高考数学二轮专题复习数列的本质——函数迭代

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专题7 数列的本质—函数迭代
第一讲 函数迭代和数列的关系
已知函数满足，则一定有，故函数通过反复迭代产生的一系列数构成了数列或者记为，而数列的每一项与函数迭代的关系可以如下表所示：
下面以函数和数列
数列






……


函数






……


数列









数列









函数




16x+15

……


可以发现：
1．数列的递推式和函数的迭代式是有着相同的法则的，故数列的任何一项都在函数上．
2．数列的通项公式是函数对迭代次的结果，即，每一次由于迭代产生出的因变量成为下一次迭代的自变量．
3．数列的首项对整个数列有很大的影响，当迭代不断重复出现同一结果时，我们将其称为不动点．
秒杀秘籍:第二讲 函数的迭代图像——蛛网图
函数的迭代图像，简称蛛网图或者折线图，函数和直线共同决定．
其步骤如下：
1．在同一坐标系中作出和的图像（草图），并确定不动点．（如图1所示）

图1 图2
2．在找出不动点之后，确定范围，将不动点之间的图像放大，并找出起始点（如图2所示）
3．由向作垂直于轴的直线与相交，并确定交点．
4．由向作平行于轴的直线与相交，并确定交点．
5．由向作垂直于轴的直线与相交，并确定交点．
重复4，5，直至找到点的最终去向．
【例1】设数列满足，求的通项公式．
















图3 图4

【例2】设数列满足 证明：存在常数，使得对于任意的，都有．




















【例3】首项为正数的数列{an}满足若对，一切都有，求a1的取值范围．

图5 图6


图7 图8










第三讲 蛛网图与数列的单调性
定理1：的单调增区间存在两个不动点x1，x2（x1 定理2：的单调增区间存在两个不动点x1，x2（x1
图9 图10
综上可得，当的单调增区间位于上凸内或者下凹外时，即当迭代起点位于此区域时，一定有同理，当迭代起点位于单调增区间的上凸外或者下凹内时，一定有．
数列的极限
根据蛛网图可知，当一数列为单调上凸曲线时，迭代点会无限靠近大的不动点，我们将这个大的不动点称为数列的极限，记为；当一数列为单调下凹曲线时，迭代点会无限靠近小的不动点，我们将这个小的不动点称为数列的极限，记为．
几种常见的函数迭代图（未画折线）


顶点为不动点抛物线 顶点为不动点的抛物线 横着的抛物线 二四象限反比例函数的平移函数
请思考：

第四讲 由耐克函数的迭代产生的数列
1．已知函数，数列满足，求不动点得，，故不动点为耐克函数的顶点（图11），思考：为什么的不动点一定是顶点？
2．已知函数，数列满足，求此函数的不动点得，，故可知不动点为耐克函数的顶点（图12）．

图11 图12
结论：耐克函数一般为收缩函数，即．
【例4】数列满足，若则_________．






【例5】数列满足，若，则_________．








【例6】设，数列满足，求证：，且．

















【例7】数列满足：，求证：．


















第五讲 迭代函数与周期数列问题
已知，求的通项可由函数和直线的折线图决定．函数和直线一定没有交点，即函数一定没有不动点．
定理3 当时，．
例如：（反比例函数，如图13）；（与直线垂直的直线，如图14）
，当（将反比例函数向右向上移动相等的距离得到的图像，如图15）

图13 图14 图15
定理4 函数，当时，
（将反比例函数仅向右或者向上移动相同单位得到的图像，如图16，图17）。

图16 图17 图18
定理5 函数，当时，；
（将反比例函数向右向下移动相等的距离得到的图像，如图18）．
*定理6 函数，当时，每迭代六次为一周期；当，则不会出现迭代周期．
【例8】设是实数集的真子集，且满足下列两个条件：①；②若.则，问：
（1） 若，则中一定还有哪几个数？（2）集合中能否只有一个元素？说明理由．










【例9】已知集合的元素全为实数，且满足：若，则．
（1）若，求出中其它所有元素；
（2）是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？
（3）根据（1）（2），你能得出什么结论．











【例10】已知数列中，，求的通项公式．











第六讲 摆动数列以及由求导构造函数单调性来解决数列问题
由反比例（递减函数）函数迭代构成的摆动数列，如图19所示，当在区间为减函数时，和直线相交于不动点，那么由此函数迭代构成的数列为摆动数列，即奇数项和偶数项构成相反的单调性，但都螺旋靠近不动点，极限也是不动点。如图19所示，同时；如图20所示，同时．

图19 图20




















达标训练
1．一给定函数的图像如图所示，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图像是（ ）
A B C D









2．已知函数，当时，那么与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．数列满足，若，则 ．
4．数列满足，若，则 ．
5．数列满足，且无论为何值，数列只有两个值，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019•绍兴一模）已知数列满足：，，是数列的前项和，且满足，则不可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2018•杭州期末）设，记，，2，3，，则（ ）
A．当时，不等式恒成立 B．当时，单调递增
C．当时，单调递减 D．当时，不等式有解
8．（2018•洮北期末）已知数列满足，，2，3，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2019•福州期中）已知数列满足，，则使成立的最大正整数的值为（ ）
A． B． C． D．

10．（2019•福清期中）已知为数列前项和，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2018•杨浦期中）若数列满足且，则为（ ）
A． B． C． D．
12．（2016•泉州二模）已知数列中，，，若为单调递减数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2019•东城一模）已知数列满足：，，则下列关于的判断正确的是（ ）
A．，，使得 B．，，使得
C．，，总有 D．，，总有
14．（2016•温州二模）数列是递增数列，且满足，，则不可能是（ ）
A． B． C． D．
15．（2016•长宁三模）已知数列满足，首项，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．已知数列满足且.求证：．







17．已知数列满足，求证：．









18．对任意函数，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据，经数列发生器输出；
②若，则数列发生器结束工作；若，则将反馈回输入端，再输出，并依此规律继续下去，如图所示，现定义；
（1） 若输入，则由数列发生器产生数列，请写出的前三项；
（2） 若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据的值；
（3）若输入时，产生的无穷数列，满足对任意正整数均有，求的取值范围．



19．（2010•全国卷）已知数列{an}中，．求使得不等式成立的c的取值范围．



20．（2007•广东）已知函数，，是方程的两个根，是的导数，设，，2，．
（1）求，的值；
（2）证明：对任意的正整数，都有；
（3）记，2，，求数列的前项和．



21．（2009•陕西）已知数列满足，，．
（1）猜想数列的单调性，并证明你的结论；
（2）证明：．