2021年四川省凉山州中考数学试题-(含解析)

这是一份2021年四川省凉山州中考数学试题-(含解析)，共31页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年四川省凉山州中考数学试题
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1. （ ）
A. 2021 B. -2021 C. D.
2. 下列数轴表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. “天问一号”在经历了7个月的“奔火”之旅和3个月的“环火”探测，完成了长达5亿千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于2021年5月15日7时18分从火星发来“短信”，标志着我国首次火星登陆任务圆满成功，请将5亿这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下面四个交通标志图是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 的平方根是（ ）
A. B. 3 C. D. 9
6. 在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示：
成绩
60
70
80
90
100
人数
3
9
13
16
9
则这个班学生成绩众数、中位数分别是（ ）
A. 90，80 B. 16，85 C. 16，24.5 D. 90，85
8. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合
C. 若，则点B是线段AC的中点
D. 三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心
9. 函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）

A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等实数根 D. 无法确定
10. 如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）

A. B. 2 C. D.
11. 点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（ ）
A. B. C. D.
12. 二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）

A. B. 函数最大值为
C. 当时， D.
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13. 函数中，自变量x的取值范围是______________．
14. 已知是方程的解，则a的值为______________．
15. 菱形中，对角线，则菱形的高等于___________．
16. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．已知，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________________．

17. 如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n个图形需要___________根火柴棍．

三、解答题（共5小题，共32分）
18. 解不等式．
19. 已知，求的值．
20. 随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响，为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》，为贯彻《通知》精神、某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）获奖总人数______人，_______；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
21. 王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡CF的坡比为（点在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．

22. 如图，在四边形中，，过点D作于E，若．

（1）求证：；
（2）连接交于点，若，求DF的长．
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是_________．
24. 如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．

五、解答题（共4小题，共40分）
25. 阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地．若（且），那么x叫做以a为底N的对数，
记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设，则．
．由对数的定义得
又
．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①___________；②_______，③________；
（2）求证：；
（3）拓展运用：计算．

26. 如图，中，，边OB在x轴上，反比例函数的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，．

（1）求k的值；
（2）求直线MN的解析式．

27. 如图，在中，，AE 平分交BC于点E，点D在AB上，．是的外接圆，交AC于点F．

（1） 求证：BC是的切线；
（2） （2）若的半径为5，，求．



28. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大．求出点P的坐标
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q．使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．


















2021年四川省凉山州中考数学试题
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）
1. （ ）
A. 2021 B. -2021 C. D.
【答案】A
【分析】根据绝对值解答即可．
【详解】解：的绝对值是2021，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了绝对值，利用绝对值解答是解题关键．
2. 下列数轴表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，据此判断．
【详解】解：A、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误；
B、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误；
C、没有原点，故表示错误；
D、符合数轴的定定义，故表示正确；
故选D．
【点睛】本题考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，注意数轴的三要素缺一不可．
3. “天问一号”在经历了7个月的“奔火”之旅和3个月的“环火”探测，完成了长达5亿千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于2021年5月15日7时18分从火星发来“短信”，标志着我国首次火星登陆任务圆满成功，请将5亿这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：∵5亿=500000000，
∴5亿用科学记数法表示为：5×108．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下面四个交通标志图是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
【详解】解：A、不轴对称图形，故不合题意；
B、不是轴对称图形，故不合题意；
C、是轴对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，故不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
5. 的平方根是（ ）
A. B. 3 C. D. 9
【答案】A
【分析】求出81的算术平方根，找出结果的平方根即可．
【详解】解：∵=9，
∴的平方根是±3．
故选：A．
【点睛】此题考查了平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
6. 在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据点A到A′确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B′的坐标．
【详解】解：∵，，
∴平移规律为横坐标减4，纵坐标减4，
∵，
∴点B′的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．
7. 某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示：
成绩
60
70
80
90
100
人数
3
9
13
16
9
则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（ ）
A. 90，80 B. 16，85 C. 16，24.5 D. 90，85
【答案】D
【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．
【详解】解：90分的有16人，人数最多，故众数为90分；
处于中间位置的数为第25、26两个数，为80和90，
∴中位数为=85分．
故选：D．
【点睛】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
8. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合
C. 若，则点B是线段AC的中点
D. 三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心
【答案】C
【分析】根据中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的定义分别判断即可．
【详解】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故为真命题；
B、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，故为真命题；
C、若在同一条直线上AB=BC，则点B是线段AC的中点，故为假命题；
D、三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心，故为真命题；
故选C．
【点睛】本题考查了中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的性质，属于基础知识，要熟练掌握．
9. 函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）

A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定
【答案】C
【分析】根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负，再结合根的判别式即可得出△＞0，由此即可得出结论．
【详解】解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
在方程中，
△=，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负是解题的关键．
10. 如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）

A. B. 2 C. D.
【答案】D
【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE，AD=BD=AB=5，
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=62+（8-x）2，解得x=，
∴CE==，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．
11. 点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．
【详解】解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得
AB=10cm，CD=6cm．
∴OC=5，CP=3
∵CD⊥AB，
∴CP=CD=3cm．
根据勾股定理，得OP==4cm．
故选B．

【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．
12. 二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）

A. B. 函数的最大值为
C. 当时， D.
【答案】D
【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴，即b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
则abc＞0，故A正确；
当x=-1时，y取最大值为，故B正确；
由于开口向上，对称轴为直线x=-1，
则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0），
即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0），
∴当时，，故C正确；
由图像可知：当x=-2时，y＞0，
即，故D错误；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
第II卷（非选择题 共52分）
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13. 函数中，自变量x的取值范围是______________．
【答案】x≥-3且x≠0
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解．
【详解】解：根据题意得：x+3≥0且x≠0，
解得x≥-3且x≠0．
故答案为：x≥-3且x≠0．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围．考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数是非负数．
14. 已知是方程的解，则a的值为______________．
【答案】-1
【分析】根据方程解的定义，将x=1，y=3代入方程，即可求得a的值．
【详解】解：根据题意，将x=1，y=3代入方程，
得：，
解得：a=-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了二元一次方程解，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．
15. 菱形中，对角线，则菱形高等于___________．
【答案】
【分析】过A作AE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质求出菱形边长，再利用菱形的面积公式得到方程，解之可得AE．
【详解】解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，
∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，
∴OB=BD=12，OA=AC=5，
在Rt△ABO中，AB=BC==13，
∵S菱形ABCD=，
∴，
解得：AE=，
故答案为：．

【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理的应用，能熟记菱形的性质是解此题的关键，注意：菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相平分且垂直．
16. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．已知，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________________．

【答案】
【分析】由于将△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C′，可见，阴影部分面积为扇形ACA′减扇形BCB′，分别计算两扇形面积，再计算其差即可．
【详解】解：如图：由旋转可得：
∠ACA′=∠BCB′=120°，又AC=3，BC=2，
S扇形ACA′==，
S扇形BCB′==，
则线段AB扫过的图形的面积为=，
故答案为：

【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的关键．
17. 如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n个图形需要___________根火柴棍．

【答案】2n+1
【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．
【详解】解：由图可知：
拼成第一个图形共需要3根火柴棍，
拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，
拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，
...
拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，
故答案为：2n+1．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．
三、解答题（共5小题，共32分）
18. 解不等式．
【答案】
【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化1，即可求出解．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成1，得．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解此题的关键点是能正确根据不等式的性质进行变形，注意：移项要变号．
19. 已知，求的值．
【答案】-4
【分析】根据已知求出xy=-2，再将所求式子变形为，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握分式的运算法则和因式分解的应用．
20. 随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响，为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》，为贯彻《通知》精神、某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）获奖总人数为______人，_______；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）40，30；（2）见解析；（3）
【分析】（1）用B等级的人数除以对应百分比可得获奖总人数，再减去A、B、D的人数可得C等级的人数，除以获奖总人数可得对应百分比，即可得到m值；
（2）求出C等级的人数，即可补全统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出抽出的恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）8÷20%=40人，
（40-4-8-16）÷40×100%=30%，
则m=30；
（2）40-4-8-16=12人，
补全统计图如下：

（3）如图，

共有12种情况，恰好选中1名男生和1名女生的有6种，
所以恰好选中1名男生和1名女生的概率是．
【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，列表法或树状图法求概率等知识点，能正确画出条形统计图和树状图是解此题的关键．
21. 王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡CF的坡比为（点在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．

【答案】（1）2米；（2）米
【分析】（1）作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH；
（2）延长AD交CE于点G，解Rt△GDH、Rt△CDH，求出GH、CH，得到GC，再说明AB=BC，在△ABG中，利用正切的定义求出AB即可．
【详解】解：（1）过D作DH⊥CE于H，如图所示：
在Rt△CDH中，，
∴CH=3DH，
∵CH2+DH2=CD2，
∴（3DH）2+DH2=（）2，
解得：DH=2或-2（舍），
∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；
（2）延长AD交CE于点G，设AB=x米，
由题意得，∠AGC=30°，
∴GH===，
∵CH=3DH=6，
∴GC=GH+CH=+6，
在Rt△BAC中，∠ACB=45°，
∴AB=BC，
∴tan∠AGB=，
解得：AB=，
即大树AB的高度为米．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
22. 如图，在四边形中，，过点D作于E，若．

（1）求证：；
（2）连接交于点，若，求DF的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD，证明四边形BEDG为正方形，得到条件证明△ADE≌△CDG，可得AD=CD；
（2）根据∠ADE=30°，AD=6，得到AE，DE，从而可得BE，BG，设DF=x，证明△AEF∽△ABC，得到比例式，求出x值即可．
【详解】解：（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD，
∵∠DEB=∠ABC=∠G=90°，DE=BE，
∴四边形BEDG为正方形，
∴BE=DE=DG，∠BDE=∠BDG=45°，
∵∠ADC=90°，即∠ADE+∠CDE=∠CDG+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠CDG，又DE=DG，∠AED=∠G=90°，
∴△ADE≌△CDG（ASA），
∴AD=CD；

（2）∵∠ADE=30°，AD=6，
∴AE=CG=3，DE=BE==，
∵四边形BEDG为正方形，
∴BG=BE=，
BC=BG-CG=-3，
设DF=x，则EF=-x，
∵DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，即，
解得：x=，
即DF的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
B卷（共50分）
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是_________．
【答案】m＞-3且m≠-2
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以x-1得，，
解得，
∵x为正数，
∴m+3＞0，解得m＞-3．
∵x≠1，
∴m+3≠1，即m≠-2．
∴m的取值范围是m＞-3且m≠-2．
故答案为：m＞-3且m≠-2．
【点睛】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
24. 如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．

【答案】3
【分析】连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．
【详解】解：连接QC和PC，
∵PQ和圆C相切，
∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，
∴当CP最小时，PQ最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB，
∵AB=BC=AC=4，
∴AP=BP=2，
∴CP==，
∵圆C的半径CQ=，
∴PQ==3，
故答案为：3．

【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．
五、解答题（共4小题，共40分）
25. 阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地．若（且），那么x叫做以a为底N的对数，
记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设，则．
．由对数的定义得
又
．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①___________；②_______，③________；
（2）求证：；
（3）拓展运用：计算．
【答案】（1）5，3，0；（2）见解析；（3）2
【分析】（1）直接根据定义计算即可；
（2）结合题干中的过程，同理根据同底数幂的除法即可证明；
（3）根据公式：loga（M•N）=logaM+logaN和loga=logaM-logaN的逆用，将所求式子表示为：，计算可得结论．
【详解】解：（1）①∵，∴5，
②∵，∴3，
③∵，∴0；
（2）设logaM=m，logaN=n，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）
=
=
=2．
【点睛】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
26. 如图，中，，边OB在x轴上，反比例函数的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，．

（1）求k的值；
（2）求直线MN的解析式．
【答案】（1）6；（2）
【分析】（1）设点A坐标为（m，n），根据题意表示出点B，N，M的坐标，根据△AOB的面积得到，再根据M，N在反比例函数图像上得到方程，求出m值，即可得到n，可得M点坐标，代入反比例函数表达式，即可求得k值；
（2）由（1）得到M，N的坐标，再利用待定系数法即可求出MN的解析式．
【详解】解：（1）设点A坐标为（m，n），
∵∠ABO=90°，
∴B（m，0），又AN=，
∴N（m，），
∵△AOB的面积为12，
∴，即，
∵M为OA中点，
∴M（，），
∵M和N在反比例函数图像上，
∴，化简可得：，又，
∴，解得：，
∴，
∴M（2，3），代入，
得；
（2）由（1）可得：M（2，3），N（4，），
设直线MN的表达式为y=ax+b，
则，解得：，
∴直线MN的表达式为．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，求出相应的点的坐标是解决问题的关键．
27. 如图，在中，，AE 平分交BC于点E，点D在AB上，．是的外接圆，交AC于点F．

（1）求证：BC是的切线；
（2）若的半径为5，，求．
【答案】（1）见解析；（2）20
【分析】（1）连接OE，由OA=OE，利用等边对等角得到一对角相等，再由AE为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到AC与OE平行，再根据两直线平行同位角相等及∠C为直角，得到OE与BC垂直，可得出BC为圆O的切线；
（2）过E作EG垂直于OD，利用AAS得出△ACE≌△AGE，得到AC=AG=8，从而可得OG，利用勾股定理求出EG，再利用三角形面积公式可得结果．
【详解】解：（1）证明：连接OE，

∵OA=OE，
∴∠1=∠3，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OE∥AC，
∴∠OEB=∠C=90°，
则BC为圆O的切线；
（2）过E作EG⊥AB于点G，
在△ACE和△AGE中，
，
∴△ACE≌△AGE（AAS），
∴AC=AG=8，
∵圆O的半径为5，
∴AD=OA+OD=10，
∴OG=3，
∴EG==4，
∴△ADE的面积==20．
【点睛】此题考查了切线的判定，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，切线的判定方法有两种：有点连接证垂直；无点作垂线，证明垂线段等于半径．
28. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大．求出点P的坐标
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q．使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）（，）；（3）（，）或（，）或（，）
【分析】（1）根据OB=OC=3OA，AC=，利用勾股定理求出OA，可得OB和OC，得到A，B，C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）判断出四边形BACP的面积最大时，△BPC的最大面积，过点P作y轴的平行线交BC于点H，求出直线BC的表达式，设点P（x，-x2-2x+3），利用三角形面积公式S△BPC=，即可求出S△BPC面积最小时点P的坐标；
（3）分类讨论，一是当BP为平行四边形对角线时，二是当BP为平行四边形一边时，利用平移规律即可求出点Q的坐标．
【详解】解：（1）∵OB=OC=3OA，AC=，
∴，即，
解得：OA=1，OC=OB=3，
∴A（1，0），B（-3，0），C（0，3），代入中，
则，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，四边形PBAC的面积=△BCA的面积+△PBC的面积，
而△ABC的面积是定值，故四边形PBAC的面积最大，只需要△BPC的最大面积即可，
过点P作y轴的平行线交BC于点H，
∵B（-3，0），C（0，3），设直线BC的表达式为y=mx+n，
则，解得：，
∴直线BC的表达式为y=x+3，
设点P（x，-x2-2x+3），则点H（x，x+3），
S△BPC===，
∵，故S有最大值，即四边形PBAC的面积有最大值，
此时x=，代入得，
∴P（，）；

（3）若BP为平行四边形的对角线，
则PQ∥BM，PQ=BM，
则P、Q关于直线x=-1对称，
∴Q（，）；

若BP为平行四边形的边，
如图，QP∥BM，QP=BM，
同上可得：Q（，）；

如图，BQ∥PM，BQ=PM，
∵点Q的纵坐标为，代入中，
解得：或（舍），
∴点Q的坐标为（，）；

如图，BP∥QM，BP=QM，
∵点Q的纵坐标为，代入中，
解得：（舍）或，
∴点Q的坐标为（，）；

综上：点Q的坐标为（，）或（，）或（，）．