四边形中最大内角为360°﹣108°×2＝144°．
故选：C．
【点评】本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形∠OAB＝90°，点B在第一象限内，将△AOB绕点O顺时针旋转，点B的坐标为（　　）

A． B．（2，2） C． D．（2，﹣2）
【答案】A
【分析】观察图象可知，点B旋转8次一个循环，利用这个规律解决问题即可．
【解答】解：观察图象可知，点B1旋转8次一个循环，
∵2023÷2＝252余数为7，
∴点B2023的坐标与B7（3，0）相同，
∴点B2023的坐标为（3，0）．
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
10．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　x≠2　．
【答案】x≠2．
【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：2﹣x≠0，
解得x≠7，
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
11．（3分）等边三角形三边相等的逆命题为 　三边相等的三角形是等边三角形　．
【答案】三边相等的三角形是等边三角形．
【分析】根据逆命题的概念解答即可．
【解答】解：等边三角形三边相等的逆命题为三边相等的三角形是等边三角形，
故答案为：三边相等的三角形是等边三角形．
【点评】本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．（3分）为加强公民的节水意识，某市制定如下的用水收费标准：当用水量未超过8m3时，每立方米收费1元；当用水量超过8m3时，超过的部分每立方米收费1.5元，设某户六月的用水量为xm3（x＞8）应交水费y（元）．则y＝　1.5x﹣4（x＞8）　．
【答案】1.5x﹣4（x＞8）．
【分析】利用应交水费＝1×8+1.5×超过8m3的部分，即可得出y关于x的函数关系式，此题得解．
【解答】解：根据题意得：y＝1×8+3.5（x﹣8），
∴y＝6.5x﹣4（x＞3）．
故答案为：1.5x﹣3（x＞8）．
【点评】本题考查了函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，MN的中点，则DE的最小值是 　　．

【答案】．
【分析】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可．
【解答】解：连接CM，

∵点D、E分别为CN，
∴DE＝CM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，
由勾股定理得：AB＝＝＝10，
∵S△ABC＝＝，
∴CM＝，
∴DE＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点，注意：三角形的中位线等于第三边的一半．
14．（3分）定义：如果一个凸四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，把这条对角线称为“界线”，AB＝BC＝AD，∠BAD＝90°，则∠BCD的度数为 　135°或90°或45°　．
【答案】∠BCD的度数为135°或90°或45°．
【分析】由AC是四边形ABCD的等腰线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图1，图2，图3三种情况运用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．
【解答】解：∵AC是四边形ABCD的界线，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB＝AD＝BC，
如图1，当AD＝AC时，

∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝60°．
∵∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°
∴∠BCD＝60°+75°＝135°．
如图2，当AD＝CD时，

∴AB＝AD＝BC＝CD．
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°
如图3，当AC＝CD时，过点B作BF⊥CE于F，

∵AC＝CD．CE⊥AD，
∴AE＝AD．
∵∠BAD＝∠AEF＝∠BFE＝90°，
∴四边形ABFE是矩形．
∴BF＝AE．
∵AB＝AD＝BC，
∴BF＝BC，
∴∠BCF＝30°．
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠ACB＝∠ACE＝∠BCF＝15°，
∴∠BCD＝15°×3＝45°．
综上，∠BCD的度数为135°或90°或45°．
故答案为：135°或90°或45°．
【点评】本题考查了“等腰四边形”的定义和性质的运用，“等腰四边形”的判定，等边三角形的性质和判定的运用，正方形的性质和判定的运用，30°的直角三角形的性质的运用．解答如图3这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键．
三、解答题（本大题共7小题，共75分）
15．（8分）计算：（1﹣）÷
【答案】1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝
＝
＝7．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（9分）如图，△ABC三个顶点分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1.此时B1的坐标为 　（0，2）　平移过程中线段CB扫过的面积为 　8　；
（2）请画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2，△A2B2C2面积为 　3.5　．
（3）如果△ABC可以通过一次旋转得到△A2B2C2，则旋转中心Q的坐标为 　（2，0）　．

【答案】（1）（4，0），8；
（2）3.5；
（3）（2，0）．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A2B2C2面积；、
（3）利用AA1、BB1和CC1，它们相交于点Q，从而写出Q点的坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C6为所作，B1的坐标为（0，5），
平移过程中线段CB扫过的面积＝4×2＝8；
故答案为：（4，0），8；
（2）如图，△A2B2C6为所作，
△A2B2C5面积＝3×3﹣×3×4﹣×2×8＝3.5；
故答案为：3.5；
（3）如图，△ABC点Q（26B2C2．
故答案为：（3，0）．

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
17．（12分）下面是某数学兴趣小组探索三角形的一条中位线和第三边中线关系的过程．在如图中，运用尺规作△ABC三边的垂直平分线，分别与边AB、AC、BC交于点D、E、F，请你一起完成探索过程．
（1）使用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；
（2）通过观察图形，猜想DE和AF互相平分，请你写出证明过程；
（3）通过证明，可以得到结论 　三角形的中位线和第三边上的中线互相平分　（用文字表述：如三角形内角和180°）

【答案】（1）见解析；
（2）DE和AF互相平分，证明见解析；
（3）三角形的中位线和第三边上的中线互相平分．
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）连接DE，EF，根据三角形中位线定理得到DF∥AC，EF∥AB，根据平行四边形的性质即可得到结论．
（3）根据平行四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）DE和AF互相平分，
证明：连接DE，EF，
∵D是AB的中点，F是BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，
∵E是AC的中点，F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴DE和AF互相平分；
（3）三角形的中位线和第三边上的中线互相平分，
故答案为：三角形的中位线和第三边上的中线互相平分．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图，三角形中位线定理，平行四边形 的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键．
18．（10分）我们生活在一个充满轴对称的世界中，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，都可以找到轴对称的影子．我们把形如AA，BAB，EFGFE等的正整数叫“轴对称数”，例如：33，2442，56765，…
（1）写出一个最小的两位“轴对称数”：　11　．
（2）任意一个三位及三位以上“轴对称数”与它个位数字的11倍的差都能被10整除．
例如121﹣1×11＝110＝10×11；2332﹣2×11＝2310＝10×231；32123﹣3×11＝32090＝10×3209．
①设形如ABA的三位“轴对称数”的百位数字为a，十位数字为b，则这个“轴对称数”可以表示为 　101a+10b　．
②运用所学说明形如ABA的三位的“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．
（3）如果形如ABA的三位“轴对称数”与它的“换位轴对称数”形如BAB的和等于百位数字a与十位数字b的平方差的37倍（其中a＞b），则称这个三位数为“智慧轴对称数”，例如212的“换位轴对称数”为121，212百位数字2与十位数字1的平方差的37倍（22﹣12）×37＝111，因为333≠111，所以212不是“智慧轴对称数”．如果一个三位数是“智慧轴对称数”　a﹣b＝3　．
【答案】（1）11；
（2）①101a+10b；
②答案见解析过程；
（3）a﹣b＝3．
【分析】（1）由“轴对称数”是正整数，再根据“轴对称数”的表示形式，便可求出最小的两位的两位“轴对称数；
（2）①用相应数位上的数字成数位，再相加，便可表示出该“轴对称数”；
②先用代数式分别表示出形如ABA的三位“轴对称数”以及它个位数字的11倍，然后将它们相减，并化简所得结果，最后验证结果是10的倍数即可；
（3）先表示出该三位“轴对称数”与它的“换位轴对称数”的差，再表示出a与b平方差的37倍，由两者相等，建立等式，对此等式变形化简，可得出a和b之间满足的关系．
【解答】解：（1）因为“轴对称数”是正整数，且最小的正整数是1，
所以最小的两位“轴对称数”是：11，
故答案为：11；
（2）①由题知，这个“轴对称数”是：100a+10b+a＝101a+10b，
故答案为：101a+10b；
②令形如ABA的三位“轴对称数”的百位数字为m，十位数字为n，
则该“轴对称数”可表示为：101m+10n，
它个位数字的11倍为：11m，
因此两者的差为：101m+10n﹣11m＝90m+10n＝10（9m+n），
又m为正整数，n为非负整数，
则10（7m+n）是10的倍数，
所以形如ABA的三位“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整数；
（3）形如ABA的三位“轴对称数”可表示为：101a+10b，
它的“换位轴对称数”可表示为：101b+10a，
则它们的和为：101a+10b+101b+10a＝111a+111b，
又a与b的平方差的37倍可表示为：37（a2﹣b2），
由题知，两者相等时，
所以 111a+111b＝37（a5﹣b2），即111（a+b）＝37（a+b）（a﹣b），
又a+b≠0，故a﹣b＝2，
所以a和b满足的条件是：a﹣b＝3，
故答案为：a﹣b＝3．
【点评】本题考查了用字母表示数，及代数式的运算．
19．（12分）2023中国产业转移发展对接活动（河南）在郑州隆重举行，本属活动以“开放，提出要重点培育新兴产业．电子商务作为新兴行业，其迅速崛起带来了物流运输和配送的巨大需求．某快递公司采购A，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣200件快递，且A型机器人分拣700件快递所用的时间与B型机器人分600件快递所用的时间相等．
（1）求B型机器人每小时分拣快递的件数；
（2）若快递公司共购进10台机器人，A型机器人售价20万元/台，B型机器人售价15万元/台，如何设计采购方案费用最少？
【答案】（1）1200件；（2）采购A型机器人5台，B型机器人5台时总费用最少．
【分析】（1）根据A型机器人比B型机器人每小时多分拣200件快递，且A型机器人分拣700件快递所用的时间与B型机器人分600件快递所用的时间相等，列出方程解之即可；
（2）根据每小时分拣不少于13000件快递的需求列出不等式即可．
【解答】解：（1）设B型每小时分拣快递x件，则A型分拣（x+200）件，
由题意可得：，
解得：x＝1200，
经检验：x＝1200是原分式方程的根，
答：B型机器人每小时分拣快递1200件．
（2）设A型机器人a台，则B型机器人（10﹣a）台，
由（1）可知：B型机器人每小时分拣快递1200件，A型机器人每小时分拣快递1400件，
由题意可知：1200（10﹣a）+1400a≥13000且a≤10，
解得：5≤a≤10，
w＝20a+15（10﹣a），
整理得：w＝5a+150，
∵7＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝5，即A型机器人8台．
答：采购A型机器人5台，B型机器人5台时总费用最少．
【点评】本题考查了一次函数的应用及其分式方程，根据题意找出数量关系是解题关键．
20．（12分）小慧同学在参加学校剪纸社团的时候，剩下了一些四边形的纸片．爱思考的她想计算一下这张纸片的面积，通过测量她发现，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，AC＝6cm．
她发现如果将纸片沿着AC裁剪，△ACB拼到AD的左侧正好可以拼成一个等腰直角三角形（△ACC′）．通过证明和计算
同桌小智经过思考，过点A作BC的垂线AE，然后沿着AE裁剪，这样就拼出了两个等腰直角三角形（△ACE′和△ACE），通过证明和计算
你知道他们都是如何解决这个问题的吗？请你从两名同学的作法中任选一个，给出证明，并求出四边形ABCD的面积．
​
【答案】任选一个同学的作法作答，S四边形ABCD＝18cm2．
【分析】依据题意，分别对小慧和小智的作法进行分析、推理后，即可得解．
【解答】解：小慧的作法：由题意，△ABC≌△ADC'．
∴∠CAB＝∠C'AD，CA＝C'A＝6cm．
∵∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，
∴∠C'AC＝∠C'AD+∠CAD＝∠CAB+∠CAD＝∠DAB＝90°，
∠CDA+∠CBA＝180°．
又∠C'DA＝∠CBA，
∴∠CDA+∠C'DA＝180°．
∴C'、D、C在一直线上．
又∠C'AC＝90°，
∴S△C'AC＝S四边形ABCD＝CA×CA＝18（cm2）．
小智的作法：由题意，△AEB≌△AE'D．
∴∠AEB＝∠AE'D＝90°，AE＝AE'．
∵∠CDA+∠CBA＝180°．
∴∠E'DA+∠CBA＝180°．
∴E'、D、C在一直线上．
又∠DCB＝∠CEA＝∠E'＝90°，
∴四边形AECE'是矩形．
又AE＝AE'，
∴四边形AECE'是正方形．
∵AC＝6cm，
∴正方形的边长AE＝AC＝3．
∴S正方形AECE'＝S四边形ABCD＝EA×EA＝18（cm7）．
【点评】本题主要考查了图形的剪拼、全等三角形的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用．
21．（12分）小宇将一个含60°的三角板绕着等边△ABC中BC边上的一点E旋转，如图所示，三角板短直角边、斜边分别与边AB、AC交于点D、点F，得到图1，作点E关于AC的对称点G，DG．​
（1）请在图1中补全图形，则EC与CG的数量关系是 　相等　，∠ACG的度数为 　60°　．
（2）①证明△DBE≌△ECF；
②证明四边形DBCG是平行四边形．
（3）当AD＜BD，时，直接写出∠BDE的度数．
【答案】（1）相等；60°；
（2）①证明过程见解答；
②证明过程见解答；
（3）15°．
【分析】（1）先补全图形，然后根据轴对称的性质即可知道EC与CG的数量关系以及∠ACG＝∠ACB的度数；
（2）①根据△ABC是等边三角形求出∠B＝∠C＝60°，根据三角形外角的关系推出∠CEF＝∠BDE后即可判定△DBE≌△ECF；
②先根据∠A＝∠ACG＝60°推出CG∥AB，再根据CE＝CG，CE＝BD，推出CG＝BD即可用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形DBCG是平行四边形；
（3）连接DF，判定△DEF是等边三角形，根据DE＝DF＝EF＝FG，AB＝BC＝DG推出DG与DF、FG的关系，用勾股定理逆定理判定△DFG为等腰直角三角形，求出∠FGC的度数后根据∠BDE＝∠CEF＝∠CGF即可求出结果．
【解答】（1）解：补全图形后如图1，

∵点E和点G关于AC对称，
∴CE＝CG，∠ACG＝∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ACG＝∠ACB＝60°，
故答案为：相等；60°；
（2）证明：①∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE，∠DEF＝∠B＝60°，
∴∠CEF＝∠BDE，
又∵BE＝CF，∠B＝∠ACB＝60°，
∴△DBE≌△ECF（AAS）；
②∵△DBE≌△ECF，
∴BD＝CE，DE＝EF，
又∵CE＝CG，
∴CG＝BD，
∵∠ACG＝60°，∠A＝60°，
∴∠ACG＝∠A，
∴CG∥AB，
又∵CG＝BD，
∴四边形DBCG是平行四边形；
（3）解：连接DF，

∵DE＝EF，∠DEF＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DF＝DE＝EF＝FG，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∵四边形DBCG是平行四边形，
∴DG＝BC，∠DGC＝∠B＝60°，
∴AB＝DG，
又∵AB＝DE，
∴DG＝，
在△DFG中，DF2+FG8＝2DF2＝DG2，
∴∠DFG＝90°，
又∵FD＝FG，
∴△DFG是等腰直角三角形，
∴∠DGF＝45°，
又∵∠DGC＝60°，
∴∠CGF＝60°﹣45°＝15°，
∵∠CEF＝∠BDE，∠CEF＝∠CGF，
∴∠BDE＝15°．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．