初中数学北师大版九年级上册6 应用一元二次方程综合训练题

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北师大版数学 九上第二章 2.6一元二次方程的应用
一． 选择题（共30分）
1.如图，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要504m2，则修建的路宽应为（　　）

A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设修建的路宽应为x米
根据等量关系列方程得：(20-x)(30-x) =504，
解得：x1=48（不合题意，舍去），x2=2
故答案为：C．
2.牧民要围成面积为35m2的矩形羊圈，且长比宽多2米，则此羊圈的周长是（　　）
A．20米 B．24 米 C．26 米 D．20或22米
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设宽为x米，则长为（x+2）米，
根据题意可得：x（x+2）=35，
解得：x=5或x=－7（舍去），
∴x+2=5+2=7米，
则周长=（5+7）×2=24米．
故答案为：B

3.某广场有一块正方形的空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草，若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为3m，种植花草的区域的面积为100m，设水池半径为xm，可列出方程（　　）

A．（2x+3）2﹣πx2＝100 B．（x+6）2﹣πx2＝100
C．（2x+3）2﹣2x2＝100 D．（2x+6）2﹣2πx2＝100
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设水池半径为xm，正方形的边长为(2x+6)m，
根据题意列出方程（2x+6）2﹣2πx2＝100．
故答案为：D．
4.李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物30件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为（　　）
A．n(n+1)2=30 B．n（n﹣1）＝30
C．n(n−1)2=30 D．n（n＋1）＝30
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物30件，若设有n人参加聚会，每人送出(n−1)件礼物，根据题意可列出方程为n(n−1)=30
故答案为：B

5.《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为（　　）
A．2x+2（x+12）＝864 B．2x+2（x﹣12）＝864
C．x（x+12）＝864 D．x（x﹣12）＝864
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形田地的长为x步，
∵它的宽比长少12步，
∴矩形的宽为（x-12）步，
∵一个矩形田地的面积等于864平方步，
∴x(x−12)=864．
故答案为：D．
6.某商场在销售一种日用品时发现，如果以单价20元销售，则每周可售出100件，若销售单价每提高0.5元，则每周销售量会相应减少2件．如果该商场这种日用品每周的销售额达到2024元．若设这种日用品的销售单价为x元，则根据题意所列方程正确的是（　　）
A．（20+x）（100﹣2x）＝2024 B．（20+x）（100﹣2x0.5）＝2024
C．x[100﹣2（x﹣20）]＝2024 D．x（100﹣x−200.5×2）＝2024
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
x(100−x−200.5×2)=2024，
故答案为：D．
7.如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（ ）

A． B．或 C． D．
【答案】A
【分析】
设出动点P，Q运动t秒，能使的面积为，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】
解：设动点P，Q运动t秒，能使的面积为，
则BP为(8-t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积公式列方程得
(8-t)×2t=15，
解得t1=3，t2=5（当t2=5，BQ=10，不合题意，舍去）
∴动点P，Q运动3秒，能使的面积为．
故选A．
8．如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽，利用矩形的面积的计算方法得到方程即可．
【详解】
解：根据题意得：；  
故答案为：．
故选C．

9.某市2019年年底自然保护区覆盖率为15%，经过两年努力，预计该市2021年年底自然保护区覆盖率将会达到21.6%，则该市这两年自然保护区面积的平均增长率为（ ）
A．25% B．20% C．6.6% D．3.3%
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程增长率应用公式计算即可；
【详解】
设这两年自然保护区面积的平均增长率为x，
依题意得，
解得：，（舍）；
故答案选B．
10．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．若设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，根据增长率公式列式即可；
【详解】
则可列方程为，
故选D．
二．填空题（共24分）
11.如图，李大斧要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇1m宽的门．若要使羊圈的面积为80m2，则所围矩形与墙垂直的一边长为　 　m．

【答案】8
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设所围矩形与墙垂直的一边长为x米时，羊圈面积为80平方米，此时所围矩形与墙平行的一边长为(25+1−2x)米，
依题意得：x(25+1−2x)=80，
整理得：x2−13x+40=0，
解得：x1=5，x2=8．
当x=5时，25+1−2x=25+1−2×5=16>12，不符合题意，舍去；
当x=8时，25+1−2x=25+1−2×8=10<12，符合题意．
即：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，羊圈面积为80平方米．
故答案为：8．

12.方程x2﹣6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是　 　．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的其他应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：解方程x2-6x+8＝0，
得x1＝2，x2＝4，
当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，
∴等腰三角形周长=4+4+2＝10．
故答案为：10．

13.有1个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，那么平均每轮传染 　 　人.
【答案】5
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设平均每轮传染x人，
1+x+(1+x)x=36，
解得x1=5，x2=−7 (不符合题意，舍去)，
答：平均每轮传染5人，
故答案为：5.


14.如图，在一个长为40 m，宽为26m的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中 AB=CD=EF=GH=xm ，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为 864m2 ，那么 x=　 　m.

【答案】2
【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（40 − 2x）（26 − x）=864，
整理，得x2− 46x+88=0.
解得，x1=2，x2=44.
∵44＞40（不合题意，舍去），
∴x=2.
答：小道进出口的宽度应为2米.
故答案为：2.

15.某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为　 　元．
【答案】55
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，
w＝（x−40）[200＋（60−x）×20]＝−20（x−55）2＋4500，
∴当x＝55时，w取得最大值，此时w＝4500．
故答案为：55．

16.两位数，个位数字比十位数字大3，个位数的平方恰好等于这个两位数，这个两位数是　 　.
【答案】25或36
【知识点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是10（x-3）+x，
依题意得： x2=10(x−3)+x,
∴x2−11x+30=0,
∴x1=5,x2=6,
∴x-3=2或3.
答：这个两位数是25或36.
故答案为：25或36.
二． 解答题（共46分）
17. （8分）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤整怀古》：“而立之年东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”课文是：周瑜在而立之年（30-40岁）掌管东吴，英年早逝时的年龄是个两位数，十位数字刚好小个位数字三，个位数字的平方就是他逝世时的年龄．请问，哪位学生算得快，周瑜逝世时的年龄是多少岁？请根据以上信息列出方程，并求解．
【详解】解：设周瑜逝世时年龄的十位数字是x，则个位数字为x+3，
根据题意可的：10x+（x+3）＝（x+3）2，
化为一般形式得：x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝2，x2＝3，
当x＝2时，（x+3）2＝25，
当x＝3时，（x+3）2＝36，
又∵周瑜的年龄在30-40岁之间，
∴周瑜逝世时的年龄是36岁．

18.（8分）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的解．

（1）请用含字母的代数式表示的长；
（2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．
【答案】（1），；（2）正确性：的长就是方程的正根．遗憾之处：图解法不能表示方程的负根
【详解】
解：（1），
．
．（4分）
（2）用求根公式求得．（7分）
正确性：的长就是方程的正根．
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．


19.（10分）．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：
（1）每千克茶叶应降价多少元？
（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的   几折出售？
【详解】
（1）设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得：
（400﹣x﹣240）（200+×40）=41600．
化简，得：x2﹣10x+2400=0．
解得：x1=30，x2=80．
答：每千克茶叶应降价30元或80元．
（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．
此时，售价为：400﹣80=320（元），．
答：该店应按原售价的8折出售．


20.（10分）“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设.渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时.
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米?
（2）专家建议：从安全的角度考虑,实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加小时，求m的值.
【详解】
试题解析：（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：，
解得：，
答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；
（2）由题意可得出：，
解得：，（不合题意舍去），
答：m的值为20．
21.（10分）博物馆决定在一层的靠墙处，用55米长的可拆卸的屏风墙围成三个相连的矩形展厅．如图所示，展厅的总面积为200平方米．为了方便游客进出，在展厅的四周（除围墙）和各场地之间留出了1米的缺口作为出入口．若设米，且（考虑到场地因素）．

（1）求该展厅的长度为多少米；
（2）该馆现有两名布置场馆的师傅，已知王师傅平均每天布置展厅的面积是刘师傅的1.5倍，刘师傅独自完成布置工作比王师傅独自完成多2天，则刘师傅平均每天可完成布置展厅的面积为多少平方米．
【答案】（1）展厅的长度为5米；（2）刘师傅平均每天可布置展厅平方米．
【详解】
解：（1）由题意可得，的长为x米，
则的长为米，
根据题意得：，
解得，（舍去）．
答：展厅的长度为5米；
（2）设刘师傅平均每天可完成布置展厅的面积为m平方米，则王师傅平均每天可完成布置展厅的面积为1.5m平方米．
根据题意得，
解得.
经检验，是原分式方程的解，且符合实际．
答：刘师傅平均每天可布置展厅平方米．