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2.7-2.8 弧长及扇形的面积与圆锥的侧面积-2023年新九年级数学同步精讲精练（苏科版）
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2.7-2.8弧长及扇形的面积与圆锥的侧面积
【推本溯源】
1.填写下列扇形的面积与周长
圆心角
半径
周长
面积
图形
360
r
180
r
90
r
30
r
n
r
弧长：
因此，半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式： (弧是圆的一部分)。
注：（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，
即；（2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
扇形面积：
（1）定义： 叫做扇形
（2）面积公式：半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
；n°的圆心角所对的扇形面积公式：
注：（1）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；（2）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.（3）扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；（4）扇形两个面积公式之间的联系：
。
2.回顾小学时候学习的圆锥
（1）圆锥的概念： 。
。
（2） 圆锥的母线：
；
（3） 圆锥的高：
。
我们通常令圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，所以圆锥的侧面积 ；
圆锥的全面积 。
【解惑】
例1：如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ）
A． B． C． D．
例2：已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为_________度．
例3：如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
例4：已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的面积是________．
例5：要制造一个如图所示的粮仓，其上部是圆锥，下部是圆柱，如果每平方米需用铁皮（底部不用铁皮，接头忽略不计），根据图中数据，求制作该粮仓大约需要多少铁皮？（，精确到）
【摩拳擦掌】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，，，，为上的点，且直线与夹角为．若，，的长分别为，和，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东东营·统考中考真题）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是，则主视图的面积为______．
6．（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）如图，将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，，则图中阴影部分的面积是______．
7．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是________米．（结果保留）
8．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为__________．
9．（2023·广东广州·统考二模）已知：
(1)化简；
(2)若某圆锥的底面半径为，线母长为，且侧面积为，求的值.
10．（2022春·九年级单元测试）如图，已知每个小正方形的边长为，都在小正方形顶点上，扇形是某个圆锥的侧面展开图．
(1)计算这个圆锥侧面展开图的面积；
(2)求这个圆锥的底面半径．
11．（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，四边形内接于，且的半径为r，．
(1)若，求的长．
(2)若，求证：．
【知不足】
1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北保定·统考模拟预测）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（ ）
A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺
3．（2023·河北保定·统考二模）某圆锥形遮阳伞主视图如图所示，若，则遮阳伞伞面的面积（圆锥的侧面积）为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为________．
5．（2023·浙江·九年级假期作业）一个扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的半径为______．
6．（2023·浙江舟山·统考模拟预测）如图，点为外一点，、分别与相切于点、．若的半径为，，则弧的长为________．（结果保留π）．
7．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为______（结果保留）．
8．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，弦与交于点，点为的中点，现有以下信息：
①为直径；②；③．
(1)从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题．
你选择的条件是___________，结论是___________（填写序号），请说明理由．
(2)在（1）的条件下，若的长为，求半径．
9．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
(1)请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为______；
(2)连接，则的半径为______；扇形的圆心角度数为______；
(3)若扇形是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．
10．（2023·安徽安庆·统考一模）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角， 求此圆锥高的长度.
【一览众山小】
1.（2023·江苏南通·统考二模）如图为某几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏无锡·校考二模）若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．15 B．12π C．15π D．30π
3．（2023·湖南永州·统考三模）如图，圆锥的底面半径是1，则圆锥侧面展开图中扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·云南玉溪·统考三模）如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）解决问题：
冰激凌的外壳（不计厚度）可近似的看作圆锥，制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形的材料，其中，，将扇形围成圆锥时，、恰好重合，其中弧与相切，求圆锥底面的直径．
下面给出求解问题的解题步骤，和一些相应的数据：
Ⅰ．求扇形的半径；Ⅱ．求弧DE的长；Ⅲ．求冰激凌外壳的圆锥底面的直径．
①；②；③；④；⑤．
则配对正确的是（ ）
A．Ⅰ→③，Ⅱ→①，Ⅲ→⑤ B．Ⅰ→②，Ⅱ→①．Ⅲ→③
C．Ⅰ→②，Ⅱ→④，Ⅲ→③ D．Ⅰ→③，Ⅱ→④，Ⅲ→⑤
6．（2023·湖南衡阳·校联考一模）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的面积为_____
7．（2023·全国·统考中考真题）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为_________．（结果保留）
8.（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，正五边形的边长为4，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是______．
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测）一个扇形的弧长是，圆心角是144°，则此扇形的面积是______．
10．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考三模）孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为的最大扇形玉佩，则阴影部分的面积为________．（结果保留π）
11．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径，母线长．
(1)求这种加工材料的顶角的大小．
(2)求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）
12．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作：
(1)若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为______；
(2)连接、，则的半径长为______（结果保留根号），的度数为______；
(3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）
13．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图所示，在中，，，在上取点，以为圆心，以为半径作圆，与相切于点，并分别与，相交于点，（异于点）．
(1)求证：平分；
(2)若点恰好是的中点，求扇形的面积．
14．（2023春·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考阶段练习）如图，为的直径，在的延长线上，为圆上一点，且．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求扇形的面积．
2.7-2.8弧长及扇形的面积与圆锥的侧面积
【推本溯源】
1.填写下列扇形的面积与周长
圆心角
半径
周长
面积
图形
360
r
180
r
90
r
30
r
n
r
弧长：
因此，半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
n°的圆心角所对的圆的弧长公式： (弧是圆的一部分)。
注：（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，
即；（2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
扇形面积：
（1）定义： 叫做扇形
（2）面积公式：半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
；n°的圆心角所对的扇形面积公式：
注：（1）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；（2）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.（3）扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；（4）扇形两个面积公式之间的联系：
。
2.回顾小学时候学习的圆锥
（1）圆锥的概念： 。
。
（2） 圆锥的母线：
；
（3） 圆锥的高：
。
我们通常令圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，所以圆锥的侧面积 ；
圆锥的全面积 。
【解惑】
例1：如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ）
A． B． C． D．
例2：已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为_________度．
例3：如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
例4：已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图的面积是________．
例5：要制造一个如图所示的粮仓，其上部是圆锥，下部是圆柱，如果每平方米需用铁皮（底部不用铁皮，接头忽略不计），根据图中数据，求制作该粮仓大约需要多少铁皮？（，精确到）
【摩拳擦掌】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，，，，为上的点，且直线与夹角为．若，，的长分别为，和，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东东营·统考中考真题）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是，则主视图的面积为______．
6．（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）如图，将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，，则图中阴影部分的面积是______．
7．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是________米．（结果保留）
8．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为__________．
9．（2023·广东广州·统考二模）已知：
(1)化简；
(2)若某圆锥的底面半径为，线母长为，且侧面积为，求的值.
10．（2022春·九年级单元测试）如图，已知每个小正方形的边长为，都在小正方形顶点上，扇形是某个圆锥的侧面展开图．
(1)计算这个圆锥侧面展开图的面积；
(2)求这个圆锥的底面半径．
11．（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，四边形内接于，且的半径为r，．
(1)若，求的长．
(2)若，求证：．
【知不足】
1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北保定·统考模拟预测）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（ ）
A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺
3．（2023·河北保定·统考二模）某圆锥形遮阳伞主视图如图所示，若，则遮阳伞伞面的面积（圆锥的侧面积）为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为________．
5．（2023·浙江·九年级假期作业）一个扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的半径为______．
6．（2023·浙江舟山·统考模拟预测）如图，点为外一点，、分别与相切于点、．若的半径为，，则弧的长为________．（结果保留π）．
7．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为______（结果保留）．
8．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在中，弦与交于点，点为的中点，现有以下信息：
①为直径；②；③．
(1)从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题．
你选择的条件是___________，结论是___________（填写序号），请说明理由．
(2)在（1）的条件下，若的长为，求半径．
9．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
(1)请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为______；
(2)连接，则的半径为______；扇形的圆心角度数为______；
(3)若扇形是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．
10．（2023·安徽安庆·统考一模）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角， 求此圆锥高的长度.
【一览众山小】
1.（2023·江苏南通·统考二模）如图为某几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏无锡·校考二模）若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．15 B．12π C．15π D．30π
3．（2023·湖南永州·统考三模）如图，圆锥的底面半径是1，则圆锥侧面展开图中扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·云南玉溪·统考三模）如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）解决问题：
冰激凌的外壳（不计厚度）可近似的看作圆锥，制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形的材料，其中，，将扇形围成圆锥时，、恰好重合，其中弧与相切，求圆锥底面的直径．
下面给出求解问题的解题步骤，和一些相应的数据：
Ⅰ．求扇形的半径；Ⅱ．求弧DE的长；Ⅲ．求冰激凌外壳的圆锥底面的直径．
①；②；③；④；⑤．
则配对正确的是（ ）
A．Ⅰ→③，Ⅱ→①，Ⅲ→⑤ B．Ⅰ→②，Ⅱ→①．Ⅲ→③
C．Ⅰ→②，Ⅱ→④，Ⅲ→③ D．Ⅰ→③，Ⅱ→④，Ⅲ→⑤
6．（2023·湖南衡阳·校联考一模）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的面积为_____
7．（2023·全国·统考中考真题）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为_________．（结果保留）
8.（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，正五边形的边长为4，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是______．
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测）一个扇形的弧长是，圆心角是144°，则此扇形的面积是______．
10．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考三模）孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为的最大扇形玉佩，则阴影部分的面积为________．（结果保留π）
11．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径，母线长．
(1)求这种加工材料的顶角的大小．
(2)求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）
12．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作：
(1)若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为______；
(2)连接、，则的半径长为______（结果保留根号），的度数为______；
(3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）
13．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图所示，在中，，，在上取点，以为圆心，以为半径作圆，与相切于点，并分别与，相交于点，（异于点）．
(1)求证：平分；
(2)若点恰好是的中点，求扇形的面积．
14．（2023春·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考阶段练习）如图，为的直径，在的延长线上，为圆上一点，且．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求扇形的面积．
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2.5 直线与圆的位置关系-2023年新九年级数学同步精讲精练（苏科版）： 这是一份2.5 直线与圆的位置关系-2023年新九年级数学同步精讲精练（苏科版），文件包含25直线与圆的位置关系解析版docx、25直线与圆的位置关系原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
