专题08 类比归纳专题：一元二次方程的解法与配方法的应用压轴题十种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略(湘教版）

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专题08 类比归纳专题：一元二次方程的解法与配方法的应用压轴题八种模型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 1
【类型一 形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接开平方法】 1
【类型二 当二次项系数为1，且一次项为偶数，可用配方法】 4
【类型三 若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解】 7
【类型四 所有一元二次方程均可用公式法求解】 10
【类型五 一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】 14
【类型六 一元二次方程的特殊解法——换元法】 16
【类型七 判断代数式的正负或求最值】 21
【类型八 利用配方法构造非负数求值】 24

【典型例题】
【类型一 形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接开平方法】
例题：（2023·上海·八年级假期作业）用开平方法解下列方程：
(1)； (2)．

【变式训练】
1．解方程：．

2．解方程：．


3．解方程：


4．（2023春·浙江·八年级专题练习）用直接开平方法解下列方程：
(1)； (2)．


5．（2023春·全国·八年级专题练习）解方程：
(1) (2)．




【类型二 当二次项系数为1，且一次项为偶数，可用配方法】
例题：（2023秋·辽宁沈阳·九年级校考期末）解方程：．


【变式训练】
1．解方程：．


2．解方程：．


3．解方程：．


4．（2023春·浙江·八年级专题练习）解方程：（用配方法）．

5．（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）用配方法解方程：．


6．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解下列方程：
(1)． (2)．



【类型三 若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解】
例题：（2023秋·广东湛江·九年级统考期末）解下列方程：．


【变式训练】
1．解下列方程：


2．解方程：．


3．解方程：


4．解方程：．


5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）解方程：．

6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）解方程：


7．（2023·陕西西安·校考二模）解方程：．



【类型四 所有一元二次方程均可用公式法求解】
例题：（2023春·安徽淮北·八年级校联考期末）解方程：．


【变式训练】
1．（2023秋·广东广州·九年级广州市八一实验学校校考期末）解下列方程：


2．（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）解方程：


3．（2023·全国·九年级专题练习）用公式法解下列方程：3x2+5(2x﹣1)＝0．


4．（2023春·浙江·八年级专题练习）用公式法解方程：


5．（2023春·全国·八年级专题练习）解方程：
(1) (2)


6．（2023·全国·九年级假期作业）解方程：
(1)； (2)．



【类型五 一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】
例题：（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）解一元二次方程：．


【变式训练】
1．用适当的方法解一元二次方程：


2．解方程：．


3．解方程：．


4．解方程：．


5．解方程．


6．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．


【类型六 一元二次方程的特殊解法——换元法】
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）请阅读下列解方程的过程．
解：设，则原方程可变形为，即，得，．
当，，∴，，当，，无解．
所以，原方程的解为，．
这种解方程的方法叫做换元法．
用上述方法解下面两个方程：
(1)；
(2)．




【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）例：解方程
解：设，则
解得或
当时有，解得
当时有，解得
∴原方程的解为或
认真阅读例题的解法，体会解法中蕴含的数学思想，并使用例题的解法及相关知识解方程




2．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
例：用换元法分解因式．
解：设，




(1)请你用换元法对多项式进行因式分解；
(2)凭你的数感，大胆尝试解方程：．




3．（2023春·八年级课时练习）阅读下列材料
解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为…①，
解这个方程得：．
当时，．∴；
当时，，∴
所以原方程有四个根： ．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）解方程时，若设，求出x．
（2）利用换元法解方程．





【类型七 判断代数式的正负或求最值】
例题：（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）对于任意实数x，多项式的值是（    ）
A．负数 B．非正数 C．正数 D．无法确定正负的数
【变式训练】
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）不论为何实数，代数式的值（  ）
A．总不小于 B．总不大于 C．总不小于 D．可为任何实数
2．（2023春·山东威海·八年级统考期中）已知，，下列结论正确的是（    ）
A．的最大值是0 B．的最小值是
C．当时，为正数 D．当时，为负数
3．（2023春·江苏·七年级期中）阅读材料：
求的最小值．
解：，
∵即的最小值为0，
∴的最小值为4．
解决问题：
(1)若a为任意实数，则代数式的最小值为 　 　．
(2)求的最大值．
(3)拓展：
①不论x，y为何实数，代数式的值 　 　．（填序号）
A．总不小于1　　B．总不大于1　　C．总不小于6　　D．可为任何实数
②已知，求．



【类型八 利用配方法构造非负数求值】
例题：（2023春·广西贵港·七年级统考期末）若，则 ．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级假期作业）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：
(1)求代数式最值；
(2)已知，求的值；
(3)比较代数式与的大小．



2．（2023春·全国·八年级专题练习）先阅读材料，再解决下列问题．
例如：用配方法求代数式的最小值．
原式．
∵，
∴当时，有最小值是2．
根据上述所用方法，解决下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)若，当_______时，有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；
(3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．