新教材2023高中数学章末质量评估十第十章概率新人教A版必修第二册 试卷

这是一份新教材2023高中数学章末质量评估十第十章概率新人教A版必修第二册，共7页。
章末质量评估(十)
(时间:120分钟　分值:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)　
1.甲、乙两人同时参加某次外语考试,若甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,且两人考试相互独立,则甲、乙两人都未达到优秀的概率为(　　)
A.0.42 B.0.12 C.0.18 D.0.28
解析:所求概率为(1-0.6)×(1-0.7)=0.12.
答案:B
2.在天气预报中,有“降水概率预报”,例如预报“明天降水的概率为80%”,这是指(　　)
A.明天该地区有80%的地方降水,有20%的地方不降水
B.明天该地区有80%的时间降水,其他时间不降水
C.明天该地区降水的可能性为80%
D.气象台的专家中有80%的人认为会降水,另外有20%的专家认为不降水
解析:由题意,预报“明天降水的概率为80%”,这是指明天该地区下雨的可能性是80%.
答案:C
3.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石(石,读音dàn,古代计量单位),验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(　　)
A.134石 B.169石C.338石 D.1 365石
解析:由条件知254粒内夹谷28粒,可估计米内夹谷的概率为=,所以1 534石米中夹谷约为×1 534≈169(石).
答案:B
4.(2022·湖北八市联考)从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球,下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是(　　)
A.“至少有1个红球”与“都是黑球”
B.“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C.“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”
D.“都是红球”与“都是黑球”
解析:从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球,可能的结果为:1红1黑、2红、2黑.对于A,“至少有1个红球”包括1红1黑、2红,与“都是黑球”是对立事件,不符合题意;对于B,“恰好有1个红球”和“恰好有1个黑球”是同一个事件,不符合题意;对于C,“至少有1个黑球”包括1红1黑、2黑,“至少有1个红球”包括1红1黑、2红,这两个事件不是互斥事件,不符合题意;对于D,“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件而不是对立事件,符合题意.故选D.
答案:D
5.一道试题,若A,B,C三人可解出的概率分别为,,,则三人独立解答,只有一人解出的概率为(　　)
A. B. C. D.1
解析:根据题意,“只有一人解出”包含“A解出而其余两人没有解出”“B解出而其余两人没有解出”“C解出而其余两人没有解出”三个互斥事件,而三人是否解出是相互独立的,则P(只有一人解出)=×(1-)×(1-)+(1-)××(1-)+(1-)×(1-)×=.故选B.
答案:B
6.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6点数的正方体玩具)先后抛掷2次,若记第一次出现的点数为m,记第二次出现的点数为n,则m=3n的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析:由题意可知,n(Ω)=36,事件“m=3n”包含的样本点有(3,1),(6,
2),共2个,所以事件“m=3n”的概率 P==.故选A.
答案:A
7.甲骑自行车从A地到B地,途中要经过4个十字路口,如果甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是,且在每个路口是否遇到红灯相互独立,那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析:由题意可知,甲在每个十字路口没有遇到红灯的概率都是1-=,所以甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是××=.
答案:B
8.某单位在院外栽植了2棵雪松、2棵银杏,若这两种树在该地区的成活率分别是, (每棵树是否成活相互没有影响),则这4棵树至少有1棵成活的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析:设事件Ak表示第k棵雪松成活,k=1,2,设事件Bi表示第i棵银杏成活,i=1,2,且A1,A2,B1,B2独立,且P(A1)=P(A2)=,P(B1)=P(B2)=,则P()=P()=,P()=P()=,所以这4棵树至少有1棵成活的概率P=1-P()=1-P()P()P()P()=1-()2×()2=.
答案:A
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.下列事件中, 具有随机性的是(　　)
A.任意买一张电影票,座位号是2的倍数
B.13个人中至少有两个人出生月份相同
C.车辆随机到达一个路口,遇到红灯
D.明天是雨天
答案:ACD
10.不透明的口袋内装有大小、质地相同的红色、绿色和蓝色卡片各2张,若一次任意取出2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有(　　)
A.2张卡片都不是红色
B.2张卡片恰有一张红色
C.2张卡片至少有一张红色
D.2张卡片都为绿色
答案:ABD
11.掷一枚硬币两次,记事件A=“第一次出现正面”,B=“第二次出现反面”,则有(　　)
A.A与B相互独立
B.P(A∪B)=P(A)+P(B)
C.A与B互斥
D.P(AB)=
解析:对于选项A,由题意得事件A的发生与否对事件B的发生没有影响,所以A与B相互独立,所以选项A正确.对于选项B,C,因为事件A与B可以同时发生,所以事件A与B不互斥,故选项B,C不正确.对于选项D,因为A与B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B)=,所以选项D正确.
答案:AD
12.某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表:
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
记该篮球运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是(　　)
A.P(A)=0.55B.P(B)=0.18
C.P(C)=0.27D.P(B+C)=0.55
答案:ABC
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
13.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一,“关于偶数的哥德巴赫猜想”可表述为:任一大于2的偶数,都可写成2个质数之和.若将6拆成两个正整数的和,则拆成的和式中,加数全部为质数的概率为.
14.1名工人维护3台独立的游戏机,若一天内这3台需要维护的概率分别为0.9,0.8和0.6,则一天内至少有1台游戏机不需要维护的概率为0.568(结果用小数表示).
解析:由题意得,一天内至少有1台游戏机不需要维护的概率P=1-
0.9×0.8×0.6=0.568.
15.一个盒子中放有大小和质地相同的4个白球和1个黑球,若从中任取2个球,则所取的2个球不同色的概率为.
解析:将4个白球分别编号为1,2,3,4,将1个黑球记为A,从中任取2个球的所有可能结果为(1,2),(1,3),(1,4),(1,A),(2,3),(2,4),(2,A),(3,4),(3,
A),(4,A),共10种,所取的2个球不同色的有(1,A),(2,A),(3,A),(4,A),共4种,所以所求概率P==.
16.(本题第一空2分,第二空3分)A,B,C三人将参加某项测试,三人能否达标互不影响,若他们能达标的概率分别是,,,则三人都能达标的概率是,三人中至少有一人能达标的概率是.
解析:由题意可得,三人都能达标的概率是××=,三人都不能达标的概率是(1-)×(1-)×(1-)=,所以A,B,C三人至少有一人能达标的概率是1-=.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)
17.(10分)如图,下面是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与污染程度对应表.某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差,第二天返回(往返共两天).

空气质量指数
空气质量等级
小于100
优良
大于100,且小于150
轻度污染
大于150,且小于200
中度污染
大于200,且小于300
重度污染
大于300
严重污染
(1)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(只写出结论,不要求证明)
(2)求此人到达当日空气质量优良的概率.
(3)求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率.
解:设Ai表示事件“此人于2月i日到达该市”(i=1,2,…,13).
(1)从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
(2)根据题意,P(Ai)=,且Ai∩Aj=⌀(i≠j,j=1,2,…,13).
设“此人到达当日空气优良”为事件B,
则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13,
所以P(B)=P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13)=.
(3)设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件A.
由题意可知,P(A)=P(A4∪A5∪A6∪A7∪A8∪A9∪A10∪A11)=P(A4)+P(A5)+P(A6)+P(A7)+P(A8)+P(A9)+P(A10)+P(A11)=.
18.(12分)经统计,某医院一个结算窗口排队结算的人数及相应的概率如下表:
排队人数
0~5
6~10
11~15
16~20
21~25
25人以上
概率
0.1
0.15
0.25
0.25
0.2
0.05
(1)求超过20人排队结算的概率;
(2)求两天中,恰有1天出现超过20人排队结算的概率.
解:(1)记“超过20人排队结算”为事件A,
因为事件“排队人数为21-25”与“排队人数为25人以上”为互斥事件.所以P(A)=0.2+0.05=0.25.
(2)记“第一天超过20人排队结算”为事件B1,“第二天超过20人排队结算”为事件B2,则“恰有1天出现超过20人排队结算”为事件B1+B2.
因为事件B1与相互独立,与B2相互独立,
所以P(B1)=P(B1)P()=×(1-)=,
P(B2)=P()P(B2)=(1-)×=.
因为B1与B2为互斥事件,
所以P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=.
19.(12分)某省高考实行“3+1+2”模式.“3+1+2”模式:“3”为全国统考科目语文、数学、外语,所有学生必考;“1”为首选科目,考生要在物理、历史科目中选择1科;“2”为再选科目,考生可在化学、生物、政治、地理4个科目中选择2科,共计6个考试科目.
(1)若学生甲在“1”中选物理,在“2”中任选2科,求学生甲选化学和生物的概率;
(2)若学生乙在“1”中任选1科,在“2”中任选2科,求学生乙不选政治但选生物的概率.
解:(1)记“学生甲选化学和生物”为事件A.
学生甲在“1”中选物理,在“2”中任选2科的基本事件有:(生,化),(生,政),(生,地),(化,政),(化,地),(政,地),共6种.
事件A包含的基本事件有:(生,化),共1种.
由古典概型概率计算公式得P(A)=.
所以学生甲选化学和生物的概率是.
(2)记“学生乙不选政治但选生物”为事件B.
学生乙在“1”中任选1科,在“2”中任选2科的基本事件有:(物,生,化),(物,生,政),(物,生,地),(物,化,政),(物,化,地),(物,政,地),(史,生,化),(史,生,政),(史,生,地),(史,化,政),(史,化,地),(史,政,地),共12种.
事件B包含的基本事件有:(物,生,化),(物,生,地),(史,生,化),(史,生,地),共4种.
由古典概型概率计算公式得P(B)==.
所以学生乙不选政治但选生物的概率是.
20.(12分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3名、1名、2名运动员参加某次比赛,甲协会的运动员编号分别为A1,A2,A3,乙协会的运动员编号为A4,丙协会的运动员编号分别为A5,A6,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
(1)用所给编号列出所有可能抽取的结果;
(2)求丙协会至少有1名运动员参加双打比赛的概率;
(3)求参加双打比赛的2名运动员来自同一协会的概率.
解:(1)由题意,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能抽取的结果有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),
(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共15种.
(2)因为丙协会至少有1名运动员参加双打比赛,所以编号为A5,A6的2名运动员至少有1人被抽到,其结果为(A1,A5),(A1,A6),(A2,A5),(A2,
A6),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共9种,所以丙协会至少有1名运动员参加双打比赛的概率P==.
(3)2名运动员来自同一协会的结果为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),
(A5,A6),共4种,
参加双打比赛的2名运动员来自同一协会的概率P=.
21.(12分)一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个,除颜色外其他特征完全相同,已知蓝色球有3个.若从这个袋子中随机取出1个球,取到红色球的概率是.
(1)这个袋子中有多少个红色球?
(2)若将这三种颜色的球分别进行编号,并将1号红色球,1号白色球,2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中,甲、乙两人先后从这个袋子中各取1个球(甲先取,取出的球不放回),求甲取出的球的编号比乙大的概率P.
解:(1)设这个袋子中有x个红色球.
依题意得=,解得x=4.所以这个袋子中有4个红色球.
(2)由题意,知试验发生包含的所有的基本事件有(红1,白1),(红1,蓝2),(红1,蓝3),(白1,红1),(白1,蓝2),(白1,蓝3),(蓝2,红1),(蓝2,白1),(蓝2,蓝3),(蓝3,红1),(蓝3,白1),(蓝3,蓝2),共有12个.
满足条件的事件包含的基本事件有(蓝2,红1),(蓝2,白1),(蓝3,红1),(蓝3,白1),(蓝3,蓝2),共5个,
所以P=.
22.(12分)某工厂生产一种汽车的元件,该元件是经过A,B,C三道工序加工而成的,A,B,C三道工序加工的元件合格率分别为,,.已知每道工序的加工都相互独立,三道工序加工都合格的元件为一等品;恰有两道工序加工合格的元件为二等品;其他的为废品,不进入市场.
(1)生产一个元件,求该元件为二等品的概率;
(2)从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测,求至少有2个元件是一等品的概率.
解:(1)不妨设一个元件经A,B,C三道工序加工合格的事件分别为A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,P()=,P()=,P()=.
设事件D为“生产一个元件,该元件为二等品”,
根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式,
P(D)=P(BC+AC+AB)=P(BC)+P(AC)+P(AB)=××+××+××=.
所以生产一个元件,该元件为二等品的概率为.
(2)生产一个元件,该元件为一等品的概率P=××=.
设事件E为“任意取出3个元件进行检测,至少有2个元件是一等品”,则P(E)=3××+==.
所以至少有2个元件是一等品的概率为.