新教材2023高中数学第六章平面向量及其应用章末复习课新人教A版必修第二册 试卷

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第六章 平面向量及其应用章末复习课



要点训练一　平面向量的运算
1.向量的线性运算包括向量及其坐标运算的加法、减法、数乘,向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则,减法可以转化为加法进行运算,向量的加法满足交换律、结合律,数乘向量满足分配律.利用向量证明三点共线时,应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
2.两平面向量共线的充要条件有两种形式:
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0.
(2)若a∥b(a≠0),则b=λa.
应视题目条件灵活选择.
1.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为 (　　)
A.(,-) B.(,-) C.(-,) D.(-,)
解析:=(3,-4),与其同方向的单位向量e==(3,-4)=(,-).
答案:A
2.设D为△ABC所在平面内一点,=3,则 (　　)
A.=-+
B.=-
C.=+
D.=-
解析:=+=+=+(-)=
-=-+.
答案:A
3.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　. 
解析:由题意可得2a+b=(4,2).
因为c∥(2a+b),c=(1,λ),所以4λ-2=0,即λ=.
答案:
要点训练二　平面向量的夹角与垂直问题
1.两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)垂直⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0,利用这两个结论,可以判断两个向量的位置关系.
2.两个向量的夹角公式:
cos θ==.
　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为 (　　)
A. B. C. D.
解析:设a与b的夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cos θ===,所以a与b的夹角为.
答案:B
2.已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则a与b的夹角的余弦值为　　　　. 
解析:设a与b的夹角为θ,则cos θ===-.
答案:-
3.已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=　　　　. 
解析:向量a=(-4,3),b=(6,m),a⊥b,则a·b=0,即-4×6+3m=0,所以m=8.
答案:8
要点训练三　有关向量的模(长度)与距离问题的解法
求向量的模主要有以下两种方法:①利用公式|a|2=a2将它转化为向量的数量积问题,再利用数量积的性质进行展开、合并,使问题得以解决;②利用公式|a|=将其转化为实数运算,使问题得以解决.
　　　　　　　　　　　　　　　
1.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 (　　)
A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b|
解析:由向量加法与减法的几何意义可知,以非零向量a,b的模长为边长的平行四边形是矩形,从而可得a⊥b.故选A.
答案:A
2.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=　　　　. 
解析:|5a-b|====
=7.
答案:7
3.已知正方形ABCD的边长为1,当每个λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是　　　　　,最大值是　　　　　. 

解析:如图所示,以AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,
则=(1,0),=(0,1),=(-1,0),=(0,-1),=(1,1),=(-1,1).
令y=|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|=
≥0.
因为λi(i=1,2,3,4,5,6)可取遍±1,
所以当λ1=λ3=λ4=λ5=λ6=1,λ2=-1时,有最小值ymin=0.
因为(λ1-λ3+λ5)和(λ2-λ4+λ5)的取值不相关,λ6=1或λ6=-1,所以当(λ1-λ3+λ5)和(λ2-λ4+λ5)分别取得最大值时,y有最大值,
所以当λ1=λ2=λ5=λ6=1,λ3=λ4=-1时,有最大值ymax===2.
答案:0　2
要点训练四　建模思想
利用正弦定理、余弦定理解三角形及其应用,常根据已知条件中所给的边、角关系,利用解三角形的常见类型求解;解决应用问题常根据距离、高度、角度的求解方法解决,都体现了建模思想.
　　　　　　　　　　　　　　　
1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=
4csin C,cos A=-,则= (　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
解析:由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,
由余弦定理推论可得-=cos A=,
所以=-,所以=,所以=6.
答案:A
2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B=　　　　. 
解析:由正弦定理,得sin Bsin A+sin Acos B=0.
因为A∈(0,π),B∈(0,π),所以sin A≠0,所以sin B+cos B=0,
即tan B=-1,所以B=.
答案:
3.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若
∠BDC=45°,则BD=　　　　,cos∠ABD=　　　　. 
解析:如图所示,在△ABD中,

由正弦定理,得=,
而AB=4,∠ADB=,
AC==5,
sin∠BAC==,
cos∠BAC==,所以BD=.
cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=coscos∠BAC+sinsin∠BAC=.
答案:　
4.(2022·全国乙卷,理)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C·sin(A-B)=sin Bsin(C-A).
(1)证明:2a2=b2+c2;
(2)若a=5,cos A=,求△ABC的周长.
解:(1)由sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A)可得,sin Csin Acos B-sin Ccos Asin B=sin Bsin Ccos A-sin BcosCsin A,
结合正弦定理==
可得accos B-bccos A=bccos A-abcos C,
即accos B+abcos C=2bccos A. (*)
由余弦定理可知accos B=,
abcos C=,2bccos A=b2+c2-a2,代入(*)式整理得2a2=b2+c2.
(2)由(1)及a2=b2+c2-2bccos A得,a2=2bccos A,
所以2bc=31.
因为b2+c2=2a2=50,所以(b+c)2=b2+c2+2bc=81,得b+c=9,
所以△ABC的周长l=a+b+c=14.