2.3 确定圆的条件-2023年新九年级数学同步精讲精练（苏科版）

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2.3确定圆的条件
【推本溯源】
1.确定圆的条件
条件
作圆的个数
图例
经过一个点作圆
无数个

经过两个点作圆
无数个

经过不在同一条直线上的三个点作圆
一个


2.如图，作AB和AC的垂直平分线OD和OF，证：点O在BC的垂直平分线上。∵OD垂直平分AB，OF垂直平分
∴OA=OB，OA=OC
∴OB=OC
∴点O在BC的垂直平分线上
因此，不在同一条直线上的三个点确定一个圆。



3.如上图，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。
外心的性质：
（1）外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等；
（2）三角形的外接圆有且只有一个，对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，且这些三角形的外心重合。

4.三角形外接圆的作法
已知三角形ABC
作法：（1）分别作边AB、BC的垂直平分线l1，l2，两条线交于点O；
（2）以O为圆心，OA为半径作圆，圆O就是所作的圆。


5.不同三角形的外心位置
类型
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
位置
外心在三角形的内部
外心在直角三角形斜边的中点
外心在三角形的外部
【解惑】
例1：如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）
  
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．
【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆，
∴共有6个，
故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
例2：下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据确定圆的条件，垂径定理，弦与圆心角的关系，三角形的外心的定义，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①同一平面内，不共线三点确定一个圆，故①错误，
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②正确，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故③错误；
④三角形的外心到三个顶点的距离相等，故④正确，符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，垂径定理，弦与圆心角的关系，三角形的外心的定义，掌握以上知识是解题的关键．
例3：一个三角形的一边长为12，另外两边长是一元二次方程的两根，则这个三角形外接圆的半径是（   ）
A． B．5 C． D．8
【答案】C
【分析】先求出方程的解，再根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半作答．
【详解】解：，
因式分解得，
解得，
∵，
∴这个三角形是直角三角形，且斜边为13，
∴这个三角形外接圆的半径是斜边长的一半即，
故选C．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理和求三角形外接圆的半径，熟记直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半是解题的关键．
例4：已知两边长分别是和，则它的外接圆的半径是___________．
【答案】或/4cm或5cm
【分析】分为直角边和为斜边两种情况，结合直角三角形的外接圆半径为斜边长的一半和勾股定理求解即可．
【详解】解：若为直角边时，则斜边长为，则的外接圆的半径是，
若为斜边长时，的外接圆的半径是，
综上，的外接圆的半径是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查直角三角形的外接圆、勾股定理，熟知直角三角形的外接圆半径为斜边长的一半，本题容易忽视对边的讨论而导致错误，故需分类讨论进行求解．

例5：以下各图均是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．

(1)在图①中，作出的重心G．
(2)在图②中，作出的外心O．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）画出和边的中线，交点即为点G；
（2）画出中点，以为边构造等腰三角形，从而画出的垂直平分线，再和的垂直平分线交于点O即可．
【详解】（1）解：如图，点G即为所求；

（2）如图，点O即为所求．

【点睛】本题考查了复杂作图，三角形的重心和外心，解题的关键是熟练掌握网格的性质，能够找到中点和垂线的画法．
【摩拳擦掌】
1．（2023·四川广安·统考一模）下列说法正确的是（    ）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．经过平面内点可以作一个圆
【答案】A
【分析】根据角平分线性质对A进行判断；根据平行四边形的性质对B进行判断；根据垂径定理的推论对C进行判断；根据确定圆的条件对D进行判断．
【详解】解：A．根据角平分线性质可得：角平分线上的点到角两边的距离相等，该选项说法正确，故此选项符合题意；
B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，该选项说法错误，故此选项不符合题意；
C．平分弦（非直径）的直径垂直这条弦，该选项说法错误，故此选项不符合题意；
D．不共线的三点确定一个圆，该选项说法错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的性质，平行四边形的性质，垂径定理的推论，确定圆的条件等知识，解题的关键是掌握相应性质及推论．
2．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）下列说法，错误的是（    ）
A．直径是弦 B．等弧所对的圆心角相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．过三点可以确定一个圆
【答案】D
【分析】根据直径定义，圆心角、弧间的关系，垂径定理，确定圆的条件进行判断即可．
【详解】解：A．直径是最长的弦，故A正确，不符合题意；
B．等弧所对的圆心角相等，故B正确，不符合题意；
C．弦的垂直平分线一定经过圆心，故C正确，不符合题意；
D．过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，原说法错误，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆的基本知识，熟练掌握圆的基本定义，垂径定理，是解题的关键．
3．（2023·黑龙江绥化·校联考三模）下列命题是假命题的是（    ）
A．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．三角形的外心是三边垂直平分线的交点
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
【答案】A
【分析】利用平行四边形的对称性、三角形的外心的性质、垂直平分线的性质及正方形的对角线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故原命题错误，是假命题，符合题意；
B、三角形的外心的是三边垂直平分线的交点，正确，是真命题，不符合题意；
C、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；
D、正方形的对角线相等，且互相垂直平分，正确，是真命题，不符合题意，
故选：A．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的对称性、三角形的外心的性质、垂直平分线的性质及正方形的对角线的性质，难度不大．
4．（2023春·山东济南·九年级统考阶段练习）下列说法正确的是（   ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴
C．等腰三角形的外心一定在其内部 D．等弧所对弦相等
【答案】D
【分析】根据垂径定理，圆的性质，三角形的外接圆，弧、弦、圆心角的关系，一一判断即可；
【详解】解∶A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误，不符合题意；
B、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故本选项错误，不符合题意；
C、等腰三角形的外心不一定在其内部，故本选项错误，不符合题意；
D、等弧所对弦相等，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆的性质，三角形的外接圆，弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5．（2022秋·全国·九年级专题练习）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；____的三个点确定一个圆．
【答案】不在同一直线上（不共线）
【分析】根据确定圆的条件填空即可求解．
【详解】解：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
故答案为：不在同一直线上（不共线）
【点睛】本题考查了确定圆的条件，掌握确定圆的条件是解题的关键．
6.（2023秋·河北张家口·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为 _____．

【答案】．
【分析】依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求．
【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求，
所以的外心坐标为 ，
故答案为：．

【点睛】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标；解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．
7．（2023·江苏·九年级假期作业）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，则这个直角三角形的外接圆的半径为_____________．
【答案】

【分析】先用勾股定理求值直角三角形的斜边长，再根据直角三角形的外接圆的特征，即可求解．
【详解】∵一个直角三角形的两条直角边长分别为和，
∴直角三角形的斜边长，
∵直角三角形的外接圆的直径就是直角三角形的斜边，
∴这个三角形的外接圆的直径长为．
∴这个三角形的外接圆的半径长为．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查勾股定理以及直角三角形的外接圆，掌握直角三角形的外接圆的直径就是直角三角形的斜边，是解题的关键．
8．（2023秋·青海西宁·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，，点在轴上，点的坐标为，则该圆弧所在圆内的圆心坐标为________．

【答案】
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是．
故答案为：．

【点睛】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置．
9．（2023·山东青岛·统考一模）已知：．求作：的外接圆内的点P，使，．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

【答案】见解析
【分析】作出的外接圆，即可得出点P的位置．
【详解】如图，点P即为所求．

【点睛】本题主要考查了复杂作图，正确掌握三角形外接圆的作法是解题的关键．
10．（2023春·北京西城·九年级北京铁路二中校考阶段练习）下面是证明定理的两种方法，选择其中一种完成证明．
证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：如图，在中，，是斜边上的中线，求证：．

方法1：利用矩形判定和性质证明．

方法2：利用圆的性质证明．


【答案】证明过程见详解
【分析】根据矩形的性质，对角线相等且相互平分；根据圆的性质，从圆心到圆上的点所成的半径相等即可求解．
【详解】解：方法一：利用矩形判定和性质证明．
如图所示，过点作，且，

∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∵是斜边上的中线，即点是斜边上的中点，
∴点D也是的中点，
∴，
∴；
方法二：利用圆的性质证明．
如图所示，是斜边上的中线，即点是斜边上的中点，以为圆心，以为半径画圆，且，即为的直径，
∴内接于，则点在圆上，且，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，圆的性质，理解并掌握矩形中对角线相等且相互平分，从圆心到圆上的半径相等的知识是解题的关键．
11．（2023·黑龙江绥化·统考二模）如图，在中，，平分，
  
(1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为2．

【分析】（1）作的垂直平分线与的交点为圆心，为半径作圆即可；
（2）设的半径为x，根据勾股定理列方程求解．
【详解】（1）解：如图：即为所求；
  ；
（2）解：连接，设的半径为x，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：，
∴的半径为2．
【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
【知不足】
1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，是的外接圆，则点O是的（    ）

A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点
【答案】B
【分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案．
【详解】是的外接圆，
点O是的三条边的垂直平分线的交点，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，正确把握外心的定义是解题的关键．
2．（2023·江苏·九年级假期作业）下列命题中，正确的是（　　）
A．圆心角相等，所对的弦的弦心距相等 B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．弦的垂直平分线必经过圆心
【答案】D
【分析】根据圆的确定，垂径定理，弦，圆心角的关系，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦的弦心距相等，选项说法错误，不符合题意；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，选项说法错误，不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，选项说法错误，不符合题意；
D、弦的垂直平分线必经过圆心，选项说法正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握圆的确定，垂径定理，弦，圆心角的关系，是解题的关键．
3．（2023·上海松江·统考二模）下列命题正确的是（    ）
A．三点确定一个圆 B．圆的任意一条直径都是它的对称轴
C．等弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于这条弦
【答案】C
【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；根据圆的轴对称性对B进行判断；根据圆心角定理对C进行判断；根据垂径定理的推论对D进行判断．
【详解】A．不共线的三点确定一个圆，故A是假命题；
B．对称是直线，而圆的直径是线段，故B是假命题；
C．弧相等，则弧所对的圆心角相等，故C是真命题；
D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故D是假命题．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题、真命题和假命题的概念，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4．（2023·湖南岳阳·统考一模）下列命题是真命题的是（    ）
A．五边形的外角和是 B．有一个角是的三角形是等边三角形
C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．三角形的外心是三条高的交点
【答案】C
【分析】依据多边形外角和为，等边三角形的判定，角平分线的性质定理，以及外心的定义进行判断即可．
【详解】解：A、五边形的外角和是，选项说法错误，不符合题意；
B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，选项说法错误，不符合题意；
C、角平分线上的点到角两边的距离相等，选项说法正确，符合题意；
D、三角形的外心是三条垂直平分线的交点，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形外角和为，等边三角形的判定，角平分线的性质定理，以及外心的定义；解题的关键是熟练掌握相关知识．
5．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期末）两直角边长分别为15和20的直角三角形外接圆的半径为______．
【答案】//
【分析】根据勾股定理可求出该直角三角形的斜边长为，再根据直角三角形外接圆的半径为其斜边的一半即可求解．
【详解】由题意可求出该直角三角形的斜边长为，
∴该直角三角形外接圆的半径为．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形外接圆的性质．掌握直角三角形外接圆的半径为其斜边的一半是解题关键．
6．（2023·湖北襄阳·统考二模）在中，，则这个三角形的外接圆半径为____________．
【答案】或
【分析】根据直角三角形外接圆的性质，其圆心是直角三角形斜边中点，从而利用勾股定理求出斜边长即可得到答案，注意题中并没有指明具体的直角，需要分类讨论求解．
【详解】解：在中，，则分三种情况：
①当，如图所示：
  
这个三角形的外接圆半径为；
②当，如图所示：
  
，
这个三角形的外接圆半径为；
③当，，
由于直角三角形中斜边大于直角边，则该情况不存在；
综上所述，这个三角形的外接圆半径为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查三角形外接圆的性质，设计勾股定理，根据题意，分类讨论求解是解决问题的关键．
7．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）把一条长2m的铁丝折成顶角为的等腰三角形，那么这个三角形外接圆的半径为______m．
【答案】
【分析】设等腰的外接圆圆心为O，连接，交于点D，则，，故，再求证是等边三角形，得，则，设，则，再由勾股定理即可求解．
【详解】如图，设等腰的外接圆圆心为O，连接，交于点D，

则，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
由题意得：，
解得：，
即这个三角形的外接圆半径为：
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外接圆、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握知识点是解题关键．
8．（2023秋·新疆巴音郭楞·九年级校考期末）一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为_____．
【答案】或
【分析】分方程的两根为直角三角形的两条直角边和一条直角边，一条斜边，两种情况进行讨论求解．
【详解】解：，
∴，
解得：；
①当为直角边时：直角三角形的斜边为：，
根据圆周角定理可知：直角三角形的斜边即为外接圆的直径，
∴此时直角三角形的外接圆的直径为：；
②当为一条直角边和一条斜边时，直角三角形的斜边为：，
此时直角三角形的外接圆的直径为：；
综上：此直角三角形的外接圆的直径为或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查一元二次方程和几何的综合应用．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，以及直角三角形的斜边为外接圆的直径，是解题的关键．注意，分类讨论．
9．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，， 经过，， 三点．
      
(1)点 的坐标为 ．
(2)判断点 与 的位置关系．
【答案】(1)
(2)点在内

【分析】（1）分别作的垂直平分线，交点即为点 ；
（2）计算圆的半径与的长度，比较大小即可；
【详解】（1）解：分别作的垂直平分线，交点即为点 ，
  
坐标为：，
（2）解：，，，
，，
点在内．
【点睛】本题考查了三点确定圆，确定圆心的位置、点与圆的位置关系等知识点，准确找到圆心的位置是解题关键．
10．（2023·陕西·模拟预测）如图，在中，．尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点D，连接．（不写作法，保留作图痕迹）
  
【答案】见解析
【分析】作垂直平分线交于点O，以为半径，点O为圆心作的外接圆，根据外接圆，再作的角平分线交于点D，连接即可．
【详解】作图如下：
  
【点睛】本题考查了三角形的外接圆，角平分线，以及利用圆周角与圆心角的关系是解题的关键．
11．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，中，，是的角平分线，求作，使得经过的三个顶点．
  
【答案】见解析
【分析】根据等腰三角形的性质得到垂直平分，作的垂直平分线交于点，则点到点的距离相等，则以点为圆心，为半径的圆满足条件．
【详解】解：如图，作的垂直平分线交于点，然后以点为圆心，为半径作圆，
则为所作，如图所示：
  ．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了等腰三角形的性质和三角形外接圆．
12．（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）（1）解方程：．
（2）如图，的三个顶点坐标分别为，，．

①画出将绕点A顺时针旋转90°得到的，并写出点D，E的坐标；
②请在图中作出的外接圆，写出圆心M的坐标．
【答案】（1），
（2）①所作见解析如图所示，点D，E的坐标分别为，
②所作如图所示，M的坐标为
【分析】（1）将方程整理为一般式，利用公式法进行求解即可；
（2）①将、绕点A顺时针旋转90°得到对应点、，顺次连接即可得到，进而得到点D，E的坐标；②作出、的垂直平分线，其交点即为外接圆的圆心，再以的长为半径作圆即可．
【详解】（1）移项得：，
∵，，，
∴，
∴，
∴原方程的解为，．
（2）①所作如图所示，点D，E的坐标分别为，，
②所作如图所示，M的坐标为．

【点睛】本题考查了解一元二次方程、旋转作图以及外接圆，熟练掌握解一元二次方程的计算方法以及根据旋转的性质作图是解题的关键．
【一览众山小】
1．（2022秋·九年级单元测试）如图，小明为检验 ，，， 四点是否共圆，用尺规分别作了 ， 的垂直平分线，它们交于点 ，则 ，，， 四点中，不一定在以 为圆心， 为半径的圆上的点是（      ）

A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】连接 ，，，，由， 的垂直平分线交于点 ，可得 ，则，， 在以点 为圆心， 为半径的圆上，而 与 的大小关系不能确定，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 ，，，，

∵ ， 的垂直平分线交于点 ，
∴ ，
∴ ，， 在以点 为圆心， 为半径的圆上，
∴ 与 的大小关系不能确定，
∴点不一定在圆上．
故选C．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，三角形的外接圆的确定，熟练的确定三角形的外心是解本题的关键．
2．（2023·江苏淮安·统考一模）下列命题是真命题的是（    ）
A．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．对顶角相等
【答案】D
【分析】根据不能证明三角形全等即可判断A；根据平行四边形的性质即可判定B；根据外心是线段垂直平分线的交点即可判断C；根据对顶角相等即可判断D．
【详解】解：A、三角分别相等的两个三角形不一定是全等三角形，原命题是假命题，不符合题意；
B、平行四边形的对角线不一定互相垂直，原命题是假命题，不符合题意；
C、三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，原命题是假命题，不符合题意；
D、对顶角相等，原命题是真命题，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，全等三角形的判定，三角形外心的定义，平行四边形的性质，对顶角相等等等，熟知相关知识是解题的关键．
3．（2023·湖南岳阳·统考二模）下列命题是真命题的是（    ）
A．同旁内角互补 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．五边形的内角和等于 D．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点
【答案】B
【分析】分别根据两直线平行，同旁内角互补；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；五边形的内角和等于；三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，判断命题的真假即可得出答案 ．
【详解】解：对于A ．两直线平行，同旁内角互补，故A选项为假命题；
对于B ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故B选项为真命题；
对于C ．五边形的内角和等于，故C选项为假命题；
对于D ．三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，故D选项为假命题 ．
故答案选B ．
【点睛】本题考查了命题真假的判断，两直线平行，同旁内角互补；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；五边形的内角和等于；三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点；熟练掌握这些性质是解题的关键 ．
4．（2023·贵州遵义·统考三模）四边形是平行四边形，下列尺规作图不能得到等腰三角形的是（    ）
A．    B． 
 C．  D．  
【答案】D
【分析】分析每个选项的尺规作图，进一步判断是否又等腰三角形即可．
【详解】A．根据作图痕迹可知，为的角平分线，故，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形，A不符合题意；
B．根据作图痕迹可知，点，在以为圆心，的长为半径的圆上，故，即为等腰三角形，B不符合题意；
C．根据作图痕迹可知，令的角平分线与交于点，如图，则，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形；根据作图痕迹可知，以点为圆心，画弧，与边交于两点，分别以该两点为圆心，画弧交于一点，连接该点与点，延长交于点，故为的角平分线，故，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形，C不符合题意；
  
D．作图痕迹没有依据，D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质等，解题的关键是根据做图痕迹进行判断．
5．（2023·广东汕尾·统考一模）如图，在的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（    ）个

A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由图可知，故过A、B、C三点作圆O，直径为，圆心在的中点，然后根据网格的特点用勾股定理计算半径和点D、E、F三点到圆心的距离即可判定．
【详解】解：如图，

∵，
∴过A、B、C三点作圆O，直径为，圆心在的中点，
∴，
，

，
∴点F在圆O外，点D、E在圆O上，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点上，以及点与圆的位置关系，解题关键是关键网格的特点找到圆心的位置．
6．（2022秋·新疆伊犁·九年级校考阶段练习）若三角形的三边长是3，4，5，则其外接圆的半径为_____．
【答案】//
【分析】根据勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的半径斜边的一半即可得到答案．
【详解】解：，
这个三角形是直角三角形，5为斜边，
直角三角形的外接圆的半径斜边的一半，
外接圆的半径，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，证明三角形是直角三角形是解题关键．
7．（2023秋·山东泰安·九年级校考期末）的三边为2，3，，则外接圆的半径长为__________．
【答案】/
【分析】根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，根据圆周角定理解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴的外接圆的直径为，半径为．
故答案为．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题关键．
8．（2023·河北沧州·统考模拟预测）如图，点O为的外心，过点O分别作AB、AC的垂线、，交BC于D、E两点．
  
（1）若，则的度数为______；
（2）过点O作于点F，，则的周长为______．
【答案】
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，，从而有，，由三角形内角和定理，从而由可求得结果；
（2）连接，由已知可得点O在线段的垂直平分线上，则可得；再利用线段垂直平分线的性质得，，最后可求得周长的值．
【详解】（1）∵点O为中的外心，，，
∴、是的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）连接，
∵是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴，
∵，，
∴的周长．
  
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的性质与判定是关键．
9．（2023·福建福州·统考模拟预测）如图，已知钝角中，．

(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作B的平分线交于点D；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）中，若，，则此的半径为___________．（如需画草图，请使用备用图）
【答案】(1)见解析
(2)2

【分析】（1）利用基本作图作角平分线，然后作的垂直平分线交于点O，然后以O为圆心，为半径作外接圆；
（2）连接，则为等边三角形，利用勾股定理求出半径．
【详解】（1）如图，和即为所作；

（2）如图，连接，
∵平分B，
∴，
又∵,
∴为等边三角形，
∴OC
设半径为R，
则
解得：
故答案为：

【点睛】本题考查基本作图—作角平分线和垂直平分线，等边三角形的判定和性质，勾股定理，会利用方程解决几何问题是解题的关键．
10．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图已知收线的圆片上有三点，，．

(1)作出这个圆片的圆心（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，，，设是等腰三角形，底边，腰，求该圆片的半径．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）分别作的垂直平分线，交于点，则点即为所求；
（2）连接交于，连接，，根据等腰三角形的性质得出，则，设半径为，勾股定理得：，解方程即可求解．
【详解】（1）解：分别作的垂直平分线，交于点，则点即为所求，

（2）解：如图，连接交于，连接，．

是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设半径为，
，

根据勾股定理得：，
，
答：圆片的半径为．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，作垂直平分线，垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
11．（2023·山东青岛·统考二模）已知：如图，点P是的边BC上的一点．
求作：，使点O在的角平分线上，且经过B、P两点．

【答案】见解析
【分析】作的角平分线交的中垂线于一点即为O．
【详解】解：如图所示，点为所求：

【点睛】本题主要考查的是角平分线以及中垂线等综合知识，灵活掌握角平分线以及中垂线的作图是解题的关键．
12．（2023秋·广东东莞·九年级校联考期末）如图，为圆的内接三角形，，连接并延长交于点．
  
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5

【分析】（1）证明是线段的垂直平分线，即可证明；
（2）连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，设，则，根据勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵为圆的内接三角形，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
∴的半径为．
  
【点睛】本题考查了三角形的外接圆的性质，勾股定理，垂径定理等等，正确地作出辅助线是解题的关键．