2.2 圆的对称性-2023年新九年级数学同步精讲精练（苏科版）

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2.2圆的对称性
【推本溯源】
中心对称
1.一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？
可以和原来图形重合。
因此，圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

2.旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。
3.在纸上画半径相等的圆O和圆O′，再画相同的圆心角的∠AOB和∠A′OB′，连接AB、A′B′。在所画图中还有哪些相等的线段、相等的弧？
AB=A′B′ 弧AB=弧A′B′
∵半径OA重合，，
∴半径OB与重合，
∵点A与点重合，点B与点重合，
∴与重合，弦AB与弦重合，
∴=，AB=．
证：






因此，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
几何语言：∵，∴=，AB=
4.那么在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？
因此可得：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
另外两组几何语言：
（1） ∵=，∴AB=
（2） ∵AB=，∴=
5.我们知道，将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是1°的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份。我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。
因此，一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角。
实践证明，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
轴对称
1.在纸上画圆O，把圆O剪下并折叠，使折痕两旁的部分完全重合，你发现了什么？
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
有无数条对称轴。

2.画圆O和圆的直径AB，弦CD，使AB⊥CD，垂足为P，在所画图中有哪些
相等的线段、相等的弧？
PC=PD,弧AC=弧AD，弧BC=弧BD



证：连接OC,OD
在▲OCD中，
∵OC=0D，OP⊥CD
∴PC=PD，∠BOC=∠BOD
∴∠AOC=∠AOD
∴弧BC=弧BD，弧AC=弧AD（在通远中，相等的圆心角所对的弧相等）
因此，垂直于弦的直径平分弦以及平分弦所对应的弧。（垂径定理）
几何语言：∵OP⊥CD，P是直径AB上的点∴PC=PD，弧BC=弧BD，弧AC=弧AD
【解惑】
例1：如图，是的直径，若，则的度数是（      ）．
      
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系，熟知同圆中等弧所对的圆心角相等是解题的关键．
例2：如图，在中，，则度数是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆心角的度数得出即可．
【详解】解：圆心角，
圆心角对的弧的度数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，注意：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
例3：如图，是的一条弦，直径是，若，垂足为E，， ，则的长度为（　　）
  
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】如图所示，连接，先由垂径定理得到，再求出，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是直径，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故选C．
  
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
例4：如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为厘米，厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为分钟，则“图上”太阳升起的速度为（　　）
  
A．厘米/分 B．厘米/分 C．厘米/分 D．厘米/分
【答案】A
【分析】首先过的圆心作于，交于，连接，由垂径定理，即可求得的长，继而求得的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度．
【详解】解：过的圆心作于，交于，连接，
  
∴（厘米），
在中，（厘米），
∴（厘米），
∵从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，
∴（厘米/分）．
∴“图上”太阳升起的速度为厘米/分．
故选：A．
【点睛】此题考查了垂径定理的应用．解题的关键是结合图形构造直角三角形，利用勾股定理求解．
例5：如图所示，是的两条弦，且，则与的大小有什么关系？为什么？
  
【答案】相等，理由见解析．
【分析】连接AD，利用圆心角、弧、弦的关系解答即可．
【详解】解：相等．
理由是：连接，
  
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据圆心角、弧、弦的关系解答．
【摩拳擦掌】
1．（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）如图，已知的半径为5，为的弦，，点C在上，且满足，交于点D，则的长为（    ）
  
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作于点，连接和，根据垂径定理可得，，令，根据勾股定理可得，，根据即可求得．
【详解】过点作于点，连接和
  
∵，
∴，
∵
∴
∴
令
在中，
在中，
∵
∴
∴（不符合题意，舍去）或
故选：D
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理等，熟知垂径定理是解题的关键．
2．（2023秋·九年级单元测试）如图，是半径为8的的弦，点C是优弧的中点，，则弦的长度是（    ）

A．8 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】连接，过点O作，证明是等边三角形，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，过点O作，如图所示，

∵点C是优弧的中点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵的半径为8，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查圆的性质，涉及到等边三角形的判定和证明，正确作出辅助线是解题的关键．
3．（2023·湖南郴州·统考二模）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（   ）
  
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．
4．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（    ）．

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质得出根据勾股定理求出，进一步可求出的长．
【详解】解：∵
∴点为的中点，
∵
∴，
由勾股定理得，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题的关键
5．（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）如图，A、B、C、D是上的点，如果，，那么___．
  
【答案】
【分析】根据圆心角、弧、弦三者的关系可解答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
6．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为_______．
  
【答案】
【分析】过点作于点，交于点，则，依题意，得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，则，
  
∵水的最深处到水面的距离为，的半径为．
∴，
在中，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
7．（2023·浙江丽水·统考一模）如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角，则______．
  
【答案】
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵弓形所在圆的圆周角，
∴所对的圆心角为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角和圆心角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．
8．（2023·北京海淀·北理工附中校考三模）如图，为的弦，半径于点，若，则的长是____________．
  
【答案】5
【分析】利用垂径定理和勾股定理，进行求解即可．
【详解】解：∵为的弦，半径于点，
∴，，
设，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
∴的长是5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
9．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E点，若AB=10，DE=2，求CD的长．
  
【答案】
【分析】连接，由垂径定理可得，然后根据勾股定理列出关于半径的方程，即可求解．
【详解】解：连接，设的半径是r，
    
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是连接，构造直角三角形．
10．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，已知扇形，请用尺规作图法在弧上找一点C，使得将扇形分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）
  
【答案】见解析
【分析】连接，过点O作垂直交于点C，即可求解．
【详解】解：如图，点C即为所求．
    ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，尺规作图，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
11．（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）如图，在中，，证明．
  
【答案】见解析
【分析】根据等式的性质得到，再根据弧、弦、圆心角的关系证明即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，学生掌握运用定理进行推理的能力是关键．
12．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积．

【答案】
【分析】设的半径是r，由勾股定理，垂径定理求出圆的半径，由三角形的面积公式即可计算．
【详解】解：设的半径是，
点是的中点，过圆心，
，
，，
，，
，
，
，
，
的面积．
【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是应用勾股定理求出圆的半径长．
【知不足】
1．（2023·浙江·一模）如图，在水平放置的圆柱形排水管的截面中，圆的半径为5，弓形部分水面宽度，则该截面中水的最大深度是（    ）
  
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，过O作于C，并延长交圆于D，则，，，
  
在在，，
∴，
即该截面中水的最大深度是2，
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理得到是解答的关键．
2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（　　）
  
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答．
【详解】解：A、∵点A是中点，
∴，
∴，
无法得出，故选项A错误；
B、如图：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故此选项正确；
C、∵，
∴，故选项C错误；
D、无法得出，故选项D错误．
故选：B．
  
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键．
3.（2023·山东泰安·统考二模）已知的直径为10cm， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为（    ）．
A．1 B．7 C．1或7 D．3或4
【答案】C
【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，．
【详解】作于E，延长交于F，连接、，如图
   
∵，
∴
∴

在中，
在中，
当点O在与之间时，如图1，
当点O不在与之间时，如图2，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．
4．（2023·河北沧州·统考三模）图1是木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点是所在圆的圆心，点离地高度均为，水平距离，则的长为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，作半径交于，设，则，应用垂径定理、勾股定理列出关于的方程，求出即可．
【详解】解：如图所示，连接，作半径交于，
  ，
则，，
设，则，
，
，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用勾股定理来解决问题．
5．（2023·辽宁大连·校联考二模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，是的直径，弦，垂足为E，寸，寸．则直径的长为________寸．
    
【答案】26
【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，求解方程可得的值，即为圆的直径．
【详解】解：连接，
    
，且寸，
寸，
设圆的半径的长为，则，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，化简得：，
即，
（寸）．
故答案为：26．
6．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作，交于点D，则长的最大值为 ___________．
  
【答案】2
【分析】根据勾股定理求出，利用垂线段最短得到当时，最小，根据垂径定理计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
当的值最小时，的值最大，
时，最小，此时D、B两点重合，
∴，
即的最大值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
7．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，是的直径，弦，垂足为E．若，，则的半径r为 ___________．

【答案】
【分析】连接，设的半径为r，运用勾股定理列出，求出r即可解决问题．
【详解】解：如图，连接．
设的半径为r，则，
∵弦，
∴,
由勾股定理得：，
解得：，
故答案为：．

【点睛】主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
8．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，则度数为 ___________．

【答案】50
【分析】根据求出，根据三角形的外角性质求出，根据等腰三角形的性质求出．
【详解】解：连接．

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：50．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，圆的知识，能求出∠ODE的度数是解此题的关键．
9．（2023春·天津和平·九年级天津市双菱中学校考开学考试）如图，射线平分，O为射线上一点，以O为圆心，5为半径作分别与的两边相交于A、B和C、D，连接，且．
  
(1)求的长：
(2)若弦，求的长．
【答案】(1)；
(2)

【分析】（1）根据平分得到，根据得到，即可得到，即可得到答案；
（2）过O作，根据垂径定理得到，结合勾股定理即可得到，即可得到答案；
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为5，
∴；
（2）解：过O作，
∵，，
∴，，
在中：，
在中：；
  
【点睛】本题考查垂径定理，角平分线的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线根据垂径定理得到线段关系及直角三角形．
10．（2021秋·广东河源·九年级校考期中）如图，点在上，．求证：．
  
【答案】见解析
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，进而可得，即可得证．
【详解】证明：，
，
，即，
．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、11．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．
  
(1)求证：四边形为矩形．
(2)已知的半径为4，，求弦的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．
（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵与轴相切于点，
∴轴．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）如图，连接．
  
四边形是矩形，
．
在中，，
．
点为圆心，，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键．
【一览众山小】
1．（2023·广东珠海·珠海市文园中学校考三模）如图是某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分，与矩形组合而成的图形（点，在上），其中；已知的半径为25，，，，则香水瓶的高度是（    ）
  
A．56 B．57 C．58 D．59
【答案】B
【分析】作交于点G，延长交于点H，连接、，利用垂径定理，得到，，再利用勾股定理，求得，，即可求出香水瓶的高度．
【详解】解：如图，作交于点G，延长交于点H，连接、，
，，
，
，
在中，，
，，
，
，
在中，，
，
故选B．
  
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题关键．
2．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为(    )
  
A． B．7 C．8 D．
【答案】B
【分析】作于点M，由题意可得出，从而可得出为等边三角形，从而得到，再由已知得出，的长，进而得出，的长，再求出的长，再由勾股定理求出的长．
【详解】解：作于点M，
  
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴∠，
∴， ，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键．
3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，点A、B、C三点在上，点为弦的中点，，，则（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，设，根据的长计算出的长，根据点为弦的中点，为圆心得到，从而求出的长，在中利用勾股定理求出的值，即可求出的长．
【详解】解：连接，

设，
则，
点为弦的中点，为圆心，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理及推论，熟知：垂直于弦的直径平分这条弦，熟练掌握勾股定理的计算．
4．（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B
  
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．
5．（2023·浙江·一模）在中，交于点交于．若，则___________．
  
【答案】
【分析】设的半径为x，则，，利用含30度角的直角三角形的性质列方程求得，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，根据垂径定理即可求解．
【详解】解：设的半径为x，则，，
∵中，，，
∴，即，
解得，
∴，
设交于点F，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
  ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，垂径定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
6．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，是的直径，点C、点B在上，过点C作的切线交的延长线于点D，若，垂直于，垂直于，则__．

【答案】
【分析】根据垂直于，得出，在中，利用勾股定理代入数据解答即可．
【详解】解：如图，

∵垂直于，
∴，
∵垂直于，
∴，
在中，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理，正确得出是解题的关键．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，已知的半径为7，是的弦，点在弦上．若，则的长为______________．
  
【答案】5
【分析】连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，过点作于点，如图所示，
  
则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．
8．（2023·江苏·九年级假期作业）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦上，，，，则这个花坛的半径为 ___________．
  
【答案】
【分析】通过作弦心距，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理进行计算即可．
【详解】解：如图，连接，过点O作，垂足为D，
  
∵是弦，，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：20．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，掌握垂径定理和勾股定理是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键．
9．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知圆内接中，，为的中点，于，求证：．
  
【答案】见解析
【分析】在上截取，连接，由为的中点，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到，易得，得到，于是有，因此．
【详解】证明：在上截取，连接，如图，
  
∵为的中点，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，即．
【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理．
10．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．
  
(1)连接，判断与的位置关系，并证明；
(2)若，，求圆O的半径；
【答案】(1)，证明见详解
(2)5

【分析】（1），理由如下：延长交于点，连接，再根据圆的基本性质及等腰三角形的性质即可；
（2）由（1）中结论，，，先证明，再根据勾股定理即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
延长交于点，连接，
  
，



，
；
（2）解：由（1）中结论，，

，
，
设的半径为，则，
在中，，即，
解得：，即的半径为5．
  
【点睛】本题考查圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
11．（2023·江苏·九年级假期作业）如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点C、D．
  
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的半径长；
【答案】(1)
(2)3

【分析】（1）根据垂径定理可得，从而可得，即可解答；
（2）根据垂径定理可得，然后设的半径长为，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】（1）解： 是的一条弦，，
，
，
的度数是；
（2）解：是的一条弦，，
，
设的半径长为，
在中，，
，
，
的半径长为3．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
12．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，，交于点，，是半径，且于点F．

(1)求证：．
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5

【分析】（1）由垂径定理得到，由等腰三角形的性质得到，从而证明；
（2）设的半径是，由勾股定理，垂径定理列出关于的方程，即可求出的半径．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，

设的半径是，
，
，
，
的半径是5．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程．