5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值第1课时函数的极值
A级　基础巩固
1.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于0的极值点,则(　　)
A.a<-1 B.a>-1C.a<- D.a>-
解析:因为y=ex+ax,所以y'=ex+a.令y'=0,即ex+a=0,则ex=-a,所以x=ln(-a).又因为x>0,所以-a>1,即a<-1.
答案:A
2多选题(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3-x+1,则(　　)
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)有三个零点
C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
解析:因为f(x)=x3-x+1,所以f'(x)=3x2-1.
令f'(x)>0,解得x<-或x>;令f'(x)<0,解得- 又函数f(x)的值域为R,且f=>0,f=>0,所以f(x)有两个极值点,有且仅有一个零点.故选项A正确,选项B错误.
又f(x)+f(-x)=x3-x+1-x3+x+1=2,则f(x)关于点(0,1)对称,故选项C正确.
假设直线y=2x是曲线y=f(x)的切线,其切点为(a,b),则解得或显然点(1,2)和(-1,-2)均不在曲线y=f(x)上,故选项D错误.
答案:AC
3.当函数y=x·2x取极小值时,x=(　　) A. B.-C.-ln 2 D.ln 2
解析:由y=x·2x,得y'=2x+x·2x·ln 2.
令y'=0,得2x(1+x·ln 2)=0.
因为2x>0,所以1+x·ln 2=0,解得x=-.
答案:B
4.若函数f(x)=ax-ln x在x=处取得极值,则实数a的值为.
解析:由题意,可知f'(x)=a-,f'=0,
所以a-=0,解得a=.
5.函数f(x)=+ln x的极小值点为2.
解析:由题意,知函数f(x)的定义域是(0,+∞).
由f'(x)=-+==0,得x=2.
当02时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.所以当x=2时,函数f(x)取得极小值,故2为f(x)的极小值点.
6.设f(x)=,其中a为正实数.
(1)当a=时,求f(x)的极值点;
(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.
解:对f(x)求导得f'(x)=.
(1)当a=时,令f'(x)=0,则4x2-8x+3=0,解得x1=,x2=.
当x变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如下表:

x

f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

所以是f(x)的极小值点,是f(x)的极大值点.
(2)若f(x)为R上的单调函数,则f'(x)在R上不变号.
结合f'(x)和条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,
所以Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,
故0
B级　拓展提高
7.若函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴相切于点(1,0),则函数f(x)的极小值为(　　)
A.0 B.- C.- D.1
解析:由题意,知f'(x)=3x2-2px-q,f'(1)=3-2p-q=0,f(1)=1-p-q=0,
联立,得方程组解得
所以f(x)=x3-2x2+x,f'(x)=3x2-4x+1.
由f'(x)=3x2-4x+1=0,解得x=1或x=.
可知1是函数f(x)的极小值点.
所以f(x)极小值=f(1)=0.
答案:A
8.设函数f(x)=x·(x-c)2在x=2处有极大值,则c=6.
解析:因为f'(x)=3x2-4cx+c2,f(x)在x=2处有极大值,所以f'(2)=0,即c2-8c+12=0,解得c=2或c=6.
当c=2时,f'(x)=3x2-8x+4=(3x-2)(x-2).则当x>2时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,不符合题意,所以c≠2,所以c=6.
9.已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实数a的取值范围.
解:令f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,解得x1=-1,x2=1.
当x<-1时,f'(x)>0;当-11时,f'(x)>0.
当x=-1时,函数f(x)有极大值f(-1)=2+a;
当x=1时,函数f(x)有极小值f(1)=-2+a.
因为方程f(x)=0有三个不同实根,
所以函数y=f(x)的图象与x轴有三个交点.
所以极大值2+a>0,且极小值-2+a<0,解得-2 故实数a的取值范围是(-2,2).
10.已知函数f(x)=x2-aln x(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)在x=1处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值;
(3)若函数f(x)在区间(2,+∞)上是增函数,试确定a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=x2-ln x,
则f'(x)=2x-,
则f'(1)=1,f(1)=1,所以函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x.
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-.
①当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以函数f(x)不存在极值.
②当a>0时,令f'(x)=0,得x=(负值舍去).
当0时,f'(x)>0.
所以当x=时,函数f(x)有极小值,极小值为f=-ln.
(3)因为函数f(x)在区间(2,+∞)上是增函数,
所以当x∈(2,+∞)时,f'(x)=2x-≥0,即a≤2x2对x∈(2,+∞)恒成立,所以a≤8.
C级　挑战创新
11.多选题已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列四个结论正确的是(　　)

A.f(x)在区间(-3,1)内是增函数
B.当x=-1时,f(x)有极小值
C.f(x)在区间(2,4)内是减函数,在区间(-1,2)内是增函数
D.当x=2时,f(x)有极小值
解析:由题图知f(x)在区间(-3,-1)和(2,4)内是减函数,在区间(-1,2)内是增函数,当x=-1时,函数f(x)有极小值,当x=2时,函数f(x)有极大值.
答案:BC
12.多选题若使函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值可以是(　　) A. B.C. D.
解析:f'(x)=ln x-ax+x=ln x-2ax+1.由题意知f'(x)=0有两个根,所以ln x-2ax+1=0有两个根,即y=ln x+1与y=2ax恰有两个交点.若直线y=2ax恰与曲线y=ln x+1相切于点(x0,y0),且y=ln x+1的导数y'=,则解得2a=1,要使函数y=ln x+1的图象与y=2ax的图象恰有两个交点,只需0<2a<1,即0 答案:ACD
13.多空题已知函数f(x)=x3-3ax-1(a≠0)在x=-1处取得极值,若直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,则m的取值范围为(-3,1).若有两个不同的交点,则m的取值为-3或1.
解析:因为f(x)在x=-1处取得极值,且f'(x)=3x2-3a,
所以f'(-1)=3×(-1)2-3a=0,
所以a=1.
所以f(x)=x3-3x-1,f'(x)=3x2-3.
由f'(x)=0,解得x1=-1,x2=1.
当x<-1时,f'(x)>0;当-1 当x>1时,f'(x)>0.所以由函数f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.作出函数f(x)的大致图象,如图所示.

因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,所以结合f(x)的图象可知,m的取值范围是(-3,1).
根据图象可知,当m=-3或m=1时,直线y=m与y=f(x)的图象有两个不同的交点.