新教材2023高中数学第九章统计章末复习课新人教A版必修第二册 试卷

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第九章 统计
章末复习课

要点训练一　用样本的频率分布估计总体分布
总体分布中相应的统计图表主要包括:频率分布表、频率分布直方图等.通过这些统计图表给出的相应统计信息可以估计总体.用频率分布直方图解决相关问题时,应正确理解图中各个量的意义,识图掌握信息是解决该类问题的关键.　　　　　　　　　　　　　　　　
1.统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分),根据成绩依次分成六组:
[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],并得到频率分布直方图如图所示.若不低于140分的人数为110.有以下说法:①m=0.031;②n=800;③100分以下的人数为60;④分数在区间[120,140)上的人数占大半.其中正确的是 (　　)

A.①②B.①③C.②③D.②④
解析:由题意,根据频率分布直方图的性质,得10×(m+0.020+
0.016+0.016+0.011+0.006)=1,解得m=0.031.故①正确;
因为不低于140分的频率为0.011×10=0.11,所以n==1 000,故②错误;
由100分以下的频率为0.006×10=0.06,所以100分以下的人数为1 000×0.06=60,故③正确;
分数在区间[120,140)上的人数占0.031×10+0.016×10=0.47,占小半.故④错误.
所以说法正确的是①③.
答案:B
2.某电子商务公司对10 000名网络购物者在2022年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]上,其频率分布直方图如图所示.

(1)直方图中的a=3;
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]上的购物者的人数为6 000. 
解析:(1)由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1+0.8×
0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a×0.1=1,解得a=3.
(2)由(1)可得消费金额在区间[0.5,0.9]上的频率为0.2×0.1+0.8×
0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,所以消费金额在区间[0.5,0.9]上的购物者的人数为0.6×10 000=6 000.
3.某制造商生产一批直径为40 mm的乒乓球,现随机抽样检查20个,测得每个球的直径(单位:mm,保留两位小数)如下:
40.03　40.00　39.98　40.00　39.99
40.00　39.98　40.01　39.98　39.99
40.00　39.99　39.95　40.01　40.02
39.98　40.00　39.99　40.00　39.96
(1)完成下面的频率分布表,并画出频率分布直方图;
分组
频数
频率

[39.95,39.97)



[39.97,39.99)



[39.99,40.01)



[40.01,40.03]



合计



(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm为合格品.若这批乒乓球的总数为10 000,试根据抽样检查结果估计这批产品的合格个数.
解:(1)频率分布表如下:
分组
频数
频率

[39.95,39.97)
2
0.10
5
[39.97,39.99)
4
0.20
10
[39.99,40.01)
10
0.50
25
[40.01,40.03]
4
0.20
10
合计
20
1.00
50
频率分布直方图如图所示.

(2)因为抽样的20个产品中在区间[39.98,40.02]上的有17个,
所以样本合格率为×100%=85%.
所以10 000×85%=8 500.
所以估计这批产品的合格个数为8 500.
要点训练二　用样本的分布规律估计总体的分布规律
样本的分布规律分为两大类:一类是反映样本数据集中趋势的特征数,例如平均数;另一类是反映样本数据波动大小的特征数,例如方差和标准差.通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差),从而实现对总体的估计.平均数、中位数、众数与方差、标准差都是重要的参数,利用它们可对总体进行一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数可描述总体的集中趋势,方差和标准差可描述数据的离散程度.　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.现有10个数,其平均数是4,且这10个数的平方和是200,那么这组数的标准差是 (　　)
A.1 B.2 C.3D.4
解析:设这10个数分别为a1,a2,…,a10,则有++…+=200,且a1+a2+…+a10=40,
所以==
=4,所以标准差为=2.
答案:B
2.从某企业生产的某批产品中随机抽取10件,测量这些产品的一项质量指标,其频率分布表如下:
质量指标分组
[10,30)
[30,50)
[50,70]
频率
0.1
0.6
0.3
则可估计这批产品的质量指标的众数、中位数为(　　)
A.30,43 B.40,43C.40,43 D.30,43
答案:C
3.在某次高中学科竞赛中,4 000名考生的参赛成绩的频率分布直方图如图所示,若85%的学生不能参加复赛,则估计86.7分以上可以参加复赛.

解析:由题图可知,低于80分的考生所占的比例为:10×(0.01+
0.015+0.02+0.03)×100%=75%.低于90分的考生所占的比例为:75%+
0.015×10×100%=90%.因此,第85百分位数一定位于区间[80,90)上,80+10×≈86.7,即86.7分以上可以参加复赛.
4.某中学要从高一年级甲、乙两个班级中选择一个班参加市电视台组织的“环保知识竞赛”.该校对甲、乙两班的参赛选手(每班7人)进行了一次环境知识测试,他们取得的成绩(满分100分)如下:
甲班:75,78,80,89,85,92,96;
乙班:75,80,80,85,90,90,95.
求甲、乙两班同学成绩的方差的大小,并从统计学角度分析该校应选择甲班还是乙班参赛.
解:==85,
==85,
所以=×[(75-85)2+(78-85)2+…+(96-85)2]=,
=×[(75-85)2+(80-85)2+…+(95-85)2]=.
所以=,>.所以该校应该选择乙班参赛.
要点训练三　抽样方法
对抽样方法的选择:
(1)当总体的量较小,样本量也较小时,制签简单,号签容易搅拌均匀,所以可以采用抽签法.
(2)当总体的量较大,样本量小,可以采用随机数法.
(3)当总体由明显差异的几部分构成时,采用分层随机抽样.　　　　　　　　　
1.某中学高一年级有400人,高二年级有320人,高三年级有280人,若每人被抽到的可能性都为0.2,用随机数法在该中学抽取样本量为n的样本,则n等于 (　　)
A.80 B.160 C.200 D.280
解析:由题意可知,=0.2,解得n=200.
答案:C
2. 某中学共有1 400名学生,其中高一年级有540人,用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本量为70的样本,则高一年级抽取的人数为(　　)
A.18B.21C.26 D.27
解析:因为从1 400名学生中抽取样本量为70的样本,抽样比为,所以根据比例分配的分层随机抽样可知,高一年级抽取的人数为540×=27.
答案:D
3.总体已经分成A、B、C三层,且A、B、C三层个体数之比为2∶3∶5,现要从总体中抽取一个样本量为20的样本,已知A层中用简单随机抽样抽取样本时,甲被抽到的可能性为,则总体的个体数为(　　)
A.60 B.80 C.100D.120
解析:由已知条件知,在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性为,所以总体的个体数为20÷=80.
答案:B
要点训练四　数形结合思想
数形结合思想是通过数与形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法.统计中常结合统计图表对数据进行分析,解决问题.
1.某地区对当地3 000户家庭的去年所得年收入情况调查统计,年收入(单位:万元)的频率分布直方图如图所示,数据的分组依次为[2,4),[4,6),[6,8),[8,10],则年收入不超过6万元的家庭有 (　　)

A.900户 B.600户 C.300户 D.150户
答案:A
2.多选题(2022·广东模拟)下面是2017至2021年国内电影票房前十名影片中,国产影片(含合拍片)与进口影片数量统计图,则下列说法中正确的是 (　　)

A.2017至2021年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量占比不低于50%
B.2017至2021年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量占比逐年提高
C.2017至2021年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量的平均数大于进口影片数量的平均数
D.2017至2021年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量的方差等于进口影片数量的方差
答案:ACD
3.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均数、众数、中位数;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在区间[50,90)之外的人数.
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
解:(1)由频率分布直方图可得10×(2a+0.02+0.03+0.04)=1,
所以a=0.005.
(2)平均数为55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+
95×0.005×10=73(分).
众数为65分.中位数为+70=(分).
(3)数学成绩在区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)内的人数如下:
在区间[50,60)上的人数为100×0.005×10=5,
在区间[60,70)上的人数为100×0.04×10×=20,
在区间[70,80)上的人数为100×0.03×10×=40,
在区间[80,90)上的人数为100×0.02×10×=25,
所以数学成绩在区间[50,90)之外的人数为100-5-20-40-25=
10(人).