数学九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试练习题

这是一份数学九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试练习题，共13页。试卷主要包含了抛物线y=﹣，抛物线y=x2上有三个点，函数y=，已知一个二次函数图象经过P1，函数y=ax2+ax+a等内容，欢迎下载使用。
二次函数 培优过关测试
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y=﹣（x+2）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（2，﹣3）
2．将抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移3个单位得抛物线y=﹣（x+2）2+3，则（　　）
A．a=﹣1，b=﹣8，c=﹣10 B．a=﹣1，b=﹣8，c=﹣16
C．a=﹣1，b=0，c=0 D．a=﹣1，b=0，c=6
3．抛物线y=x2上有三个点（1，y1），（﹣2，y2），（3，y3），那么y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1
4．函数y=（m+2）x+2x+1是二次函数，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．0 C．﹣2或1 D．1
5．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（　　）
A．y3最小，y1最大 B．y3最小，y4最大
C．y1最小，y4最大 D．无法确定
6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（　　）
x
…
﹣1
0
1
3
…
y
…
﹣5
1
3
﹣5
…
A．抛物线开口向上
B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当x=4时，y＞0
D．方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间
7．函数y=ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（　　）
A．B． C．D．
8．已知二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程x2+x+c=0的两实数根分别是（　　）
A．1和﹣1 B．1和﹣2 C．1和2 D．1和3
9．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y=﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．2+
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），交y轴于点C，给出下列结论：①a：b：c=﹣1：2：3；②若0＜x＜4，则5a＜y＜﹣3a；③对于任意实数m，一定有am2+bm+a≤0；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根为﹣1和，其中正确的结论是（　　）

A．①②③④ B．①③ C．①③④ D．②③④
二．填空题（共7小题）
11．已知函数y=（m﹣2）x﹣2是关于x的二次函数，则m=　 　．
12．把二次函数y=（x﹣2）2+1的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为　 　．
13．抛物线y=x2﹣3x+2与x轴交于点A、B，则AB=　 　．
14．如果二次函数y=x2﹣8x+m+1的顶点在x轴上，那么m=　 　．
15．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是　 　．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
…

16．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2018的值为　 　．
17．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1、0＜x2＜1下列结论：
①4a﹣2b+c＜0②2a﹣b＜0③abc＞0④b2+8a＞4ac正确的结论是　 　．

三．解答题（共6小题）
18．在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x=1的抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点B的坐标为（﹣1，0）
（1）求抛物线的解析式并作出图象；
（2）点D的坐标为（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，求点P的坐标．










19．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点横坐标分别是1和2．
（1）当a=﹣1时，求这个二次函数的表达式；
（2）设A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）在y=ax2+bx+c的图象上，其中n为正整数．
①求出所有满足条件y2=3y1的n；
②设a＞0，n≥5，求证：以y1、y2、y3为三条线段的长可以构成一个三角形．













20．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）若设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请将销售利润w表示成销售单价x的函数；
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？
（3）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．












21．从某幢建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与地面垂直）．抛物线的最高点M离墙1m，离地面m．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
（2）求水的落地点B与点O的距离．









22．如图，抛物线L：y=﹣（x﹣2）2+m2+2m与x轴交于A，B，直线y=kx﹣1与y轴交于E，与L的对称轴交于点F（n，3），与L交于D，抛物线L的对称轴与L交于P．
（1）求k的值．
（2）点P能否与点F关于x轴的对称点重合？若认为能，请求出m的值；若认为不能，说明理由．
（3）小林研究了抛物线L的解析式后，得到了如下的结论：因为m可以取任意实数，所以点C可以在y轴上任意移动，即C点可以到达y轴的任何位置，你认为他说的有道理吗？说说你的想法．
（4）当抛物线L与直线y=kx﹣1有两个公共点时，直接写出适合条件的m的最大整数．










23．已知点A（﹣1，2）、B（3，6）在抛物线y=ax2+bx上
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；
（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．





























参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：抛物线y=﹣（x+2）2+3的顶点坐标为（﹣2，3）．
故选：A．
2．解：抛物线y=﹣（x+2）2+3的顶点坐标为（﹣2，3），把（﹣2，3）向右平移2个单位，再向上平移3个单位所得对应点的坐标为（0，6），平移后的抛物线解析式为y=﹣x2+6，
所以a=﹣1，b=0，c=6．
故选：D．
3．解：∵抛物线y=x2的对称轴为y轴，a=1＞0，
∴x＞0时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小，
∵点（﹣2，y2）的对称点是（2，y2）
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
4．解：∵函数y=（m+2）x+2x+1是二次函数，
∴m2+m=2，m+2≠0，
解得：m=1．
故选：D．
5．解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，
∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，
∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，
∴y3最小，y1最大，
故选：A．
6．解：∵由图表可以得出当x=﹣1或3时，y=﹣5，可以求出此函数的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，3），
∴二次函数解析式为：y=a（x﹣1）2+3，
再将（0，1）点代入得：1=a（﹣1）2+3，
解得：a=﹣2，
∴y=﹣2（x﹣1）2+3，
∵a＜0
∴A，抛物线开口向上错误，故A错误；
∵y=﹣2（x﹣1）2+3=﹣2x2+4x+1，
与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，
故B错误；
∵当x=4时，y=﹣15＜0，
故C错误；
∵方程ax2+bx+c=0，△=16﹣4×（﹣2）×1=22＞0，
此方程有两个不相等的实数根，
由表正根在2和3之间；
故选：D．
7．解：在函数y=ax2+ax+a（a≠0）中，
当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误；
当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确；
故选：C．
8．解：y=x2+x+c，
﹣=﹣，
即二次函数图象的对称轴是直线x=﹣，
设二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的另一个交点的横坐标是a，
∵二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴1﹣（﹣）=﹣﹣a，
解得：a=﹣2，
∴关于x的方程x2+x+c=0的两实数根分别是1和﹣2，
故选：B．
9．解：∵抛物线形水柱，其解析式为y=﹣（x﹣2）2+6，
∴水柱的最大高度是：6．
故选：C．
10．解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴b=﹣2a，c=﹣3a，
∴a：b：c=﹣1：2：3，故①正确；
当x=4时，y=a（x+1）（x﹣3）=a•5•1=5a，y=ax2﹣2ax﹣3a=a[（x﹣1）2﹣4]=a（x﹣1）2﹣4a，
∴当0＜x＜4时，则5a＜y＜﹣4a，所以②错误；
∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a[（x﹣1）2﹣4]=a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点坐标为（1，﹣4a），
∵抛物线开口向下， c=﹣3a，
∴抛物线向下平移﹣4a个单位，则抛物线顶点为（1，0），
∴平移后的解析式为：y′=ax2+bx+c+4a=ax2+bx﹣3a+4a=ax2+bx+a≤0，故③正确；
∵b=﹣2a，c=﹣3a，
∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，
整理得3x2+2x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=，所以④正确．
故选：C．
二．填空题（共7小题）
11．解：由题意，得
m2+m﹣4=2且m﹣2≠0．
解得：m=﹣3，
故答案为：﹣3．
12．解：二次函数y=（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），点（2，1）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，﹣1），所以新抛物线的解析式为y=﹣（x+2）2﹣1．
故答案为y=﹣（x+2）2﹣1．
13．解：当y=0时，x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，
所以抛物线y=x2﹣3x+2与x轴的交点A、B的坐标为（1，0），（2，0），
所以AB=2﹣1=1．
故答案为1．
14．解：∵二次函数y=x2﹣8x+m+1的顶点在x轴上，
∴==0，即4m﹣60=0，
∴m=15．
故答案为：15．
15．解：∵x=﹣2，y=﹣3；x=0时，y=﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0）．
故答案为（1，0）．
16．解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1=0，
∴m2﹣m=1，
∴m2﹣m+2018=1+2018=2019．
故答案为2019．
17．解：∵x=﹣2，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞﹣1，
而a＜0，
∴b＞2a，即2a﹣b＜0，所以②正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以③正确；
∵抛物线的顶点的纵坐标为，
∴＞2，
∴4ac﹣b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，所以④正确．
故答案为①②③④．
三．解答题（共6小题）
18．解：（1）
∵抛物线的对称轴为直线x=1，y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，
∴由题意可求点A的坐标为（3，0）．
将点A（3，0）和点B（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c，
得 ，
解得，
∴抛物线的解析式y=﹣x2+2x+3．
∴抛物线和y轴交点坐标为（0，3），
函数图象如图所示：

（2）如图，

∵点C的坐标为（0，3），点D（1，0），
∴满足条件的点P的纵坐标为2．
∴﹣x2+2x+3=2．
解得 x1=1+，x2=1﹣，
∴点P的坐标为（1+，2）或（1﹣，2）．
19．解：
（1）∵二次函数与x轴两交点横坐标是1和2，
∴可设该二次函数表达式为y=a（x﹣1）（x﹣2），
又∵a=﹣1，
∴y=﹣x2+3x﹣2；
（2）①∵A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）在y=ax2+bx+c的图象上，
∴y1=a（n﹣1）（n﹣2），y2=an（n﹣1），
∵y2=3y1，
∴an（n﹣1）=3 a（n﹣1）（n﹣2），
由a≠0，解得n=1或n=3；
②∵y1=a（n﹣1）（n﹣2），y2=an（n﹣1），y3=an（n+1），
∵a＞0，n≥5，
∴抛物线开口向上，A、B、C三点在抛物线对称轴右侧，
∴y3＞y2＞y1＞0，
∴y1+y2﹣y3=a（n﹣1）（n﹣2）+an（n﹣1）﹣an（n+1），
=a（n2﹣5n+2）=a[n（n﹣5）+2]＞0，
∵较小两条线段长的和大于第三条线段长，
∴当n≥5时，y1、y2、y3为边长可以构成一个三角形．
20．解：（1）设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），
销售利润w表示成销售单价x的函数为：
w=（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]
=﹣10x2+1300x﹣30000；

（2）依题意﹣10x2+1300x﹣30000=10000，
解之得：x1=50，x2=80
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；

（3）∵w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250，
∴当x=65，w取得最大值，
∴销售价格定为65元时，可获得利润12250元．
21．解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，10），

由题意得M（1，），
设该抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2+，
将A（0，10）代入，得10=a+，
解得：a=﹣，
∴y=﹣（x﹣1）2+；

（2）当y=0时，﹣（x﹣1）2+=0，
解得：x1=3，x2=﹣1，
∴OB=3，水的落地点B与点O距离为3米．
22．解：（1）抛物线L的对称轴是x=2，所以n=2，点F（2，3），代入y=kx﹣1中，得3=2k﹣1，
解得k=2；

（2）不能，理由：点P的坐标为（2，m2+2m），点F关于x轴的对称点F'的坐标是（2，﹣3），
若点P与点F'重合，则m2+2m=﹣3，
即：（m+1）2=﹣2．显然不可能；

（3）没道理，
因为，点C的纵坐标为yC=m2+2m﹣4=（m+1）2﹣5
因为yC的最小值为﹣5，所以无论m取何值，点C都不能到达（0，﹣5）以下的位置．

（4）直线y=kx﹣1的解析式为y=2x﹣1
当﹣（x﹣2）2+m2+2m=2x﹣1时，得x2﹣2x﹣（m2+2m﹣3）=0，
△=22﹣4×1×（m2+2m﹣3）=﹣4[（m+1）2﹣5]
当△≥0时，（m+1）2﹣5≥0，所以适合条件的m的最大整数值是1．
23．解：（1）将点A（﹣1，2）、B（3，6）代入y=ax2+bx中，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．

（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，
将点A（﹣1，2）代入y=kx+m中，即﹣k+m=2，
∴k=m﹣2，
∴直线AF的解析式为y=（m﹣2）x+m．
联立直线AF和抛物线解析式成方程组，
，解得：或，
∴点G的坐标为（m，m2﹣m）．
∵GH⊥x轴，
∴点H的坐标为（m，0）．
∵抛物线的解析式为y=x2﹣x=x（x﹣1），
∴点E的坐标为（1，0）．
过点A作AA′⊥x轴，垂足为点A′，如图1所示．
∵点A（﹣1，2），
∴A′（﹣1，0），
∴AE=2，AA′=2．
∴=1， ==1，
∴，
∵∠AA′E=∠FOH，
∴△AA′E∽△FOH，
∴∠AEA′=∠FHO，
∴FH∥AE．

（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，
将A（﹣1，2）、B（3，6）代入y=k0x+b0中，得，解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+3，
当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣3，t），点Q的坐标为（t，0）．
当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示，
∵QM=2PM，
∴=，
∴QM′=QP'=2，MM′=PP'=t，
∴点M的坐标为（t﹣2， t）．
又∵点M在抛物线y=x2﹣x上，
∴t=（t﹣2）2﹣（t﹣2），
解得：t=；
当点M在线段QP的延长线上时，
同理可得出点M的坐标为（t﹣6，2t），
∵点M在抛物线y=x2﹣x上，
∴2t=（t﹣6）2﹣（t﹣6），
解得：t=．
综上所述：当运动时间秒或时，QM=2PM．