5.2 导数的运算 5.2.3 简单复合函数的导数
A级　基础巩固
1.下列等式正确的是(　　) A.'=1-
B.(cos2x)'=2cos x
C.'=
D.(2sin 2x)'=2cos 2x
解析:A项,'=1+;
B项,(cos2x)'=2cos x·(-sin x)=-sin 2x;
D项,(2sin 2x)'=2cos 2x×2=4cos 2x.
答案:C
2.若直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为(　　)
A.1　　　B.2　　　C.-1　　　D.-2
解析:设切点为(x0,y0),
则y0=x0+1,y0=ln(x0+a).
对于曲线y=ln(x+a),y'=,所以=1,即x0+a=1,
所以y0=ln 1=0,x0=-1,所以a=2.
答案:B
3.函数y=sin2x的图象在点处的切线的斜率是(　　)
A. B. C. D.
解析:因为y'=2sin xcos x,
所以y'=2sincos=.
答案:D
4.曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离等于.
解析:设l是曲线y=ln(2x-1)的切线,且与直线2x-y+3=0平行.
对于曲线y=ln(2x-1),y'=.
令y'==2,解得x=1,则易知切线l与曲线y=ln(2x-1)的切点的坐标为(1,0).
由点到直线的距离公式,得d==.
5.在平面直角坐标系中,曲线y=在点(4,e2)处的切线与两条坐标轴所围成三角形的面积S=e2.
解析:因为y'=,
所以切线的斜率k=y'|x=4=e2.
所以切线的方程为y-e2=e2(x-4),即y=x-e2.
所以切线与两条坐标轴的交点分别为(2,0),(0,-e2),所以所求三角形的面积S=e2.
6.已知f(x)=(x+)10,求.
解:因为()'=[(1+x2]'=(1+x2×2x=x(1+x2,
所以f'(x)=10(x+)9[1+x(1+x2]=.
所以f'(0)=10.
又因为f(0)=1,所以=10.
B级　拓展提高
7.曲线y=cos在x=处的切线的斜率为(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
解析:因为y'=-2sin,
所以曲线y=cos在x=处的切线的斜率k=-2sin=-2.
答案:D
8.曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为(　　)
A.y=2x B.y=x
C.y=-2x D.y=-x
解析:因为y=2ln(x+1),所以y'=.当x=0时,y'=2,所以曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.
答案:A
9.函数f(x)=的导数f'(x)=.
解析:设y=f(x)=,u=2x+x2,故y=可以看成是由y=和u=2x+x2复合而成的,
所以f'(x)=y'x=y'u·u'x=×(2+2x)=.
10.求下列函数的导数:
(1)y=;
(2)y=log2(4x+7);
(3)y=.
解:(1)令u=1-3x,则y=u-4,
所以y'=-4u-5×(1-3x)'=-4(1-3x)-5×(-3)=12(1-3x)-5.
(2)令u=4x+7,则y=log2u,
所以y'=·(4x+7)'=.
(3)令u=x2+3x+1,则y=2u,
所以y'=2u(ln 2)·(x2+3x+1)'=(ln 2)(2x+3).
11.曲线y=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与直线l的距离为 ,求直线l的方程.
解:y'=(e2x)'·cos 3x+e2x·(cos 3x)'=2e2xcos 3x-3e2xsin 3x,
所以y'|x=0=2.
所以曲线y=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即y=2x+1.
设所求直线l的方程为y=2x+b,
则=,所以b=6或b=-4.
所以直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4.

C级　挑战创新
12.多选题已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象如图所示,令g(x)=f(x)+f'(x),则下列关于函数g(x)的说法正确的是(　　)
A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-(k∈Z)
B.函数g(x)的最大值为2
C.函数g(x)的图象上存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行
D.若方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1,x2,则|x1-x2|的最小值为
解析:根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知A=2,=-=,所以T=2π,ω==1.
根据图象知,当x=时,ωx+φ=+φ=+2kπ,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.所以f'(x)=2cos.
所以g(x)=f(x)+f'(x)=2sin+2cos=2sin=2sin.
令x+=+kπ,k∈Z,解得x=-+kπ,k∈Z.
所以函数g(x)图象的对称轴方程为x=-+kπ,k∈Z,A正确.
当x+=+2kπ,k∈Z时,函数g(x)取得最大值2,B错误.
因为g'(x)=2cos,所以g'(x)≤2<3,所以不存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行,C错误.
方程g(x)=2,即2sin=2,所以sin=,解得x+=+2kπ,k∈Z或x+=+2kπ,k∈Z,所以当方程的两个不同的解分别为x2时,|x1-x2|的最小值为,D正确.
故选AD.
答案:AD
13.多空题函数f(x)=的导数是f'(x)=-,曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x+y-5=0.
解析:因为()'=[(x2+1]'=(x2+1×2x=x(x2+1,
所以f'(x)='
=
=
=
=-.
则f'(1)=-.
当x=1时, f(1)=,
故曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=-(x-1),即3x+y-5=0.