新教材2023高中数学章末质量评估七第七章复数新人教A版必修第二册 试卷

这是一份新教材2023高中数学章末质量评估七第七章复数新人教A版必修第二册，共4页。

章末质量评估(七)
(时间:120分钟　分值:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
1.已知复数z=2+i,则z= (　　)
A.　　　　B.　　　　C.3　　　　D.5
解析:因为z=2+i,所以=2-i,所以z=(2+i)·(2-i)=5,故选D.
答案:D
2.设复数z满足z+i=3-i,则= (　　)
A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i
解析:由已知得,z=3-2i,所以=3+2i.
答案:C
3.= (　　)
A.1 B.-1 C.i D.-i
答案:D
4.(2022·全国乙卷,理)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则 (　　)
A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2
解析:由题意知=1+2i,所以z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+a+b=0,所以a+b+1+(2a-2)i=0,所以解得故选A.
答案:A
5.设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析:由z=-3+2i,得=-3-2i,则在复平面内的对应点的坐标为(-3,-2),位于第三象限.
答案:C
6.(2022·北京卷)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|= (　　)
A.1 B.5 C.7 D.25
解析:由题意可得i2·z=(3-4i)i,因此z=-4-3i.则|z|==5,故选B.
答案:B
7.(2022·全国甲卷,理)若z=-1+i,则= (　　)
A.-1+i B.-1-i
C.-+i D.--i
解析:===-+i,故选C.
答案:C
8.如图,在复平面内,若复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数z1z2对应的点位于 (　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:由已知=(-2,-1),=(0,1),所以z1=-2-i,z2=i,所以z1z2=1-2i,对应的点的坐标为(1,-2),在第四象限.
答案:D
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.若复数z满足(1-i)z=3+i,则 (　　)
A.z的实部是2 B.z的虚部是2i
C.=1-2i D.|z|=
答案:CD
10.实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,设z=x+yi,则下列说法正确的是 (　　)
A.z在复平面内对应的点在第一象限
B.|z|=
C.z的虚部是i
D.z的实部是1
答案:ABD
11.下面四个命题中是真命题的有 (　　)
A.若复数z满足∈R,则z∈R
B.若复数z满足z2∈R,则z∈R
C.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=
D.若复数z∈R,则∈R
答案:AD
12.已知z1与z2互为共轭复数,以下四个命题一定正确的是 (　　)
A.<|z2|2 B.z1z2=|z1z2|
C.z1+z2∈R D.∈R
答案:BC
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
13.若i为虚数单位,则=　　　　. 
解析:=====-1-i.
答案:-1-i
14.(本题第一空3分,第二空2分)若复数z=,则|z|=　　　　,复数z在复平面内对应的点位于第　　　　象限. 
答案:　一
15.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=　　　　. 
解析:设m=bi(b∈R,且b≠0),则x2+(2-i)x+(2bi-4)i=0,化简,得(x2+2x-2b)+(-x-4)i=0,即解得故m=4i.
答案:4i
16.若复数z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|=,则的最大值为　　　　. 
解析:如图,因为z-2=(x-2)+yi(x,y∈R),且 |z-2|=,所以|z-2|==,所以(x-2)2+y2=3,所以x,y在以点(2,0)为圆心,为半径的圆上.由图可知（）max==.

答案:
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)
17.(10分)计算:(+i)5+（）4+（）7.
解:(+i)5+（）4+（）7
=-i()5[(1+i)2]2(1+i)+[]2+i7
=16(-1+i)--i
=-(16+)+(16-1)i.
18.(12分)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为1,z1z2是实数,求z2.
解:因为(z1-2)(1+i)=1-i,
所以z1-2===-i,
所以z1=2-i.
由复数z2的虚部为1,设z2=a+i,
所以z1z2=(2-i)(a+i)=(2a+1)+(2-a)i.
因为z1z2是实数,所以2-a=0,即a=2.
所以z2=2+i.
19.(12分)已知复数z1=(1+bi)(2+i),z2=3+(1-a)i (a,b∈R,i为虚数单位).
(1)若z1=z2,求a,b的值;
(2)若b=1,a=0,求||.
解:(1)复数z1=(1+bi)(2+i)=2-b+(2b+1)i,
z2=3+(1-a)i,
由z1=z2,得解得
(2)若b=1,a=0,则z1=1+3i,z2=3+i.
所以||===2.
20.(12分)已知复数z满足(1+2i)=4+3i.
(1)求复数z;
(2)若复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
解:(1)因为(1+2i)=4+3i,
所以====2-i,
所以z=2+i.
(2)由(1)知z=2+i,则(z+ai)2=(2+i+ai)2=[2+(a+1)i]2=4-(a+1)2+4(a+1)i.
因为复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,
所以解得-1 21.(12分)在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.
(1)求,,对应的复数;
(2)判断△ABC的形状;
(3)求△ABC的面积.
解:(1)设A,B,C三点对应的复数分别为zA=1,zB=2+i,zC=-1+2i,则对应的复数为zB-zA=(2+i)-1=1+i,
对应的复数为zC-zB=(-1+2i)-(2+i)=-3+i,
对应的复数为zC-zA=(-1+2i)-1=-2+2i.
(2)由(1)知||=|1+i|=,||=|-3+i|=,||=|-2+2i|=2,
所以||2+||2=||2,
故△ABC为直角三角形.
(3)S△ABC=||·||=××2=2.
22.(12分)已知复数w满足w(1+2i)=4+3i(i为虚数单位),z=+|w-2|,求一个以z为根的实系数一元二次方程.
解:由w(1+2i)=4+3i,得w====2-i,
所以z=+|w-2|=+|2-i-2|=+1=2+i+1=3+i,所以=3-i.
所以z+=6,z=32-i2=10,
因此,以复数z为一个根的实系数方程为(x-z)(x-)=0,即x-(z+)x+z=0,
即x2-6x+10=0.