北师大版数学 九上第二章 一元二次方程 单元测试提升卷 A卷

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北师大版数学 九上 第二章《一元二次方程》单元测试提升卷 A卷
一．选择题（共30分）
1．方程x（x﹣5）＝2（x﹣5）的解是（　　）
A．﹣5 B．2 C．2或﹣5 D．2或5
【答案】D
解：∵x（x﹣5）＝2（x﹣5），
∴x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0，
则（x﹣5）（x﹣2）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝5，x2＝2，
故选：D．
2．观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（ ）

-1.13
-1.12
-1.11
-1.10
-1.09
-1.08
-1.07

4.67
4.61
4.56
4.51
4.46
4.41
4.35

A．-1.124 B．-1.118 C．-1.088 D．-1.073
【答案】B
解：∵时，；时，；
∴时，对应应满足，
∴原方程的近似解为：-1.118，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的近似解，理解表格中的数据，掌握求近似解的方法是解题关键．
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
解：，
，
，
，，，
△，
有两个不相等的实数根．
故选：．
4.一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，
其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：∵，
∴或，
故选C
5．用配方法解方程，配方后的方程是（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：



故选：A．
6．如图，某小区有一块长为45米，宽为36米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形草地，它们的面积之和为1080平方米，两块草地之间及周围都是宽度相同的人行通道，求人行通道的宽度为（ ）米

A．3 B．30 C．4 D．5
【答案】A
解：设人行通道的宽为x米，则两块草地可合成长为（45-3x）米，宽为（36-2x）米的矩形，
依题意得：（45-3x）（36-2x）=1080，
整理得：x2-33x+90=0，
解得：x1=3，x2=30（不合题意，舍去）．
所以，人行通道的宽为3米．
故选：A
7.定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（       ）
A． 有一个实根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
答案 B
解：根据新运算法则可得：，
则即为，
整理得：，
则，
可得：
，
；
，
方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
8．已知△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则m的值等于（　　）
A．12 B．16 C．﹣12或﹣16 D．12或16
答案 ．D
解：∵△ABC为等腰三角形，
若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，
则①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0，
∴m＝12；
②AB＝AC，此时方程的判别式为0，
∴Δ＝64﹣4m＝0，
∴m＝16．
故m的值等于12或16．
故选：D．
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（　　）
A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2
答案．B
解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×1＝7．
故选：B．

10.爷爷的生日晚宴上，大家两两碰杯一次，总共碰杯45次，那么有几人参加了这次宴会？（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【答案】C
解：设有x人参加了这次宴会，根据题意列方程得，
，
解得x₁＝10，x₂＝−9（不合题意，舍去），
∴有10人参加了这次宴会．
故选：C．
二． 填空题（共24分）
11.若x1，x2是一元二次方程x2−2x−8=0的两个实数根，则x1+x2x1x2=　 　.
【答案】−14
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2−2x−8=0的两个实数根 ，
∴x1+x2=2，x1x2=-8，
∴x1+x2x1x2=−14，
故答案为：−14.

12.已知关于x的一元二次方程x2+kx−1=0的一个根是2，则k的值为　 　．
【答案】−32
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x2+kx−1=0，
∴x1+x2=−ba=−k，x1·x2=ca=−1，
∵一元二次方程的一个根是2，
∴一元二次方程的另外一个根是−12，
∴−k=−12+2，
∴k=−32.
故答案为：−32.
13.若边长为5的菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−4=0两根的2倍，则m的值为　 　．
【答案】-4
【知识点】菱形的判定与性质；列一元二次方程
【解析】【解答】a+b＝﹣2m﹣1，ab＝m2﹣4．
∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）＝2m2+4m+9＝52＝25，
解得：m＝﹣4或m＝2．
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＝﹣2m﹣1＞0，
∴m＝﹣4．
若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣4，
故答案为：﹣4
14.某公司5月份的营业额为万，7月份的营业额为万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为______．
【答案】
解：设平均每月的增长率为，
由题意得，
解得，（不合题意，舍去）
所以平均每月的增长率为．
故答案为：．
15.某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，
如果每天要盈利800元，每件应降价________元．
【答案】10
解：设每件降价 元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
根据题意得：，
解得：，．
要尽快减少库存，
．
故每件应降价10元．
故答案为：10．
16.关于x的方程2x2−4x−3=0的正实数根的取值范围是52 答案】5 
【解析】∵b2−4ac=(−4)2−4×2×(−3)=40>0，
∴x=−(−4)±402×2= 2±102．
∴方程的正实数根是2+102
∵3<10<4，
∴52<2+102< 3，
∵52 ∴k−2的最小值为3，
∴整数k的最小值为5．

三．解答题（共46分）
17.（8分）．解方程；
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）2x2﹣7x+3＝0．
答案 （1） x1＝1，x2＝﹣5；（2）x1＝，x2＝3．
【分析】依据每个一元二次方程的特点来解方程，（1）用分解因式法解；（2）用因式分解法中的十字相乘法来解.
【详解】解：（1）方程分解因式得：（x﹣1）（x+5）＝0，
可得x﹣1＝0或x+5＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣5；
（2）分解因式得：（2x﹣1）（x﹣3）＝0，
可得2x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝，x2＝3．
18．（8分）超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价6元，则平均每天销售数量为多少件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【答案】（1）解：20+6×2=32（件）
答：平均每天销售数量为32件；
（2）解：设每件商品降价 x元时， 该商店每天销售利润为1200元，由题意，
得（40-x）（20+2x）=1200
解得x1=20，x2=10，
∵在让顾客得到更大实惠的前提下进行的降价，
∴x=20，
答：当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元

19．（10分）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米．
（1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？

【答案】（1）这个车棚的长为10米，宽为8米．（2）小路的宽度是1米．
【分析】
（1）设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，依据题意列方程求解即可；
（2）设小路的宽度是m米，则停放自行车的区域可合成长为（10﹣m）米，宽为（8﹣2m）米的长方形，依据题意列方程求解即可．
【详解】
解：（1）设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，
依题意得：x•＝80，
整理得：x2﹣28x+160＝0，
解得：x1＝8，x2＝20．
又∵这堵墙的长度为12米，
∴x＝8，
∴＝10．
答：这个车棚的长为10米，宽为8米．
（2）设小路的宽度是m米，则停放自行车的区域可合成长为（10﹣m）米，宽为（8﹣2m）米的长方形，
依题意得：（10﹣m）（8﹣2m）＝54，
整理得：m2﹣14m+13＝0，
解得：m1＝1，m2＝13．
当m＝1时，10﹣m＝9，8﹣2m＝6，符合题意；
当m＝13时，10﹣m＝﹣3，不合题意，舍去．
答：小路的宽度是1米．

20（10分）．已知关于的方程．
（1）若是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根．
（2）若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
【答案】（1）k的值为1，方程的另一根为2；（2）△ABC的周长为10．
【分析】
（1）把x=1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值；然后根据根与系数的关系来求方程的另一根；
（2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答．
【详解】
解：（1）把x=1代入，得
1-(2k+1)+4(k-)=0，
解得k=1．
设方程的另一根为t，则t=4(k-)=2．
即k的值为1，方程的另一根为2；
（2）x2-（2k+1）x+4k-2=0，
整理得（x-2）[x-（2k-1）]=0，
∴x1=2，x2=2k-1，
当a=4为等腰△ABC的底边，则有b=c，
因为b、c恰是这个方程的两根，则2=2k-1，
解得k=，则三角形的三边长分别为：2，2，4，
∵2+2=4，这不满足三角形三边的关系，舍去；
当a=4为等腰△ABC的腰，
因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k-1=4，解得k=，
则三角形三边长分别为：2，4，4，
此时三角形的周长为2+4+4=10．
所以△ABC的周长为10．

21.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，
沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，
沿边AB向点B以每秒 个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．
点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，
设运动时间为t秒（t≥0）．

(1)当t=3时，求PD的长？
(2)当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？
(3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
解：（1）当t=3时，AD=5，AP=3，
，
；
（2）∵由题意可得：CQ＝2t，AP＝t， ，
∴BQ＝8﹣2t，CP＝8﹣t，
又∵PD⊥AC，
，
∵∠C=90°，BC=8，AC=6，
得S△ABC=，
∵S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD= S△ABC，
∴ ，
解得 ，
（不合题意，应舍去），
∴当 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半；
（3）存在 ，
由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，
若BQ与PD相等，则四边形BQPD为平行四边形，
即： t＝8﹣2t
解得t＝2.4．
答：存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形．