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6.6-6.7 图形的位似与用相似三角形解决问题-2023年新九年级数学同步精讲精练（苏科版）
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6.6-6.7图形的位似与用相似三角形解决问题
【推本溯源】
1.如图，光源把一幅画投影到了墙面上，你发现了什么？
2.如图，连接OA、OB、OC，分别在线段OA、OB、OC
的反向延长线上取点A′、B′、C′，使得
，画出▲A′B′C′。
3.结合生活与实践发现，两个多边形的顶点A与A′，
B与B′，C与C′，所在的直线都经过同一点O，
并且=，像这样的两个多边形叫做
，点O为 。
小试牛刀：如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且点A2的坐标为（8，﹣6）．
（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是 ．
想一想：△ABC与△A2B2C2相似吗？
。
因此，两个位似多边形一定 ，并且它们的对应边 （或者在 ）；利用位似可以把一个图形按所给相似比 或 。
总结：位似多边形的性质：
（1） 位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 比；
（2）位似多边形上对应点和位似中心在 ；
（3）位似多边形上的对应线段 或在 ；
（4） 位似多边形是特殊的 图形，因此位似图形具有 图形的一切性质。
4.认识投影
①平行投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的 .只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为 .由此我们可得出这样两个结论：
（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
（2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
在同一时刻，不同物体的物高与影长成
②中心投影：若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为 .这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：
（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.
（2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
一般地，在点光源的照射下，同一物体在不同的位置，它的物高与影长不成 。
【解惑】
例1：如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子O，树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，米，米，则树高为（ ）米
A．4 B．5 C．6 D．7
例2：在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
例3：如图，，为两路灯，身高均为的小明、小亮站在两路灯之间，两人相距，小明站在处，小亮站在处，小明在路灯下的影长为，路灯高，则路灯的高为______．
例4：如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若，且，则线段的长为__________．
例5：如图，阳阳要测量一座钟塔的高度，他在与钟塔底端处在同水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记，当他站在离镜子处1.4m的处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记重合．已知，，在同直线上，阳阳的眼睛离地面的高度m，m，求钟塔的高度．
【摩拳擦掌】
1．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离（ ）
A． B．2cm C． D．3cm
2．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．两个多边形相似，则它们一定是位似图形 B．两个位似图形的位似中心可能不止一个
C．位似图形一定是相似图形 D．两个多边形相似，面积比一定是相似比
3．（2023·云南昆明·统考二模）如图，已知零件的外径是，现用一个交叉卡钳两条尺长和相等测量零件的内孔直径，如果：，且量得，则零件的厚度为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2022秋·北京房山·九年级统考期中）在设计“利用相似三角形的知识测量树高”的综合实践方案时，晓君想到了素描课上老师教的方法，如图，请一位同学右手握笔，手臂向前伸直保持笔杆与地面垂直，前后移动调整自己的位置，直到看见笔杆露出的部分刚好遮住树的主干，这时测量同学眼睛到笔的距离、同学到树干的距离，以及露出笔的长度，就可通过计算得到树的高度，这种实践方案主要应用了相似三角形的性质定理：___________．（填写定理内容）
5．（2022秋·广东茂名·九年级校联考期中）在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，在某一时刻高为的竹竿影长为，某一高楼的影长为，那么高楼的高度为____________．
6．（2022秋·山东临沂·九年级校考期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高为______
7．（2023·浙江杭州·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，为北门中点，从点往正北方向走30步到处有一树木，为西门中点，从点往正西方向走750步到D处正好看到处的树木，设正方形城池的边长为x步．根据题意整理成一元二次方程的一般形式________．
8．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，，，，点，，在一条直线上，点，，也在一条直线上．若与的距离是，求点到直线距离．
9．（2023·河南周口·统考二模）“参天三柏倚高峰，武帝曾经驻六龙”讲的是嵩阳书院内的三棵古柏现存两棵，分别名为“大将军柏”和“二将军柏”，林学专家测定，古柏的树龄不低于年，是我国现存最古老和最大的柏树某中学数学课题学习小组欲测量“二将军柏”的高度，他们利用太阳光照射下的影长进行测量小西先在大树影子端点处竖立了一根长为米的木棒，并测得木棒的影长米，然后小乐在的延长线上找到点，使得点，，在同一直线上，并测得米，已知图中所有点均在同一平面内，且，，根据以上测量过程及测量数据，请你帮助该课题学习小组求出“二将军柏”的高度结果精确到米．
10．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，已知△ABC和点O．以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的一半．
11.（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．
(1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的；
(2)画出绕C点逆时针旋转后得到的；
(3)直接写出的度数．
【知不足】
1．（2023春·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考阶段练习）如图，小刚为了测量建筑物的高度，在离N点10米的A处水平放置一个平面镜，小刚沿方向后退2米到点C，此时从镜子中恰好看到建筑物的顶部点M，已知小刚的眼睛（点B）到地面的高度是1.6米，则建筑物的高度是( )
A．12.5米 B．9.6米 C．8米 D．9米
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测）如图，小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙的顶端处，已知，，米，米，米，那么该城墙的高度为( )
A．6 B．8 C．10 D．18
3．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，与是位似图形，位似比为1：4，若，则的长为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）如图，以点为位似中心，将放大后得到，，，则____．
5．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为___________．
6．（2023·江苏宿迁·统考三模）《孙子算经》中记载一题：“今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问：竿长几何？”其大意是：“今有一根木杆，不知道其长度．量它的影子，等于1丈5尺．另外再有一根标杆，杆长1尺5寸，量得标杆的影子为5寸．问：木杆长多少？”（注：一丈＝十尺，一尺＝十寸）．若单位统一为尺，则木杆长______尺．
7．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点都在小正方形的顶点上.
(1)把绕点A顺时针旋转得到，在图中画出；
(2)把先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，在图中画出；
(3)以点O为位似中心，与的位似比为，画出
8．（2022秋·广西柳州·九年级校考阶段练习）如图、在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出向左平移5个单位后得到的；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为2：1，并写出点的坐标．
9．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点米远的点，立一根长为米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端在河里的倒影为点，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时、、三点在同一直线上，并且点、、、共线，点、、共线，若、、均垂直于河面，求河宽是多少米？
10.（2023·陕西渭南·统考二模）如图，某天傍晚，数学兴趣小组的小敏和小芳在公园散步时作了如下探索：当小芳竖直站立在A处时，她在路灯D下的影子为线段，并测得米，已知、均与地面垂直，且E、A、C在同一直线上，小芳的身高为米，小芳与灯杆底部E的距离为为8米．
(1)求路灯的高度；
(2)如果要缩短小芳的影子的长度，同时不能改变路灯的高度和位置，请你写出一种方法．
【一览众山小】
1．（2023春·江苏常州·八年级统考期末）如图为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为米，踏板长为米，支撑点A到踏脚点D的距离为1米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E上升了（ ）．
A．1.5米 B．1.2米 C．1米 D．0.9米
2．（2023·浙江温州·校考三模）如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为__________．
4．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________．
5．（2023春·江苏·八年级统考期末）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：与交于点O，，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是_____．
6．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，小明测得长的竹竿落在地面上的影长为．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是_____m．
7．（2023·四川成都·统考二模）如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，点的对应点为，点C位于处，若点B的对应点的横坐标为3，则点B的横坐标为___________．
8．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示）
9．（2023·安徽·校联考三模）在边长为1的正方形网格中有格点（顶点均在网格线的交点）和格点O.
(1)以O为旋转中心，将逆时针旋转得到，请画出；
(2)以O为位似中心，在网格内作出的位似，使与的位似比为1：2.
10．（2023·山东济宁·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为
(1)以原点O为位似中心，位似比为，在轴的左侧画出放大后的；
(2)在（1）中，若点为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标___________．
(3)直接写出外接圆的圆心坐标____________．
11．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，其中的三个顶点均在格点上，点B的坐标为
(1)将向左平移5个单位长度，得到，画出；（不写作法）
(2)以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在第四象限中画出；（不写作法）
(3)若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点的坐标是___________．
12．（2023·陕西西安·校考三模）傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老的大树，小华激动地说：妈妈，我可以通过测量您的影长，测得妈妈的影长DF＝1.6m．妈妈沿BD的方向到达点F处，此时小华测得妈妈的影长FG＝2m．已知妈妈的身高为1.6m（即CD＝EF＝1.6m），AB⊥BG，CD⊥BG，求这棵大树的高度．
13．（2023·湖北武汉·武汉市第一初级中学校考模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．、、三点是格点，，分别是，与网格线的交点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图1中，取的中点，的中点，连接；再作平行四边形；
(2)在图2中，在上画出一点，使；
(3)在图2中，在的边上画一点M，使得是正方形的一个顶点，且正方形的顶点在上，顶点、在上．（只需画出点）
14．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，已知A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)如图1，将以点C为位似中心缩小，使缩小前、后对应边长的比为，得到，画出；
(2)如图2，点D也是格点，连接，在上画出点E，使；
(3)如图3，在边上分别画出点F，G，H，使的周长最小．
6.6-6.7图形的位似与用相似三角形解决问题
【推本溯源】
1.如图，光源把一幅画投影到了墙面上，你发现了什么？
2.如图，连接OA、OB、OC，分别在线段OA、OB、OC
的反向延长线上取点A′、B′、C′，使得
，画出▲A′B′C′。
3.结合生活与实践发现，两个多边形的顶点A与A′，
B与B′，C与C′，所在的直线都经过同一点O，
并且=，像这样的两个多边形叫做
，点O为 。
小试牛刀：如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且点A2的坐标为（8，﹣6）．
（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是 ．
想一想：△ABC与△A2B2C2相似吗？
。
因此，两个位似多边形一定 ，并且它们的对应边 （或者在 ）；利用位似可以把一个图形按所给相似比 或 。
总结：位似多边形的性质：
（1） 位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 比；
（2）位似多边形上对应点和位似中心在 ；
（3）位似多边形上的对应线段 或在 ；
（4） 位似多边形是特殊的 图形，因此位似图形具有 图形的一切性质。
4.认识投影
①平行投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的 .只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为 .由此我们可得出这样两个结论：
（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
（2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.
在同一时刻，不同物体的物高与影长成
②中心投影：若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为 .这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：
（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.
（2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
一般地，在点光源的照射下，同一物体在不同的位置，它的物高与影长不成 。
【解惑】
例1：如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子O，树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，米，米，则树高为（ ）米
A．4 B．5 C．6 D．7
例2：在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
例3：如图，，为两路灯，身高均为的小明、小亮站在两路灯之间，两人相距，小明站在处，小亮站在处，小明在路灯下的影长为，路灯高，则路灯的高为______．
例4：如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若，且，则线段的长为__________．
例5：如图，阳阳要测量一座钟塔的高度，他在与钟塔底端处在同水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记，当他站在离镜子处1.4m的处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记重合．已知，，在同直线上，阳阳的眼睛离地面的高度m，m，求钟塔的高度．
【摩拳擦掌】
1．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图，图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面距离杯口的距离（ ）
A． B．2cm C． D．3cm
2．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．两个多边形相似，则它们一定是位似图形 B．两个位似图形的位似中心可能不止一个
C．位似图形一定是相似图形 D．两个多边形相似，面积比一定是相似比
3．（2023·云南昆明·统考二模）如图，已知零件的外径是，现用一个交叉卡钳两条尺长和相等测量零件的内孔直径，如果：，且量得，则零件的厚度为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2022秋·北京房山·九年级统考期中）在设计“利用相似三角形的知识测量树高”的综合实践方案时，晓君想到了素描课上老师教的方法，如图，请一位同学右手握笔，手臂向前伸直保持笔杆与地面垂直，前后移动调整自己的位置，直到看见笔杆露出的部分刚好遮住树的主干，这时测量同学眼睛到笔的距离、同学到树干的距离，以及露出笔的长度，就可通过计算得到树的高度，这种实践方案主要应用了相似三角形的性质定理：___________．（填写定理内容）
5．（2022秋·广东茂名·九年级校联考期中）在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，在某一时刻高为的竹竿影长为，某一高楼的影长为，那么高楼的高度为____________．
6．（2022秋·山东临沂·九年级校考期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高为______
7．（2023·浙江杭州·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，为北门中点，从点往正北方向走30步到处有一树木，为西门中点，从点往正西方向走750步到D处正好看到处的树木，设正方形城池的边长为x步．根据题意整理成一元二次方程的一般形式________．
8．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，，，，点，，在一条直线上，点，，也在一条直线上．若与的距离是，求点到直线距离．
9．（2023·河南周口·统考二模）“参天三柏倚高峰，武帝曾经驻六龙”讲的是嵩阳书院内的三棵古柏现存两棵，分别名为“大将军柏”和“二将军柏”，林学专家测定，古柏的树龄不低于年，是我国现存最古老和最大的柏树某中学数学课题学习小组欲测量“二将军柏”的高度，他们利用太阳光照射下的影长进行测量小西先在大树影子端点处竖立了一根长为米的木棒，并测得木棒的影长米，然后小乐在的延长线上找到点，使得点，，在同一直线上，并测得米，已知图中所有点均在同一平面内，且，，根据以上测量过程及测量数据，请你帮助该课题学习小组求出“二将军柏”的高度结果精确到米．
10．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，已知△ABC和点O．以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的一半．
11.（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．
(1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的；
(2)画出绕C点逆时针旋转后得到的；
(3)直接写出的度数．
【知不足】
1．（2023春·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考阶段练习）如图，小刚为了测量建筑物的高度，在离N点10米的A处水平放置一个平面镜，小刚沿方向后退2米到点C，此时从镜子中恰好看到建筑物的顶部点M，已知小刚的眼睛（点B）到地面的高度是1.6米，则建筑物的高度是( )
A．12.5米 B．9.6米 C．8米 D．9米
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测）如图，小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙的顶端处，已知，，米，米，米，那么该城墙的高度为( )
A．6 B．8 C．10 D．18
3．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，与是位似图形，位似比为1：4，若，则的长为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）如图，以点为位似中心，将放大后得到，，，则____．
5．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为___________．
6．（2023·江苏宿迁·统考三模）《孙子算经》中记载一题：“今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问：竿长几何？”其大意是：“今有一根木杆，不知道其长度．量它的影子，等于1丈5尺．另外再有一根标杆，杆长1尺5寸，量得标杆的影子为5寸．问：木杆长多少？”（注：一丈＝十尺，一尺＝十寸）．若单位统一为尺，则木杆长______尺．
7．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的顶点都在小正方形的顶点上.
(1)把绕点A顺时针旋转得到，在图中画出；
(2)把先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，在图中画出；
(3)以点O为位似中心，与的位似比为，画出
8．（2022秋·广西柳州·九年级校考阶段练习）如图、在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出向左平移5个单位后得到的；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为2：1，并写出点的坐标．
9．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点米远的点，立一根长为米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端在河里的倒影为点，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时、、三点在同一直线上，并且点、、、共线，点、、共线，若、、均垂直于河面，求河宽是多少米？
10.（2023·陕西渭南·统考二模）如图，某天傍晚，数学兴趣小组的小敏和小芳在公园散步时作了如下探索：当小芳竖直站立在A处时，她在路灯D下的影子为线段，并测得米，已知、均与地面垂直，且E、A、C在同一直线上，小芳的身高为米，小芳与灯杆底部E的距离为为8米．
(1)求路灯的高度；
(2)如果要缩短小芳的影子的长度，同时不能改变路灯的高度和位置，请你写出一种方法．
【一览众山小】
1．（2023春·江苏常州·八年级统考期末）如图为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为米，踏板长为米，支撑点A到踏脚点D的距离为1米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E上升了（ ）．
A．1.5米 B．1.2米 C．1米 D．0.9米
2．（2023·浙江温州·校考三模）如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为__________．
4．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________．
5．（2023春·江苏·八年级统考期末）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：与交于点O，，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是_____．
6．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，小明测得长的竹竿落在地面上的影长为．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是_____m．
7．（2023·四川成都·统考二模）如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，点的对应点为，点C位于处，若点B的对应点的横坐标为3，则点B的横坐标为___________．
8．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示）
9．（2023·安徽·校联考三模）在边长为1的正方形网格中有格点（顶点均在网格线的交点）和格点O.
(1)以O为旋转中心，将逆时针旋转得到，请画出；
(2)以O为位似中心，在网格内作出的位似，使与的位似比为1：2.
10．（2023·山东济宁·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为
(1)以原点O为位似中心，位似比为，在轴的左侧画出放大后的；
(2)在（1）中，若点为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标___________．
(3)直接写出外接圆的圆心坐标____________．
11．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，其中的三个顶点均在格点上，点B的坐标为
(1)将向左平移5个单位长度，得到，画出；（不写作法）
(2)以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在第四象限中画出；（不写作法）
(3)若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点的坐标是___________．
12．（2023·陕西西安·校考三模）傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老的大树，小华激动地说：妈妈，我可以通过测量您的影长，测得妈妈的影长DF＝1.6m．妈妈沿BD的方向到达点F处，此时小华测得妈妈的影长FG＝2m．已知妈妈的身高为1.6m（即CD＝EF＝1.6m），AB⊥BG，CD⊥BG，求这棵大树的高度．
13．（2023·湖北武汉·武汉市第一初级中学校考模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．、、三点是格点，，分别是，与网格线的交点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图1中，取的中点，的中点，连接；再作平行四边形；
(2)在图2中，在上画出一点，使；
(3)在图2中，在的边上画一点M，使得是正方形的一个顶点，且正方形的顶点在上，顶点、在上．（只需画出点）
14．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，已知A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)如图1，将以点C为位似中心缩小，使缩小前、后对应边长的比为，得到，画出；
(2)如图2，点D也是格点，连接，在上画出点E，使；
(3)如图3，在边上分别画出点F，G，H，使的周长最小．
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