高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时随堂练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时随堂练习题，共5页。

6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例 第2课时 高度、角度问题
A级　基础巩固
1.某人向正东走了x km后向左转了150°,然后沿新方向走了3 km,结果离出发点恰好 km,那么x的值是 (　　)
A. B.2 C.3 D.2或
解析:根据题意画出示意图如图所示,

由正弦定理,得sin∠CAB===.
因为BC>AC,所以∠CAB>B,B=30°,
所以∠CAB=60°或∠CAB=120°.
当∠CAB=60°时,∠ACB=90°,x=2;
当∠CAB=120°时,∠ACB=30°,x=.故选D.
答案:D
2.如图所示,某工程中要将一个长为100 m,倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长 (　　)

A.100 m B.100 m C.50(+)m D.200 m
解析:如图所示.

由条件知AD=100sin 75°=100sin(45°+30°)=100(sin 45°cos 30°+
cos 45°sin 30°)=25(+)(m),
CD=100cos 75°=25(-)(m),
所以BD===25(3+)(m).
所以BC=BD-CD=25(3+)-25(-)=100(m).
答案:A
3.如图所示,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20 n mile的B处,有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10 n mile C处的乙船,乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救,则sin θ 的值为 (　　)
A. B. C. D.
解析:如图所示,连接BC.

在△ABC中,AC=10 n mile,AB=20 n mile,∠CAB=120°,
根据余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB=100+
400+200=700,
所以BC=10 n mile.
根据正弦定理,得=,
即=,
所以sin∠ACB=,所以sin θ=.
答案:C
4.学校里有一棵树,甲同学在A地测得树尖的仰角为45°,乙同学在B地测得树尖的仰角为30°,量得AB=AC=10 m,树根部为C(A,B,C在同一水平面上),则∠ACB=　　　　. 
解析:如图所示,AC=10 m,∠DAC=45°,所以DC=10 m.

因为∠DBC=30°,所以BC=10 m,cos∠ACB==,所以∠ACB=30°.
答案:30°
5.如图所示,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,求山高MN.

解:如图所示,在Rt△ABC中,BC=100 m,∠CAB=45°,

所以AC=100 m.
在△AMC中,∠CAM=75°,∠ACM=60°,
所以∠AMC=45°.已知AC=100 m,
所以由正弦定理,知=,
所以AM=100 m.
在Rt△AMN中,∠NAM=60°,
所以MN=AM·sin 60°=100×=150(m).
B级　能力提升
6.在某个位置测得某山峰仰角为θ,对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ,继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4θ,则该山峰的高度为　　　　m. 
解析:如图所示,

△BED,△BDC为等腰三角形,
BD=ED=600 m,BC=DC=200 m.
在△BCD中,由余弦定理可得
cos 2θ==,
所以2θ=30°,4θ=60°.
在Rt△ABC中,AB=BC·sin 4θ=200×=300(m).
答案:300
7.一只蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫,然后向右转105°,爬行10 cm捕捉到另一只小虫,这时它向右转135°爬行可回到它的出发点,那么x=　　　　cm. 
解析:如图所示,在△ABC中,
AB=x,BC=10,∠ABC=180°-105°=75°,

∠BCA=180°-135°=45°,
所以∠BAC=180°-75°-45°=60°.
由正弦定理,得=,所以x=(cm).
答案:
8.某海岛周围42 n mile有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60°方向,航行30 n mile后测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此轮船　　　　触礁危险(填“有”或“无”). 
解析:如图所示,

由题意可知,在△ABC中,
AB=30 n mile,
∠BAC=30°,
∠ABC=135°,
所以∠ACB=15°.
由正弦定理,得BC====15(+).
在Rt△BDC中,CD=BC=15(+1)<42.
所以此船有触礁的危险.
答案:有
9.据气象台预报,在S岛正东距S岛300 km的A处有一台风中心形成,并以每小时 30 km的速度向北偏西30°的方向移动,在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响.问:S岛是否受其影响?若受到影响,从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.
解:如图所示,设台风中心经过t h到达点B,由题意得

∠SAB=90°-30°=60°.
在△SAB中,SA=300,AB=30t,
由余弦定理,得
SB2=SA2+AB2-2SA·AB·cos∠SAB=3002+(30t)2-2×300×30tcos 60°.
若S岛受到台风影响,则应满足条件|SB|≤270,即SB2≤2702,
化简整理得t2-10t+19≤0,
解得5-≤t≤5+,
所以从现在起,经过(5-)h S岛开始受到影响,(5+)h后影响结束,持续时间:(5+)-(5-)=2(h),即S岛受到影响,从现在起经过(5-)h S岛开始受到台风影响,且持续时间为2 h.
C级　挑战创新
10.多空题如图所示,在离地面高400 m的热气球上,观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°.已知∠BAC=60°,则∠MCA=　　　　.山的高度BC=　　　　m. 

解析:如图所示,过点M作MD⊥AB,垂足为D.

在Rt△AMD中,∠MAD=45°,MD=400 m,
AM==400(m).
在△MAC中,∠AMC=45°+15°=60°,
∠MAC=180°-45°-60°=75°,
所以∠MCA=180°-∠AMC-∠MAC=45°.
由正弦定理,得AC===400(m).
在Rt△ABC中,BC=ACsin∠BAC=400×=600(m).
答案:45°　600