海南省文昌中学2023届高三模拟预测数学试题（含解析）

这是一份海南省文昌中学2023届高三模拟预测数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

海南省文昌中学2023届高三模拟预测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知全集，集合，则（    ）
A． B． C． D．
2．若复数，则（    ）
A． B． C．3 D．5
3．已知正项等比数列，若，则（    ）
A．16 B．32 C．48 D．64
4．已知向量，且，则（    ）
A． B． C．或 D．或
5．苂光定量PCR是一种通过化学物质的苂光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法.在PCR扩增的指数时期，苂光信号强度达到阀值时，DNA的数量与扩增次数满足，其中为DNA的初始数量，为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率约为（    ）（参考数据：）
A． B． C． D．
6．的展开式中的系数是63，则（    ）
A．1 B．3 C．2 D．4
7．已知四棱柱的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点是侧棱上的点，且.若点在侧面（包括其边界）上运动，且总保持，则动点的轨迹长度为（    ）
    
A． B． C． D．
8．已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（    ）
A． B．
C． D．

二、多选题
9．交通事故是造成道路堵塞的主要原因之一.如图，这是某市连续16日的各类交通事故发生次数统计图.若当日各类交通事故发生次数小于100表示道路通畅，当日各类交通事故发生次数大于200表示道路严重拥堵，其余情况表示道路中度拥堵，则下列说法正确的是（    ）
  
A．这16日道路中度拥堵的频率为0.375
B．这16日交通事故发生次数的极差为192
C．这16日交通事故发生次数的中位数为202
D．这16日交通事故发生次数的平均值小于200
10．已知函数是的一个极值点，是与其相邻的一个零点，则（    ）
A． B．
C．直线是函数的对称轴 D．
11．已知圆和圆的交点为，直线：与圆交于两点，则下列结论正确的是（    ）
A．直线的方程为
B．圆上存在两点和，使得
C．圆上的点到直线的最大距离为
D．若，则或
12．已知偶函数满足，则下列说法正确的是（    ）
A．函数是以2为周期的周期函数 B．函数是以4为周期的周期函数
C．函数为偶函数 D．函数为奇函数

三、填空题
13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
14．已知椭圆的左､右焦点分别为，左顶点为，上顶点为，点是椭圆上位于第一象限内的点，且为坐标原点，则椭圆的离心率为 .
15．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线翻折，取的中点，连接，若，则三棱锥的外接球的半径为 .
16．已知各项都不为0的数列的前项和满足，其中，设数列的前项和为，若对一切，恒有成立，则能取到的最大整数是 .

四、解答题
17．实验发现，猴痘病毒与天花病毒有共同抗原，两者之间有很强的血清交叉反应和交叉免疫，故猴痘流行的时候可接种牛痘疫苗预防.某医学研究机构对120个接种与未接种牛痘疫苗的密切接触者进行医学观察后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：

感染猴痘病毒
未感染猴痘病毒
未接种牛痘疫苗
20
30
已接种牛痘疫苗
10
60
(1)根据上表，分别估计在未接种牛痘疫苗和已接种牛痘疫苗的情况下，感染猴痘病毒的概率；
(2)是否有的把握认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关？
附：.

0.1
0.05
0.010

2.706
3.841
6.635
18．已知数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
19．在中，角所对的边分别为，.
(1)求角的值；
(2)若，边上的中点为，求的长度.
20．如图所示，在多面体中，底面为矩形，且底面∥.
  
(1)证明：∥平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
21．已知函数.
(1)若存在两个极值点，求实数的取值范围；
(2)若，且在上有两个极值点，求证：.
22．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，
(1)求的值.
(2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

参考答案：
1．A
【分析】根据集合的并集运算求得，再根据补集的定义即可求得答案.
【详解】由题意知，
所以,
故选：A
2．D
【分析】根据复数的乘法以及复数的模的计算公式，即可求得答案.
【详解】因为，
所以，
故选：D
3．B
【分析】根据等比中项，先求出，然后根据求出公比，最后求
【详解】根据等比中项，，
又是正项数列，故（负值舍去）
设等比数列的公比为，由，
即，解得（正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），
故
故选：B
4．C
【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，可得，
所以，解得或.
故选：C.
5．C
【分析】根据题意，得出方程，结合对数的运算性质，即可求解.
【详解】由题意，可得，即，
所以，可得，
解得.
故选：C.
6．C
【分析】根据二项式定理，写出通项，利用赋值法，可得答案.
【详解】展开式的通项为，
令，解得，
因为的系数是63，所以，解得.
故选：C.
7．D
【分析】先找到过点与垂直的平面与侧面的交线，从而求解.
【详解】  
如图，在侧棱上取一点，使得，连接，
过点作交于点，交于点，连接，
由，可知，
平面，，
从而平面，所以，
又由在平面内的射影，所以，
平面，，
知平面，平面，所以，
所以动点的轨迹为线段，
在中，，所以，
则，得
易得.
故选：D
8．B
【分析】根据双曲线的定义及勾股定理得出，再根据点在双曲线上求双曲线方程.
【详解】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，
如图所示，过点作于点.
  
因为，所以，
因为，
所以，所以，
故，得.
因为，所以，故点，
将代入双曲线中，
即，化简得，
，
解得或（舍去），故B项正确.
故选：B.
9．AD
【分析】根据样本数据的特征，结合折线图中的数据逐一分析每个选项即可.
【详解】这16日道路中度拥堵的频率为，故A项正确；
极差为，故B项错误；
根据中位数定义，中位数：，故C项错误；

，故D项正确.
故选：AD
10．BC
【详解】对于A，根据正弦型函数的周期性的性质，结合周期计算公式，可得答案；
对于B，利用整体思想，根据正弦函数的极值性质，建立方程，可得答案；
对于C，利用整体思想，根据正弦函数的对称性，建立方程，可得答案；
对于D，利用函数解析式，可得答案.
【分析】对于A，因为函数的最小正周期为，所以，所以，故A项错误；
对于B，因为是的一个极值点，所以，所以，因为，所以，故B项正确；
对于C，，当时，，故C项正确；
对于D，，故D项错误.
故选：BC
11．CD
【分析】将两圆方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断两圆相交，将两圆方程作差得到公共弦方程，即可判断A，再利用弦长公式判断B，求出到的距离，即可判断C，圆心到直线的距离为，即可得到方程，判断D.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以，
所以两圆相交，所以将两圆的方程作差可得，
即直线的方程为，故A错误；
圆心到直线的距离为，所以，
对于圆上的任意两点，，故B错误；
圆上的点到直线的距离的最大值为，故C正确；
因为，所以圆心到直线的距离为，所以，
故或，故D正确.
  
故选：CD
12．BD
【分析】根据偶函数满足可推出，可判断A,B；利用函数奇偶性的定义，结合已知，可判断C,D.
【详解】由题意知偶函数满足，则，
即，故，
故函数是以4为周期的周期函数，故A错误，B正确；
令，则
，
故函数是奇函数，
由于此函数的函数值不一定恒为零，
故一般情况下不是偶函数，C错误；
令，则，
由于，故，
即，
所以，即函数为奇函数，D正确，
故选：BD
13．
【分析】求出在处的导数值，求出，即可得出切线方程.
【详解】，则，
从而曲线在点处的切线方程为.
故答案为：.
14．/
【分析】（1）由可得，从而求得，再根据可得，再结合离心率公式即可求解.
【详解】设为半焦距，因为，所以，故点，
因为，所以，即，整理得，
所以，得，又，所以.
故答案为：
  
15．/
【分析】由题意可得和都是等边三角形，取的中点，可得平面，取的外心为，过作，则三棱锥的外接球的球心在直线上，然后在Rt和Rt中求解即可.
【详解】如图所示，易知和都是等边三角形，取的中点，则
，由题意得，则，
因为，所以，
所以，所以，所以，
因为平面平面，所以.
    
因为平面，所以平面，
在Rt中，，
取的外心为，过作∥，则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接，
令，在线段上取点，使得，连接，，
则在Rt和Rt中，
可得，所以，解得.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查棱锥的外接球问题，解题的关键是根据题意找出外接球的球心的位置，从而可求出球的半径，考查计算能力和空间想象能力，属于较难题.
16．
【分析】根据题意推得，利用等差数列的通项公式，求得的通项公式为，得到，令，结合，求得最小时为，根据恒成立，求得，即可求解.
【详解】因为，当时，，
两式相减可得，即，
因为数列的各项都不为0，所以，
因为，所以，
数列的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列，所以；
数列的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，所以，
故数列的通项公式为，可得，所以，
令，
，
，则，
所以随着的增大而增大，即在处取最小值，，
又因为对一切，恒有成立，所以，解得，
故能取到的最大整数是.
故答案为：.
17．(1)
(2)有的把握认为密切接触者末感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关.

【分析】（1）根据表中的数据分别求出未接种牛痘疫苗和已接种牛痘疫苗的情况下，感染猴痘病毒的频率，然后利用频率来衡量概率；
（2）根据公式计算，然后根据临界值表中的数据分析判断.
【详解】（1）由题意可知，末接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为
已接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为.
（2）列联表如下

感染猴痘病毒
未感染猴痘病毒
合计
未接种牛痘疫苗
20
30
50
已接种牛痘疫苗
10
60
70
合计
30
90
120
则，
所以有的把握认为密切接触者末感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关.
18．(1)
(2)

【分析】（1）由和与项的关系求得，进而判断数列是等差数列，从而利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）由（1）求得，进而，最后利用裂项相消求和法即可求解.
【详解】（1）当时，，
当时，
因为对也成立.
所以，所以数列是等差数列，
则公差，
故.
（2）因为，
所以，
故.
19．(1)
(2)

【分析】（1）切化弦后，利用两角和的正弦公式求解；
（2）利用平面向量数量积可求出结果.
【详解】（1），，
，，
，，
.
（2）是边上的中线，
，
，
.
20．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）取线段的中点，连接，则利用三角形中位线定理结合已知条件可得四边形是平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由题意可得，所以以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：取线段的中点，连接，
因为四边形是矩形，且，
所以且
因为且且，
所以且，
所以且
所以四边形是平行四边形，则，
因为平面平面，所以平面
（2）因为底面平面，所以，
因为
所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
  
则，.
设平面的法向量为，则
，令，则，
故平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
由，取，则，
故平面的一个法向量，
则.
设平面与平面的夹角为，则.
21．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）求得，根据题意得到方程有两个不等实根，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）由，求得，根据题意转化为是方程在的两个根，求得，结合韦达定理，化简得到，转化为证明，令，利用导数求得函数的单调性，结合，即可得证.
【详解】（1）由函数，可得，
因为存在两个极值点，即方程有两个不等实根，
即方程有两个不等实根，
所以，解得，所以实数的取值范围为.
（2）由，
可得，
因为在上有两个极值点，即是方程的两个根，
令，则满足，解得，
因为，且
由
，
将代入上式，可得，
根据题意，只需证，
令，其中，
可得，
当时，，则在上单调递减，即，
即当时，，所以.
【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22．(1)
(2)是，3

【分析】（1）利用图中的几何关系以及抛物线的定义求解；
（2）直线的方程为以及点的坐标，将直线方程与抛物线方程联立由韦达定理以及得到与的关系式，利用直线与抛物线相切求出直线的方程，用点到直线的距离公式即可求出点到直线与到直线的距离之比.
【详解】（1）如图所示，过点作，垂足为交轴于点，
由题得，所以，
因为，所以△是等边三角形，
因为是的中点，所以，
故，
所以，，所以，所以，即.
  
（2）由（1）可知抛物线的方程是，
设直线的方程为，，
因为，所以，
即，即.
又，所以，故.
联立，消去，得，其中，
则，
所以，所以.
设点到直线和直线的距离分别为，
则由得，
所以点到直线与到直线的距离之比是定值，定值为3.
【点睛】解决定值问题的途径就是用部分量去表示所求的量，本题就是利用韦达定理及其已知条件先找到部分量之间的关系，再用部分量去表示所求的量，最后用部分量之间的关系消元,即可得到定值.