新教材2023高中数学第六章计数原理质量评估新人教A版选择性必修第三册 试卷

这是一份新教材2023高中数学第六章计数原理质量评估新人教A版选择性必修第三册，共10页。

第六章质量评估
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.甲、乙两人从4门课程中各选修1门,则甲、乙所选的课程不相同的选法共有(　　)
A.6种B.12种 C.30种 D.36种
解析:因为甲、乙两人从4门课程中各选修1门,
所以由分步乘法计数原理,可得甲、乙所选的课程不相同的选法种数为4×3=12.故选B.
答案:B
2.若=2,则m的值为(　　)
A.5B.3C.6D.7
解析:依题意,得=2×,化简,得(m-3)(m-4)=2,
解得m=2或m=5.又因为m≥5,所以m=5,故选A.
答案:A
3.(x+2)6的展开式中x3的系数是(　　)
A.20B.40C.80D.160
解析:设含x3的项为第k+1项,则Tk+1=x6-k·2k.令6-k=3,得k=3.故展开式中x3的系数为×23=160.
答案:D
4.用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色,若每种颜色只能涂两个圆,且相邻两个圆所涂颜色不能相同,则不同的涂色方案的种数为(　　)

A.12B.24C.30D.36
解析:因为一种颜色只能涂两个圆,且相邻两个圆所涂颜色不能相同,所以分两类,第一类,涂前三个圆用三种颜色,有=6种涂法,则涂后三个圆有×=4种涂法,共有6×4=24种涂法;第二类,涂前三个圆用两种颜色,则涂后三个圆也用两种颜色,共有×=6种涂法.综上所述,可得不同的涂色方案的种数为24+6=30.
答案:C
5.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具,为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中,以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字,如下表:

表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空,如图:

如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的方格中,那么可以表示的三位数的个数为(　　)

A.46B.44C.42D.40
解析:按每一位算筹的根数分类一共有15种情况:(5,0,0),(4,1,0),
(4,0,1),(3,2,0),(3,1,1),(3,0,2),(2,3,0),(2,2,1),(2,1,2),(2,0,3),(1,4,0),(1,3,1),
(1,2,2),(1,1,3),(1,0,4).2根及以上的算筹可以表示两个数字,运用分步乘法计数原理,则上述情况能表示的三位数的个数分别为:2,2,2,4,2,4,4,4,
4,4,2,2,4,2,2.
根据分类加法计数原理,得5根算筹能表示的三位数的个数为:2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44.
答案:B
6.已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,则a8=(　　)
A.-180B.180C.45D.-45
解析:令t=1-x,则x=1-t,所以有(2-t)10=a0+a1t+a2t2+…+a10t10.因为Tr+1=210-r(-t)r=210-r(-1)rtr,令r=8,得a8=×22=180.
答案:B
7.7名学生参加“知识竞赛”后,向老师询问比赛成绩,老师说:“甲的成绩是最中间一名,乙不是7人中成绩最好的,丙不是7人中成绩最差的,而且7人的成绩各不相同”.他们7人不同的可能名次共有(　　)
A.120种B.216种C.384种D.504种
解析:因为甲的成绩是中间一名,所以只需安排其余6人名次,
因为乙不排第一名,丙不排最后一名,
所以由间接法可得-2+=720-2×120+24=504.
答案:D
8.有一个8×8网格图,其中有一个小方格因破损而被剪去(破损位置不确定),“L”形图形由三个相邻的小方格组成,如图所示.现要将这个破损的8×8网格图剪成数个“L”形图形,则(　　)

A.最多能剪成19个“L”形图形
B.最多能剪成20个“L”形图形
C.最多能剪成21个“L”形图形
D.前三个答案都不对
解析:考虑2×3的6个方格,如图:,每一个这样的图形能剪成2个“L”形图形.该8×8网格图一共可以剪成10个这样“2×3”的图形和1个田字格,1个田字格可以剪1个“L”形图形.
只要将破损的方格所在位置剪成一个恰当的田字格即可,所以最多能够剪成21个“L”形图形.如图所示.

答案:C
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字组成无重复数字的五位数,且1不能在个位,则关于这样的五位数的个数,下列表示正确的有(　　)
A.×
B.+×
C.-2+
D.+××+×
解析:由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字组成无重复数字的五位数,且1不能在个位,则关于这样的五位数的个数的求法,可用如下两种方法进行解答.
排除法:任选5个数字,总共有种情况,减去1在个位或0在万位的情况种数2,加上0在万位,且1在个位的情况种数,可得共有-2+种,故C项正确.
讨论法:
方法一若有1,
(1)当1在万位时,共有种;
(2)当1在千位、百位或十位时,共有××种.
若没有1,万位有种,剩下有种,共有×种.
故有+××+×种.
方法二当1在万位时,有种;
当万位为0或1以外的数时,有()2种,故有+()2种.
故选BCD.
答案:BCD
10.若>3,则m的取值可能是(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
解析:根据题意,对于和3,有0≤m-1≤8,且0≤m≤8,
则有1≤m≤8.由>3,得>3×,
变形可得m>27-3m,解得m>.
综上可得, 答案:BC
11.从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛,则下列说法正确的有(　　)
A.如果参赛4人中男生、女生各有2人,那么有30种不同的选法
B.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,那么有28种不同的选法
C.如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内,那么有140种不同的选法
D.如果4人中必须既有男生又有女生,那么有184种不同的选法
解析:根据题意,依次分析选项:
对于A项,如果4人中男生、女生各有2人,男生有=15种选法,女生有=6种选法,那么4人中男生、女生各有2人选法种数为15×6=90,故A项错误;
对于B项,如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,那么在剩下的8人中再选2人即可,有=28种选法,故B项正确;
对于C项,在10人中任选4人,有=210种选法.若甲、乙都不在其中,则有=70种选法,故男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内的选法种数为210-70=140,故C项正确;
对于D项,在10人中任选4人,有=210种选法,只有男生的选法种数为=15,只有女生的选法种数为=1,则4人中必须既有男生又有女生的选法种数为210-15-1=194,故D项错误.
故选BC.
答案:BC
12.若(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且a1+
a2+…+an-1=125-n,则下列结论正确的是(　　)
A.n=6
B.(1+2x)n展开式中二项式系数和为729
C.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开式中所有项系数和为126
D.a1+2a2+3a3+…+nan=321
解析:因为(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,
且a1+a2+…+an-1=125-n,所以a0=n,an==1.
令x=1,可得2+22+…+2n=n+(125-n)+1,解得n=6,故A正确.
(1+2x)n展开式中二项式系数和为2n=64,故B错误.
(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开式中所有项系数和为2+22+
23+…+26=126,故C正确.
因为(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,
将n=6代入上式并对上述式子求导,
得1+2(1+x)+3(1+x)2+…+6(1+x)5=a1+2a2x+3a3x2+…+6a6x5,
从而a1+2a2+3a3+…+6a6=1+4+12+32+80+192=321,故D正确.
故选ACD.
答案:ACD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2020·全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有36种.
解析:先从4名同学中选出2名作为一组有种选法,再与另外2名同学一起进行排列有种方法,相乘即可得不同的安排方法种数为×=36.
14.在(1-x)6的展开式中,含x3的项的系数为-20,各项系数之和为0.(用数字作答,本题第一空2分,第二空3分)
解析:由已知,得Tk+1=(-1)kxk.
所以含x3的项的系数为(-1)3×=-20.
令x=1,可得展开式各项系数和为(1-1)6=0.
15.如图所示,悬挂的9盏花灯需要取下,每次取1盏,共有1 680种不同的取法.(用数字作答) 

解析:如图,假设9盏花灯依次用数字1~9表示.
若9盏花灯可以按任意顺序取下,则有种取法,但实际只能从下往上取(1在2之前取、2在3之前取、4在5之前取、5在6之前取、7在8之前取、8在9之前取,可以不相邻),其取法有=1 680种不同的顺序,即有1 680种不同的取法,故答案为1 680.

16.在某诗词表演节目中,若《沁园春·长沙》《蜀道难》《敕勒歌》《游子吟》《关山月》《清平乐·六盘山》排在后六场,且《蜀道难》排在《游子吟》的前面,《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有144种.(用数字作答)
解析:《沁园春·长沙》《蜀道难》《敕勒歌》《游子吟》《关山月》《清平乐·六盘山》分别记为A,B,C,D,E,F.
第一步:在B,C,D,E中选一个排在最后,共=4种排法.
第二步:将剩余五个节目按A与F不相邻排序,共-×=72种排法.
第三步:在前两步中B排在D的前面与后面机会相等,则求B排在D的前面的情况种数,只需除以=2即可,即六场的排法有4×72÷2=144种.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)用0,1,2,3,4,5这六个数字,完成下面问题.
(1)若数字不允许重复,可以组成多少个能被5整除且百位数字不是3的不同的五位数?
(2)若直线方程ax+by=0中的a,b可以从已知的六个数字中任取两个不同的数字,则直线方程表示的不同直线共有多少条?
解:(1)当末位数字是0时,百位数字不是3, 第一步,放百位有4种方法,第二步,放剩余的三个位置有4×3×2=24种,则共有4×24=96个;
当末位数字是5,首位数字是3时,共有1×4×3×2×1=24个;
当末位数字是5,首位数字是1或2或4时,共有(4×3×2-3×2)×3=
54个;
故共有96+24+54=174个.
(2)a,b中有一个取0时,有2条;a,b都不取0时,有5×4=20条;
a=1,b=2与a=2,b=4重复;a=2,b=1与a=4,b=2重复.
故共有2+20-2=20条.
18.(12分)已知=56,且(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn.
(1)求n的值;
(2)求a1+a2+a3+…+an的值.
解:(1)因为=56,
所以=56×,
化简,得n2-11n-60=0,解得n=15(负值舍去).
(2)令x=0,得a0=1,
令x=1,得a0+a1+a2+a3+…+an=-1,
所以 a1+a2+a3+…+an=-2.
19.(12分)为提高学生学习数学的兴趣,某中学拟开设数学史、微积分选修课程、数学探究、数学建模四门校本选修课程,甲、乙、丙三名同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习,已知三人选择课程时互不影响,且每人选择每一门课程都是等可能的.
(1)求三名同学选择的课程互不相同的概率;
(2)若甲、乙两名同学不能选择同一门课程,求三人共有多少种不同的选课种数;
(3)若至少有两名同学选择数学史,求三人共有多少种不同的选课种数.
解:(1)三名同学选择课程共有43=64种情况;三名同学选择的课程互不相同共有=24种情况,所求概率为=;
(2)甲、乙两名同学不选择同一门课程共有=12种情况,丙有4种不同的选择,所以甲、乙两名同学不能选择同一门课程共有12×4=48种情况;
(3)分两种情况讨论:
若有两名同学选择数学史,则共有 ×=9种不同的情况;
若有三名同学选择数学史,则共有1种情况.
综上所述,总共有9+1=10种不同的选课种数.
20.(12分)设=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+amxm,a0,a1,a2成等差数列.
(1)求的展开式的中间项;
(2)求的展开式中所有含x的奇次幂的系数和.
解:(1)依题意,得a0=1,a1=,a2=.
由题意,得2a1=a0+a2,
求得m=8或m=1(舍去).
所以的展开式的中间项是第5项,
T5==x4.
(2)因为=a0+a1x+a2x2+…+amxm,
即=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,
令x=1,则a0+a1+a2+a3+…+a8=,
令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…+a8=,
所以a1+a3+a5+a7==,
所以展开式中所有含x的奇次幂的系数和为.
21.(12分)把4名男同志和4名女同志平均分成4组,到4辆不同的公共汽车上从事售票服务.
(1)有多少种不同的分配方法?
(2)若男同志与女同志分别分组,则有多少种不同的分配方法?
解:(1)男女合在一起共有8人,每辆车上2人,可以分四个步骤完成,
先安排2人上第1辆车,有种分配方法,
再安排2人上第2辆车,有种分配方法,
接着安排2人上第3辆车,有种分配方法,
最后安排2人上第4辆车,有种分配方法.
由分步乘法计数原理,得共有×××=2 520种分配方法.
(2)因为男同志与女同志分别分组,4名男同志分成两组,有=3种分组方法,4名女同志分成两组,有=3种分组方法,
所以不同的分配方法种数为3×3×=216.
22.(12分)已知(n∈N*)的展开式的各项系数之和等于的展开式中的常数项,求的展开式中含a-1的项的二项式系数.
解:的通项为
Tr+1=(4)5-r·=·(-1)r·45-r·.
若Tr+1为常数项,则10-5r=0,所以r=2,
此时得常数项为T3=×(-1)2×43×5-1=27.
令a=1,得的展开式的各项系数之和为2n.
由题意,知2n=27,所以n=7.
的通项为Tk+1=·(-)k=·(-1)k·37-k.
若Tk+1为含的项,则=-1,所以k=3.
所以的展开式中含a-1的项的二项式系数为=35.