新教材2023高中数学第五章一元函数的导数及其应用章末复习课新人教A版选择性必修第二册 试卷

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第五章 一元函数的导数及其应用
章末复习课

回顾本章学习过程,建构“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”之间的联系.


要点训练一　导数的定义及几何意义
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况:
(1)若已知点是切点,则在该点处的导数就是该点处的切线的斜率.
(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.
注意:曲线与直线相切并不一定只有一个公共点,例如,曲线y=x3在点(1,1)处的切线l与曲线y=x3还有一个交点(-2,-8).
1.若=1,则f'(x0)=(　　) A. B.C.- D.-
解析:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化=就是函数y=f(x)在x=x0处的导数,其中关键的是Δy与Δx之间的对应关系,==-f'(x0)=1,所以f'(x0)=-.
答案:D
2.设函数f(x)在定义域内都存在导数,且满足=-1,则过曲线y=f(x)上的点(1,f(1))处的切线斜率为(　　)
A.2 B.-1C.1 D.-2
解析:根据导数的定义可知==-1,即y'|x=1=-1,故由导数的几何意义可知y=f(x)在点(1,f(1))处的斜率为-1.
答案:B
3.(2022·新高考全国Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
解析:因为y=(x+a)ex,所以y'=ex+(x+a)ex.
设切点的坐标为(x0,(x0+a)),则切线的斜率k=+(x0+a),所以切线方程为y-(x0+a)·=[+(x0+a)](x-x0).
又切线过原点,所以-(x0+a)=[+(x0+a)](-x0).整理,得+ax0-a=0.
因为存在两条切线,所以方程+ax0-a=0有两个不相等的实根.所以Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,即a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
4.已知f'(x0)=,f(3)=2,f'(3)=-2,则 的值是8.
解析:
=
=+,
由于f(3)=2,上式可化为-3=2-3×(-2)=8.
要点训练二　导数的计算
应用导数运算法则的注意点:
(1)准确理解、记忆导数的运算法则.导数的四个运算法则中除法的法则较为复杂,特别注意分子的连接符号是减号,容易错记为加号.
(2)先把函数解析式化简、变形再求导数.对于较为复杂的函数解析式,遵循先化简后求导的原则,化简为基本初等函数的基本运算后求导.
1.函数f(x)=(x-a)(x-b)在x=a处的导数为(　　)
A.ab B.-a(a-b)C.0 D.a-b
解析:因为f(x)=(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab,所以f'(x)=2x-(a+b),
所以f'(a)=2a-(a+b)=a-b.
答案:D
2.设函数f(x)的导数为f'(x),且满足f(x)=+2xf'(1),则f'(1)-f'(-1)=(　　)
A.1 B.-1C.0 D.2
解析:由f(x)=+2xf'(1),得f'(x)=-+2f'(1),
则f'(1)=-1+2f'(1),解得f'(1)=1.
则f'(x)=-+2,
则f'(-1)=-1+2=1.
故f'(1)-f'(-1)=0.
答案:C
3.求下列函数的导数:
(1)y=xcos 2x;
(2)y=.
解:(1)y'=cos 2x-2xsin 2x.
(2)因为y==+x3+x-2sin x,
所以y'=()'+(x3)'+(x-2sin x)'=-+3x2-2x-3sin x+x-2cos x.
要点训练三　导数与函数的单调性
求可导函数单调区间的一般规律:
(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先).
(2)求导数f'(x).
(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f'(x)>0或 f'(x)<0的解集.
(4)由f'(x)>0(f'(x)<0)的解集确定函数f(x)的单调递增(递减)区间.若遇不等式中带有参数时,可分类讨论求得函数的单调区间.
1.设f(x),g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数,且f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0,则当a A.f(x)g(x)>f(b)g(b)
B.f(x)g(a)>f(a)g(x)
C.f(x)g(b)>f(b)g(x)
D.f(x)g(x)>f(a)g(a)
解析:记F(x)=,则F'(x)=.
因为f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0,
所以F'(x)<0,即F(x)在区间(a,b)内是减函数.
因为aF(b),所以>.
又因为f(x),g(x)在R上恒大于0,
所以g(x)>0,g(b)>0,所以f(x)g(b)>f(b)g(x).
答案:C
2.多空题函数y=-x3+x2+5的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(-∞,0),(2,+∞).
解析:y'=-x2+2x,令y'>0,得02,故函数y=-x3+x2+5的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(-∞,0),(2,+∞).
3.(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2+b.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)从下面两个条件中选一个,证明:f(x)有一个零点.
①2a;
②0 (1)解:由函数的解析式可得f'(x)=x(ex-2a).
当a≤0时,若x∈(-∞,0),则f'(x)<0,f(x)单调递减;
若x∈(0,+∞),则f'(x)>0,f(x)单调递增.
当00,f(x)单调递增;
若x∈(ln(2a),0),则f'(x)<0,f(x)单调递减;
若x∈(0,+∞),则f'(x)>0,f(x)单调递增.
当a=时,f'(x)≥0,f(x)在R上单调递增.
当a>时,若x∈(-∞,0),则f'(x)>0,f(x)单调递增;
若x∈(0,ln(2a)),则f'(x)<0,f(x)单调递减;
若x∈(ln(2a),+∞),则f'(x)>0,f'(x)单调递增.
(2)证明:若选择条件①:
由于2a>1,f(0)=b-1>0.
而f=<0,函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,故函数f(x)在区间(-∞,0)上有一个零点.
f(ln(2a))=2a[ln(2a)-1]-a[ln(2a)]2+b>2a[ln(2a)-1]-a[ln(2a)]2+2a=
2aln(2a)-a[ln(2a)]2=a[2-ln(2a)]ln(2a),
由于 故a[2-ln(2a)]ln(2a)≥0,
结合函数的单调性可知函数在区间(0,+∞)上没有零点.
综上可得,题中的结论成立.
若选择条件②:
由于0 当b≥0时,因为e2>4,0<4a<2,所以f(2)=e2-4a+b>0,
而函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)在区间(0,+∞) 上有一个零点.
当b<0时,构造函数H(x)=ex-x-1,则H'(x)=ex-1.
当x∈(-∞,0)时,H'(x)<0,H(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,H'(x)>0,H(x)单调递增.
又H(0)=0,故H(x)≥0恒成立,从而有ex≥x+1,
此时f(x)=(x-1)ex-ax2+b≥(x-1)(x+1)-ax2+b=(1-a)x2+(b-1).
当x>时,(1-a)x2+(b-1)>0,
取x0=+1,则f(x0)>0,
即f(0)<0,f>0,而函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)在区间(0,+∞) 上有一个零点.
f(ln(2a))=2a[ln(2a)-1]-a[ln(2a)]2+b≤2a[ln(2a)-1]-a[ln(2a)]2+2a=2aln(2a)-a[ln(2a)]2=a[2-ln(2a)]ln(2a),
由于0 结合函数的单调性可知函数在区间(-∞,0)上没有零点.
综上可得,题中的结论成立.
要点训练四　导数与函数的极值、最值
利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的方法:
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增或单调递减,则f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值;
(2)若函数f(x)在区间[a,b]上有极值,要先求出区间[a,b]上的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成;
(3)函数f(x)在区间(a,b)内有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.
1.函数y=(　　)
A.有最大值2,无最小值
B.无最大值,有最小值-2
C.最大值为2,最小值为-2
D.无最值
解析:y'=,令y'=0,得x=±1,
容易验证当x=-1时,函数y取得极小值,也是最小值ymin=-2;当x=1时,函数y取得极大值,也是最大值ymax=2.
答案:C
2.若不等式>0在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.a≤-1 B.a<-1C.a≥4 D.a>4
解析:在区间[1,2]上,不等式>0恒成立,即-x3+2x+a>0恒成立,所以a>x3-2x恒成立.
令g(x)=x3-2x,则g'(x)=3x2-2.
令g'(x)=0,得x=±.
当x∈[1,2]时,g'(x)>0,g(x)为增函数.
故函数g(x)在区间[1,2]上的最大值为g(2)=4,
因此a的取值范围是a>4.
答案:D
3.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是a>2或a<-1.
解析:f'(x)=3x2+6ax+3(a+2),依题意知方程f'(x)=0有两个不相等的实数根,故Δ>0,即36a2-36(a+2)>0,解得a>2或a<-1.
4.已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.
解:(1)f'(x)=-a(x>0).
①当a≤0时,f'(x)=-a>0,
即函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
②当a>0时,令f'(x)=-a=0,可得x=,
当00;
当x>时,f'(x)<0,
故函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
由①②知,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)①当0<≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值是f(2)=ln 2-2a.
②当≥2,即0 ③当1<<2,即 因为f(2)-f(1)=ln 2-a,
所以当 当ln 2≤a<1时,最小值是f(2)=ln 2-2a.
综上可知,当0 要点训练五　利用导数求参数范围的方法
1.由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数f(x)在某一区间上单调,实际上就是在该区间上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)(f'(x)在该区间的任意子区间上都不恒等于0)恒成立,然后分离参数,转化为求函数的最值问题,从而获得参数的取值范围;
(2)可导函数f(x)在某一区间上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题;
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围;
(4)“f(x)在区间(a,b)内不单调”等价于“在区间(a,b)内函数有极值点”.
2.利用导数解决不等式恒成立时求参数取值范围的常用方法
方法一:分离参数求最值,即要使a≥g(x)恒成立,只需a≥g(x)max,要使a≤g(x)恒成立,只需a≤g(x)min,从而转化为求函数g(x)的最值问题.
方法二:当参数不宜进行分离时,还可直接求函数的最值,建立关于参数的不等式求解,例如,要使不等式f(x)≥0恒成立,可求得函数f(x)的最小值h(a),令h(a)≥0即可求出a的范围.
1.已知函数f(x)=ex-kx2,x∈R,且f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,求k的取值范围.
解:方法一　f'(x)=ex-2kx.
当x>0时,由ex-2kx≥0,得k≤在区间(0,+∞)上恒成立.
令p(x)=,则有k≤p(x)min,p'(x)=.
令p'(x)=0,解得x=1.
列表如下:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
p'(x)
-
0
+
p(x)
单调递减
极小值
单调递增


故函数p(x)在x=1处取得极小值,亦是最小值.
因为p(x)min=p(1)=,所以k≤,故实数k的取值范围为.
方法二　f'(x)=ex-2kx.
若k≤0,显然在区间(0,+∞)上f'(x)>0,则函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
记φ(x)=ex-2kx,则φ'(x)=ex-2k,
当0e0=1,2k<1,所以φ'(x)>0,则函数φ(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
于是f'(x)=φ(x)>φ(0)=1>0,
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
当k≥时,函数φ(x)=ex-2kx在区间(0,ln(2k))内单调递减,在区间(ln(2k),+∞)上单调递增,
于是f'(x)=φ(x)≥φ(ln(2k))=eln(2k)-2kln(2k).
由eln(2k)-2kln(2k)≥0,得2k-2kln(2k)≥0,
则≤k≤.
综上所述,k的取值范围是.
2.已知函数f(x)=ln x-,且f(x) 解:因为f(x) 又因为x>1,所以a>xln x-x3.
令g(x)=xln x-x3,h(x)=g'(x)=1+ln x-3x2,则h'(x)=-6x=.
因为当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,所以h(x)在区间(1,+∞)上是减函数.所以h(x) 所以当a≥-1时,f(x) 要点训练六　数学建模思想
利用导数解决实际生活中的最值问题的一般步骤:
(1)分析实际问题中各变量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出相应的函数解析式y=f(x).
(2)求导数f'(x),解方程f'(x)=0.
(3)判断使f'(x)=0的点是极大值点还是极小值点.
(4)确定函数的最大值或最小值,还原到实际问题中作答.一般地,对于实际问题,如果函数在给定的定义域内只有一个极值点,那么该点也是最值点.
1.某公司生产某种产品,固定成本为 20 000元,每生产一件产品,成本增加100元,已知总收益R(单位:元)与年产量x(单位:件)之间的关系是R=则当总利润P最大时,每年的产量是(　　)

A.100件 B.150件C.200件 D.300件
解析:设总成本为C,由题意,得C=100x+20 000.
所以总利润P=R-C=
即P=
则P'=
令P'=0,得x=300,
易知当x=300时,总利润最大.
答案:D
2.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,0.048)),则存款利率为0.024时,银行可获得最大收益.
解析:设存款量为g(x),银行应支付的利息为h(x),
由题意,得g(x)=kx(k>0),h(x)=xg(x)=kx2,x∈(0,0.048).
设银行可获得的收益为y,则y=0.048kx-kx2.
于是y'=0.048k-2kx,令y'=0,解得x=0.024.
依题意知y在x=0.024处取得最大值.
故当存款利率为0.024时,银行可获得最大收益.
3.某电视生产厂家有A,B两种型号的电视机参加家电下乡活动.若厂家投放的A,B两种型号电视机的金额分别为p万元,q万元,农民购买A,B两种型号的电视机获得的补贴分别为p万元,mln(q+1)(m>0)万元.已知厂家把总价值为10万元的A,B两种型号的电视机投放市场,且A,B两种型号的电视机投放金额都不低于1万元.
(1)当m=时,请你制订一个投放方案,使得在这次活动中农民得到的补贴最多,并求出其最大值;(精确到0.1万元,参考数据:ln 4≈1.4)
(2)当m∈时,试讨论农民得到的补贴随厂家投放的B型号电视机金额的变化而变化的情况.
解:设投放B型号电视机的金额为x万元(1≤x≤9),农民得到的补贴为y万元,则投放A型号电视机的金额为(10-x)万元.
(1)当m=时,有y=ln(x+1)-x+1,y'=-.
令y'=0,得x=3.
当x∈[1,3)时,y'>0;
当x∈(3,9]时,y'<0.
所以当x=3时,y取得极大值,也是最大值,此时,10-x=7,
则ymax=ln 4-0.3+1≈1.3,
即厂家投放A,B两种型号电视机的金额分别为7万元和3万元时,农民得到的补贴最多,补贴最多约为1.3万元.
(2)由题意知y=mln(x+1)+(10-x),则y'=-.
令y'=0,得x=10m-1.
因为m∈,所以10m-1∈(1,9),所以当x∈[1,10m-1)时,y'>0;当x∈(10m-1,9]时,y'<0.
所以当x∈[1,10m-1)时,随B型号电视机投放金额x的增加,农民得到的补贴逐渐增加;
当x∈(10m-1,9]时,随B型号电视机投放金额x的增加,农民得到的补贴逐渐减少.

导数应用的综合问题

(2020·新高考全国Ⅰ卷)
已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
规范解答
评分细则
解:(1)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞).
当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,所以f'(x)=ex-, …………………………………………2分
所以切线的斜率k=f'(1)=e-1.
因为f(1)=e+1,所以切点的坐标为(1,e+1),
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e-1=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2②. ………………………………1分(累计3分)
所以当x=0时,y=2,当y=0时,x=-,
………………………………1分(累计4分)
所以所求三角形的面积为×2×=. …………………………1分(累计5分)
(2)方法一　由f(x)≥1,可得aex-1-ln x+ln a≥1,
所以ex-1+ln a-ln x+ln a≥1,
即ex-1+ln a+ln a+x-1≥ln x+x=eln x+ln x. ………………………………1分(累计6分)
令g(t)=et+t,则g'(t)=et+1>0,所以g(t)在R上单调递增.
因为g(ln a+x-1)≥g(ln x),所以ln a+x-1≥ln x,
即ln a≥ln x-x+1④. …………2分(累计8分)
令h(x)=ln x-x+1,所以h'(x)=-1=.
当00,函数h(x)单调递增,
当x>1时,h'(x)<0,函数h(x)单调递减,
所以h(x)≤h(1)=0,
所以ln a≥0, ………………3分(累计11分)
所以a≥1,故a的取值范围为[1,+∞)⑤. ……………………………1分(累计12分)
方法二　由题意可得x∈(0,+∞),a∈(0,+∞),
所以f'(x)=aex-1-,
易知f'(x)在区间(0,+∞)上单调递增. ………………………………1分(累计6分)
若0 f'=a-a=a(-1)>0,
所以存在x0∈,使得f'(x0)=0.
当x∈(1,x0)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
所以f(x) ………………………………2分(累计8分)
若a≥1,则aex-1≥ex-1,ln a≥0,
所以f(x)≥ex-1-ln x,
令g(x)=ex-1-ln x,所以g'(x)=ex-1-,
易知g'(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
因为g'(1)=0,
所以当x∈(0,1)时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,
所以g(x)≥g(1)=1,即f(x)≥1⑥. ……………………………3分(累计11分)
综上所述,a的取值范围为[1,+∞)⑦. ……………………………1分(累计12分)

第(1)题:①有定义域得1分,求出f(x)的导数得1分;
②只要有切线方程即可得1分;
③此处说明截距同样得分.
第(2)题:
方法一
④构造出函数,说明函数的单调性即可得1分;
⑤最后说明a的取值范围得1分.



















方法二
⑥有f(x)≥ex-1-ln x得1分,构造函数,说明单调性得1分;
⑦最后的结论得1分.
得分技巧
1.得步骤分
解题步骤要完整,如第(1)题中有5个得分点,每一步都是一个得分点;
第(2)题方法二中对a的分类讨论,每种情况都是得分点.
2.得关键分
第(1)题①中说明定义域得1分;
第(2)题⑤⑦中有最后结论得1分.