6.4 平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理 6.4.3.2 正弦定理
A级　基础巩固
1. 在△ABC中,A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=bsin A,则
sin B= (　　)
A. B. C. D.-
解析:由正弦定理,得sin A=sin Bsin A,故sin B=.
答案:B
2.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若 2b=ccos B+bcos C,则= (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:根据正弦定理得到2sin B=sin Ccos B+sin Bcos C=sin(B+C)=sin A,进而得到2b=a,故=2.
答案:B
3.在△ABC中,若3b=2asin B,cos A=cos C,则△ABC的形状为 (　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析:由正弦定理,知3b=2asin B可化为3sin B=2sin Asin B.
因为0° 因为cos A=cos C,所以A=C,所以A=60°,所以△ABC为等边三角形.
答案:C
4.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8,则角B的大小是　　　　.
解析:设sin A=5k,sin B=7k,sin C=8k,===m,所以a=5km,b=7km,c=8km,
所以由余弦定理,得cos B=,所以B=.
答案:
5.(2022·新高考全国Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=,sin B=.
(1)求△ABC的面积;
(2)若sin Asin C=,求b.
解:(1)由S1-S2+S3=,得(a2-b2+c2)=,即a2-b2+c2=2,又a2-b2+c2=2accos B,所以accos B=1.
由sin B=,得cos B=或cos B=-(舍去),所以ac==,
则△ABC的面积S=acsin B=××=.
(2)由sin Asin C=,ac=及正弦定理知===,即b2=×=,得b=.
B级　能力提升
6.如图所示,正方形ABCD的边长为1,延长BA至点E,使AE=1,连接EC,ED,则 sin∠CED= (　　)

A. B. C. D.
解析:由题意,得EB=EA+AB=2,则在Rt△EBC中,EC===.
在△EDC中,∠EDC=∠EDA+∠ADC=+=.
由正弦定理,得===,
所以sin∠CED=·sin∠EDC=·sin =.
答案:B
7.在△ABC中,A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,
2sin B=3sin C,则cos A的值为　　　　.
解析:由2sin B=3sin C及正弦定理,得2b=3c,即b=c.因为b-c=a,所以c=a,即a=2c.
由余弦定理,得
cos A====-.
答案:-
8.(2022·新高考全国 Ⅰ 卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=.
(1)若C=,求B;
(2)求的最小值.
解:(1)因为=,
所以=,
所以=,
所以cos Acos B=sin B+sin Asin B,
所以cos(A+B)=sin B,
所以sin B=-cos C=-cos =,
因为B∈(0,),所以B=.
(2)由(1)得cos(A+B)=sin B,
所以sin[-(A+B)]=sin B,且0 所以0 所以-(A+B)=B,解得A=-2B,
由正弦定理得==
=
=
=
=
=4cos2B+-5≥2-5
=4-5,当且仅当cos2B=时取等号,
所以的最小值为4-5.
C级　挑战创新
9.多选题在△ABC中,下列关系中一定成立的是 (　　)
A.a>bsin A B.asin B=bsin A
C.a 解析:由正弦定理=,得asin B=bsin A,所以B正确.在△ABC中,0 故asin B≤a,所以a≥bsin A,故D也正确.
答案:BD
10.有一道解三角形的题目,因纸张破损有一个条件模糊不清,具体如下:“在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 a=,B=,　　　　,求角A.”经推断,破损处的条件为三角形一边的长度,且答案提示A=,试在横线上将条件补充完整.
解析:分两种情况:(1)若破损处的条件为边b的长度,则由=,得b===;(2)若破损处的条件为边c的长度,由A+B+C=π,B=,A=,知C=,再运用正弦定理,得c=.
答案:b=或c=