高中6.4 平面向量的应用课后练习题

这是一份高中6.4 平面向量的应用课后练习题，共3页。

6.4.3 余弦定理、正弦定理 6.4.3.1 余弦定理
A级　基础巩固
1.△ABC的三个内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p∥q,则角C等于 (　　)
A. B. C. D.
解析:因为p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),p∥q,
所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,
整理,得b2+a2-c2=ab,
所以cos C===,解得C=.
答案:B
2.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若>0,则△ABC (　　)
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.是锐角三角形或直角三角形
解析:由>0,得-cos C>0,
所以cos C<0,
所以C为钝角,即△ABC一定是钝角三角形.
答案:C
3.已知△ABC的两边长a,b是方程x2-2x+2=0的两个实数根,且有2 cos(A+B)=1,则第三边长c等于　　　　. 
解析:易知cos C=-cos(A+B)=-,
所以C=120°.
因为a,b是方程x2-2x+2=0的两个实数根,
所以
所以c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-2abcos 120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=(2)2-2=10,
即c=.
答案:
4.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b=　　　　. 
解析:因为b+c=7,所以c=7-b.
由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,
即b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×(-),
解得b=4.
答案:4
5.在△ABC中,已知sin C=,a=2,b=2,求边c.
解:因为sin C=,且0 所以C=或.
当C=时,cos C=,
此时,c2=a2+b2-2abcos C=4,即c=2.
当C=时,cos C=-,
此时,c2=a2+b2-2abcos C=28,即c=2.
B级　能力提升
6.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=,且b A.3 B.2 C.2 D.
解析:由a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+12-6b,
解得b=2或4.因为b 答案:C
7.如图所示,△ABC的内切圆O切边AC于点E,且AE=1,EC=3.若2B=A+C,则AB的长等于　　　　. 

解析:由于2B=A+C,所以B=.
根据切线长定理可知AF=AE=1,EC=DC=3.
设BF=BD=x,则由余弦定理,得
cos ==,
解得x=-2,
所以AB=AF+BF=1+-2=-1.
答案:-1
8.在△ABC中,AB=2,AC=,BC=1+,若AD为边BC上的高,则AD的长是　　　　. 
解析:因为cos C==,
所以sin C=,
所以AD=ACsin C=.
答案:
9.(2022·北京卷)在△ABC中,sin 2C=sin C.
(1)求C;
(2)若b=6,且△ABC的面积为6,求△ABC的周长.
解:(1)因为sin 2C=sin C,
所以2sin Ccos C=sin C,
因为C∈(0,π),
所以sin C≠0,
所以cos C=,C=.
(2)因为△ABC的面积S=absin C=×a×6×=6,所以a=4.
由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=48+36-72=12,所以c=2,
所以△ABC的周长为a+b+c=4+6+2=6(+1).
C级　挑战创新
10.(2022·全国甲卷,理)已知△ABC中,点D在边BC上,
∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=　　　　. 
解析:设BD=k(k>0),则CD=2k.

根据题意作出大致图形,如图.在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos ∠ADB=22+k2-2×2k×(-)=k2+2k+4.在
△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=
22+(2k)2-2×2×2k×=4k2-4k+4,则===4-=4-=4-,
因为k+1+≥2(当且仅当k+1=,
即k=-1时等号成立),
所以≥4-=4-2=(-1)2,
所以当取得最小值-1时,BD=k=-1.
答案:-1