5.1 导数的概念及其意义第2课时导数的几何意义
A级　基础巩固
1.下列说法中正确的是(　　) A.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在x=x0处没有切线
B.若曲线y=f(x)在x=x0处有切线,则f'(x0)必存在
C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率不存在
D.若曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率不存在,则曲线在该点处的切线的方程不存在
解析:f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率,虽然切线的斜率不存在,但其切线方程可以为x=x0,所以A,B,D三项均错误.
答案:C
2.如图所示,若函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f'(5)=(　　)

A.　　　B.1　　　C.2　　　D.0
解析:由题意,知f(5)=-5+8=3.由导数的几何意义,知f'(5)=-1.所以f(5)+f'(5)=3-1=2.
答案:C
3.曲线y=f(x)=x2-2在点处的切线的倾斜角为(　　)
A.1 B. C. D.-
解析:f'(1)==1,即曲线y=f(x)在点处切线的斜率为1,故切线的倾斜角为.
答案:B
4.曲线y=f(x)=x2-2x+3在点A(-1,6)处的切线方程为4x+y-2=0.
解析:因为曲线方程为y=x2-2x+3,切点为点A(-1,6),
所以斜率k==-4,
所以切线方程为y-6=-4(x+1),即4x+y-2=0.
5.若曲线y=x2+2x在点P处的切线垂直于直线x+2y=0,则点P的坐标为(0,0).
解析:设点P的坐标为(x0,y0),
则f'(x0)==2x0+2.
因为曲线在点P处的切线垂直于直线x+2y=0,
所以曲线在点P处的切线的斜率为2,
所以2x0+2=2,解得x0=0,所以y0=0,所以点P 的坐标为(0,0).
6.求曲线f(x)=x3+2x-1在点P(1,2)处的切线方程.
解:由f(x)=x3+2x-1,得f'(x)==3x2+2,所以f'(1)=5.
故曲线在点P处的切线的斜率k=5,
所以曲线在点P处的切线方程为y-2=5(x-1),即5x-y-3=0.
B级　拓展提高
7.在平面直角坐标系中,曲线y=x2在点(1,1)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为(　　)
A. B. C.1 D.2
解析:f'(1)==2,
则曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,
所以这条切线与两条坐标轴的交点坐标分别为(0,-1),,故它与两条坐标轴围成的三角形的面积为×1×=.
答案:A
8.已知点P在曲线F:y=x3-x上,若曲线F在点P处的切线与直线x+2y=0垂直,则点P的坐标为(　　) A.(1,0)或(1,1) B.(1,1)
C.(-1,0)或(1,0) D.(-1,0)
解析:设点P的坐标为(x0,y0).由题意,得f'(x0)==3-1=2,解得x0=±1.
当x0=-1时,y0=0;当x0=1时,y0=0.
故点P的坐标为(-1,0)或(1,0).
答案:C
9.已知曲线y=2x3上某点处的切线的斜率等于6,求此点的坐标.
解:设此点的坐标为(x0,y0).
因为y'==6,
所以6=6,解得x0=±1.
当x0=-1时,y0=-2;当x0=1时,y0=2.
故此点的坐标为(-1,-2)或(1,2).
10.已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx,曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,求a,b的值.
解:因为f'(x)==2ax,
所以f'(1)=2a,即曲线f(x)在点(1,c)处的切线的斜率k1=2a.
因为g'(x)==3x2+b,
所以g'(1)=3+b,即曲线g(x)在点(1,c)处的切线的斜率k2=3+b.
因为曲线f(x)与曲线g(x)在交点(1,c)处有公切线,所以2a=3+b.
又因为两条曲线交于点(1,c),
所以a+1=c=1+b,即a=b,
联立解得
C级　挑战创新
11.多选题已知直线l过点P(3,5),若直线l与曲线 y=x2相切于点A,则切点A的坐标可能是(　　) A.(1,1) B.(1,2)C.(5,25) D.(5,5)
解析:y'===2x.
设点A的坐标为(x0,y0).
因为点A在曲线y=x2上,
所以y0=.
又因为A为切点,
所以过点A的切线的斜率k=2x0.
因为直线l过P(3,5),A(x0,y0)两点,
所以直线l的斜率为=,
所以2x0=,解得x0=1或x0=5.
当x0=1时,y0=1;当x0=5时,y0=25.
故切点A的坐标为(1,1)或(5,25).
答案:AC