新人教版高中数学选择性必修第二册全套教学设计教案含情景引入核心素养word版

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5.1.2导数的概念及其几何意义


本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习导数的概念及其几何意义
本节内容通过分析上节中，高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题，总结归纳出导数的概念，并引出导数的几何意义。导数及其几何意义是本章中的核心概念，它是研究函数的基础。在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、极限等数学思想方法的渗透。

课程目标
学科素养
A.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．
B.了解导函数的概念，理解导数的几何意义．

1.数学抽象：导数的概念
2.逻辑推理：导数及导数的几何意义
3.数学运算：求曲线在某点处切线的斜率
4.直观想象：导数的几何意义


重点：导数的概念及其几何意义
难点：导数中蕴含的极限思想和以直代曲的思想方法的理解

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教学过程
教学设计意图
核心素养目标
一、 新知探究
前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率。这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也是一样的表示形式。下面我们用上述思想方法研究更一般的问题。
探究1： 对于函数y=f(x) ，设自变量x从x0变化到x0+ ∆x ，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x+x0) 。这时， x的变化量为∆x，y的变化量为∆y=fx0+∆x-f(x0)
我们把比值∆y∆x，即∆y∆x=fx0+∆x-f(x0) ∆x
叫做函数从x0到x0+∆x的平均变化率。

1．导数的概念
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处____，并把这个________叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为__________)，记作f ′(x0)或________，即
f ′(x0)＝ ＝ .
可导； 确定的值； 瞬时变化率； y′|； ；
由导数的定义可知，问题1中运动员在t =1时的瞬时速度v(1) ，就是函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11.
在t =1处的导数h'(1) ；问题2中抛物fx=x2线在点P0(1,1)
处的切线P0T的斜率k0，就是函数fx=x2在x =1处的导数f'(1) ，实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值（GDP）的增长率等。
例1 设fx=1x, 求f'1.
解：f'1=∆x→0lim   f1+∆x-f(1) ∆x=∆x→0lim   11+∆x-1 ∆x
=∆x→0lim   -11+∆x =-1
利用导数定义求导数
(1)取极限前，要注意化简，保证使Δx→0时分母不为0.
(2)函数在x0处的导数f ′(x0)只与x0有关，与Δx无关.
(3)导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.
跟踪训练1.　(1)若函数y＝f (x)在x＝x0处可导，
则 等于(　　)
A．f ′(x0)　 B．2f ′(x0) C．－2f ′(x0) D．0
(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
(1)B　[∵Δx＝(x0＋h)－(x0－h)＝2h.∴ ＝2 ＝2f ′(x0)．故选B.]
(2)解：∵Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，
∴＝6＋3Δx，∴f ′(1)＝ ＝ (6＋3Δx)＝6.
跟踪训练2．建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f (x)＝＋＋0.3，求f ′(100)，并解释它的实际意义．
[解]　根据导数的定义，得
f ′(100)＝ ＝
＝
＝
＝
＝＋
＝0.105.
f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2.
探究2：我们知道，导数f'x0表示函数y=fx在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=fx在x=x0附近的变化情况，那么导数f'x0的几何意义是什么？
观察函数y=fx的图像 ，
平均变化率
∆y∆x=fx0+∆x-f(x0) ∆x表示什么?
瞬时变化率
f'x0=∆x→0lim   ∆y∆x=∆x→0lim   fx0+∆x-f(x0) ∆x表示什么？



2．导数的几何意义
(1)导数的几何意义
如图，割线P0P的斜率k＝___________.记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是__________的斜率k0，即k0＝ ＝f ′(x0)．
；切线P0T
3．导函数
对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，f ′(x)便是x的一个函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称为导数)，即f ′(x)＝y′＝ .

例4. 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数
h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图像，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t=t0,t1,t2
附近的变化情况。

解：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况
（1）当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h't0=0,
这时，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；
（2）当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h't1