人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第1课时测试题

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6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例 第1课时 距离问题
A级　基础巩固
1.设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在河岸边选定一点C,测出AC的距离是100 m,∠BAC=60°,∠ACB=30°,则A,B两点的距离为 (　　)
A.40 m B.50 m C.60 m D.70 m
解析:如图所示,由题意可知,△ABC是直角三角形,AB=AC,所以AB=50 m.

答案:B
2.要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行),由于受地理条件和测量工具的限制,可采用如下办法:如图所示,在河的一岸边选取A,B两点,观察对岸的点C,测得∠CAB=45°,∠CBA=75°,且AB=120 m,由此可得河宽为(精确到1 m) (　　)

A.170 m B.98 m C.95 m D.86 m
解析:在△ABC中,AB=120 m,∠CAB=45°,
∠CBA=75°,则∠ACB=60°.
由正弦定理,得BC==40(m).
设在△ABC中,AB边上的高为h,则h即为河宽,
所以h=BC·sin∠CBA=40×sin 75°≈95(m).
答案:C
3.已知A,B,C三地,其中A,C两地被一个湖隔开,A,B在湖的同侧,若测得AB=3 km,B=45°,C=30°,则A,C两地的距离为　　　　km. 
解析:根据题意,由正弦定理可得=,代入数值得=,解得AC=3 km.
答案:3
4.一船以15 km/h的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B位于北偏东60°方向,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔间的距离为　　　　km. 
解析:如图所示,在△ABC中,AC=15×4=60(km),∠BAC=30°,
∠ACB=105°,所以∠ABC=45°.

根据正弦定理,得
BC===30(km).
答案:30
5.如图所示,一架飞机从A地飞到B地,两地相距700 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层,从机场起飞后,就沿与原来的飞行方向成21°角的方向飞行,飞行到中途,再沿与原来的飞行方向成35°夹角的方向继续飞行直到终点.这样飞机的飞行路程比原来路程远了多少?(参考数据:sin 21°≈0.358 4,sin 35°≈0.573 6,sin 124°≈0.829 0)

解:在△ABC中,AB=700 km,∠ACB=180°-21°-35°=124°.
根据正弦定理,得==,
所以AC=,BC=,
AC+BC=+=785.28(km),785.28-700=85.28(km).
所以飞机的飞行路程比原来路程远了85.28 km.
B级　能力提升
6.已知船A在灯塔C北偏东85°,且到C的距离为2 km,船B在灯塔C北偏西65°,且到C的距离为 km,则A,B两船的距离为 (　　)
A.2 km B.3 km
C. km D. km
解析:据图可知∠ACB=85°+(90°-25°)=150°,

AC=2 km,BC= km,
所以AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 150°=13,
所以AB= km.
答案:D
7.甲船在湖中B岛的正南A处,AB=3 km,甲船以8 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛出发,以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去,则行驶15 min时,两船的距离是 (　　)
A. km B. km
C. km D. km
解析:如示意图所示.由题意知AM=8×=2(km),BN=12×=3(km),MB=AB-AM=3-2=1(km),所以由余弦定理,得MN2=MB2+BN2-2MB·BNcos 120°=1+9-2×1×3×-=13,所以MN= km.

答案:B
8.一条船以24 km/h的速度向正北方向航行,在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上,15 min 后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上,则船在点B时与灯塔S的距离是　　　　km.(精确到0.1 km) 
解析:作出示意图如图.
由题意知AB=24×=6(km),∠ASB=35°.
由正弦定理,知=,解得BS≈5.2(km).

答案:5.2
9.如图所示,某炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面点C和D处,已知CD=6 000 m.∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面B处时测得∠BCD=30°,∠BDC=15°.求炮兵阵地到目标的距离AB.(结果保留根号)

解:在△ACD中,∠CAD=60°,
AD==CD.
在△BCD中,∠CBD=135°,BD==CD.在Rt△ABD中,AB==CD=1 000 m.
C级　挑战创新
10.多空题一只船自西向东匀速航行,上午 10时到达灯塔P的南偏西75°距灯塔68 n mile 的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则MN=　　　　n mile,这只船的速度为　　　　n mile/h. 
解析:如图所示,易知N=45°.
在△PMN中,=,

所以MN==34,
所以这只船的速度为= n mile/h.
答案:34